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3.3
勾股定理的简单应用
【基础训练】
一、单选题
1．如图，有一长、宽、高分别为12cm，4
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)cm，3cm的木箱，在它里面放一根细木条（木条的粗细忽略不计）要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13cm
B．14cm
C．15cm
D．16cm
【答案】A
【解析】试题分析：：如图，连接AC、AD，可知木箱中的最长的线段为AD，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC2=AB2+BC2=160，在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2+CD2=169，即可求得AD==13．故答案选A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
考点：勾股定理．
2．如图，有一个池塘，其
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10尺
B．11尺
C．12尺
D．13尺
【答案】D
【分析】
我们可以将其转化为数学几何图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.
【详解】
解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键.
3．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5≤a≤12
B．12≤a≤3
C．12≤a≤4
D．12≤a≤13
【答案】D
【分析】
最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，用勾股定理即可解答．
【详解】
最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，
由题意知：牛奶盒底面对角长为＝5，
当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为＝13，
即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理的应用.
4．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（ ）
A．0m
B．1m
C．2m
D．3m
【答案】B
【解析】
【分析】
在Rt△ACB中，运用勾股定理，求出AC的长；根据题意，在Rt△A'CB'中，再利用勾股定理，求出B'C的长，从而求出BB'即为所求
【详解】
在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=5
m,BC=3
m.
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2.
∴AC2=AB2-BC2=52-32=42.
∴AC=4.
在Rt△A'CB'中,∠C=90°,A'C=AC-AA'=4-1=3,A'B'=5.
由勾股定理,得A'B'2=A'C2+B'C2.
∴B'C2=A'B'2-A'C2=52-32=42.
∴B'C=4.
∴BB'=B'C-BC=4-3=1(m).
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键.
5．人在平地上以1.5
m/s的速度向西走了80
s，接着以2
m/s的速度向南走了45
s，这时他距离出发点( )
A．180
m
B．150
m
C．120
m
D．100
m
【答案】B
【解析】
【分析】
因为向西走，又向南走，刚好构成一个直角，则根据勾股定理可求得斜边即他与出发地点相距的距离．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)如图，
∵以1.5
m/s的速度向西走了80
s，接着以2
m/s的速度向南走了45
s，
∴AO=1.5×80=120m，OB=2×45=90m，
∵∠AOB=90°，
∴AB==150m，
故选：B
【点睛】
此题考查了勾股定理的基本运用，把方向运动构建一个直角三角形是解题关键
6．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18m
B．13m
C．17m
D．12m
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形中，已知两条直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】
∵一木杆在离地面5米处折断，木杆顶端落在木杆底端12m处，
∴折断的部分长为
=13，
∴折断前高度为5+13=18（米）．
故选A．
【点睛】
考查了勾股定理的应用，解题关键是已知两条直角边，运用勾股定理求出斜边．
7．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距( )
A．6海里
B．24海里
C．30海里
D．42海里
【答案】C
【分析】
画出平面直角坐标系，标出2艘轮船的准确位置，根据夹角计算距离．
【详解】
如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
OA为第2艘轮船的行驶路线，OB为第一艘轮船的行驶路线，
则OA=12×1.5=18海里，
OB=16×1.5=24海里，
且∠AOB为90°，
∴AB=海里．
故选C．
【点睛】
考查了勾股定理的运用，斜边的平方等于两直角边平方和，准确画出直角三角形，并利用勾股定理是解本题的关键．21
cnjy
com
8．小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了5根和12根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形时共用火柴棒( )
A．13根
B．18根
C．25根
D．30根
【答案】D
【分析】
根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量．再由三角形的周长公式来求摆完这个直角三角形共用火柴棒的数量．
【详解】
∵两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒
∴由勾股定理，得到斜边需用：
∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒是：5+12+13=30．
故选D．
【点睛】
考查勾股定理的应用，解题关键是利用勾股定理求得斜边的长度．
9．如图，在一块平地上，张大爷家屋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．一定不会
B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
【答案】A
【详解】
解：如图所示，AB=10米，AC=6米，根据勾股定理得，
米＜9米．
故选A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
10．王英在荷塘边观看荷花，突然想测试
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120cm
B．cm
C．60cm
D．cm
【答案】B
【详解】
在Rt△ABO中，∠OAB=90°，∠ABO=60°，AB=60，则OA=cm．故选B．
11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.9米
B．1.3米
C．1.5米
D．2米
【答案】B
【详解】
试题分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=2.4．
在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，
∴EC=0.7，
∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．
故选B．
考点：勾股定理的应用．
12．如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式.根据小杰所说的，最后应向东走（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5千米
B．6千米
C．7千米
D．8千米
【答案】D
【分析】
通过题干给出的信息，画出简图，发现小宇走了6千米之后此时的位置与小宇家和小杰家构成了直角三角形，利用直角三角形的勾股定理解答.
