(共25张PPT)
27.3
位似（2）
人教版
九年级下册
复习知识
位似
1.
相交于一点的两个相似多边形叫做位似图形，这个交点叫做
．
2.位似图形是一种特殊的
图形，它具有相似图形的所有性质。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫做
，位似图形的
也叫做位似比.
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小。画位似图形时，关键要确定
，根据
确定关键点。
对应顶点的连线
位似中心
位似比
相似比
相似
相似比
位似中心
新知导入
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转
(中心对称).
那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
D
x
y
A
B
C
活动探究
1.在平面直角坐标系中，有两点
A
(6，3)，B
(6，0)．
以原点
O
为位似中心，相似比为，把线段
AB
缩小，观察对应点之间坐标的变化.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
把
AB
缩小后的线段为A′B′、A″B″，
A，B
的对应点坐标为：
A′
(
2
，1
)，B′
(
2
，0
)；
A″
(
-2
，-1
)，B"
(
-2
，0
).
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标比为
；
当位似图形在原点两侧时，其对应顶点坐标比为-．
5
9
5
10
－5
－9
－5
x
y
O
－10
活动探究
2.如图，△AOC三个顶点坐标分别为A（4，4），O（0，0），C（5，0）.
以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后A，O，C的对应点为
A'(8
，8
)，O(0，0
)，C'
(10
，0)；
A"
(-8
，-8)，O(0
，0），C"
(-10
，0
)．
A
C
C'
A'
A"
C"
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标比为
2；
当位似图形在原点两侧时，其对应顶点坐标比为－2．
新知讲解
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
一般地，在平面直角坐标系中，
以原点O为位似中心，位似比为k，若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A'的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
小结
例题讲解
【例1】如图，△ABO
三个顶点的坐标分别为
A
(-2，4)，B
(-2，0)，O
(0，0).
以原点
O
为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO
的相似比为.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
分析：画三角形关键是确定它各顶点的坐标.
根据前面的归纳可知，点
A
的对应点
A′
的坐标为（，），即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点
A′
(－3，6)，B′
(－3，0)，O
(0，0).
顺次连接点
A′，B′，O，所得的
△A′B′O
就是要画的一个图形.
A′
B′
还有其他画法吗？自己试一试.
例题讲解
【例1】如图，△ABO
三个顶点的坐标分别为
A
(-2，4)，B
(-2，0)，O
(0，0).
以原点
O
为位似中心，画出一个三角形使它与
△ABO
的相似比为.
2
4
-2
2
-2
-4
x
y
A
B
O
4
-4
-6
A′
B′
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点
A′
(3，-6)，B′
(3，0)，O
(0，0).
顺次连接点
A′，B′，O，所得的
△A′B′O
就是要画的一个图形.
小试牛刀
在平面直角坐标系中，四边形
OABC
的顶点坐标分别为
O
(0，0)，A
(6，0)，B
(3，6)，C
(－3，3).
以原点
O
为位似中心，画出四边形
OABC
的位似图形，使它与四边形
OABC
的相似是.
O
C
解：画法一：将四边形
OABC
各点的坐标都乘；
在平面直角坐标系中描点O
(0，0)，A′
(4，0)，B′(2，4)，C′
(-2，2)；
用线段顺次连接O，A'，B'，C'.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
C'
小试牛刀
画法二：将四边形
OABC
各顶点的坐标都乘；
在平面直角坐标系中描点O
(0，0)，A″
(-4，0)，B″
(-2，-4)，C″
(2，-2)；
用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
O
C
2
4
6
4
6
B″
－2
－4
－4
x
y
A
B
A″
C″
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
想
一
想
名称
规律
变换方式
平移
轴对称
旋转
位似
对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度.
以x轴为对称轴，则对应点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
以y轴为对称轴，则对应点纵坐标相等，横坐标互为相反数.
若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比.
全等变换
相似变换
位似与平移、轴对称、旋转变换的对比
归纳总结
例题讲解
【例2】将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴正向平移3个单位长度；
（2）关于x轴对称；
（3）以C为位似中心，将△ABC放大2倍；
（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
x
y
A
B
C
A1
A2
A3
A4
B1
B3
B4
C1
C2
(C3
)
(C4
)
B2
课堂练习
1.
