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1.2
全等三角形
【提升训练】
一、单选题
1．一个三角形有两边长分别为4、6，则第三边上的中线l的取值范围是（
）
A．2＜l＜10
B．1＜l＜5
C．3＜l＜9
D．不能确定
2．如图，AB＝AD，BC＝DC，则图中全等三角形共有（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
3．如图.在不等边△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，PM⊥AB，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列结论.①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①
4．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，则S△BDC的最大值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．15
C．20
D．25
5．如图，过边长为1的等边△的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为(
)www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．
C．
D．
6．已知，△ABC≌△DEF,
∠A=
80°,
∠B=60°,
则∠F
的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．40°
C．70°
D．80°
7．下列判断正确的个数是（
）
①两个正三角形一定是全等图形；
②三角形的一个外角一定大于与它不相邻的一个内角；
③三角形的三条高一定交于同一点；
④两边和一角对应相等的两个三角形全等.
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
8．如下图，已知，，下列条件中不能判定≌的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．如图，已知，，，且、、在同一直线上，且，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．不确定
10．如图，在中，点、、分别是、、上的点，若，，，则的度数为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
11．如图，△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列等式不一定正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB=AC
B．∠BAD=∠CAE
C．BE=ＣD
D．AD=DE
12．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．DB平分∠ADC
B．△ABD和△CDB的周长相等
C．AD∥BC，且AD＝BC
D．△ABD和△CDB的面积相等
13．已知△ABC≌△DEF，∠A=110°，∠F=40°，则∠DEF=（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．110°
14．△ABC
中，AB＝AC＝12
厘米
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠B＝∠C，BC＝8
厘米，点
D
为
AB
的中点．如果点
P
在线段
BC
上以
2
厘米/秒
的速度由
B
点向
C
点运动，同时，点
Q
在线段
CA
上由
C
点向
A
点运动．若点
Q
的运动速度为
v
厘米/秒，则当△BPD
与△CQP
全等时，v
的值为（
）
21世纪教育网版权所有
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A．2
B．5
C．1
或
5
D．2
或
3
15．如图，△ACF≌△BDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AF∥BE
B．∠ACF=∠DBE
C．AB=CD
D．CF∥DE
16．如图，，，三点在同一直线上，在中，，又，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
17．如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D=70°，∠CAB=50°，那么∠DAB=（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
18．如图，，，，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
19．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第 块去配，其依据是根据定理 （可以用字母简写）www.21-cn-jy.com
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A．拿①去
SAS
B．拿②去
SSA
C．拿③去
ASA
D．拿任意一块
20．如图所示，△ABC≌△ADE，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=AD，AC=AE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=15°，∠B=30°，则∠1的度数为（
）．2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．60°
C．40°
D．20°
21．如图,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,则∠ACD
等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．80°
B．60°
C．40°
D．20°
22．如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝5，CF＝2，则BF的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．1.5
D．5
23．如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于 （
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120°
B．70°
C．60°
D．50°.
24．如图，已知△ABO≌△CDO，则下列结论不正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB＝OD
B．∠A＝∠C
C．AD＝BC
D．∠AOB＝∠COD
25．如图所示中的的正方形网格中，（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．B．C．D．
26．如图，，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
27．有下列说法：①两个三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（
）21·cn·jy·com
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
28．如图中的两个三角形全等，则等于(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
29．如图，△ABC
≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝8cm，则EC长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
30．如图，△ABN≌△ACM，AB＝AC，BN＝CM，∠B＝50°，∠ANB＝60°，则∠MAC的度数等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120°
B．70°
C．60°
D．50°．
31．如图，已知△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，则EF的长为（
）21·世纪
教育网
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A．4
B．5
C．6
D．7
32．如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，则∠BCE的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20°
B．40°
C．70°
D．90°
33．如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠EDC＝70°，则∠B的度数等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
34．如图，△ABC≌△AED，点D在BC上，若∠EAB＝42°，则∠DAC的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．48°
B．44°
C．42°
D．38°
35．已知图中的两个三角形全等，则∠1
等于(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．71°
B．61°
C．60°
D．48°
36．如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=80°，∠ABC=60°，那么下列结论中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠D=80°
B．∠DBC=40°
C．AC=DB
D．BC=10
37．如图，在△ABC与△EMN中，，，∠C=∠M=54°，若∠A=66°，则下列结论正确的是(
)2-1-c-n-j-y
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A．
B．EN=a
C．∠E=60°
D．∠N=66°
38．如图，≌，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
39．如图，≌，下列结论正确的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
40．若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（
）
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A．30
B．27
C．35
D．40
二、填空题
41．如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
42．在△ABC中，点D是BC边的中点，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=3，则AC的长为________.
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43．如图，△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E且AE=8cm，F为AE的中点，G从A点向C点以每秒1个单位的速度运动，则点G经过_______秒时DG=DF．【来源：21cnj
y.co
m】
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44．如图,已知△ABC和△BDE都是等边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形。则下列结论：①AE=CD.②BF=BG.③HB⊥FG.④∠AHC=60?.⑤△BFG是等边三角形，其中正确的有___.
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45．已知，如图∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF
（1）若以“SAS”为依据，还要添加的条件为_____；
（2）若以“ASA”为依据，还要添加的条件为_____．
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三、解答题
46．如图，在中，,
点是的中点，于交于交的延长线于.
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求证:
(1)；
(2)
垂直平分.