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由图可知：小宇向北走6km后，小杰的家在小宇的正东方向.
此时可以运用勾股定理得，向东走的距离为：（km）.
故应选：D.
【点睛】
本题考查了直角三角形的实际应用，解题关键在于，充分理解题干信息，画出简图进行分析.
13．一架长25m的云梯,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7m,如果梯子的顶端沿墙下滑了4m,那么梯足将滑动（
）
A．5m
B．8m
C．13m
D．15m
【答案】B
【分析】
首先画图示意图，根据直角三角形的勾股定理的性质得到边与边之间的关系，从而得到梯足滑动的距离.
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图所示：
依题意得AB=DE=25，BC=7，AD=4，AC⊥EC，求EB的长度.
在直角三角形ABC中，有
则
在直角三角形DEC中，DC=AC-AD=24-4=20
有，则
即
则EB=EC-BC=15-7=8
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的综合应用，解题关键在于找准直角三角形的三边，熟练运用勾股定理：斜边的平方等于两个直角边的平方和.
14．如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,此时AO=2.4m,若梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B外移了（
）（参考数据取1.4,取1.7,取1.8）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.8m
B．1.5m
C．0.9m
D．0.4m
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得出结论．
【详解】
解：∵Rt△OAB中，AB=2.6m，AO=2.4m，
∴OB=
=
=1m；
同理，Rt△OCD中，
∵CD=2.6m，OC=2.4-0.5=1.9m，
∴OD=
=
=≈1.8m，
∴BD=OD-OB=1.8-1=0.8（m）．
故选A．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
15．ABCD是一块正方形场地，小华和小萌在AB上取一点E，测量得，，这块场地的对角线长是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．30
C．40
D．50
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BC长，由正方形的性质可得对角线长.
【详解】
解：由正方形ABCD可知：
在直角三角形EBC中，根据勾股定理得:
，则，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得:
所以这块场地对角线长为40.
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键.
16．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60
m，AC＝20
m，则A、B两点间的距离是( )
A．200
m
B．40m
C．20m
D．50
m
【答案】B
【分析】
在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
【详解】
∵CB=60m，AC=20m，AC⊥AB，
∴，
故选B
【点睛】
考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边．
17．如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．8
C．9
D．7
【答案】D
【分析】
先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.
【详解】
解：楼梯的水平宽度=，
∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，
∴地毯的长度至少为：3+4=7米，
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.
18．如图，一根长25m
梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15m
B．9m
C．8m
D．7m
【答案】C
【分析】
利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．
【详解】
解：梯子顶端距离墙角地距离为=24(m)，
顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为=15(m)，
15m-7m=8m．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为尺，根据题意，可列方程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
首先设水深为尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程．
【详解】
解：设水深为尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：,
，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．21世纪教育网版权所有
20．2018年最强台风“山竹”9月
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)16日上午11时登陆广东深圳，造成巨大的经济损失.如图台风“山竹”把一棵大树在离地面
5m
处折断，树顶落在离树根
12m
处，则大树在折断前高为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18m
B．13m
C．17m
D．12m
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，然后再代入数计算，可得到AB的长，再用CA+AB即可得到答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，
∴AC2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+BC2=AB2，
52+122=AB2，
解得：AB=13，
∴这棵大树折断前高度估计为：13+5=18米．
故选：Awww.21-cn-jy.com
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．www-2-1-cnjy-com
21．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树的顶端落在离树干4米远处，这棵大树在折断前的高度为(
).
