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3.2
勾股定理的逆定理
【提升训练】
一、单选题
1．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
【答案】A
【分析】
欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．
【详解】
①三边长之比为；则有，为直角三角形；
②三个内角度数之比为，
则各角度数分别为，，，不是直角三角形；
③，是直角三角形；
④，构不成三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②三边长为的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为，则等腰三角形的周长为10或8；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据等边三角形的判定方法对①进行判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)断；根据勾股定理的逆定理对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据线段垂直平分线的判定对④进行判断．
【详解】
解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故正确；
②，则三边长为，，的三角形不是直角三角形，故错误；
③等腰三角形的两条边长为2，4，则三边分别为2，4，4，则等腰三角形的周长为10，故错误；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】C
【分析】
利用勾股定理、勾股定理得逆定理即可判断．
【详解】
解：A．∵，，，
∴三角形不是直角三角形；
B．∵，，，，
∴三角形不是直角三角形；
C．∵，，，
∴三角形是直角三角形；
D．∵，，，,
∴三角形不是直角三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理，勾股定理得逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．如图，P是等边△ABC形内一点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．△APP'是正三角形
B．△PCP'是直角三角形
C．∠APB＝150°
D．∠APC＝135°
【答案】D
【分析】
先运用全等得出，，从而得出，得出△APP'是正三角形，根据比值设出未知数，根据勾股定理逆定理得出，逐一判断即可
【详解】
解：△ABC是等边三角形
△AP′C≌△APB，
，
是正三角形，故A说法正确，不符合题意；
PA：PB：PC＝3：4：5，
设PA=3x,PB=4x,PC＝5x
根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且故B选项说法正确，不符合题意；
又是等边三角形
，故C选项说法正确，不符合题意；
不能求出的度数，故D说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理，解题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论．2·1·c·n·j·y
5．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】
结合格点的特点利用勾股定理求得AB2，AC2，BC2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，从而利用三角形面积求解．
【详解】
解：由题意可得：
∵
∴△ABC是直角三角形
又∵是的高
∴，
，解得：
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键．
6．如图，在等腰Rt△ABC，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．16
C．40
D．80
【答案】C
【分析】
连结OO′．先由△CBO≌△ABO′，得出OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，根据等式的性质得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，则O′O=8．再利用勾股定理的逆定理证明OA2+O′O2=O′A2，得到∠AOO′=90°，那么根据S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′，即可求解．
【详解】
解：如图，连结OO′．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△CBO≌△ABO′，
∴OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，
∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，
∴∠O′BO=90°，
∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，
∴O′O=8．
在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，
∴OA2+O′O2=O′A2，
∴∠AOO′=90°，
∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=×6×8+×4×4=24+16=40．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．
7．在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（
）．
A．∠A=∠B-∠C
B．∠A：∠B：∠C=2：5：3C．a：b：c=7：24：25
D．a：b：c=4：5：6
【答案】D
【分析】
根据三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理依次判断．
【详解】
A、∵∠A=∠B-∠C，∴∠A+∠C
=∠B，得到∠B=，即△ABC是直角三角形；
B、设∠A=2x，∠B=5x，∠C=3x，故，解得x=，
∴∠B=5x=，即△ABC是直角三角形；
C、设a=7x，则b=24x，c=25x，
∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
D、设a=4x，b=5x，c=6x，
∵，
∴，
∴△ABC不是直角三角形；
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形根据边或角判定的方法是解题的关键．
8．如图，是线段上的两点，．以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连结，则一定是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】
先根据题意确定AC、BC、AB的长，然后运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】
解：由题意得：AC=AN=2AM=8,BC=MB=MN+NB=4+2=6,AB=AM+MN+NB=1021cnjy.com
∴AC2=64,
BC2=36,
AB2=100,
∴AC2+BC2=AB2
∴一定是直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC、BC、AB的长是解答本题的关键．
9．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（
）
A．三个内角之比为1︰2︰3
B．一边上的中线等于该边的一半
C．三边为
D．三边长为
【答案】C
【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可；
【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为，故A不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B不符合题意；
，故C符合题意；
三边长的关系为，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键．
10．△ABC的三边长度分别是a、b、c，能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．，，
B．，，
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5
D．（b+c）（bc）=a2
【答案】D
【分析】
根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐一验证，即可得到答案．
【详解】
解：A、∵a2+b2=+=，c2=，∴a2+b2≠c2，故A选项错误；
B、∵a2+b2==3+4=7，c2==5，∴a2+b2≠c2，故B选项错误；
C、∵设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)5x，∴3x+4x+5x==180°，∴x=15°，∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故C选项错误；
D、∵（b+c）（b-c）=a2，∴b2-c2=a2，∴b2=a2+c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理逆定理的内容是解题的关键．
11．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
【详解】
解：A、∵32+42=52，
∴此
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形是直角三角形，不符合题意；
B、∵32+42≠62，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、92+122=152，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
12．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．1，，
D．，，，
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A.∵12+22=5≠32，∴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B.∵22+32=13≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C.12+（）2=（）2，能组成直角三角形，符合题意；
D.，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
13．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝17，c＝15
B．a＝，b＝1，c＝
C．a＝，b＝2，c＝
D．a＝5，b＝6，c＝8
【答案】D
【分析】
根据勾股定理的逆定理解答.