47．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠A=∠C，AE=CF，AD=CB．判断BE和DF的位置关系，并说明理由．21cnjy.com
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48．如图，AB＝CD，EC＝BF，∠ECA＝∠DBF，AC＝6，BC＝4．
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（1）求证：AE∥DF；
（2）求AD的长度．
49．如图所示，已知△ABC
中，AB=A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，D
是
CB
延长线上一点，∠ADB=60°，E
是
AD上一点，E
是
AD的一点，且
DE=DB．求证：AE=BE+BC．21
cnjy
com
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50．已知：在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AE与BD的数量关系是
；
位置关系是
；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．
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51．已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．
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52．已知：如图，∠B=∠C，∠ADB=∠DEC，AB=DC.
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（1）求证：△ADE
为等腰三角形.
（2）若∠B=60°，求证：△ADE
为等边三角形.
53．如图，在等腰直角△ABC
中，∠ACB=90°，AC=BC，D
为
AB
中点，DE⊥DF.
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（1）图中有
对全等三角形；
（2）求证：ED=DF.
54．如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．
（1）求证：AE＝CD；
（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．
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55．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF【出处：21教育名师】
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56．如图已知：在△ABC中，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．若BD=4，CE=6，试求DE的长．【版权所有：21教育】
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57．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．21教育名师原创作品
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF=AC．
（3）试说明CE=BF．
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58．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD．
求证：BE⊥AC．
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59．已知：如图，在的内部，点、分别在射线、上，且,,，分别交、于点、.
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（1）如图①所示，若，，延长至点，使得，请证明EF=CE+DF；
（2）如图②所示，若∠AOB=α，.求的度数.
60．如图所示，，，，在一条直线上，，过，分别作，，.
（1）求证△ABF≌△CDE；
（2）求证：平分.
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61．已知,如图△ABC中,∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F.
求证：BF=AC；21
cnjy
com
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62．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
求证：△ABE≌△CBD；
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63．如图，在△ABC中，AB=CB，∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC＝∠BCA＝45°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
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64．如图，△OAB和△OCD中，OA＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于点M．(1)
如图1，求证：AC=BD，判断AC与BD的位置关系并说明理由；
(2)
如图2，∠AOB＝∠COD＝60°时，∠AMD的度数为___________.
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65．如图，B、D、E在一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
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（1）求证：BD=CE
（2）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由.
66．已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，．
①当时，求的度数．
②当为何值时是直角三角形？
（2）如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由．
67．综合实践
如图①，，垂足分别为点，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的长；
（2）将所在直线旋转到的外部，如图②，猜想之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）如图③，将图①中的条件改为：在中，三点在同一直线上，并且，其中为任意钝角．猜想之间的数量关系，并证明你的结论．
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精品试卷·第
2
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1.2
全等三角形
【提升训练】
一、单选题
1．一个三角形有两边长分别为4、6，则第三边上的中线l的取值范围是（
）
A．2＜l＜10
B．1＜l＜5
C．3＜l＜9
D．不能确定
【答案】B
【分析】
如图，先延长AD到点E，使DE=AD，连接
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而把AB、2AD、AC放在了一个三角形中，再利用三角形的三边关系即可求得结果.
【详解】
解：如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
又∵∠EDB=∠ADC，DE=DA，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，根据三角形三边关系可得6－4＜2AD＜6+4，
即1＜AD＜5，
也就是1＜l＜5.
故选B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了倍长中线法构造全等三角形、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，其中倍长中线构造全等三角形是解题的关键.
2．如图，AB＝AD，BC＝DC，则图中全等三角形共有（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
【答案】B
【分析】
可直接判定△ABC≌△ADC，则有∠DAE=∠BAE，∠DCE=∠BCE，可判定△ABE≌△ADE，△BCE≌△DCE，可得到答案．
【详解】
解：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAE=∠DAE，∠BCE=∠DCE，
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
同理可得：△BCE≌△DCE，
所以全等三角形有三对，
故选择：B.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的对应角、对应边相等是解题的关键．
3．如图.在不等边△ABC中，P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M⊥AB，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列结论.①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正确的是（
）
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A．①②③
B．①②
C．②③
D．①
【答案】B
【分析】
利用“HL”证明△APM和△AP
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)N全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=AM；全等三角形对应角相等可得∠PAM=∠PAN，再根据等边对等角可得∠PAN=∠APQ，从而得到∠PAM=∠APQ，然后根据内错角相等，两直线平行可得QP∥AM；欲证△BMP和△QNP全等，须得BP=PQ=AQ，从而得到AC=BC，而此条件无法得到，所以，两三角形不一定全等．
【详解】
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠AMP=∠ANP=90°，
在Rt△APM和Rt△APN中，
∴Rt△APM≌Rt△APN(HL)，
∴AN=AM，故①正确；
∠PAM=∠PAN，
∵PQ=QA，
∴∠PAN=∠APQ，
∴∠PAM=∠APQ，
∴QP∥AM，故②正确；
假设△BMP≌△QNP，
则BP=PQ，
∵PQ=QA，
∴BP=PQ=AQ，
又∵QP∥AM，
∴AC=BC，
此条件无法从题目得到，
所以，假设不成立，故③错误.
综上所述，正确的是①②.
故选B.
【点睛】
本题主要考察角平分线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定.
4．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，则S△BDC的最大值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
【分析】
如图，延长AB，CD交点于E，可证AC＝AE，DE＝CD，则S△BDC＝S△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC的面积最大，求出此时△BEC的面积即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AB，CD交点于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD；
∵∠ADC＝∠ADE＝90°，AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，
∴△ADC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE，DC＝DE；
∵AC﹣AB＝6，
∴AE﹣AB＝6，即BE＝6.
