22.2二次函数与一元二次方程同步能力提升训练 2021-2022学年九年级数学人教版上册（Word版含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步能力提升训练（附答案）
1．如图是二次函数y＝x2+bx+c的部分图象，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B．给出下列结论：
①b＝c；②点B的坐标为（0，﹣3）；③抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0）；
④抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；⑤函数最大值为﹣4．其中正确的个数为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当x＞2时，y随x的增大而减少；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根．其中正确的个数为（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点，将抛物线向上平移m个单位长度后，点A，B在新抛物线上的对应点分别为点C，D，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣4x+3
B．y＝x2﹣4x+5
C．y＝x2﹣4x+7
D．y＝x2﹣4x+11
4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1个或2个
6．如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A．2.2
B．2.3
C．2.4
D．2.5
7．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
8．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（　　）
A．3
B．6
C．9
D．18
9．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
10．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数是（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
11．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣
B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣
D．k＞﹣且k≠0
12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2020的值为（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
13．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．与x轴没有交点
14．若点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，则当y≥0时，x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜3
B．x＜﹣1或x＞3
C．﹣1≤x≤3
D．x≤﹣1或x≥3
15．若二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
16．下表是一组二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程ax2+bx+c＝0的一个近似根是x≈（　　）
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
17．根据下列表格的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y＝ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.08
﹣0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（　　）
A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是
　
　．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤a＞b，正确的结论是　
　．（只填序号）
20．若函数y＝（a+1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　
　．
21．已知函数y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标．
22．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3）两点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接BC，BD．CD，判断△BCD的形状并说明理由：
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在0≤x≤t内的最大值为p．最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△DAC的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使它到x轴的距离为4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，则说明理由．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），
∴，抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），故③正确，符合题意；
解得，
∴b≠c，故①错误，不符合题意；
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣3），故②正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故④正确，符合题意；
函数图象开口向上，当x＝1时，取得最小值﹣4，故⑤错误，不符合题意；
故选：C．
2．解：将（0，3），（1，5），（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c可得：
，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（，），对称轴为直线x＝，x＞2时y随x增大而减小，
∴①正确，②错误，③正确，
∵a＝﹣1，b＝3，c＝3，
∴ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3，
把x＝3代入﹣x2+2x+3得﹣9+6＝3＝0，
∴④正确，
∴正确的有①③④．
故选：B．
3．解：当y＝0时，有x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴AB＝2．
∵S阴影＝AC?AB＝8，
∴AC＝4，
∴平移后新抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3+4＝x2﹣4x+7．
故选：C．
4．解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
5．解：∵直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，
∴2m＜0，
又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：A．
6．解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．
∵﹣0.11更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.3．
故选：B．
7．解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
8．解：令y＝0，即x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），
∴A、B两点的距离＝3﹣（﹣3）＝6．
故选：B．
9．解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确；
图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2﹣3无解，故选项D错误；
故选：B．
10．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
故选：C．
11．解：根据题意得，
解得k＜﹣．
故选：C．
12．解：将（m，0）代入抛物线表达式得：m2﹣m﹣1＝0，
则﹣2m2+2m+2020＝﹣2（m2﹣m）+2020＝﹣2+2020＝2018，
故选：A．
13．解：二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：D．
14．解：∵点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，
∴0＝﹣3（﹣1﹣1）2+c，得c＝12，
∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，
当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3，
故选：C．
15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，
∵m+1＜0，m﹣1＜0，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
16．解：观察表格得：方程ax2+bx+c＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
17．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根，
函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.03与y＝0.09之间，
对应的x的值在3.25与3.26之间，即3.25＜x＜3.26．
故选：D．
18．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．
故答案为：x＝3或x＝﹣1．
19．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1．
∴b＝2a＜0．
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0，故①错误；
∵由图象得：当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故②正确；
∵图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
故③正确；
∵对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，则2a﹣b＝0，
故④正确；
∵a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＞0，
∴a＞b．
故⑤正确；
故答案为：②③④⑤．
20．解：当a+1＝0，即a＝﹣1时，函数解析式为y＝﹣4x﹣2，与x轴只有一个交点；
当a+1≠0，即a≠﹣1时，根据题意知，（﹣4）2﹣4×（a+1）×2a＝0，
整理，得：a2+a﹣2＝0，
解得：a＝1或a＝﹣2；
综上，a的值为﹣1或﹣2或1．
故答案为：﹣1或﹣2或1．
21．（1）证明：令
y＝0，则
x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝0．因为
a＝1，b＝m﹣3，c＝1﹣2m，
所以
b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4（1﹣2m）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论
m
为何值，该函数的图象与
x
轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝（x﹣2）m+x2﹣3x+1．因为该函数的图象都会经过一个定点，
所以
x﹣2＝0，
解得
x＝2．
当x＝2
时，y＝﹣1．
所以该函数图象始终过定点（2，﹣1）．
22．解：（Ⅰ）把A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（Ⅱ）△BCD为直角三角形．
理由如下：
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则C（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
∵BD2＝（1﹣0）2+（4﹣3）2＝2，CD2＝（1﹣3）2+（4﹣0）2＝20，BC2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°；
（Ⅲ）（1）∵x＝0时，y＝3；当x＝1时，y最大值＝4，x＝3时，y＝0，
∴当0≤x≤3时，函数y的最大值为4，最小值为0；
（2）∵函数y在0≤x≤t内的最大值为p．最小值为q，p﹣q＝3，
∴t＞1，
∴p＝4，
∴q＝1，
即﹣x2+2x+3＝1，解得t1＝1+，t2＝1﹣（舍去），
即t的值为1+．
23．解：（1）直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，0＝﹣x+2，解得x＝4
∴点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），
把A（0，2）、C（4，0）代入抛物线表达式并解得：
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）抛物线的顶点D的坐标为（，）；
如图1，设直线AC与抛物线的对称轴交于点M，
直线y＝﹣x+2中，当x＝时，y＝，
∴△DAC的面积为＝DM×OC＝（﹣）×4＝；
（3）当P到x轴的距离为4时，
①当y＝4时，﹣x2+x+2＝4，
而，方程没有实数根；
②当y＝﹣4时，﹣x2+x+2＝﹣4，
解得：x＝，
则点P的坐标为（，﹣4）或（，﹣4）