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3.3
勾股定理的简单应用
【提升训练】
一、单选题
1．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（4+）cm
B．5cm
C．2cm
D．7cm
【答案】B
【分析】
首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC=6cm，PC=BC，求出PC=×6=4cm，在Rt△ACP中，根据勾股定理求出AP的长．
【详解】
侧面展开图如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC=3cm，
∵PC=BC
∴PC=×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP2=AC2+CP2，
∴AP==5．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
2．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米。则梯子顶端A沿墙下移了（）米.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1.4
B．1.2
C．1.3
D．1.5
【答案】C
【分析】
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】
在Rt△ACB中,
，
∴AC=2，
∵BD=0.9，
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中,
，
∴EC=0.7，
∴AE=AC?EC=2?0.7=1.3.
故选C.
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，解题关键在于掌握勾股定理结合实际的实际运用.
3．如图，由于受台风的影响，一颗大树在离地面6
m处折断，顶端落在离树干底部8
m处，则这棵树在折断前的高度是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8m
B．10m
C．16m
D．18m
【答案】C
【分析】
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：由题意得BC=8m，AC=6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10（米）．
所以大树的高度是10+6=16（米）．
故答案为16．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
4．如图，小巷左右两侧是竖直的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2.2米
B．2.3米
C．2.4米
D．2.5米
【答案】A
【分析】
将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴
在Rt△A‘BD中，
∵∠A’BD=90°，A’D=2米，
∴
∴
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米
即小巷的宽度为2.2米，故答案选A
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键
5．如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（
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A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．
【详解】
解：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC==2π=6，矩形的宽AC=8，
在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：AB=≈10．
故选A．21
cnjy
com
【点睛】
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．21
cnjy
com
6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（
）．
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A．2.5
B．3
C．1.5
D．3.5
【答案】A
【解析】
【分析】
设，利用勾股定理用x表示出和的长，进而求出x的值，即可求出的长度．
【详解】
解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
答：梯子的长为．
故选．
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【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到为梯子长等量关系是解题的关键．
7．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm．
所以h的取值范围是11≤h≤12．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选C
【点睛】
考核知识点：勾股定理运用.把问题转化为直角三角形模型是关键.
8．如图示，图中四边形都是正方形，则字母B所代表的正方形的面积是
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．144
B．13
C．12
D．194
【答案】A
【解析】
设B边长为b，直角三角形斜边的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长为c，另一直角边为a，则c2=169，a2=25，在该直角三角形中，由勾股定理得：b2=c2-a2=169-25=144，所以，正方形B的面积是144，故选A.
9．如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（
）米。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．3
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
两棵树的高度差为AE=AB?CD=6?2=4m，间距EC为5m，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离AC=
=
(m).
故选D.
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形.
10．在A地有甲、乙两支部
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)队，接到命令后分别沿着东北方向与西北方向参加长江大堤的抗洪抢险.行进的速度都为每小时60千米，结果甲、乙两支部队分别用了1小时和1小时20分赶到指定的地点B处和C处，则BC之间的距离为（
）千米.
A．80
B．60
C．100
D．120
【答案】C
【分析】
由题意可判断CA⊥BA，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
解：如图，由题意得：CA⊥BA，且BA=60km，CA=60×=80km，
所以在Rt△ABC中，(km)，
故选C.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，解题时从实际问题中得出直角三角形是求解的关键.
11．如图，长方体的底面边长分别为2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)cm和4cm，高为5cm.
若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一周到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
cm
B．12
cm
C．13cm
D．15
cm
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，将长方体的侧面展开，连接，根据两点之间线段最短可知线段的长即为所求的最短距离，再由勾股定理求PQ的长即可.
【详解】
将长方体的侧面展开，如图，连接，则的长即所求的最短距离，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意可知，（cm），cm.
在中，由勾股定理得，
，
∴cm.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，把立体图形转化成平面图形，根据两点之间线段最短确定线段的长即为最短距离是解决问题的关键．
12．如图，架在消防车上的云梯AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为(???
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．(2+2)m
B．(4+2)m
C．(5+2)m
D．7m
【答案】B
【分析】
先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求.
【详解】
解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2
.