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BEC面积最大，此时S△BEC=；
所以S△BDC最大＝×30＝15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，解题的关键是延长AB，CD交点于E，依托角平分线构建全等三角形的模型.
5．如图，过边长为1的等边△的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过点P作PF∥BC交AC于点F，先
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)证明△APF是等边三角形，从而得AE=FE，再利用AAS证明△PDF≌△QDC，于是FD=CD，进一步即可求出结果.
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
过点P作PF∥BC交AC于点F，如图，则∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形.
∴PF=AP=CQ，
∵，
∴AE=FE，
∵PF∥BC，
∴∠FPD=∠Q，
又∵∠PDF=∠QDC，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD=CD，
∴DE=EF+DF=AF+CF=（AF+CF）=.
故答案为B.
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【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，过点P作PF∥BC构造全等三角形和等边三角形是解题的关键.
6．已知，△ABC≌△DEF,
∠A=
80°,
∠B=60°,
则∠F
的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．40°
C．70°
D．80°
【答案】B
【分析】
要求∠F的大小，利用△ABC≌△DEF，得到对应角相等，然后在△DEF中依据三角形内角和定理，求出∠F的大小．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=80°
∴∠E=∠B=60°
=40°
故选B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，依据三角形内角和定理求出∠F是解题的突破口.
7．下列判断正确的个数是（
）
①两个正三角形一定是全等图形；
②三角形的一个外角一定大于与它不相邻的一个内角；
③三角形的三条高一定交于同一点；
④两边和一角对应相等的两个三角形全等.
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【答案】C
【分析】
根据全等图形，三角形外角性质，三角形的高以及全等三角形的判定，即可得到正确结论．
【详解】
①两个正三角形不一定是全等图形，故错误；
②三角形的一个外角一定大于与它不相邻的一个内角，正确；
③三角形的三条高所在直线交于同一点，故错误；
④两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等图形，三角形外角性质，三角形的高以及全等三角形的判定，解题时注意：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．21教育名师原创作品
8．如下图，已知，，下列条件中不能判定≌的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由平行线的性质得到两对角对应相等，若添加一对边对应相等，可得到两个三角形全等，若添加一对角相等，则不能得出三角形全等．
【详解】
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC．
∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F．
（1）∵BE=CF，∴BC=EF．在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC和△DEF中，∵∠B=∠DEC，BC=EF，∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）AC=DF，则△ABC和△DEF中，∠ACB=∠F，∠B=∠DEC，AC=DF，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）∠A=∠D，没有边相等，无法证明△ABC≌△DEF；故C选项正确；
（4）AB=DE，则△ABC和△DEF中，∵∠B=∠DEC，∠ACB=∠F，AB=DE，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
9．如图，已知，，，且、、在同一直线上，且，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】A
【分析】
根据AAS证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质得到BC、CD的长，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】
∵AC⊥CD，B、C、D在同一直线上，∴∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACB和△DCE中，∵∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，AB=DE，∴△ACB≌△DCE（AAS），∴AC=DC=5，BC=EC=2，∴BD=BC+CD=2+5=7（cm）．
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ACB≌△DCE．
10．如图，在中，点、、分别是、、上的点，若，，，则的度数为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由题目中已知条件，先求(SAS),得到∠BED=∠CDF,由三角形外角定理可得∠EDF=∠B,然后用三角形内角和定理，用∠A表示出∠B,即得到∠EDF.
【详解】
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵BD=CF,BE=CD,
∴(SAS),
∴∠BED=∠CDF,
∵∠EDC为的外角，
∴∠EDC=∠B+∠BED,
又∵∠EDC=∠EDF+∠FDC,
∠BED=∠CDF,
∴∠EDF=∠B,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+2∠EDF=180°,
∴∠EDF=90°-∠A,
故答案为：C.
【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理和外角定理，找出图形中相等的角是解题的关键.
11．如图，△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列等式不一定正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB=AC
B．∠BAD=∠CAE
C．BE=ＣD
D．AD=DE
【答案】D
【分析】
由全等三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，AD=AE，BE=CD，∠BAE=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
12．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．DB平分∠ADC
B．△ABD和△CDB的周长相等
C．AD∥BC，且AD＝BC
D．△ABD和△CDB的面积相等
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB≠∠CDB，DB不一定平分∠ADC,错误；
B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，正确；
C、∵△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，正确；
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
13．已知△ABC≌△DEF，∠A=110°，∠F=40°，则∠DEF=（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．110°
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=110°，∠C=∠F=40°，进而得出答案．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，∠A=110°，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F=40°，
∴∠D=∠A=110°，∠C=∠F=40°，
∴∠DEF=180°-110°-40°=30°．
故选A．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，利用其性质得出对应角相等是解题关键．
14．△ABC
中，AB＝AC＝12
厘
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)米，∠B＝∠C，BC＝8
厘米，点
D
为
AB
的中点．如果点
P
在线段
BC
上以
2
厘米/秒
的速度由
B
点向
C
点运动，同时，点
Q
在线段
CA
上由
C
点向
A
点运动．若点
Q
的运动速度为
v
厘米/秒，则当△BPD
与△CQP
全等时，v
的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．5
C．1
或
5
D．2
或
3
【答案】D
【分析】
此题要分两种情况：①当BD=PC时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【详解】
当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴v=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴v=6÷2=3（m/s），
故选：D．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，解题关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
15．如图，△ACF≌△BDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AF∥BE
B．∠ACF=∠DBE
C．AB=CD
D．CF∥DE
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的性质、平行线的判定定理判断即可．
【详解】
解：∵△ACF≌△BDE，
∴∠A=∠EB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D，
∴AF∥BE，A正确，不符合题意；
∴∠ACF=∠BDE，B错误，符合题意；
∴AC=BD，
∴AB=CD，C正确，不符合题意；
∴∠D=∠FCA，
∴CF∥DE，D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
16．如图，，，三点在同一直线上，在中，，又，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据已知和三角形的内角和，求出三角的度数，再根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．
【详解】
解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10
设∠A=3x，则∠ABC=5x，∠ACB=10x
∴3x+5x+10x=180
∴x=10
∴∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°
∴∠BCN=180°-100°=80°
∵△MNC≌△ABC
∴∠ACB=∠MCN
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=100°
∴∠BCM=∠NCM-∠BCN=100°-80°=20°
∴∠BCM：∠BCN=20°：80°=1：4
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、利用三角形的三角的比和三角形的内角和定理，求得三个角的大小是很重要的方法，方程的思想要注意掌握．
17．如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D=70°，∠CAB=50°，那么∠DAB=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的对应角相等，即可求得∠DBA的度数，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠DAB的度数．
【详解】
解：∵△ABC≌△BAD，点A和点B、点C和点D是对应点，
∴∠CAB的对应角是∠DBA，
∴∠CAB=∠DBA=50°．
∵∠D+∠DBA+∠DAB=180°，∠D=70°，
∴∠DAB=180°-70°-50°=60°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的性质.