【详解】
A、∵，∴该三角形是直角三角形；
B、∵，∴该三角形是直角三角形；
C、∵，∴该三角形是直角三角形；
D、，∴该三角形不是直角三角形；
故选：D.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，正确区分边长的大小，熟记勾股定理的逆定理的计算公式是解题的关键.
14．下列线段、、中不能组成直角三角形的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【分析】
算出较小两边的平方和，如果等于最大边的平方；或者较大两边的平方差等于最小边的平方，即可断定是直角三角形，否则不是直角三角形．
【详解】
解：∵，∴A能够组成直角三角形；
∵，∴B能够组成直角三角形；
∵
，∴C不能够组成直角三角形；
∵
，∴D能够组成直角三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，准确判断三角形中较小两边的平方和与最大边平方的关系或者较大两边的平方差与最小边平方的关系是解题关键．
15．下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（
）
A．3,4,5
B．4,5,6
C．6,8,10
D．5,12,13
【答案】B
【详解】
选项A，32+42=52，A选项是直角三角形；
选项B，42+52≠62，B选项不是直角三角形；
选项C，62+82=102，C选项是直角三角形；
选项D，52+122=132，D选项是直角三角形．
故选B．
16．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（
）
A．1、、
B．2、3、4
C．1、2、3
D．4、5、6
【答案】A
【分析】
求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.
【详解】
A、12+（）2=（）2
∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确;?
B、22+3242
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;?
C、?12+2232
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;?
D、?42+5262
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;?
故选A..
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.
17．长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【详解】
试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，
∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，
故选B．
考点：勾股定理的逆定理
点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．
18．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
【答案】D
【分析】
根据三角形勾股定理的逆定理符合即为直角三角形
，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．
【详解】
由题意得：
①
；②
；③
，
所以能构成直角三角形的是②③．
故选D．
【点睛】
考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形．21·世纪
教育网
19．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝，c＝
B．a＝，b＝2，c＝
C．a＝，b＝，c＝
D．a＝7，b＝24，c＝25
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】
解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
B、22+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；
C、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确；
D、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
20．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，则该三角形为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】
解：在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝．∵，∴△ABC是直角三角形．
故选B．
点睛：本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（
）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC
是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC
是直角三角形
C．如果
a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC
是直角三角形
D．如果
a2＝b2﹣c2，那么△ABC
是直角三角形且∠A＝90°
【答案】D
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
选项C中如果
a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC
是直角三角形，选项正确；
选项D中如果
a2＝b2﹣c2，那么△ABC
是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；
故选D．
【点睛】
考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．
22．将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是
( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据勾股定理得出a2+b2=c2，推出4a2+4b2=4c2，得出（2a）2+（2b）2=（2c）2，根据勾股定理的逆定理得出即可．
【详解】
解：∵设原直角三角形的三边的长是a、b、c，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)则a2+b2=c2，如图，
∴4a2+4b2=4c2，
即（2a）2+（2b）2=（2c）2，
∴将直角三角形的三条边长同时扩大2倍，得到的三角形还是直角三角形，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，掌握如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是关键．
23．若三角形的三边长为下列各
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)组数：①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
①∵52+122＝169＝132，∴能组成直角三角形，故本选项正确；
②∵112+122＝265≠152＝225，∴不能组成直角三角形，故本选项错误；
③92+402＝1681＝412，∴能组成直角三角形，故本选项正确；
④152+202＝625＝252，∴能组成直角三角形，故本选项正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
24．下列叙述中，正确的是（
）
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．中，的对边分别为，若，则
C．若是直角三角形，且，则
D．若，则是直角三角形
【答案】D
【分析】
根据勾股定理及三角形的性质对各个选项进行分析，从而确定答案．
【详解】
解：A不正确，应该为：直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
B不正确，应该为∠C=90°；
C不正确，应该为如c2=b2+a2；
D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
25．由线段组成的三角形不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
解：A、32+42=52，符合
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B、82+92≠102不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