将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是
(
)
A.
将各点的纵坐标乘
2，横坐标不变
B.
将各点的横坐标除以
2，纵坐标不变
C.
将各点的横坐标、纵坐标都乘
2
D.
将各点的纵坐标减去
2，横坐标加上
2
C
2.如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标为(
)
A．(－4，－3)
B．(－3，－3)
C．(－4，－4)
D．(－3，－4)
A
课堂练习
课堂练习
3.关于对位似图形的表述，下列命题正确的是
.（只填序号）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
②③
课堂练习
4.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，3)，(－12，8)，
△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形．若点A′的坐标为
(2，－1)，则点B′的坐标为(
)
A.
B.
C．(－6，4)
D．(6，－4)
A
课堂练习
5.
△ABC
三个顶点坐标分别为
A
(2，-2)，B
(4，-5)，C
(5，-2)，以原点
O
为位似中心，将这个三角形放大为原来的
2
倍．
C
2
4
6
－4
x
y
A
B
2
－2
画法一：
A'
(4，－4)，
B'
(8，－10)，
C'
(10，－4)；
B'
A'
C'
A"
B"
C"
画法二：
A″
(－4，4)，
B″
(－8，10)，
C″
(－10，4).
课堂练习
6.如图，点
A
的坐标为
(3，4)，点
O
的坐标为
(0，0)，
点
B
的坐标为
(4，0).
(1)
将
△AOB
沿
x
轴向左平移
1
个单位长度后得△A1O1B1，则点
A1
的坐标为
，△A1O1B1的面积为
；
(2，4)
8
(2)
将
△AOB
绕原点旋转
180°
后得
△A2O2B2，则点
A2
的坐标为
；
(－3，－4)
4
x
y
A
B
4
3
O
课堂练习
6.如图，点
A
的坐标为
(3，4)，点
O
的坐标为
(0，0)，
点
B
的坐标为
(4，0).
4
x
y
A
B
4
3
O
(3)
将
△AOB
沿
x
轴翻折后得
△A3O3B3，则点
A3
的坐标为
；
(4)
以
O
为位似中心，按比例尺
1
:
2
将△AOB
放大后得
△A4O4B4，若点
B
在
x
轴负半轴上，则点
A4的坐标为
，△A4O4B4的面积为
.
(3，－4)
(－6，－8)
32
课堂总结
27.3
位似（2）
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
平面直角坐标系中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
板书设计
27.3
位似（2）
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
平面直角坐标系中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
作业布置
教材50页练习第1、2题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
27.3位似（2）
教学设计
课题
27.3位似（2）
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，掌握对应点的坐标变化的规律。
学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换。
学会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形。
培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。
重点
在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形。
难点
掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新知
回顾位似的知识：
1.
对应顶点的连线
相交于一点的两个相似多边形叫做位似图形，这个交点叫做
位似中心
．
2.位似图形是一种特殊的
相似
图形，它具有相似图形的所有性质。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫做
位似比
，位似图形的
位似比
也叫做位似比.
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小。画位似图形时，关键要确定
位似中心
，根据
相似比
确定关键点。
【新知导入】我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转
(中心对称).
那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？今天我们就一起来学习平面直角坐标系中的位似的知识。
积极思考，回答问题。
教师出示问题，师生一起回顾位似的内容，起到以旧引新，建立新旧知识间的联的作用。
从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
活动探究+
讲授新知
讲授新课+
例题讲解
讲授新课
【活动探究】1.在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段
AB
缩小，观察对应点之间坐标的变化.
把
AB
缩小后的线段为A′B′、A″B″，
A，B
的对应点坐标为：
A′(2，1)，B′(2，0
；A″(2，-1)，B"(-2，0).