18．如图，，，，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的性质得出∠C，再根据三角形内角和定理即可解答.
【详解】
∵，，，
∴，
∴.
故选：D.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握其性质定义.
19．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第 块去配，其依据是根据定理 （可以用字母简写）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．拿①去
SAS
B．拿②去
SSA
C．拿③去
ASA
D．拿任意一块
【答案】C
【分析】
显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．
【详解】
因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块.
故答案为：C
【点睛】
此题考查全等三角形的应用，解题关键在于利用ASA可证明三角形.
20．如图所示，△ABC≌△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DE，AB=AD，AC=AE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=15°，∠B=30°，则∠1的度数为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．60°
C．40°
D．20°
【答案】B
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根据邻补角的定义求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【详解】
∵△ABC≌△ADE，AB=AD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC=AE，
∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，
∴∠1+30°=15°+75°，
解得∠1=60°．
故选：B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，解题关键在于熟记性质并准确识图．
21．如图,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,则∠ACD
等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．80°
B．60°
C．40°
D．20°
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据全等三角形的性质求出∠DCB的度数，计算即可．
【详解】
∵∠A=80°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=60°，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=60°-40°=20°，
故选D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
22．如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝5，CF＝2，则BF的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．1.5
D．5
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BC＝EF，故BF＝CE，然后计算即可．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∵BF＝BC﹣FC，CE＝FE﹣FC，
∴BF＝CE，
∵BE＝5，CF＝2，
∴CF＝BE﹣CE﹣BF，即2＝5﹣2BF．
∴BF＝1.5．
故选C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
23．如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于 （
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120°
B．70°
C．60°
D．50°.
【答案】B
【分析】
根据三角形内角和定理求得∠BAN的度数，再利用全等三角形的性质求出∠MAC的度数．
【详解】
∵∠ANC=120°，
∴∠ANB=1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)80°-120°=60°，
∵∠B=50°，
∴∠BAN=180°-60°-50°=70°，
∵△ABN≌△ACM，
∴∠BAN=∠MAC=70°．
故选B．21
cnjy
com
【点睛】
考查了全等三角形的性质和三角形内角为180o，解题关键是根据三角形内角和定理求出∠BAN的度数．
24．如图，已知△ABO≌△CDO，则下列结论不正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB＝OD
B．∠A＝∠C
C．AD＝BC
D．∠AOB＝∠COD
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
∵△ABO≌△CDO，
∴AO＝OC，AB＝CD，OB＝OD，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOB＝∠COD，
故选A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟记性质准确找出对应边与对应角是解题的关键．
25．如图所示中的的正方形网格中，（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正方形的轴对称得，，，.
【详解】
由图可知，所在的三角形与所在的三角形全等，
∴.
同理得，，.
又，
所以.
故选B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等.发现并利用全等三角形是解题的关键.
26．如图，，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的性质推出AD=BC即可．
【详解】
解：∵△ABC≌△CDA，
∴AD=BC=8cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质定理，关键是找出全等时的对应的线段．
27．有下列说法：①两个三角形全等，它们的形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（
）www.21-cn-jy.com
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的定义以及性质一一判断即可．
【详解】
两个三角形全等，它们的形状一定相同，故①正确，
两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，故②错误，
两个三角形全等，它们的面积一定相等，故③正确，
两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，故④错误，
综上，正确的说法是①③，
故选C.
【点睛】
本题考查了全等形的概念和特点，熟练掌握概念和性质是解题关键.