故答案为B
【点睛】
本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键.
13．如图，将一根长的筷子，置于底面半径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】
当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
此时，AB==13cm，
故h=24-13=11cm．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选C．
【点睛】
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
14．如图，小明为了测量校园里旗杆的高度，将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置，在处测得旗杆顶端的仰角为60°若测角仪的高度是，则旗杆的高度约为（
）
（精确到.参考数据：）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB，根据矩形的性质得出BC=DE=5m根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=10，根据勾股定理可得的长，根据AB=AE+BE=AE+CD算出答案.
【详解】
过D作DE⊥AB于点E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，
∴∠ADE=60°．
∴∠DAE=30°．
∵BC=DE=5m，
AD=2DE=10
∴，
∴AB=AE+BE=AE+CD=8.65+1.6=10.25m≈10.3m．
故答案为:D
【点睛】
本题考查了仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出30°直角三角形模型是解决问题的关键.
15．如图，长宽高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面亮到现点B，则它爬行的最短路程是(
)【出处：21教育名师】
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A．
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【分析】
将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案.
【详解】
解：将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，对角线长分别为：
∴从点A出发沿着长方体的表面爬行到达点B的最短路程是3.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了两点之间线段最短，解答时根据实际情况进行分类讨论，灵活运用勾股定理是解题的关键.
16．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面距离为米.现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么的值（
）
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A．小于米
B．大于米
C．等于米
D．无法确定
【答案】A
【分析】
由题意可知OA=2，OB=7，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=A′B′，又由题意可知OA′=3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【详解】
解：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7
由勾股定理得：AB=，
由题意可知AB=A′B′=，
又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=2，
∴BB′=7-2＜1．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．
17．如图，将一根长为24c
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（
）
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A．12cm≤h≤19cm
B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm
D．5cm≤h≤12cm
【答案】C
【分析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB=
=13cm，
故h=24-13=11cm．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选C．
【点睛】
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
18．如图一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的12米处，则大树断裂之前的高度为（
）
A．9米
B．15米
C．21米
D．24米
【答案】D
【分析】
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】
由题意得BC=9，AC=12，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==15米，
所以大树的高度是15+9=24米，
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容以及熟记9，12，15这组勾股数是解题的关键.
19．如图，一架长5米的梯子AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（
）
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A．0米
B．1米
C．2米
D．3米
【答案】B
【分析】
已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)勾股定理计算另一条直角边；在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，OC=4-1=3，再根据勾股定理求得OD的长即可．
【详解】
（1）AO=（米）．
（米），
BB1=OB1-OB=4-3=1（米）．
故选B
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．
20．如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米．如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．等于1米
B．大于1米
C．小于1米
D．以上都不对
【答案】A
【分析】
根据题意要求出下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．
【详解】
解：由题意得：在Rt△AOB中，OA=4米，AB=5米，
∴OB=
=3米，
在Rt△COD中，OC=3米，CD=5米，
∴OD==4米，
∴AC=OD-OB=1米．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．
21．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(
)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．80米
B．100米
C．72米
D．112米
【答案】A
【分析】
实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】
根据图中数据，运用勾股定理求得AB=m，
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
22．如图，有一个水池，其
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15尺
B．16尺
C．17尺
D．18尺
【答案】C
【分析】
我们可以将其转化为数学几何图形，如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图所示，根据题意，可知EB'的长为16尺，则B'C=8尺，设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：依题意画出图形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设芦苇长AB=AB′=x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)尺，则水深AC=（x-2）尺，
因为B'E=16尺，所以B'C=8尺
在Rt△AB'C中，82+（x-2）2=x2，
解之得：x=17，
即芦苇长17尺．
故选C．2·1·c·n·j·y
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
23．如图，一圆柱高BC为20cm，底面周长是10cm，一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食，且，则最短路线长为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20cm
B．13cm
C．14cm
D．18cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．
【详解】
解：如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则，，
，，
，
由勾股定理得：，
即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理和平面展开最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．
24．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．等于1米
B．大于1米
C．小于1米
D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用勾股定理求出底端到墙的距离BE与BF的长，滑动的距离即BF﹣BE的值．
【详解】
如图，
AC＝EF＝10米，AB＝8米，AE＝1米，求CF；
∵∠B＝90°，由勾股定理得，BC＝6米，
又∵AE＝1米，BE＝7米，EF＝10米，由勾股定理得，BF＝米，
∵＞，即＞7，
∴﹣6＞1，
故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，明白是要求梯足又向后移了多少即CF的长，而不是BF的长是解题的关键．
25．中国数学史上最先完
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．5
C．6
D．9
【答案】C
【分析】
据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【详解】
将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，
x+4y=6，
所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=18求出是解决问题的关键．
26．如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．18
B．48
C．120
D．72
【答案】D
【分析】
要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
点，的最短距离为线段的长.
