上海市华师二附高2021-2022学年高二上学期9月质量调研数学试题 （Word版，含解析）

华师大二附中2023届高二数学9月质量调研
调研时间：90分钟
调研绩点：100点
一、填空调研（每小题4点，共40点）
1.函数的定义域是__________.
2.异面直线a和b所成的角为，则的范围是__________.
3.已知复数（a，）满足，则范围是__________.
4.已知和的图像的连续的三个交点A，B，C构成三角形，则的面积等于__________.
5.相交于同一点的四条直线最多能确定__________个平面.
6.下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定是一个平面，其中正确的是__________.
7.在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成__________对异面直线.
8.已知中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是__________.
9.已知函数，若将函数的图像向左平移a个单位（），所得图像关于y轴对称，则实数a的取值集合为__________.
10.如图，在折线中，，，E，F分别是，的中点，若折线上满足条件的点至少有4个，则实数k的取值范围是__________.
二、选择调研（每小题4点，共16点）
11.若空间中三条不同的直线，，，满足，，则下列结论一定正确的是（
）
A.
B.
C.，既不平行也不垂直
D.，相交且垂直
12.下列命题中，假命题的是（
）
A.若z为实数，则
B.若，则z为实数
C.若z为实数，则为实数
D.若为实数，则z为实数
13.为了得到函数（）的图像，可以将函数的图像（
）
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
14.用长度分别为2，3，5，6，9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（
）
A.258
B.414
C.416
D.418
三、解答调研（共44点）
15.（本题共8点，其中第一小题2点，第二小题6点）
在中，，，与交于点M，设，
（1）用，表示；
（2）若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值.
16.（本题共10点，其中第一小题4点，第二小题6点）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，设向量，且，
（1）求证：为定值；
（2）若，试确定实数x的取值范围
17.（本题共13点，其中第一小题2点，第二小题5点，第三小题6点）
（1）请用文字语言叙述直线与平面平行的判定定理；
（2）把（1）中的定理写成“已知：……求证：……”的形式，并用反证法证明；
（3）如图，在正方体中，点N在上，点M在，且，求证：平面（用（1）中所写定理证明）
18.（本题13点）空间中A，B，C，D四点任意两点间距离都等于a，E为中点，在由A，B，C，D确定的四个等边三角形中，求与异面的三角形中线与所成角的大小.
华师大二附中2023届高二数学9月质量调研
调研时间：90分钟
调研绩点：100点
一、填空调研（每小题4点，共40点）
1.【答案】：
2.【答案】：
3.【答案】：
【解析】：（方法1），所以，即，根据基本不等式，解得，所以范围是
（方法2）.所以，即，设，，.
4.【答案】：
【解析】：与联立，得，即，，
不妨令，，，求得，，，所以.
5.【答案】：6
【解析】：设直线a，b，c，d相交，a，b与a，c与a，d与b，c与b，d与c，d最多确定6个面.
6.【答案】：④
【解析】：①不共线的三点确定一个平面，故①错；②一条直线和直线外一点确定一个平面，故②错；③两条平行或相交直线确定一个平面，故③错；④三角形三顶点不共线一定是平面图形，梯形两条直线平行，所以可以确定一个平面，故④错；⑤空间四边形不是平面图形，故⑤错；⑥空间六边形不是平面图形，故⑥错；⑦三条直线相交于同一点，不能确定一个平面，如三菱锥的三个侧面，故⑦错.综上，正确的是④.
7.【答案】：126
【解析】：每条棱与其他棱构成异面直线，共有条；
每条棱与面对角线构成异面直线，共有条；
每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条，
所以共有条.
8.【答案】：
【解析】：以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图直角坐标系，
则，，设
因为，，所以，，即，
在此设，
所以
9【答案】：
【解析】：函数
函数的图像内左平移a个单位（），得的图像且函数的图像关于y轴对称，所以，，所以，
又因为，所以，，，，所以实数a的取值集合为
故答案为：
10.【答案】：
【解析】：以的垂直平分线为y轴，以为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，所以，，，，
因为E，F分别是，的中点，所以，
设，，
因为，所以，即
当时，点P的轨迹为以为圆心，以为半径的圆
当圆与直线相切时，此时圆的半径为，此时点有2个；
当圆经过点C时，此时圆的半径为，此时Ｐ点有4个；
因为满足条件的点P至少有4个，结合图像可得，
所以，解得
故实数k的取值范围为，故答案为：
二、选择调研（每小题4点，共16点）
11.【答案】：A
12.【答案】：D
【解析】：为实数，不能推出z为实数，故答案为D.
13.【答案】：D
【解析】：函数，故只需要将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，故答案为D.
14.【答案】：C
【解析】：设长方体的三条棱分别为a，b，c，
则长方体的表面积为：，当且仅当时，上式“=”成立.由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2，6连接，3，5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，
此时能够得到的长方体的最大表面积为，故答案为C
三、解答调研（共44点）
15.【答案】：见解析
【解析】：（1）设
因为，，所以，
因为M，B，C三点共线，M，D，A三点共线，所以，解得，所以，
（2）由，可得，
因为，所以
因为M，E，F三点共线，所以
根据基本不等式可，即，当且仅当，，取得等号
所以的最小值为.
16.【答案】：见解析
【解析】：（1）因为，且，，所以
又，所以，即
又，，所以或即或
若，则且，
因为，所以
（2）由可得，
设，则
因为，所以，所以
所以，所以，所以
因为在上单调递增，所以
所以实数x的取值范围为
17.【答案】：见解析
【解析】：（1）与教材一致2分，不一致0分；
（2）注意：不用书上的反证法也可以，但必须言之有据，不能瞎混!
（3）取中点P，中点Q，
直线与平面平行的判定定理
如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行.
下面，用反证法来证明这个定理.
已知：如图10-3-1，直线a不在平面上，直线b在平面上，且.
求证：直线平面.
证明
假设直线a不平行于平面，则直线a与平面有公共点.设为点P.在平面上，过点P作已知直线b的平行线.因为a不在上，所以与a不重合.另一方面，因为，，所以，这和a与交于点P矛盾，所以原假设
18.【答案】：见解析
【解析】：如图（1）所示，对于由中线和形成的异面直线，连结，取中点G，连结，，则，所以是异面直线和所成角，，，.
则
所以异面直线和所成角的大小为
如图（2）所示，对于由中线和形成的异面直线，取中点I，连结，则，所以是异面直线和所所成角，
而，，，
则
所以异面直线和所成角的大小为.
如图（3）所示，对于由中线和形成的异面直线，取中点K，连结，
则，所以是异面直线和所成角，而，，
同上理，异面直线和所成角的大小为
所以，与异面的三角形中线与所成角的大小为或