第五章函数的应用单元检测A卷（基础篇）--2021-2022学年高一上学期北师大版（2019）数学必修（第一册）（Word含答案解析）

第五章函数的应用单元检测A卷（基础篇）
一、单选题
1．函数的零点是（
）
A．，1
B．
C．，-1
D．
2．设函数，若函数有两个零点，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．一组关于的观测数据通过的转换数据对应关系如表所示：
1
2
3
4
5
1
3.1
4.9
7.1
8.8
则y与t近似满足这些数据的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（
）
A．0.9
B．0.7
C．0.5
D．0.4
5．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在区间是（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的零点为，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．设用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（
）
A．
B．
C．
D．
9．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（
）
A．
B．
C．
D．
10．设函数，则使方程的实数解个数为1时，k的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
12．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．函数f(x)=lgx+1的零点是______.
14．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂.已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面.当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
15．用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈___________(填区间).
16．已知直线与曲线有四个交点，则a的取值范围是___________．
三、解答题
17．已知函数．
（1）若有一个零点为，求a；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．
18．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.
（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；
（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？
19．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.
20．已知函数
（1）求该函数的定义域；
（2）若该函数的零点为x=3，求a的值.
21．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
22．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？
参考答案
1．A
【分析】
令函数值为0，解方程，即可得出结论．
【详解】
令，解得或
函数的零点为
故选：．
2．D
【分析】
解不等式即得解.
【详解】
因为函数有两个零点，
所以.
故选：D
3．B
【分析】
根据所给数据，求得y与t的对应数据，逐个选项计算分析即可得解.
【详解】
根据题意求得和的对应数据，
1
1
3.1
4.9
7.1
8.8
对A，当时，和相差较远，故排除A，
对C，当时，和相差较远，故排除C，
对D，当时，，和7.1相差较远，故排除D，
对B，各个数据代入基本符合，
故选：B
4．B
【分析】
利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.
【详解】
依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，且满足|0.72-0.68|<0.1，
所以所求的符合条件的近似值为0.7.
故选：B
5．D
【分析】
分别求出二、三份的利润再求和即可.
【详解】
二、三月份利润的月增长率为，
则二月份获得利润为万元，三月份获得利润为万元，
依题意得：.
故选：D.
6．C
【分析】
令，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置.
【详解】
令，由上表可知，，，，，.
故，故断定方程的一个根所在区间是为：.
故选：C.
7．B
【分析】
由已知可得，即可求得实数的值.
【详解】
由题意得，即．
故选：B.
8．B
【分析】
利用零点存在性定理求解.
【详解】
函数在单调递增，又因为，
所以由零点存在性定理知，在区间上有零点，
即在区间上的根落在区间上.
故选：B.
9．A
【分析】
结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.
【详解】
为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级,结合选项只有A选项能够较好的达到目的，
故选：A.
10．C
【分析】
由题意，只需保证与只有一个交点即可，根据分段函数的图象，即可判断k的取值范围.
【详解】
由题意，方程的实数解个数为1，即与只有一个交点，根据函数解析式可得草图如下：
∴当时，与只有一个交点.
故选：C.
11．B
【分析】
根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为的零点所在的区间为，
所以只需，
即，解得.
故选：B.
12．B
【分析】
与有公共点，转化为与有公共点，结合函数图象，可得结果.
【详解】
与有公共点，即与有公共点，
图象如图：
可知
故选：B
13．
【分析】
利用函数零点的意义列出方程求解即得.
【详解】
由lgx+1=0，得lgx=-1，解得x=，
所以函数f(x)=lgx+1的零点是.
故答案为：
14．19
【分析】
设出荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式，然后根据覆盖面积的2倍关系即可得出答案.
【详解】
设荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式为，根据题意：令，即生长19天时，布满水面一半.
故答案为：19.
15．
【分析】
根据零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】
，，
所以下一次计算可得.
故答案为：
16．
【分析】
直线与曲线有四个交点等价于方程有四个解，即直线与函数的图象有四个交点，借助图形求解即得.
【详解】
直线与曲线有四个交点等价于方程，即有四个解，
等价于直线与函数的图象有四个交点，在同一坐标系中，画出它们的图象，如图，
观察图象可知，当且仅当时，直线与函数图象有四个交点，
所以a的取值范围是：.
故答案为：
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意可得，从而可求出的值；
（2）由于当时，恒成立，等价于当时，恒成立，所以只要，从而可求出a的取值范围
【详解】
解：（1）因为有一零点，
所以，
所以．
（2）因为当时，恒成立，
需，即，
解得，
所以的取值范围是．
18．（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
【分析】
（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；
（2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.
【详解】
（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元；
∴第年研发资金：且定义域为；
（2）由（1）知：，即，
∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.
19．（1）（2）m=3，方程的另一根为4
【分析】
(1)解不等式即得解；（2）先根据已知求出m的值，再解方程求方程的另外一个根.
【详解】
(1)由题意得，所以，解得.
(2)由(1)可知k=2，
所以方程的根.
∴方程的一个根为2，
∴，解得m=3.
∴方程，
解得或.
所以方程的另一根为4.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的情况的判定，考查一元二次方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．（1）
（2）
【分析】
（1）要使函数有意义，则需，求解即可；
（2）由该函数的零点为x=3，可得，求解即可得解.
【详解】
解：（1）要使函数有意义，则需，即，
即该函数的定义域为；
（2）由该函数的零点为x=3，
即，
即，
故.
【点睛】
本题考查了函数定义域的求法，重点考查了函数的零点，属基础题.
21．（1），；（2）
【分析】
（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；
（2）由已知只需时，有两个解的即可.
【详解】
（1）是定义在上的偶函数，
且当时，，
；
（2）函数是定义在上的偶函数，
关于的方程有四个不同的实数解，
只需时，有两个解，
当时，，
所以
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.
22．（1）；（2）产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
【分析】
（1）分与两种情况分别求出的表达式后，将其写成分段函数的形式即可．
（2）当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用对勾函数的性质求出的最大值，再比较即可得到的最大值和相应的的取值．
【详解】
（1）当时，，
当时，.
综上所述，．
（2）当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页