C、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
26．如图，为的边上一点，已知，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由AD2+BD2=AB2得AD⊥BC（勾股定理逆定理），在直角△ADC中，已知AD，AC即可求得CD，则BC=BD+DC．
【详解】
解：∵AD2+BD2=144+25=169，AB2=169，
∴AD2+BD2=AB2
∴AD⊥BC（勾股定理逆定理），
∠ADC=90°，
∴，
∴BC=CD+BD=5+9=14．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，本题中根据勾股定理的逆定理确定AD⊥BC是解题的关键．
27．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
【答案】C
【分析】
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，根据两小边的平方和等于最长边的平方逐一验证即可得到答案．
【详解】
解：A、故A不正确；
B、故B不正确；
C、故C正确；
D、故D不正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．【出处：21教育名师】
28．在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC是（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
本题主要考查了三角形形状的判定，根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的判定方法进行判断即可，根据三边的关系进行判断即可；
【详解】
∵a＋c＝2b，c－a＝b，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∵c－a＝b，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴Rt△ABC的两直角边不相等；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的判断，通过三边的准确分析是解题的关键．
29．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．
【详解】
移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4=0，
c2(a2﹣b2)﹣(a2+b2)(a2﹣b2)=0，
(a2﹣b2)(c2﹣a2﹣b2)=0，
所以，a2﹣b2=0或c2﹣a2﹣b2=0，
即a=b或a2+b2=c2，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用以及勾股定理的逆定理的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
30．如图，在四边形中，，
，，，则四边形的面积是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
如下图，连接AC，在Rt△ABC中先求得AC的长，从而可判断△ACD是直角三角形，从而求得△ABC和△ACD的面积，进而得出四边形的面积．
【详解】
如下图，连接AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB=BC=1，AB⊥BC
∴在Rt△ABC中，AC=，
∵AD=，DC=2
又∵
∴三角形ADC是直角三角形
∴
∴四边形ABCD的面积=+2=
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测△ADC是直角三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可．
二、填空题
31．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】7或17
【分析】
分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】
解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．21·cn·jy·com
32．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为_________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求．
【详解】
解：连接BD，
∵点E为AB的中点，于点E，，，
∴EB＝AB＝3，
∴，
∵，即，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝，
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．
33．如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】30
【分析】
延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积．
【详解】
解：如图，延长至，使，连接CE，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故答案为：30
【点睛】
本题考查了三角形的全等，勾股定理逆定理等知识，根据中点的意义添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
34．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD＝13，，BC＝9，DC＝12，则四边形ABCD的面积为_____．
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【答案】
【分析】
连接BD，利用勾股定理计算出BD长，再利用勾股定理逆定理证明△ABD是直角三角形，且∠A＝90°，然后再求四边形ABCD的面积即可．
【详解】
解：连接BD，
∵∠C＝90°，BC＝9，DC＝12，
∴BD＝
，
∵AB2+AD2＝（2）2+132＝56+169＝225＝DB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°，
∴四边形ABCD的面积为：AB?AD+CB?CD＝×2×13+×9×12＝13+54，
故答案为：13+54．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角；
35．在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为_____________．
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【答案】
【分析】
首先利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，然后利用角平分线性质和平行线性质求得，，，根据角平分线定理可知，再根据求得的长．
【详解】
∵，，，
∴，
∴，为直角三角形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
如图作⊥于点，
∵平分，，，，
∴，
在中，
，
即，
可得,
，
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理、角平分线、平行线、三角形面积，解答本题的关键是熟练运用角平分线定理和三角形面积相等求解．
三、解答题
36．如图，在中，，是边上的中线，在的延长线上，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）30
【分析】
（1）根据SAS证明△ABD≌△ECD，得，由得，再根据勾股定理逆定理再进行证明即可；
（2）求得△ACE的面积，即可得出△ABC的面积．
【详解】
解：（1）证明：∵是边上的中线，
∴．
在与中,
．
∴（），
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
∵是边上的中线，
∴?．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆定理的运用，三角形的面积计算方法，掌握三角形全等的判定方法与勾股定理逆定理是解决问题的关键．21
cnjy
com
37．如图，在四边形中，，，，的长分别为，，，，且，求的度数和四边形的面积．
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【答案】135°，
【分析】
连接，首先在直角中，运用勾股定理求出的长，然后由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则根据，即可求出的度数；由图可知四边形的面积等于△ABC和△ACD面积之和，根据直角三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵于，