28．如图中的两个三角形全等，则等于(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由全等三角形的对应角相等可求得答案．
【详解】
解：
∵两三角形全等，
∴a、c两边的夹角相等，
∴α=60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
29．如图，△ABC
≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝8cm，则EC长为（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
【答案】B
【分析】
根据全等三角形性质求出EF=BC=5cm，求出CF，代入EF-CF即可求出答案．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=5cm，
∵BF=8cm，BC=5cm，
∴CF=8cm-5cm=3cm，
∴EC=EF-CF=5-3=2cm，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质得应用，关键是求出BC和CF的长，注意：全等三角形的对应边相等．
30．如图，△ABN≌△ACM，AB＝AC，BN＝CM，∠B＝50°，∠ANB＝60°，则∠MAC的度数等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120°
B．70°
C．60°
D．50°．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形对应角相等得出∠C=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠B=50°，∠ANB=∠AMC=60°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据三角形外角的性质求出∠BAM，即可得到结论．
【详解】
∵△ABN≌△ACM，∴∠C=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠B=50°，∠ANB=∠AMC=60°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－50°－50°=80°．
∵∠AMC=60°，∴∠BAM=∠AMC﹣∠B=60°－50°=10°，∴∠MAC=∠BAC－∠BAM=80°﹣10°=70°．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．
31．如图，已知△ABC≌△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，则EF的长为（
）21·世纪
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】
根据全等三角形性质，可得：∠ABC=∠DBE，进而得出∠ABD=∠FBE，得出∠FBE=∠E，得出BF=EF即可．
【详解】
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，BE=BC，
∴∠ABC-∠DBF=∠DBE-∠DBF，
即∠ABD=∠FBE，
∵∠ABD=∠E，
∴∠FBE=∠E，
∴BF=EF=BC-CF=10-4=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形性质，关键找出对应边和对应角．求线段的大小往往利用全等三角形的性质求解．
32．如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，则∠BCE的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20°
B．40°
C．70°
D．90°
【答案】C
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得∠DCE=∠ACB，然后根据∠BCE=∠DCE-∠DCB代入数据计算即可得解．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．
33．如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠EDC＝70°，则∠B的度数等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【答案】B
【分析】
直接利用全等三角形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠ADE，进而利用已知得出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠BDA＝∠ADE，
∵∠EDC＝70°，
∴∠BDA＝∠ADE＝×（180°﹣70°）＝55°．
故选：B．
【点睛】
考核知识点：全等三角形性质.理解性质是关键.
34．如图，△ABC≌△AED，点D在BC上，若∠EAB＝42°，则∠DAC的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．48°
B．44°
C．42°
D．38°
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，于是可得∠DAC=∠EAB，代入即可．
【详解】
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠EAB+∠BAD
=∠DA
C+∠BAD，
∴∠DAC=∠EAB=42°，
故选C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
35．已知图中的两个三角形全等，则∠1
等于(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．71°
B．61°
C．60°
D．48°
【答案】B
【分析】
先根据三角形的内角和定理求出∠2，再根据全等三角形的对应角相等得出对应角相等求出即可．
【详解】
解：如图，∠2=180°-48°-71°=61°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠2=61°．
故选B．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，掌握对应边所对的角即为对应角是解题的关键．
36．如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=80°，∠ABC=60°，那么下列结论中错误的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠D=80°
B．∠DBC=40°
C．AC=DB
D．BC=10
【答案】D
【分析】
根据全等三角形性质可得：对应角相等；对应边相等.
【详解】
因为△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=80°，∠ABC=60°，
所以∠D=∠A=80°，∠ACB=180°-80°-60°=40°;
AC=DB；AB=CD=10
所以∠DBC=∠ACB=40°
所以选项D错误.
故选：D
【点睛】
可得知识点：全等三角形性质.熟记性质是关键.
37．如图，在△ABC与△EMN中，，，∠C=∠M=54°，若∠A=66°，则下列结论正确的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．EN=a
C．∠E=60°
D．∠N=66°
【答案】A
【分析】
利用，，∠C=∠M=54°证明与全等，利用全等三角形的性质可得到答案．
【详解】
解：在与中，
所以：
所以B，C，D，都错误，A正确．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是关键．
38．如图，≌，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A′CB′，所以∠BCB′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
【详解】
解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠BCB′=∠A′CB′?∠A′CB=70°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键，难度适中．
39．如图，≌，下列结论正确的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，据此逐一判断即可的答案．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，故A、C、D选项错误，不符合题意，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC-CE=EF-CE，
∴BE=CF，故B选项正确，符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，正确找出对应边与对应角是解题关键．
40．若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30
B．27
C．35
D．40
【答案】A
【分析】
在△ABC中利用三角形内角和可求得∠A=70°，则可得∠A和∠D对应，则EF=BC，可得到答案．
【详解】
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠A和∠D对应，
∴EF=BC=30，
∴x=30，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键．
二、填空题
41．如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】110°
【分析】
由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答可求∠BFC的度数．
【详解】
解：设∠C′=α，∠B′=β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．
则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．
故答案为：110°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
42．在△ABC中，点D是BC边的中点，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=3，则AC的长为________.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】6
【分析】
如图，作CE∥AB，交AD的延长线于E，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，再证明△ADB≌△EDC，即可解决问题．
【详解】
如图，作CE∥AB，交AD的延长线于E．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠E=∠BAD=75°，∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=180°-∠E-∠CAE=180°-75°-30°=75°
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC，
∴AD=ED，
∴AE=2AD=6，
∴AC=AE=6．
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
43．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E⊥AB于点E且AE=8cm，F为AE的中点，G从A点向C点以每秒1个单位的速度运动，则点G经过_______秒时DG=DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4或12
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DH，易证Rt
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△AED≌Rt△AHD，得到AE=AH=8cm，然后由DG=DF可得Rt△EFD≌Rt△HGD，可得HG=EF=4cm，同理可得HG’=4cm，易求答案.