∵已知圆柱的底面直径，
∴，
在中，
，，
∴，
∴从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为.
故选D.
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
27．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6??
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【分析】
MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
【详解】
过A作直线a的垂线，并在此垂线上取
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB，∴BE．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．
所以AM+NB的最小值为8．
故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．
28．如图．在Rt△ABC中，∠ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB=6，BC=3，则PE+PF=（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】如图作BM⊥AC于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M，连接PD，根据勾股定理可求得AC的长，再根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=AD=DC，利用面积法可求得BM的长，再根据S△ABD=S△ADP+S△BDP，即可求得PE+PF的长.
【详解】如图作BM⊥AC于M，连接PD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ABC=90°，AD=DC，AB=6，BC=3，
∴BD=AD=DC，AC=
,
∵
?AB?BC=?AC?BM，
∴BM=，
∴S△ABD=S△ADP+S△BDP，
∴?AD?BM=?AD?PF+?BD?PE，
∴PE+PF=BM=，
故选A.
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、等积法的应用，正确添加辅助线是解本题的关键.
29．如图,A、B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点,
则的最大值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．6
【答案】C
【解析】
试题解析：作点关于直线的对称点,连接并延长,与直线的交点即为使得取最大值时对应的点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
此时
过点作于点如图,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
四边形为矩形，
的最大值为：
故答案为：
30．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等边三角形，AB＝2，则点A的坐标为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（2，）
B．（1，2）
C．（1，）
D．（，1）
【答案】C
【解析】
试题分析：先过点A作AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)⊥OB，根据△AOB是等边三角形，求出OA=OB＝AB，OC=BC，∠AOB=60°，根据OB的长，求出OC的长，再根据勾股定理求出AC的值，从而得出点A的坐标．
解：
过点A作AC⊥OB,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，OC=BC，∠AOB=60°，
∴OC=1，
∴AC=，
∴点A的坐标是(1,).
故选C.
二、填空题
31．《九章算术》中的“引
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】12
【分析】
我们可以将其转化为数学几何图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深．
【详解】
解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x?1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52＋（x?1）2＝x2，
解得：x＝13，
即水深12尺，
故答案为：12
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键．
32．如图，有两条公路OM、O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)N相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】80
12
【分析】
作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】
解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
33．一架长为10m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端与墙的距离为6m，如果梯子顶端沿墙下滑2m，那么梯子底端将滑动_____m．
【答案】2
【分析】
梯子下滑前，实施一次勾股定理，下滑后，实施一次勾股定理，比较梯子下滑前后到墙的距离，计算这两个距离的差就是下端滑行的距离．
【详解】
解：在Rt△ABO中：AO＝（米），
∵梯子的顶端下滑了2m，
∴AC＝2米，
∴CO＝6米，
在Rt△COD中：DO＝（米），
∴BD＝DO﹣BO＝8﹣6＝2（米），
故答案为：2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题额关键．
34．《九章算术》中有一个“折竹抵地”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方程是解题关键．
35．如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端下落了__________米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】1
【分析】
在中用勾股定理可得AC，梯子AB=DE长，在中用勾股定理可得CE的长，即可计算AE．
【详解】
解：中，
中，，梯子AB=DE长，
，
；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．
三、解答题
36．如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．
（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？
（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析．
【分析】
（1）利用勾股定理，即可求出答案；
（2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得，，
∴
∴
即顶端距地面有24米
（2）她的说法不正确；
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴梯子水平滑动了8米，
∴她的说法不正确．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用．
37．如图，A村和B村在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)河岸CD的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
（2）求铺设水管的最省总费用．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）100000元
【分析】
（1）延长到，使，连接，交于，则为所求；
（2）过作，交的延长线于，得出矩形，求出，长，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】
解：（1）延长到，使，连接，交于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则在上选择水厂位置是时，使铺设管道的费用最省；
（2）过作，交的延长线于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
四边形是矩形，
千米，千米，
千米，
千米千米千米，
在中，由勾股定理得：（千米），
，，
，
千米，
铺设水管的最最省总费用是：20000元千米千米元．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，矩形的性质和判定，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
38．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD
(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2.9．
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，代入数可得答案．
【详解】
解：由题意可得：米，，
，
米，米，
米，
，
，
，
，
，
则（米．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理得应用，熟悉相关性质是阶梯的关键．
39．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少?