∴，
在中，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∵，，
∴，，．
∴，
由勾股定理的逆定理得：，
∴，
．
【点睛】
本题考查根据勾股定理逆定理判定直角三角形及勾股定理的应用，解题的关键是求证为直角三角形及分割法求不规则图形面积方法．
38．如图，在中，为上的高，
（1）若，，，求证：是直角三角形；
（2）若，，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）18
【分析】
（1）由勾股定理求得由勾股定理可得，，再利用勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形；
（2）在中，求得，；在中，根据勾股定理即可求得．
【详解】
（1）由题意可得，，
，
在中，，，，
由勾股定理可得，，
在中，，，，
由勾股定理可得，，
在中，，，，
，
，即，
是直角三角形，且；
（2）设，则，
，
由题意可得，，
，
在中，，，
由勾股定理可得，，即，
解得，，
，，
在中，，
由勾股定理可得，，
．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理解直角三角形是解决问题的关键．
39．如图，四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，AD＝，CD＝3，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积．www-2-1-cnjy-com
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【答案】．
【分析】
根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再分别求出△ABC和△ACD的面积即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，由勾股定理得：AC＝，
∵AD＝，CD＝3，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝
＝
＝．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点是解此题的关键．
40．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，求的度数．21教育网
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【答案】45°
【分析】
连接BC，利用勾股定理的逆定理，证明△ABC是等腰直角三角形即可．
【详解】
如图，连接BC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据题意，得
∴AB=BC，，
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=45°．
【点睛】
本题考查了网格上计算，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．21教育名师原创作品
41．如图，在中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为外一点，连接BD，
CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．
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【答案】36．
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C的长；由CD，BD，BC的长，可得出CD2+BD2=BC2，进而可证出△DBC是直角三角形且∠D=90°，利用三角形的面积公式可求出S△DBC及S△ABC的值，将其代入S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC中即可求出四边形ABDC的面积．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13，
∴BC2=AB2-AC2=132-122=25，
∴BC=5，
∵CD=4，BD=3，
∴CD2+BD2=42+32=25，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△DBC是直角三角形，且∠D=90°，
∴S△DBC=BD×DC=×3×4=6；
由（1）知在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5，
∴S△ABC=BC×AC=×5×12=30．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC=30+6=36．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的面积，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出BC的长；（2）利用三角形的面积计算公式，求出S△ABC和S△DBC的值．
42．古埃及人曾用下面的方法得到直角：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）你能说说其中的道理吗？
（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据直角三角形的判定方法进行说明即可；
（2）根据直角三角形的判定方法进行设计即可．
【详解】
解：（1）设相邻两个结点的距离为x，则此图1中的三边长分别为、、，
∵，
∴以、、为边长的三角形是直角三角形，即是直角三角形，其中；
（2）∵，
∴如图所示，即为所求（答案不唯一，正确即可得分）．
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【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
43．已知：如图，在中，，；在中，为边上的高，，的面积．
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（1）求出边的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）15cm；（2）114cm2
【分析】
（1）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，于是得到S△ABC=×9×12=54，即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=8cm，△ABE的面积为60cm2，
∴S△ABE=AB?DE=AB×8=60cm，
∴AB=15cm；
（2）∵在△ABC中，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，
∴AC2+BC2=122+92=225=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=×9×12=54cm2，
∴四边形ACBE的面积=S△ABC+S△ABE=54+60=114cm2．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出AB的长．
44．在四边形中，已知．，．
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（1）求的长．
（2）的度数．
【答案】（1）；（2）135°
【分析】
（1）首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出∠ADB=45°，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，即可求出答案．
【详解】
解：(1)∵，．
∴
在中，由勾股定理得：
∴
(2)∵，，
∴
∴△BCD是直角三角形，
∴
∴
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出∠ADB=45°，再求出∠BDC=90°．
45．如图，在DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG=8，请你说明DG⊥EF
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【答案】见解析
【分析】
根据点G是EF的中点，和DG=8，DE=17，利用勾股定理即可求得△DGE是直角三角形，从而求解；
【详解】
解：∵点G是EF的中点，EF=30，
∴EG=EF=×30=15
，
∵DG=8，DE=17，
∴，
，
∴
，
∴△DGE是直角三角形，∠DGE=90°
，
∴DG⊥EF；
【点睛】
本题考查了对于勾股定理的掌握情况，熟练掌握知识点是解题的关键；