【详解】
解：作DH⊥AC，DG
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH，∠AED=∠AHD=90°，
∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），
∴AE=AH=8cm，
在Rt△EFD和Rt△HGD中，DE=DH,
∴当DG=DF时，Rt△EFD≌Rt△HGD，
∴HG=EF，
∵F为AE的中点，
∴EF=4cm，
∴HG=4cm，
同理可得HG’=4cm，
∴AG=8-4=4cm，AG’=8+4=12cm，
∵G从A点向C点以每秒1个单位的速度运动，
∴点G经过4秒或12秒时DG=DF.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键.
44．如图,已知△ABC和△B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DE都是等边三角形。则下列结论：①AE=CD.②BF=BG.③HB⊥FG.④∠AHC=60?.⑤△BFG是等边三角形，其中正确的有___.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①②④⑤
【分析】
由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】
∵△ABC与△BDE为等边三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60?，
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD，故①正确
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60?，
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF,∠BFG=∠BGF=60?，故②正确，
∴△BFG是等边三角形，故⑤正确，
∴FG∥AD，
∵BF=BG,AB=BC,∠ABF=∠CBG=60?，
∴△ABF≌△CGB，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，故④正确，
∵∠FGB=∠GBD=60°，
∴FG∥AD，
不妨设FG⊥BH,则BH⊥AD,易证△ABH≌△DBH，可得AB=BD，显然与已知条件矛盾，故③错误，
故答案为①②④⑤.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2·1·c·n·j·y
45．已知，如图∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF
（1）若以“SAS”为依据，还要添加的条件为_____；
（2）若以“ASA”为依据，还要添加的条件为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】BE＝CF或BC＝EF
∠A＝∠D
【分析】
（1）根据边角边的条件先找到对应边，再写出条件（2）根据角边角的条件先找到角，再写理由.
【详解】
解：（1），要使，且以“SAS”为依据，∴还要添加的条件为：或；
故答案为：或；
（2），要使，且以“”为依据，
∴还要添加的条件为：．故答案为：．
【点睛】
此题重点考查学生对三角形全等的条件的理解，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
三、解答题
46．如图，在中，,
点是的中点，于交于交的延长线于.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证:
(1)；
(2)
垂直平分.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据ASA即可证明△DBP≌△EBP；
（2）想办法证明△DBP≌△EBP（SAS）即可解决问题；
【详解】
证明：（1）由题意可知，∠DAH＋∠ADH＝90°，∠ACH＋∠ADH＝90°，
∴∠DAH＝∠ACH，
∵∠BAC＝90°，BE∥AC，
∴∠CAD＝∠ABE＝90°．
又∵AB＝CA，
∴在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，
又∵AD＝BD，
∴BD＝BE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，AB＝AC，
故∠ABC＝45°．
∵，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EBF＝90°?45°＝45°，
∴△DBP≌△EBP（SAS），
∴DP＝EP，
即可得出BC垂直且平分DE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线的判定等知识，此题关键在于转化为证明出△DBP≌△EBP．通过利用题中所给信息，证明出两三角形全等，而证明全等可以通过证明角相等和线段相等来实现．
47．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠A=∠C，AE=CF，AD=CB．判断BE和DF的位置关系，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】答案见解析
【分析】
求出AF=CE，根据SAS证△AFD≌△CEB，推出BE=DF，∠AFD=∠CEB，根据平行线的判定推出即可．
【详解】
解：结论：BE∥DF．
理由：∵AE=CF，
∴AE+EF=EF+CF，即AF=EC，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠BEC，
∴BE∥DF．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．
48．如图，AB＝CD，EC＝BF，∠ECA＝∠DBF，AC＝6，BC＝4．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：AE∥DF；
（2）求AD的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）8.
【分析】
（1）要证明AE∥DF，能通过△AEC≌△DFB，证明∠A=∠D，即可证明
（2）求AD的长度．因AB=CD，从而求出AD=AC+AB
【详解】
解：（1）∵AB＝CD，
∴AC+BC＝BD+BC
∴AC＝BD
在△AEC和△DFB中，
∴△AEC≌△DFB（SAS）
∴∠A＝∠D
∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）
（2）∵AB＝CD，AC＝6，BC＝4
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣4＝2
∴AD＝AC+CD＝AC+AB＝6+2＝8
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，关键抓住全等三角形的判定与性质即可解题．
49．如图所示，已知△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C
中，AB=AC，D
是
CB
延长线上一点，∠ADB=60°，E
是
AD上一点，E
是
AD的一点，且
DE=DB．求证：AE=BE+BC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
首先延长DC到F，使CF=BD，连接AF，易得△ABD≌△ACF，继而可得△ADF是等边三角形，△DEB是等边三角形．则可证得结论．
【详解】
证明：延长DC到F，使CF=BD，连接AF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴AD=A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F，
又∵∠ADB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF，
∵AD=AE+DE，DF=DB+BC+CF，
又∵DE=DB，且∠ADB=60°
∴△DEB是等边三角形．
∴DE=BE=DB=CF，
∴AE+DE=BE+BC+DE，
∴AE=BE+BC．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
50．已知：在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AE与BD的数量关系是
；
位置关系是
；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；
【分析】
（1）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；
（2）证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；
【详解】
(1)①证明：如图1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AE⊥BD；
(2)成立，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
证明：如图2,
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE≌△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，AE=BD，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
51．已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】5
【解析】
【分析】
由ASA证明△ABC≌△DAE，则AD=AB=5．
【详解】
证明：∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，
∴∠C=∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°．
∵AD⊥AB于A，
∴∠CAB+∠EAD=90°，
∴∠B=∠EAD（同角的余角相等）
∵∠C=∠AED=90°，BC=AE，∠B=∠EAD，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴AD=AB=5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
52．已知：如图，∠B=∠C，∠ADB=∠DEC，AB=DC.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：△ADE
为等腰三角形.