A．5米
B．7米
C．8米
D．9米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
由勾股定理得：断下的部分为5（米），折断前为5+3=8（米）．
故选C．
【点睛】
本题考查了学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．
22．如图，一圆柱体的底
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．2
D．14
【答案】A
【解析】
【分析】
此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：底面周长为20cm，半圆弧长为10cm，
画展开图形如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得：AD＝10cm，CD＝4cm，
根据勾股定理得：AB＝＝＝2（cm）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．
23．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为
2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．米
B．米
C．2米
D．米
【答案】A
【分析】
先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意可得：，
在中，
，米，，
，
，
，
，
小巷的宽度为（米）.
故选.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.
24．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5米
B．6米
C．7米
D．8米
【答案】D
【分析】
由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】
∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为5，∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
25．如图，某人欲横渡一条河，由于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200
m，结果他在水中实际游了520
m，则该河流的宽度为（
）21·世纪
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．480
m
B．380
m
C．580
m
D．500
m
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意发现：他的入水点和实际到达的点和应到的点三个点组成了一个直角三角形．根据勾股定理进行计算．
【详解】
在直角三角形ABC中，由已知得BC=200m，AB=520m，
根据勾股定理，得
AC=（m）
故选A.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出几何图形，正确理解题意中涉及的数据，熟练运用勾股定理计算是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
26．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12≤b≤13
B．12≤b≤15
C．13≤b≤16
D．15≤b≤16
【答案】D
【分析】
此题涉及的知识点是解直角三角形，根据题目中底面半径是5，高是12，可以算出另一边，吸管在罐外部分剩余3，不同放置就可以算出总长
【详解】
底面半径是5，高是12，则吸管最长放在罐里的长度为13，加上罐外的3，总长为16；如果吸管竖直放置，则罐里最短长为12，加上罐外3总长为15，所以吸管总长范围为：
故选D
【点睛】
此题重点考察学生对直角三角形的解的应用，勾股定理是解题的关键
27．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．9cm
【答案】B
【解析】
【分析】
两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
【详解】
解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为cm，
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是=7cm．
故选：B．
【点睛】
考查了勾股定理的应用，本题需注意的知识点为：最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形．
28．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18m
B．10m
C．14m
D．24m
【答案】A
【分析】
根据勾股定理可求出AB的长，AB+BC即为树在折断之前的高度.
【详解】
解：∵BC=8m，AC=6m，∠C=90?，
∴AB=m，
∴树高10+8=18m.
故选A.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用.
29．国家八纵八横高铁网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6000米
B．5000米
C．4000米
D．2000米
【答案】B
【分析】
根据题意可得：∠ABC=90?，AB=4000米，BC=3000米，然后利用勾股定理求出AC.
【详解】
解：如图，连接AC，
依题意得：∠ABC=90?，AB=4000米，BC=3000米，
则由勾股定理得：5000米.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选B.
【点睛】
本题考查了方位角和勾股定理.
30．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为cm，那么最短路径AB长(
)【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．6
C．平方后为208的数
D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据画出示意图,连接AB,根据圆的周长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)公式算出底面圆的周长,AC=×底面圆的周长,再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AB的长即可.
【详解】
接AB,
∵圆柱的底面半径为cm，
∴AC=
,
Rt△ACB中,AB2=AC2+CB2=36+64=100,
∴AB=10cm,
即蚂蚁爬行的最短路径长为10cm.
故选D.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，平面展开图---
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.
二、填空题
31．如图，客船以24海里/时的速度从港口向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口向东南方向航行，则1小时后两船相距______海里．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】30
【分析】
根据勾股定理直接计算两船的速度即可．
【详解】
解：∵客船以24海里/时的速度从港口
A
向东北方向航行，
货船以18海里/时的速度同时从港口
A
向东南方向航行，
∴客船与货船方向的夹角为，
且客船行驶1小时的距离为24海里，货船行驶1小时的距离为18海里，
故两船1小时后的距离为海里，
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的实际应用，在实际问题中找到直角三角形是解题的关键．
32．东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4.2尺．
【分析】
根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故答案为：4.2尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用，理解勾股定理，准确画出示意图以及表示出各边长是解题关键．
33．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】13
【分析】
设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
34．如图，高的教学楼前有一颗高的大树，它们相距，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10
【分析】
根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理求解即可.
【详解】
设楼顶为点A，树顶为点B，与树顶平行的到楼的距离为BC，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意，得
AC=14-6=8m，BC=6m
在Rt△ABC中，m
至少要飞行10m，
故答案为：10.