46．如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
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（1）连接BC，求BC的长；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由．
【答案】（1）BC=15；（2）直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）直接利用勾股定理得出BC的长；
（2）直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案．
【详解】
解：（1）∵∠A＝90°，
∴BC＝＝＝15；
（2）△BCD是直角三角形，
理由：∵BC2＝152＝225，
BD2＝82＝64，
CD2＝172＝289，
∴BC2+BD2＝CD2＝289，
∴△BCD是直角三角形．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理是解题关键．
47．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长．
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【答案】9
【分析】
先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，再在Rt△ACD中根据勾股定理求出BD的长即可．
【详解】
解：在△ABD中，AB=13，AD=12，
BD=5，
∴AD2＋BD2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169，
∴AD2＋BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
48．如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．
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（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）135°；（2）10．
【分析】
（1）连接AC，由勾股定理求出AC=4，，再由勾股定理逆定理证明，进而得出结论；
（2）根据求解即可．
【详解】
解：连接AC，如图，
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∵∠D＝90°，
∴
∵CD＝AD＝，
∴
∵AB＝5．BC＝3
∴
∴
∵CD＝AD
∴
∴
（2）
=
=
=6+4
=10
【点睛】
此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．
49．如图，在四边形中，，，的面积为6，，，
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（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）5；（2）30
【分析】
（1）根据面积公式可求出BD的长，再根据勾股定理可求出BC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据直角三角形的面积求法求解即可．
【详解】
（1）在中，，，的面积为6
∴是直角三角形，
∴
∴
∴在中，
（2）在中，，，，
∵，
∴
∴是直角三角形，且，
∴
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握相关定理是解题的关键．
50．在△ABC中，
（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；
（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．
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【答案】（1）150；（2）66
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理判断∠ADC=90°，再用勾股定理求出DB，然后求面积即可；
（2）过点作，交的延长线于点D，设，则，根据勾股定理列出方程，解出x，再求出高CD即可．
【详解】
解：（1）如答题1图，
∵，，
∴，
∴
∴，∴，
∴
∴．
∴
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（2）如答题2图，过点作，交的延长线于点D，则．
设，则
在，
在，
∴
解得：
∴
∴
∴
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【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是恰当作垂线，构建直角三角形，依据勾股定理建立方程．
51．如图，△ABC中，AC＝15，AB＝25，CD⊥AB于点D，CD＝12．
（1）求线段AD的长度；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
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【答案】（1）9；（2）△ABC是直角三角形，理由见详解．
【分析】
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】
（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，AC＝15，CD＝12，
∴AD2＝AC2?CD2＝152?122＝81，
∵AD＞0，
∴AD＝9；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB＝25，AD＝9，
∴BD＝AB?AD＝25?9＝16，
在Rt△CDB中，
∵∠BDC＝90°，
∴BC2＝CD2＋BD2＝122＋162＝400，
∵BC＞0，
∴BC＝20，
∵AC2＋BC2＝152＋202＝252＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
52．如图，学校有一块三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10
m，BD＝14
m，AB＝16m，AE＝2m．21世纪教育网版权所有
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（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
【答案】（1）8米；（2）72m2
【分析】
（1）直接利用勾股定理即可求得DE的长；
（2）连接BE，先利用勾股定理求得BE，再利用勾股定理的逆定理证明△ABE为直角三角形，再根据四边形ABDE的面积即可求．
【详解】
（1），
∴在Rt中，DC＝6m，CE＝10
m，
∴
m；
（2）如图，连接BE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△EBD中，BD＝14
m，ED＝8
m，
，
∵AB＝16m，AE＝2m，
，
，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S△ABE＝×16×2＝16，
又∵S△BDE＝×14×8＝56，
∴四边形ABDE的面积(m2)．
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用．（2）中虽然用眼睛可观察到∠A=90°，但是必须证明后方可应用．
53．为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，E是上的一点，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）求线段的长．
【答案】（1）是直角三角形；理由见解析；（2）线段的长为16.9．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设，则，由勾股定理列得，代入数值得，计算即可．
【详解】
解：（1）是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）设，则，
由（1）可知是直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴线段的长为16.9．
【点睛】
此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键．
54．（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①
__度；（答案直接填写在横线上）
②_
__﹔（答案直接填写在横线上）
③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析．
【分析】
（1）①由得到，继而证明即可解题；