（2）若∠B=60°，求证：△ADE
为等边三角形.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】
（1）由题意证的ABD
≌
DCE
(SAS
)，即可得出AD=DE，即△ADE
为等腰三角形；
（2）通过（1）里面证的全等，得出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BDA+∠BAD=∠BDA+∠CDE=120°，进而得出∠ADE=60°，△ADE
为等腰三角形即可证的△ADE
为等边三角形.
【详解】
证明：①在
ABD
和
DCE
中，
ABD
≌
DCE
(SAS
)
DA
DE
即
ADE
为等腰三角形
②
ABD
≌
DCE
BAD
CDE
B
60
BAD
ADB
120
CDE
ADB
120
ADE
60
又
ADE
为等腰三角形
ADE
为等边三角形.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形和等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识点，难度适中.
53．如图，在等腰直角△ABC
中，∠ACB=90°，AC=BC，D
为
AB
中点，DE⊥DF.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图中有
对全等三角形；
（2）求证：ED=DF.
【答案】（1）3；（2）详见解析
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定证明即可.
【详解】
（1）∵△ABC是等腰直角三角形，且D?为?AB?中点≌
∴CD⊥AB，且CD=BD=AD
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°
又∵DE⊥DF
∴∠EDF=∠ADC=∠CDB=90°，即∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=∠CDF+∠FDB=90°
∴∠ADE
=∠CDF,
∠EDC
=∠FDB
由
（AAS）得：AED≌CFD
∴ED=FD
由（SAS）得：CED≌BFD
由（ASA）得：ACD≌BCD或ACD≌CBD
全等三角形有△AED≌CFD；CED≌BFD；ACD≌BCD或ACD≌CBD；
故答案为:
3
（2）
AC
BC，AD
BD
CDA
90，FCD
45
AD
CD
CDA
ADEEDC
EDF
CDFEDC
EDF
CDA
90
ADE
CDF
在AED与CFD中
AED≌CFD
DE
DF.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件.【来源：21·世纪·教育·网】
54．如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．
（1）求证：AE＝CD；
（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】(1)见解析（2）见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE≌△CBD即可得出结论；
（2）根据△ABE≌△CBD，可得AE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝CD，∠EAB＝∠DCB，再根据点P、Q分别是AE、CD的中点和SAS即可证明△ABP≌△CBQ，从而得∠PBA＝∠QBC，PB＝QB，进一步即可推得∠QBP＝∠ABC＝60°，由此可判断△PBQ的形状.
【详解】
（1）证明：∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）解：△PBQ是等边三角形．
证明如下：由（1）证明可知：△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，
∵点P、Q分别是AE、CD的中点，
∴AP＝AE，CQ＝CD，∴AP＝CQ，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴∠PBA＝∠QBC，PB＝QB，
∴∠QBP＝∠PBC+∠QBC＝∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴△PBQ是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握等边三角形、全等三角形的判定和性质是证明的关键.
55．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA证明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=AF，由线段垂直平分线的性质得到AB=BF，再根据等腰三角形的三线合一得出BD是∠ABC的角平分线，由角平分线的性质定理即可得出结论．
【详解】
证明：延长AE、BC交于点F.
如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AE⊥BE，
∴∠BEA=90°，
又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中,
，
∴△ACF≌△BCD(ASA)，
∴AF=BD.
又AE=BD，
∴AE=AF，即点E是AF的中点，
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DF⊥AB于F，
∴CD=DF.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线.
56．如图已知：在△ABC中，∠BAC=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．若BD=4，CE=6，试求DE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10
【分析】
首先证明△DBA≌△EAC，根据全等三角形的性质可得AE=DB，AD=CE，根据等量代换可得DE=DA+AE=CE+BD=10．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥m，
∴∠BDA=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AE=DB，AD=CE，
∵BD=4，CE=6，
∴DE=DA+AE=CE+BD=10．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
57．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF=AC．
（3）试说明CE=BF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）△DBC是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）根据已知条件得到∠BCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=45°，求得BD=CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠BCD=45°，
∴BD=CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵∠BFD=∠CFE，
∴∠DBF=∠DCA，
在△BDF与△CDA中，，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE=AC，
∴CE=BF．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
58．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD．
求证：BE⊥AC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
先利用“SAS”证明△ADC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和△BDF全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠FBD=∠CAD，然后求出∠CAD+∠AFE=90°，从而得到∠AEF=90°，再根据垂直的定义解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDF=90°，
∵在△ADC和△BDF中,
∴△ADC≌△BDF（SAS），
∴∠FBD=∠CAD；
∵∠BDF=90°，∴∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，∠FBD=∠CAD，
∴∠CAD+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°-（∠CAD+∠AFE）=90°，
∴BE⊥AC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，判断△ADC和△BDF全等，并得出∠CAD+∠AFE=90°是解题的关键．
59．已知：如图，在的内部，点、分别在射线、上，且,,，分别交、于点、.
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（1）如图①所示，若，，延长至点，使得，请证明EF=CE+DF；
（2）如图②所示，若∠AOB=α，.求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）∠MON＝.