【点睛】
此题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握，即可解题.
35．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了______米（的长）（假设绳子是直的）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】9
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
答：船向岸边移动了9米．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
三、解答题
36．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点．已知，，．问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10km
【分析】
设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解．
【详解】
解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152，
同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102，
若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD2，
x2+152=（25-x）2+102，
解得：x=10km；
答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】
此题主要考查的是勾股定理的应用，根据CE=DE得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键．
37．《算法统宗》是中国古代
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】尺
【分析】
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．
【详解】
解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+（x-4）2，
解得：x=，
∴秋千的绳索长为尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
38．若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求地毯的长是多少米？
（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？
【答案】（1）7米；（2）140元
【分析】
（1）首先利用勾股定理求出AC的长度，然后利用平移的知识即可得出地毯的长；
（2）首先计算出地毯的面积，然后用面积乘以10即可得出答案．
【详解】
（1），
，
，
∴地毯的长为7m；
（2）地毯的面积为，
∴铺这个楼梯所需的花费为（元）．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及平移的相关知识，根据勾股定理求出AC的长度是关键．
39．如图是某体育广场上的秋千，秋千静
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)止时，其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2
m，此时秋千与静止位置时的水平距离为1.5
m，请你根据以上数据计算秋千摆绳的长度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
根据题意画出图形，表示出图形中相关线段的长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：如图，作BE⊥OA，垂足为E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得，，，，
∴，．
设，则．
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得．
答：秋千摆绳的长度为．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确表示出各边长，运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．【版权所有：21教育】
40．小明想知道学校旗杆的高
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子拉展后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m（绳子下端与旗杆根部的距离），请你帮小明计算旗杆的高．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】12m．
【分析】
设的长是m，则的长是m，在中，由勾股定理得，据此代入，结合方程思想即可解题．
【详解】
解：如图，表示旗杆，表示拉展的绳子，设的长是m，则的长是m，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在中
，
∴
整理得：
解得：
答：旗杆的高是12m．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
41．如图，一架2.5m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，则梯子底端B也外移0.4m吗？为什么？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】不是，理由见解析.
【分析】
先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得出结论．
【详解】
解：如图，设梯子下滑至CD，
∵Rt△OAB中，AB=2.5m，AO=2.4m，
∴OB=m，
同理，Rt△OCD中，
∵CD=2.5m，OC=2.4-0.4=2m，
∴OD=m，
∴BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8（m）．
答：梯子底端B向外移了0.8米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
42．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】风筝距离地面的高度AB为12米．
【分析】
设，从而可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】
由题意得：是直角三角形，，米
设，则
在中，由勾股定理得：，即
解得（米）
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意，得出AB与AC的关系是解题关键．
43．如图，梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】（1）24米；
（2）8米．
【分析】
（1）根据勾股定理计算即可；
（2）计算出长度，根据勾股定理求出，问题得解．
【详解】
（1）根据题意得，
∴梯子顶端距地面的高度米；
（2）=米，
∵
∴根据勾股定理得，米，
∴米，
答：梯子下端滑行了8米．
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【点睛】
本题考查勾股定理的应用，难度不大，解题的关键在于根据题意得到，根据勾股定理解决问题．
44．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．
（1）台风中心经过多长时间从移动到点？
（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作
【分析】
（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算；
（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】
解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km，
所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，
答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；
（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，
∵台风速度为15km/h，
∴210÷15=14时，270÷15=18，
∵早上6：00接到台风警报，
∴6+14=20时，6+18=24时，
∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．
45．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里.它们离开港口一小时后分别位于点处，且相距海里.如果知道“远航”号沿北偏东方向航行,你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗?请说明理由.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．
【详解】
由题意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，
∵，即
∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，
∴“海天”号沿北偏东40°方向航行．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．
46．如图，一根直立于水中的芦苇高出水面1米，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离米，求芦苇的长度为多少米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】芦苇的长度为5米