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】101寸
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，
∴AE=（r1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
40．某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析，13km
【分析】
作点B关于MN的对称点C，连接AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交MN于点Q，连接QB，此时QA+QB的值最小．作AD⊥BC于D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC即可；
【详解】
解：作点关于的对称点，连接交于点，则点为所建的出口；
此时、两城镇到出口的距离之和最短，最短距离为的长．
作于，则，AE⊥MN，BF⊥MN
∴四边形AEFD为矩形
∴，
在中，，，
∴由勾股定理得：
∴这个最短距离为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查作图-应用与设计
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
41．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）从C岛返回A港所需的时间为3小时；（2）C岛在A港的北偏西42°
【分析】
（1）Rt△ABC中，利用勾股定理求得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BD的长度，则CD=BC-BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度；
（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC=90°．由方向角的定义作答．
【详解】
解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝=＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
42．如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即）．量得，，求点A和点B间的距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】点和点间的距离为
【分析】
在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AB长即可．
【详解】
解：∵．
∴，
∴在中，．
∵，，
∴．
答：点和点间的距离为．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
43．如图，在中，，点D是BC的中点，连接AD，，BE分别交AC，AD于点E、，若，求AF的长度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据点D是BC的中点得到BD=5
，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF=5，最后由线段的差可得结论．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，结合题干中条件找出对应量是关键．
44．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】22米
【分析】
先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度=AB+BC解答即可．
【详解】
解：如下图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，
∴BC=，
∴旗杆的高=AB+BC=9+15=24m，
答：这根旗杆被吹断裂前有24米高．
【点睛】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，再根据勾股定理进行解答．
45．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为，再沿方向前进到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，求的高度（结果保留根号）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由题意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，设BC=x，表示出BD，CD和AC的长，利用AB=60得到方程，求出x，最后根据DC=x得到结果．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：由题知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，
∴∠BDC=30°，△ACD是等腰直角三角形，设BC=x，
∴BD=2x，
∴CD==x=AC，
∴AB=AC-BC=x-x=（-1）x=60，
解得：x==，
∴DC=x=，
答：塔高约为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用勾股定理的知识求解，难度一般．
46．本题分为A，B两题，可以自由选择一题，你选择
题
A：如图，小明想知道学校旗杆的高度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为多少米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B：如图，AB为一棵大树，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】A题：8米；B题：m
【分析】
A题：设出旗杆的高度，利用勾股定理解答即可；
B题：根据题意表示出AD、AC、BC的长，进而利用勾股定理求出AD的长，即可得出答案．
【详解】
解：A题：设旗杆的高度为x米，则绳子长为（x+2）米，
由勾股定理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为8米；
B题：由题意可得：BD=10m，BC=6m，
设AD=xm，则有：AC=m，
在Rt△ABC中，，
即，
解得：，
故AB=m，
答：树高AB为m．
【点睛】
本题考察勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
47．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．www.21-cn-jy.com
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．
【分析】
（1）过点A作AE⊥MN于点E
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE＝80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．
【详解】
解：（1）会受到影响．
过点A作AE⊥MN于点E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点A到铁路MN的距离为80米，
∴AE＝80m，
∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，
∴学校会受到影响；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，
在Rt△ABE中，
∵AB＝100m，AE＝80m，
∴BE＝＝＝60m，
∴BC＝2BE＝120m，
∵火车的速度是180千米/时＝50m/s，
∴t＝＝＝2.4s．
答：学校受到影响的时间是2.4秒．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．21教育网
48．如图，小东将升旗的绳子拉到旗
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】旗杆的高度为16米
【分析】
设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程，然后解方程即可求解．
【详解】
解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+4）米，
由勾股定理得：x2+122=(x+4)2，
解得：x=16，
答：旗杆的高度为16米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解答的关键．
49．已知：如图，在中，，点是线段上一点，过点作的垂线，交的延长线于点，于点，于点，若．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，，求的长度．
（3）在（2）问条件下求的长．
【答案】（1）证明见解析．（2）6．（3）12．
【分析】
(1)利用AAS证明两个三角形全等；
(2)根据全等三角形的性质，PQ=AN，AP=AN+NP，在直角三角形APQ利用勾股定理求解即可；
(3)利用角的平分线性质，判定PQ=PC，BC=BQ，在直角三角形ABC中实施勾股定理求解即可.