②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题；
③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】
解:（1）①
即
故答案为：；
②
，
由①得
是等边三角形，
故答案为：；
③
为直角三角形
为等边三角形
；
（2）当时，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
理由如下:
，
为等腰直角三角形，
，
当时，为直角三角形，
，
当满足时，．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理、全等三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
55．有一块四边形草地（如图），测得m，m，m，．
（1）求的度数；
（2）求四边形草地的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）150°；（2）+120（m2）
【分析】
（1）连接BD，可得?ABD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理得∠DBC=90°，进而即可求解；
（2）过点A作AP⊥BD于点P，可得AP=，结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）连接BD，
∵m，∠A=60°
∴?ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠A=60°，BD=m，
∵m，m，
∴BD2+BC2=CD2，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°+60°=150°；
（2）过点A作AP⊥BD于点P，则BP=DP=BD=5m，AP=，
∴四边形草地的面积=S?ABD+S?CBD=BD?AP+BC?BD=×10×+×10×24=+120（m2）．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．
56．如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）∠ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为
【分析】
（1）连接AC，利用勾股定理求得AC的长，再利用勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：（1）连接AC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=20，BC=15，
∴由勾股定理可得：AC=；
∵在△ADC中，CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°；
（2）由（2）知，∠ADC=90°，
∴四边形ABCD的面积=
．
答：四边形ABCD的面积为．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
57．中，是上一点，，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，证明是；
（3）在（2）的条件下，若是线段上的一点，且是等腰三角形，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或5或4
【分析】
（1）根据AD，CD和AC的长，结合勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据∠ADC=90°得到∠C+∠CAD=90°，结合∠BAD=∠C得到∠BAC=90°，即可证明；
（3）分BP=AB，BP=AP，AP=AB，三种情况分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵AD=4，CD=8，AC=，
满足，即，
∴△ACD是直角三角形，即∠ADC=90°；
（2）∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）分三种情况，
当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB==，
∴BP=AB=；
当BP=AP时，∵AD⊥BC，
∴点P为BC中点，
∴BP=BC=（BD+CD）=5；
当AP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴BP=2BD=4；
综上：BP的长为或5或4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，余角的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论求出BP的长．
58．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称
，
．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】
解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【点睛】
此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．
59．如图，△ABC中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．www.21-cn-jy.com
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）当t＝3、6或5.4?时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．2-1-c-n-j-y
【分析】
（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论；
（3）当P、Q两点之间的距离为时，分四种情况讨论：点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧；点P在AB上，点Q在BC上，分别求得t的值并检验即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）△ABC是直角三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2＋BC2＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)；
如图，当点P在AB上时，分两种情况：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
若BP＝BC＝6，则AP＝4，
故t＝（8＋4）÷2＝6秒；
若CP＝CB＝6，作CM⊥AB于M，则
×AB×MC＝×BC×AC，
×10×MC＝×6×8，
解得MC＝4.8，
∴由勾股定理可得PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，
∴AP＝2.8，
故t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．
综上所述，当t＝3、6或5.4?时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；
（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，
解得t＝；
②当点P在AB上，点Q在BC上时，
当P运动到A点时，t=4，
此时PQ=，
当Q运动到B点时，t=6，
此时PQ的长为10-2×（6-4）=6，
∴PQ的长大于6且小于，不符合题意；
③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（8＜t≤9），
由题可得：2t＋t?24＝，
解得t＝，
∵t＝>9，
∴不成立，舍去．
④如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（6≤t＜8），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题可得：24?2t?t＝，
解得t＝；
综上所述，当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理的应用以及等腰三角形的判定与性质的运用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
60．如图，OC、AB互相垂直，已知OA=8，OC=6，且AB=AC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(1)求OB的长；
(2)如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)；
①若的面积为1，求t的值；