【分析】
根据勾股定理得出方程进而解答即可．
【详解】
解：设米，则米
米，，
，
，
米
答：芦苇的长度为5米．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出方程解答．
47．如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为防止梯子滑落，某人把梯子的底端沿方向推动到点，此时，求梯子的底端沿方向移动的距离
(结果保留两位小数)．
(参考数据：，
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】约为1.2m
【分析】
根据等腰直角三角形的性质求出OC，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出OB，结合图形计算，得到答案．
【详解】
∵∠COD＝90°，∠CDO＝45°，
∴OC＝OD＝4，
由勾股定理得，CD＝＝，
∴AB＝，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，
∴∠OAB＝30°，
∴OB＝AB＝2，
∴BD＝OD?OB＝4?2≈1.2，
答：梯子的底端D沿DO方向移动的距离BD约为1.2m．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．
48．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么它的底端也滑动1米吗？试说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】不是，底端B滑动距离为米
【分析】
根据勾股定理求出CB的长，由题意得出CA′的长，最后根据勾股定理求出的长，进而得出结论．
【详解】
解：底端B滑动距离不是1米，理由如下：
由题意知，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10米，AC＝8米，
由勾股定理得，CB＝6米，
∵梯子的顶端下滑1米，即AA′＝1米，
∴CA′＝7米，
由勾股定理得，米，
∴米，
答：它的底端B滑动距离为米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
49．如图，铁路上A、B两点相距2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)5km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】E点应建在距A站10千米处．
【分析】
关键描述语：产品收购站E，使得C、D两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【详解】
解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．
故：E点应建在距A站10千米处．
【点睛】
本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
50．一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）24米；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
【分析】
（1）应用勾股定理求出AC的高度，即可求解；
（2）应用勾股定理求出B′C的距离即可解答．
【详解】
（1）如图，在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2，得
AC==24(米)
答：这个梯子的顶端距地面有24米．
（2）由A'B'2=A'C2+CB'2，得
B'C==15(米)，
∴BB'=B'C﹣BC=15﹣7=8(米)．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
51．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端距离地面的距离为，底端远离墙的距离为，当它的顶端下滑时，底端在地面上水平滑行的距离是______.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】()m
【分析】
先根据题意作出图形，然后先利用勾股定理求出AB的长度，然后再利用勾股定理求出OD的长度，从而可得到BD的长度.
【详解】
如图,根据题意有AC=2,OA=4,OB=3，AB=CD,BD即为所求.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OA=4,OB=3
∴
∵AC=2,
∴
∴
∴
故答案为：()m.
【点睛】
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.
52．笔直的河流一侧有一旅游地C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?),河边有两个漂流点A．?B．其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH测得BC=5千米，CH=4干米，BH=3千米，
(1)问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线?请通过计算加以说明；
(2)求原来路线AC的长.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线，见解析；（2）千米
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）是，
理由是：在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CHB中，
∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2=
BC2=25
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路.
（2）设AC=x
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-3）2+42
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
53．如图，一架10米长的梯子斜靠在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则求此时梯顶离路灯的距离.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2米
【分析】
根据勾股定理分别求出BO、A'O的长，即可求出此时梯顶离路灯的距离.
【详解】
解：由题意得：BO=
B'O=BO+BB'=6+2=8，
∴A'O=
∴AA‘=AO-A'O=8-6=2(米)；
故答案为2米.
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，注意梯子的长度不变进而求出是解题关键．
54．如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米处，已知木杆原长25米，求木杆断裂处离地面多少米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】木杆断裂处离地面12米．
【分析】
设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设木杆断裂处离地面x米，
由题意得：x2＋52＝（25?x）2，
解得x＝12，
答：木杆断裂处离地面12米．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合思想的应用．
55．一只渔船在灯塔C的正西方向10海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏东30°方向行驶．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）多长时间后，渔船距灯塔最近？
（2）多长时间后，渔船行驶到灯塔的正北方向？此时渔船距灯塔有多远？（其中：202-102=17.32）
【答案】（1）0.25小时后，船距灯塔最近；（2）1小时后，船到灯塔的正北方向，此时船距灯塔有17.3海里．
【分析】
（1）根据方向角可知∠CAD=60°，由三角函数可求AD的长，根据时间=路程÷速度，列式计算即可求解；
（2）根据题意求出AB的长，再根据时间=路程÷速度，列式计算即可求解．
【详解】
（1）如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意可知，当船航行到D点时，距灯塔最近，
此时，CD⊥AB．
因为∠BAC=90°-30°=60°，
所以∠ACD=30°．
所以AD=AC=×10=5（海里）．
又因为5÷20=0.25（小时），
所以0.25小时后，船距灯塔最近．
（2）当船到达灯塔的正北方向的B点时，BC⊥AC．
此时∠B=30°，
所以AB=2AC=2×10=20（海里）．
所以20÷20=1（小时）．
所以BC2=AB2-AC2=202-102=17.32．
所以BC≈17.3（海里）．
即1小时后，船到灯塔的正北方向，此时船距灯塔有17.3海里．
【点睛】
本题主要考查了方向角含义，三角函数，解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
56．为丰富少年儿童的业余
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C和点D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A点多远时，才能使它到C、D两所学校的距离相等？2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10
km
【分析】
把具体的位置关系转化成数学几何模型，找到等量关系，再设未知数，求出未知量即可.