【详解】
（1）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴（角平分线的性质），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴，
在和中，
，
∴，
在中，根据勾股定理，
，
即，
解得：，
∴．
（3）在中，根据勾股定理，
，
即，
解得．
【点睛】
本题考查了三角形的全等，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，互余原理，熟练运用勾股定理是解题的关键.21·cn·jy·com
50．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
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（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且，测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）新路CH比原路CA少0.05千米；（3）．
【分析】
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA，则AH，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2-AH2=CB2-BH2，列出方程求解即可得到结果．
【详解】
（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
整理得：；
（2）∵CA，
∴AH，
在Rt△ACH中，，
即，
解得x=1.25，
即CA=1.25，
CA-CH=1.25-1.2=0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）设AH，则BH，
在Rt△ACH中，，
在Rt△BCH中，，
∴，
即，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，
51．如图，在离水面高度为5米的岸上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】米
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴（米），
∴BD=AB-AD=12-（米），
答：船向岸边移动了（12-）米．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
52．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点
C为一海港，且点
C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有
小时．
【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；
（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC?BC＝CD?AB
∴CD＝240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km）
∴EF＝140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20＝7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
53．一架梯子长米如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
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（1）求这架梯子的顶端到地面的距离；
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？
【答案】（1）这架梯子的顶端到地面距离为米；（2）梯子的底部在水平方向滑动了米
【分析】
（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理AO2＝AB2?BO2，即可求出梯子顶端距地面的高度；
（2）在Rt△A′OB′中，根据勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OB′2＝A′B′2?A′O2，先求出OB′的长，梯子底部在水平方向滑动的长度即是BB′＝OB′?OB的长．
【详解】
（1）由题可知，，，
在中，由勾股定理，得，
，
答：这架梯子的顶端到地面距离为米；
（2）由题可知，，当时，，
在中，由勾股定理，得，
，
．
答：梯子的底部在水平方向滑动了米．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求OB′的长度是解题的关键．
54．铁路上A,B两站（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
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【答案】收购站E到A站的距离为22km
【详解】
分析：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求EA长.
点睛：
如图,连接CD,并作线段CD的垂直平分线,与AB相交于点E,点E即为所建土特产收购站的地点.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
连接DE,CE
，设AE=x
km,
则BE=(50-x)
km
,
在Rt△ADE中,,
∴
,
在Rt△BCE中,
,
∴,
又DE=CE,
∴
,
解得x=22
.
∴收购站E到A站的距离为22km.
点睛：
勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.