【分析】
（1）易证△OCG≌△ODF（SAS），可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得∠COG＝∠DOF，OG＝OF，再证明△EOG≌△EOF（SAS），得到EF＝EG，即证明EF＝CE＋DF；
（2）仿照（1）的思路，延长EC至G，使CG＝DF，连接OG，先证明△OCG≌△ODF（SAS），再证明△OEG≌△OEF（SSS），即可求得∠MON＝．
【详解】
解：（1）∵CE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠OCG＝∠ODF＝90°，
∵OC＝OD，CG＝DF，
∴△OCG≌△ODF（SAS），
∴∠COG＝∠DOF，OG＝OF，
∵∠AOB＝90°，∠MON＝45°，
∴∠COE＋∠DOF＝45°，
∴∠COE＋∠COG＝45°，即∠EOG＝45°＝∠MON，
在△EOG和△EOF中，，
∴△EOG≌△EOF（SAS），
∴EF＝EG，
∴EF＝CE＋CG＝CE＋DF；
（2）如图②，延长EC至G，使CG＝DF，连接OG，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵CE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠OCG＝∠ODF＝90°，
∵OC＝OD，CG＝DF，
∴△OCG≌△ODF（SAS），
∴∠COG＝∠DOF，OG＝OF，
∵EG＝CE＋CG＝CE＋DF，EF＝CE＋DF，
∴EG＝EF，
∵OE＝OE，
∴△OEG≌△OEF（SSS），
∴∠EOG＝∠EOF，
∵∠EOG＋∠EOF＝∠COG＋∠AOF＝∠DOF＋∠AOF＝∠AOB＝α，
∴∠EOF＝∠AOB＝，即∠MON＝.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．21教育网
60．如图所示，，，，在一条直线上，，过，分别作，，.
（1）求证△ABF≌△CDE；
（2）求证：平分.
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【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）求出AF＝CE，∠BFA＝∠DEC＝90°，根据HL证出Rt△ABF≌Rt△CDE即可；
（2）求出BF＝DE，根据AAS证出△BFG≌△DEG即可．
【详解】
（1）∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
∴AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠DEC＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴BF＝DE，
在△BFG和△DEG中，，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG＝FG，即BD平分EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL；全等三角形的对应边相等，对应角相等．21cnjy.com
61．已知,如图△ABC中,∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F.
求证：BF=AC；21·cn·jy·com
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【答案】见解析
【分析】
根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可.
【详解】
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°,∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°,∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵，
∴△BDF≌△CDA(AAS)，
∴BF=AC；
【点睛】
此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
62．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
求证：△ABE≌△CBD；
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【答案】见解析
【分析】
由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证.
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS)；
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
63．如图，在△ABC中，AB=CB，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BAC＝∠BCA＝45°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．∠CAE=30°，求∠ACF的度数．21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】答案见解析.
【分析】
由∠BAC=∠BCA=45°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可得△ABC为等腰直角三角形，则可得到∠BAE=15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠ACF=∠BCF+∠BCA进行计算．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ABC=∠FBC=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中
∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=45°-30°=15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质：判定三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
64．如图，△OAB和△O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于点M．(1)
如图1，求证：AC=BD，判断AC与BD的位置关系并说明理由；
(2)
如图2，∠AOB＝∠COD＝60°时，∠AMD的度数为___________.
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【答案】(1)答案见解析；（2）
【分析】
易证
，
即可求得
即可判断AC与BD的位置关系
同理可得.
【详解】
即：
易证
AC=BD
∵
∴
∵
∴
∴AC⊥BD
（2）同理可得.
故答案为：
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.
65．如图，B、D、E在一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
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（1）求证：BD=CE
（2）猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠1+∠2，理由见解析.
【分析】
（1）首先求出∠BAD
=∠CAE，然后利用SAS证明△BAD≌△CAE可得BD=CE；
（2）根据全等三角形对应角相等求出∠ABD=∠2，由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2.
【详解】
（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD
=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）∠3=∠1+∠2，
理由：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠2，
∵∠3=∠1+∠ABD，
∴∠3=∠1+∠2.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，能证明△BAD≌△CAE是解此题的关键.
66．已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点．
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（1）如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，．
①当时，求的度数．
②当为何值时是直角三角形？
（2）如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①30°；②或；（2），见解析.
【分析】
(1)利用等边三角形的判定，性质，互余原理计算即可；
(2)利用分类思想，分两种情形求解；(3)过点Q作AC的平行线，利用全等三角形，等边三角形的性质计算即可.
【详解】
（1）①根据题意得，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴；
（2）由题意知，，
当时，
∵，
∴，得：
，
解得；
当时，
∵，
∴，
得，
解得；
∴当秒或秒时，为直角三角形；
（2），理由如下：
如图所示，过点作，交于，
则是等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形，数学分类思想，直角三角形的性质，构造辅助线，证明三角形的全等是解题的关键.www-2-1-cnjy-com
67．综合实践
如图①，，垂足分别为点，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的长；
（2）将所在直线旋转到的外部，如图②，猜想之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）如图③，将图①中的条件改为：在中，三点在同一直线上，并且，其中为任意钝角．猜想之间的数量关系，并证明你的结论．【版权所有：21教育】
【答案】(1)0.8cm;
(2)DE=AD+BE;
(3)DE=AD+BE，证明见解析．
【分析】
(1)本小题只要先证明，得到，，再根据，，易求出BE的值；
(2)先证明，得到，，由图②ED=EC+CD，等量代换易得到之间的关系；
（３）本题先证明，然后运用“AAS”定理判定，从而得到，再结合图③中线段ED的特点易找到之间的数量关系．
【详解】
解：(1)∵
∴
∴
∵
∴
∴
在与中，
∴
∴
又∵，
∴
(2)∵
∴
∴
∴
∴
∴
在与中，
∴
∴
又∵
∴
(3)∵
∴
∴
在与中，
∴
∴
又∵
∴
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．
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精品试卷·第
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