【详解】
解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△EAC和Rt△EBD中，
CE2=AE2+AC2=x2+152，
?DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．
?因为点E到点CD的距离，所以CE=DE．
所以CE2=DE2．即x2+152=(25-x)2+102．
所以x=10．
?因此，阅览室E应建在距A点10km处.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的实际应用，转化成几何模型是解题的关键.
57．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【分析】
（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，
所而确定C港在A港的什么方向.
【详解】
（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点睛】
本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
58．数学综合实验课上，同学们在测量学校
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】旗杆的高度为15米．
【分析】
因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度AB=x米，则绳子的长度AC=(x+2)米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】
设旗杆高AB=xm，则绳子长为AC=(x+2)m.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，
所以x2+82=(x+2)2.
解得x=15m.
所以旗杆的高度为15米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，勾股
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
59．如图，铁路MN和公路PQ在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，
（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由
（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】(1)见解析;(2)16秒.
【解析】
【分析】
（1）过点A作AC⊥ON，求出AC的长，即可判断是否受影响；
（2）设当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失，根据勾股定理即可求出BD的长，即可求出影响的时间.
【详解】
（1）如图，过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米＜200，故受到火车的影响，
（2）当火车到B点时开始对A处有噪音影响，此时AB=200，
∵AB=200，AC=120，
利用勾股定理得出BC=160，同理CD=160.即BD=320米，
∴影响的时间为秒.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
60．如图，有两棵树，一棵高18米，另一棵高10米，两树相距15米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】17米
【解析】
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．21教育网
【详解】
解：过点C作于点E，连接AC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意知：四边形BDCE是长方形．
米，米．
米．
由勾股定理得米．
答：小鸟至少飞行17米．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
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3.3
勾股定理的简单应用
【基础训练】
一、单选题
1．如图，有一长、宽、高分别为12cm，4c
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m，3cm的木箱，在它里面放一根细木条（木条的粗细忽略不计）要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．13cm
B．14cm
C．15cm
D．16cm
2．如图，有一个池塘，其底面是边长为1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10尺
B．11尺
C．12尺
D．13尺
3．如图是一个长为4，宽为3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5≤a≤12
B．12≤a≤3
C．12≤a≤4
D．12≤a≤13
4．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（ ）
A．0m
B．1m
C．2m
D．3m
5．人在平地上以1.5
m/s的速度向西走了80
s，接着以2
m/s的速度向南走了45
s，这时他距离出发点( )
A．180
m
B．150
m
C．120
m
D．100
m
6．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18m
B．13m
C．17m
D．12m
7．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距( )www-2-1-cnjy-com
A．6海里
B．24海里
C．30海里
D．42海里
8．小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了5根和12根火柴棒，那么他摆完这个直角三角形时共用火柴棒( )
A．13根
B．18根
C．25根
D．30根
9．如图，在一块平地上，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．一定不会
B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
10．王英在荷塘边观看荷花
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120cm
B．cm
C．60cm
D．cm
11．如图，一个梯子AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.9米
B．1.3米
C．1.5米
D．2米
12．如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式.根据小杰所说的，最后应向东走（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5千米
B．6千米
C．7千米
D．8千米
13．一架长25m的云梯,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7m,如果梯子的顶端沿墙下滑了4m,那么梯足将滑动（
）
A．5m
B．8m
C．13m
D．15m
14．如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,此时AO=2.4m,若梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B外移了（
）（参考数据取1.4,取1.7,取1.8）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.8m
B．1.5m
C．0.9m
D．0.4m
15．ABCD是一块正方形场地，小华和小萌在AB上取一点E，测量得，，这块场地的对角线长是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．30
C．40
D．50
16．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60
m，AC＝20
m，则A、B两点间的距离是( )
A．200
m
B．40m
C．20m
D．50
m
17．如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．8
C．9
D．7
18．如图，一根长25m
梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15m
B．9m
C．8m
D．7m
19．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为尺，根据题意，可列方程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
20．2018年最强台风“山竹”9月16日
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)上午11时登陆广东深圳，造成巨大的经济损失.如图台风“山竹”把一棵大树在离地面
5m
处折断，树顶落在离树根
12m
处，则大树在折断前高为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18m
B．13m
C．17m
D．12m
21．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，树的顶端落在离树干4米远处，这棵大树在折断前的高度为(
).21教育网
A．5米
B．7米
C．8米
D．9米
22．如图，一圆柱体的底面圆周长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是(
)【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．2
D．14
23．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．米
B．米
C．2米
D．米
24．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5米
B．6米
C．7米
D．8米
25．如图，某人欲横渡一条河，由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200
m，结果他在水中实际游了520
m，则该河流的宽度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．480
m
B．380
m
C．580
m
D．500
m