55．如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，求这根棉线的长度最短．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】15cm
【分析】
要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为
cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：cm；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB==5cm；
∴AC+CD+DB=15cm；
故棉线的最短长度为．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)计算、平面展开－路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
56．某消防部队进行消防演练．在模拟演练
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为5
m，如图，即AD＝BC＝5
m，此时建筑物中距地面15.8
m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防车的车身高AB是3.8
m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】此消防车的云梯至少应伸长13
m
【分析】
先根据题意建立直角三角形，然后利用勾股定理求出AB的长度即可得出答案．
【详解】
解：因为CD＝AB＝3.8
m，
所以PD＝PC－CD＝15.8－3.8＝12（m）．
在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2，
所以AP2＝122＋52．
所以AP＝13
m．
答：此消防车的云梯至少应伸长13
m．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
57．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】没有危险，不需要暂时封锁
【分析】
过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=1300米．利用S△ABC=AB?CD=BC?AC得到CD=米．再根据米＞400米可以判断没有危险．
【详解】
解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=1200米，AC=500米，
所以，根据勾股定理有AB==1300米，
因为S△ABC=AB?CD=BC?AC，
所以CD===米，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
58．如图，有一个长方形的场院ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯．点D到灯E的距离是多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】点D到灯E的距离是17米
【分析】
在Rt△ABD中求出BD，然后在Rt△EBD中利用勾股定理即可得出DE的长度．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，∠BAD=90°，BD===15米，
在Rt△EBD中，∠EBD=90°，ED＝＝＝17米．
故点D到灯E的距离是17米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式．
59．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．【版权所有：21教育】
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甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【分析】
（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【详解】
解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB?CH＝AC?BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
60．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2；
（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a=2，b=4时，求这个四边形的周长；
（3）当a=1，b=2时
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在x轴、y轴上找一点C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，使△ABC为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用C1，C2，…，Cn在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法）
②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：_____，写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：_____．
【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，周长为；（3）①作图见解析；②（，0），（0，）（答案不唯一）.
【解析】
试题分析：（1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理；
（2）由a与b的值，利用勾股定理求出c的值，拼图后可知如图1所示时周长最大，求出最大周长即可；
（3）①分别以A、B为圆心，AB长为半径画
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圆，圆与坐标轴的交点即为满足条件的点，再作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与坐标轴的交点也是满足条件的点；
②根据①所作的图形即可得.
试题解析：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
（2）当a=2，b=4时，可得：c=，
如图1时：四边形的周长为：8+4；
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如图2时，四边形的周长为：12；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图3时，四边形的周长为：4+4；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上，图1是周长最大的四边形，周长为：8+4；
（3）①如图所示；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②如上图：
一个满足条件的在x轴上的点的坐标：如C3（﹣1，0）；
一个满足条件的在y轴上的点的坐标：如C5（0，2+）．
故答案为（﹣1，0）；（0，2+）（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，尺规作图等，利用数形结合思想、灵活应用所学知识进行解题是关键.
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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3.3
勾股定理的简单应用
【提升训练】
一、单选题
1．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（4+）cm
B．5cm
C．2cm
D．7cm
2．如图所示，一架梯子AB长2.5米，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米。则梯子顶端A沿墙下移了（）米.
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A．1.4
B．1.2
C．1.3
D．1.5
3．如图，由于受台风的影响，一颗大树在离地面6
m处折断，顶端落在离树干底部8
m处，则这棵树在折断前的高度是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．8m
B．10m
C．16m
D．18m
4．如图，小巷左右两侧是竖直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2.2米
B．2.3米
C．2.4米
D．2.5米
5．如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（
）21教育网
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A．
B．
C．
D．无法确定
6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（
）．21·世纪
教育网
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A．2.5
B．3
C．1.5
D．3.5
7．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图示，图中四边形都是正方形，则字母B所代表的正方形的面积是
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．144
B．13
C．12
D．194
9．如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（
）米。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．3
D．
10．在A地有甲、乙两支部队
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，接到命令后分别沿着东北方向与西北方向参加长江大堤的抗洪抢险.行进的速度都为每小时60千米，结果甲、乙两支部队分别用了1小时和1小时20分赶到指定的地点B处和C处，则BC之间的距离为（
）千米.【出处：21教育名师】
A．80
B．60
C．100
D．120
11．如图，长方体的底面边长分别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为2cm和4cm，高为5cm.
若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一周到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
cm
B．12
cm
C．13cm
D．15
cm
12．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为(???