②如图③，在点M运动的过程中，能否成为直角三角形?若能，求出此时t的值，并写出相应的OM的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）t的值为或；（3）t=3，OM=4或t=，OM=．
【分析】
（1）由勾股定理求出AC＝10，则OB＝2，可求出答案；
（2）作EH⊥OA于H，求出EH＝3，当点M在点O的左侧时，OM＝2?2t，可得t＝；当点M在点O的右侧时，OM＝2t?2，可得t＝；
（3）当点M在BO上，即0≤t＜1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时，△OME为钝角三角形不能成为直角三角形；当t＝1时，点M运动到点O，△OME不构成三角形，当点M在OA上，即1≤t≤5时，当∠OME＝90°时，当∠OEM＝90°时，作EH⊥OA，可求出答案．
【详解】
(1)∵OA=8，OC=6，
∴AC=.
∵AB=AC=10，
∴OB=2，
(2)作EH⊥OA于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵在Rt△AOC中，点E为边AC的中点，
∴EO=EA=5，
∵EH⊥OA，
∴OH=AH=4，
∴EH=.
当点M在点O的左侧时，OM=2?2t，
∴×(2?2t)×3=1，
∴t=；
当点M在点O的右侧时，OM=2t?2，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴×(2t?2)×3=1，
∴t=；
综上所述,若△OME的面积为2，t的值为或.
②当点M在BO上，即0?t<1时，△OME为钝角三角形不能成为直角三角形；
当t=1时，点M运动到点O，△OME不构成三角形，
当点M在OA上，即1?t?5时，
如图3,当∠OME=90°时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OE=AE，
∴OM=OA，
∴2t?2=4，
∴t=3，OM=4；
如图4,当∠OEM=90°时，作EH⊥OA于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴，
∴t=，OM=；
综上所述,符合要求时t=3，OM=4或t=，OM=．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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3.2
勾股定理的逆定理
【提升训练】
一、单选题
1．满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④，，6．
其中能组成直角三角形的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
2．下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②三边长为的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为，则等腰三角形的周长为10或8；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．正确的个数有（
）2·1·c·n·j·y
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
4．如图，P是等边△ABC形内一点，连
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．△APP'是正三角形
B．△PCP'是直角三角形
C．∠APB＝150°
D．∠APC＝135°
5．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．2
6．如图，在等腰Rt△ABC，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．16
C．40
D．80
7．在△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（
）．
A．∠A=∠B-∠C
B．∠A：∠B：∠C=2：5：3C．a：b：c=7：24：25
D．a：b：c=4：5：6
8．如图，是线段上的两点，．以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连结，则一定是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
9．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（
）
A．三个内角之比为1︰2︰3
B．一边上的中线等于该边的一半
C．三边为
D．三边长为
10．△ABC的三边长度分别是a、b、c，能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．，，
B．，，
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5
D．（b+c）（bc）=a2
11．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A．
B．
C．
D．
12．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．1，，
D．，，，
13．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝17，c＝15
B．a＝，b＝1，c＝
C．a＝，b＝2，c＝
D．a＝5，b＝6，c＝8
14．下列线段、、中不能组成直角三角形的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
15．下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（
）
A．3,4,5
B．4,5,6
C．6,8,10
D．5,12,13
16．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（
）
A．1、、
B．2、3、4
C．1、2、3
D．4、5、6
17．长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
18．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（
）
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
19．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝，c＝
B．a＝，b＝2，c＝
C．a＝，b＝，c＝
D．a＝7，b＝24，c＝25
20．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，则该三角形为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（
）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC
是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC
是直角三角形
C．如果
a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC
是直角三角形
D．如果
a2＝b2﹣c2，那么△ABC
是直角三角形且∠A＝90°
22．将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是
( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
23．若三角形的三边长为下列各组数：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
24．下列叙述中，正确的是（
）
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．中，的对边分别为，若，则
C．若是直角三角形，且，则
D．若，则是直角三角形
25．由线段组成的三角形不是直角三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
26．如图，为的边上一点，已知，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
27．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
28．在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC是（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
29．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
30．如图，在四边形中，，
，，，则四边形的面积是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