当位似图形在原点同侧时，对应顶点坐标比为
；
当位似图形在原点两侧时，对应顶点坐标比为-．
2.如图，△AOC三个顶点坐标分别为A（4，4），O（0，0），C（5，0）.以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后A，O，C的对应点为
A'(8
，8
)，O(0，0
)，C'
(10
，0)；
A"(-8
，-8)，O(0
，0），C"
(-10
，0
)．
当位似图形在原点同侧时，对应顶点坐标比为
2；
当位似图形在原点两侧时，对应顶点坐标比为－
教师归纳总结讲解：
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
一般地，在平面直角坐标系中，
以原点O为位似中心，位似比为k，若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A'的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
【例1】如图，△ABO
三个顶点的坐标分别为
A
(-2，4)，B
(-2，0)，O
(0，0).
以原点
O
为位似中心，画出一个三角形使它与
△ABO
的相似比为.
分析：画三角形关键是确定它各顶点的坐标.根据前面的归纳可知，点A的对应点A′的坐标为（，），即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
解：方法一：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点
A′
(－3，6)，B′
(－3，0)，O
(0，0).顺次连接点
A′，B′，O，所得的
△A′B′O
就是要画的一个图形.
方法二：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点
A′
(3，-6)，B′
(3，0)，O
(0，0).
顺次连接点
A′，B′，O，所得的
△A′B′O
就是要画的一个图形.
【小试牛刀】
在平面直角坐标系中，四边形
OABC
的顶点坐标分别为
O
(0，0)，A
(6，0)，B
(3，6)，C
(－3，3).
以原点
O
为位似中心，画出四边形
OABC
的位似图形，使它与四边形
OABC
的相似是.
画法一：将四边形
OABC
各点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O
(0，0)，A′
(4，0)，B′(2，4)，C′
(-2，2)；用线段顺次连接O，A'，B'，C'.
画法二：将四边形
OABC
各顶点的坐标都乘；
在平面直角坐标系中描点O
(0，0)，A″
(-4，0)，B″
(-2，-4)，C″
(2，-2)；用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
【想一想】至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
总结位似与平移、轴对称、旋转变换的异同：
【例2】将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴正向平移3个单位长度；
（2）关于x轴对称；
（3）以C为位似中心，将△ABC放大2倍；
（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
教师出示问题，师生共同探究在平面直角坐标系中的位似图形坐标变换的规律。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
学生完成小试牛刀中的练习题，以巩固知识点。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握在平面直角坐标系中的位似图形坐标变换的规律。
讲解知识，让学生学习新知识。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握在平面直角坐标系中画位似图形的方法。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
题练习
课题练习
1.
将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是
(C
)
A.
将各点的纵坐标乘以
2，横坐标不变
B.
将各点的横坐标除以
2，纵坐标不变
C.
将各点的横坐标、纵坐标都乘以
2
D.
将各点的纵坐标减去
2，横坐标加上
2
2.
如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标为(
A
)
A．(－4，－3)
B．(－3，－3)
C．(－4，－4)
D．(－3，－4)
3.关于对位似图形表述，下列命题正确的是(②③)(只填序号).
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
4.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为
(－6，3)，(－12，8)，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形．若点A′的坐标为(2，－1)，则点B′的坐标为(
A
)
B.
C．(－6，4)
D．(6，－4)
5.
△ABC
三个顶点坐标分别为
A
(2，-2)，B
(4，-5)，C
(5，-2)，以原点
O
为位似中心，将这个三角形放大为原来的
2
倍．
画法一：
A'
(4，－4)，
B'
(8，－10)，
C'
(10，－4)；
画法二：
A″
(－4，4)，
B″
(－8，10)，
C″
(－10，4).
6.如图，点
A
的坐标为(3，4)，点O
的坐标为
(0，0)，点
B
的坐标为
(4，0).
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后得△A1O1B1，则点A1
的坐标为（2,4）
，△A1O1B1的面积为
8
；
(2)将△AOB
绕原点旋转180°后得
△A2O2B2，则点
A2
的坐标为
（-3，-4）
；
(3)将△AOB沿x轴翻折后得
△A3O3B3，则点
A3
的坐标为
（3，-4）
；
(4)以O为位似中心，按比例尺1:2将△AOB
放大后得△A4O4B4，若点B在x轴负半轴上，则点A4的坐标为（-6，-8），△A4O4B4的面积为
32
.
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。
板书
27.3
位似（2）
作业布置
教材50页练习第1、2题。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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