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．(2+2)m
B．(4+2)m
C．(5+2)m
D．7m
13．如图，将一根长的筷子，置于底面半径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
14．如图，小明为了测量校园里旗杆的高度，将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置，在处测得旗杆顶端的仰角为60°若测角仪的高度是，则旗杆的高度约为（
）
（精确到.参考数据：）
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A．
B．
C．
D．
15．如图，长宽高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面亮到现点B，则它爬行的最短路程是(
)2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．3
D．5
16．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面距离为米.现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么的值（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．小于米
B．大于米
C．等于米
D．无法确定
17．如图，将一根长为24cm的筷子
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12cm≤h≤19cm
B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm
D．5cm≤h≤12cm
18．如图一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的12米处，则大树断裂之前的高度为（
）21教育名师原创作品
A．9米
B．15米
C．21米
D．24米
19．如图，一架长5米的梯子AB，斜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（
）
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A．0米
B．1米
C．2米
D．3米
20．如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米．如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．等于1米
B．大于1米
C．小于1米
D．以上都不对
21．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(
)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．80米
B．100米
C．72米
D．112米
22．如图，有一个水池，其底面是边长为1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)6尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15尺
B．16尺
C．17尺
D．18尺
23．如图，一圆柱高BC为20cm，底面周长是10cm，一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食，且，则最短路线长为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20cm
B．13cm
C．14cm
D．18cm
24．如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）21
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．等于1米
B．大于1米
C．小于1米
D．不能确定
25．中国数学史上最先完成勾股定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．5
C．6
D．9
26．如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为（
）
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A．18
B．48
C．120
D．72
27．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
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A．6??
B．8
C．10
D．12
28．如图．在Rt△ABC中，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC=90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB=6，BC=3，则PE+PF=（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
29．如图,A、B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点,
则的最大值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．6
30．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等边三角形，AB＝2，则点A的坐标为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（2，）
B．（1，2）
C．（1，）
D．（，1）
二、填空题
31．《九章算术》中的“引葭
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
32．如图，有两条公路OM、ON相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．21·cn·jy·com
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33．一架长为10m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端与墙的距离为6m，如果梯子顶端沿墙下滑2m，那么梯子底端将滑动_____m．2-1-c-n-j-y
34．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．21
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35．如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端下落了__________米．
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三、解答题
36．如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．
（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？
（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．
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37．如图，A村和B村在河岸CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的同侧，它们到河岸CD的距离AC，BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在CD上选取水厂的位置，使铺设水管的费用最省；
（2）求铺设水管的最省总费用．
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38．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD
(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)．
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39．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少?21cnjy.com
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40．某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．
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41．一艘轮船从A港向南
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
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42．如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即）．量得，，求点A和点B间的距离．
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43．如图，在中，，点D是BC的中点，连接AD，，BE分别交AC，AD于点E、，若，求AF的长度．
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44．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？
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45．如图，某人为了测量小山顶上的塔顶离地面的高度，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为，再沿方向前进到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，求的高度（结果保留根号）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
46．本题分为A，B两题，可以自由选择一题，你选择
题
A：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为多少米？
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47．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？
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48．如图，小东将升旗的绳
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．
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49．已知：如图，在中，，点是线段上一点，过点作的垂线，交的延长线于点，于点，于点，若．
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（1）求证：．
（2）若，，求的长度．
（3）在（2）问条件下求的长．
50．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且，测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
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（3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值．
51．如图，在离水面高度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
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52．台风是一种自然灾害，它以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点
C为一海港，且点
C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有
小时．
53．一架梯子长米如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
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（1）求这架梯子的顶端到地面的距离；
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？
54．铁路上A,B两站（视为直线上的两点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
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55．如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，求这根棉线的长度最短．www.21-cn-jy.com
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56．某消防部队进行消防演练．在模拟演练现场
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为5
m，如图，即AD＝BC＝5
m，此时建筑物中距地面15.8
m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防车的车身高AB是3.8
m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？
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57．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【来源：21cnj
y.co
m】
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58．如图，有一个长方形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯．点D到灯E的距离是多少？
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59．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
60．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2；
（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a=2，b=4时，求这个四边形的周长；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）当a=1，b=2时，将其中一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在x轴、y轴上找一点C，使△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用C1，C2，…，Cn在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法）
②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：_____，写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：_____．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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