32．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为_________．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD＝13，，BC＝9，DC＝12，则四边形ABCD的面积为_____．【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
35．在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为_____________．21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
36．如图，在中，，是边上的中线，在的延长线上，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求的面积．
37．如图，在四边形中，，，，的长分别为，，，，且，求的度数和四边形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
38．如图，在中，为上的高，
（1）若，，，求证：是直角三角形；
（2）若，，，求的长．
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39．如图，四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，AD＝，CD＝3，且∠ABC＝90°．求四边形ABCD的面积．
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40．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，求的度数．
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41．如图，在中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为外一点，连接BD，
CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．21cnjy.com
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42．古埃及人曾用下面的方法得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．
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（1）你能说说其中的道理吗？
（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）21世纪教育网版权所有
43．已知：如图，在中，，；在中，为边上的高，，的面积．
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（1）求出边的长；
（2）求四边形的面积．
44．在四边形中，已知．，．
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（1）求的长．
（2）的度数．
45．如图，在DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG=8，请你说明DG⊥EF
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46．如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
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（1）连接BC，求BC的长；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由．
47．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长．
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48．如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．
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（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
49．如图，在四边形中，，，的面积为6，，，
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（1）求的长；
（2）求的面积．
50．在△ABC中，
（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；
（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．
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51．如图，△ABC中，AC＝15，AB＝25，CD⊥AB于点D，CD＝12．
（1）求线段AD的长度；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
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52．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10
m，BD＝14
m，AB＝16m，AE＝2m．21
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（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
53．为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，E是上的一点，，，．
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（1）判断的形状，并说明理由．
（2）求线段的长．
54．（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
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①
__度；（答案直接填写在横线上）
②_
__﹔（答案直接填写在横线上）
③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
55．有一块四边形草地（如图），测得m，m，m，．
（1）求的度数；
（2）求四边形草地的面积．
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56．如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．
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57．中，是上一点，，，，．
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（1）求证：；
（2）若，证明是；
（3）在（2）的条件下，若是线段上的一点，且是等腰三角形，求的长．
58．我们给出如下定义：若一个四
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称
，
．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．21·世纪
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59．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．www-2-1-cnjy-com
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
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60．如图，OC、AB互相垂直，已知OA=8，OC=6，且AB=AC．
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(1)求OB的长；
(2)如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)；www.21-cn-jy.com
①若的面积为1，求t的值；
②如图③，在点M运动的过程中，能否成为直角三角形?若能，求出此时t的值，并写出相应的OM的长；若不能，请说明理由．2-1-c-n-j-y
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精品试卷·第
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