26．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12≤b≤13
B．12≤b≤15
C．13≤b≤16
D．15≤b≤16
27．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．9cm
28．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18m
B．10m
C．14m
D．24m
29．国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6000米
B．5000米
C．4000米
D．2000米
30．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为cm，那么最短路径AB长(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．6
C．平方后为208的数
D．10
二、填空题
31．如图，客船以24海里/时的速度从港口向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口向东南方向航行，则1小时后两船相距______海里．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
32．东汉《九章算术》中，“折竹
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)抵底”问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？_____．【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34．如图，高的教学楼前有一颗高的大树，它们相距，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行______．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
35．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了______米（的长）（假设绳子是直的）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
36．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点．已知，，．问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
37．《算法统宗》是中国古代
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
38．若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求地毯的长是多少米？
（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？
39．如图是某体育广场上的秋千，秋千静止时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2
m，此时秋千与静止位置时的水平距离为1.5
m，请你根据以上数据计算秋千摆绳的长度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
40．小明想知道学校旗杆的高
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子拉展后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m（绳子下端与旗杆根部的距离），请你帮小明计算旗杆的高．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
41．如图，一架2.5m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，则梯子底端B也外移0.4m吗？为什么？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
42．如图，小旭放风筝时，风
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
43．如图，梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
44．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．
（1）台风中心经过多长时间从移动到点？
（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
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45．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里.它们离开港口一小时后分别位于点处，且相距海里.如果知道“远航”号沿北偏东方向航行,你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗?请说明理由.2-1-c-n-j-y
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46．如图，一根直立于水中的芦苇高出水面1米，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离米，求芦苇的长度为多少米？21教育名师原创作品
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47．如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为防止梯子滑落，某人把梯子的底端沿方向推动到点，此时，求梯子的底端沿方向移动的距离
(结果保留两位小数)．
(参考数据：，
)
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48．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么它的底端也滑动1米吗？试说明理由．21·世纪
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49．如图，铁路上A、B两点相距25km，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
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50．一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
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51．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端距离地面的距离为，底端远离墙的距离为，当它的顶端下滑时，底端在地面上水平滑行的距离是______.21·cn·jy·com
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52．笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)漂流点A．?B．其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH测得BC=5千米，CH=4干米，BH=3千米，
(1)问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线?请通过计算加以说明；
(2)求原来路线AC的长.
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53．如图，一架10米长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则求此时梯顶离路灯的距离.
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54．如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米处，已知木杆原长25米，求木杆断裂处离地面多少米？
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55．一只渔船在灯塔C的正西方向10海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏东30°方向行驶．
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（1）多长时间后，渔船距灯塔最近？
（2）多长时间后，渔船行驶到灯塔的正北方向？此时渔船距灯塔有多远？（其中：202-102=17.32）
56．为丰富少年儿童的业余文
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C和点D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A点多远时，才能使它到C、D两所学校的距离相等？21cnjy.com
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57．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
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58．数学综合实验课上，同学们在测量学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？21世纪教育网版权所有
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59．如图，铁路MN和公路PQ在点O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，
（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由
（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间.
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60．如图，有两棵树，一棵高18米，另一棵高10米，两树相距15米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
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