22.1.3 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质同步导学案（含答案）

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第二十二章
二次函数
22.1.3
二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第1课时
二次函数y=ax2+k的图象和性质
学习目标：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.理解y=ax2与
y=ax2+k之间的联系.
重点：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.理解y=ax2与
y=ax2+k之间的联系.
难点：掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用其解决问题.
一、知识链接
1.用描点法画出二次函数y=4x2的图象.
2.函数y=－3x2的图象的开口
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
，对称轴是
，顶点是
；在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
.21cnjy.com
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质
合作探究
在同一直角坐标系中，画出函数+1，-1的图象．
观察与思考
抛物线+1，-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
典例精析
例1
关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　）
A．其图象的开口方向向上
B．当x=0时，y有最大值4
C．其图象的对称轴是y轴
D．其图象的顶点坐标为（0，4）
探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质
做一做
画出二次函数，，的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性.www.21-cn-jy.com
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是____________________；
(2)三条抛物线的开口方向____________________；
(3)对称轴都是____________________
；
(4)
从上而下顶点坐标分别是
_____________________；
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________；
(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________.
要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质：
①当a＞0时，抛物线开口方向向上，对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大；2·1·c·n·j·y
②当a＜0时，抛物线开口方向
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.【来源：21·世纪·教育·网】
例2
关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是
（　　）
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．对称轴相同
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移
(教材P32例2变式)画出二次函数
y=2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2，
y=2x2+1
，y=2x2－1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.www-2-1-cnjy-com
探究1
填写下表，观察函数对应值之间有什么联系？
x
…
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
…
y=2x2+1
…
…
y=2x2
…
…
y=2x2-1
…
…
探究2
画出二次函数y=2x2－1，y=2x2，y=2x2+1的图象，观察它们之间有什么联系？
要点归纳：二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k
>
0
时，向上平移k个单位长度得到.
当k
<
0
时，向下平移－k个单位长度得到.
规律总结为：平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
想一想
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+k
中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
例3
在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
变式训练
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．21·cn·jy·com
三、课堂小结
二次函y=ax2+k(a≠0)的图象和性质
图象
1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.
性质
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
与y=ax2的关系
平移规律：k正向上；k负向下.
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线
．
2.填表
函数
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
y?=?3x2
y?=?3x2＋1
y?=－4x2－5
3.已知(m，n)在y=ax2+a(a不为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0)的图象上，则点(－m，n)
(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上.21·世纪
教育网
4.
若y=x2+(k－2)的顶点是原点，则k
；若顶点位于x轴上方，则k
；若顶点位于x轴下方，则k
.
5.已知二次函数y=(a－2)x2+a2－2的最高点为(0，2)，则a=
.
6.已知抛物线y=ax2+k.
（1）若抛物线y=ax2+k的形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0，-3)，则该抛物线的函数表达式是____________;2-1-c-n-j-y
（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______，k=______;21
cnjy
com
（3）若抛物线y=ax2+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)k的最小值为4，且经过点(1，5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________.【来源：21cnj
y.co
m】
能力提升：
如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
参考答案
自主学习
知识链接
1.画图略
2.向下
y轴
（0，0）
增大
减小
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质
合作探究
列表如下：
x
…
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
…
y=2x2+1
…
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
…
y=2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
y=2x2-1
…
3.5
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
…
描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
图①
图②
观察与思考
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
（0,1）
y轴
向上
（0,-1）
y轴
典例精析
例1
B
探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质
做一做
二次函数，，的图象如图②所示.
（1）抛物线
（2）向下
（3）y轴（或直线x=0）
(4)(0,2),(0,0),（0，-2）21教育网
（5）高
大
y=2
y=0
y=-2
（6）对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小
例2
C
探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移
探究1
x
…
－1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
y=2x2+1
…
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
…
y=2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
y=2x2-1
…
3.5
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
…
探究2
画图如图所示.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
练一练
D
想一想
1.第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k
︱个单位长度.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
例3
D
变式训练
D
当堂检测
1.y
=
2x2－4
2.
函数
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
y?=?3x2
向上
（0,0）
y轴
有最低点
y?=?3x2＋1
向上
（0,1）
y轴
有最低点
y?=－4x2－5
向下
（0,-5）
y轴
有最高点
3.在
4.=2
＞2
＜2
5.-2
6.（1）y=-2x2-3
（2）-0.5
-3
（3）y=x2+5
y=x2+2
能力提升
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±
，此时P点坐标为(
，2)，(－，2)；21世纪教育网版权所有
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±
，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．
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