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1.3
探索三角形全等的条件
【基础训练】
一、单选题
1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（
）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】
根据三角形的三边关系定理，先看看能否组成三角形，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A、∵3+4＜8，∴根据AB=3，BC=4，AB=8不能画出三角形，故本选项错误；
B、根据∠C=90°，AB=6，一角和一边不能画出唯一三角形，故本选项错误；
C、根据AB=4，BC=3，∠A=30°，SSA不能画出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据∠A=60°，∠B=45°，AB=4，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
2．如图，，，，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先由已知可求得∠OAD的度数，通过三角形全等及三角形外角的性质可得∠AEC．
【详解】
解：∵如图，在△AOD中，∠O=50°，∠D=30°，
∴∠OAD=180°-50°-30°=100°，
在△AOD与△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
故∠D=∠C=30°．
∴∠AEC=∠OAD-∠C=70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质．解题过程中用到了三角内角和和三角形外角的性质，要根据题目的要求及已知条件的位置综合运用这些知识．
3．如图，点、、、在一条直线上，，，下列条件中，不能判定的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
当时，且，，由“SAS”可证，
当时，且，，由“AAS”可证，
当时，且，，由“ASA”可证，
当时，不能判定，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
4．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【详解】
解：不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．【来源：21·世纪·教育·网】
5．如图，，，添加下列条件不能判定的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定定理可解.
【详解】
A选项：根据ASA可以判定，故A错误；
B选项：根据SSA不能判定，故B正确；
C选项：根据SAS可以判定，故C错误；
D选项：根据，可推，所以根据SAS可以判定，故D错误．
故答案选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题关键.
6．如图，，下列条件中，不能判定与全等的是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定方法，逐个判断即可求解．
【详解】
A．满足AAS，故可判定△ABC与△DEF全等，不符合题意，
B．满足SAS，故可判定△ABC与△DEF全等，不符合题意，
C．满足ASA，故能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意，
D．三角对应相等，不能判定△ABC与△DEF全等，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．21教育网
7．如图，∠1=∠2，若要使△ABD≌△ACD，则要添加的一个条件不能是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB=AC
B．BD=CD
C．∠BAD=∠CAD
D．∠B=∠C
【答案】A
【分析】
利用三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．
【详解】
解：A、添加AB=AC，不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
B、添加BD=CD，可利用SAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；
C、添加∠BAD=∠CAD，可利用ASA判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；
D、添加∠B=∠C，可利用AAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．如图，为了测量池塘两侧两点间的距离，在地面上找一点，连接，使，然后在的延长线上确定点，使得到，通过测量的长，得的长，则的理由是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据SAS即可证明，由此即可解决问题．
【详解】
解：在△ACB和△ACD中，，
∴（SAS），
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
9．下列说法正确的是（
）
A．形状相同的两个三角形全等
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．三个角对应相等的两个三角形全等
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的判定定理依次判断即可．
【详解】
A选项，形状相同的三角形不一定是全等三角形，不符合题意；
B选项，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，不符合题意；
C选项，三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，不符合题意；
D选项，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，所以两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握并运用三角形全等的5个判定定理是解题的关键．
10．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（
）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D
B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
C．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D
D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的判定条件“SAS”逐项判断即可．
【详解】
A．BC边和EF边是对应边，所以所给条件证明不出．故A不符合题意．
B．边AB与BC都在中，边DE与EF都在中，所给条件不是对应边相等，所以证明不出，故B不符合题意．
C．AB边和DE边是对应边，所以所给条件证明不出，故C不符合题意．
D．相邻两对应边分别相等且所夹的角相等，可以利用SAS证明，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查利用“SAS”判定三角形全等，理解判定条件“SAS”的意义是解答本题的关键．
11．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝10，CF＝6，则BD等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】
根据平行的性质求得内错角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．
【详解】
∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠F，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等是解题的关键．
12．如图，已知AD＝AE，AF是公共边，用“SAS”证明△ADF和△AEF全等，给出条件正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AF平分∠BAC
B．DF＝EF
C．BF＝CF
D．∠B＝∠C
【答案】A
【分析】
题中要求用“SAS”证明两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形全等，而其中AD=AE，AF为公共边为已知条件，由此可知只需添加∠BAF=∠CAF，即AF平分∠BAC即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵AD=AE，AF为公共边，
当所给条件为AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线的定义的应用，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
13．如图，，，，，证明的理由是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】B
【分析】
根据SAS可证明两个三角形全等．
【详解】
因为，，
所以，
所以在与中，
，
所以（SAS），
故选B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且，，则DE的长等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AC
B．BC
C．
D．AB
【答案】D
【分析】
先证明∠D＝∠B，再根据AAS证明△ACB≌△ECD即可，从而得到答案．
【详解】
解：如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠AFD＝∠BFC，∠1＝∠2，
∴∠D＝∠B，
∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（AAS），
∴DE＝AB，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定条件以及基本性质，解本题的要点在于证明△ACB≌△ECD，从而得到答案．
15．如图所示，在中，，D为的中点，过点D分别向，作垂直线段、，则能直接判定的理由是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据AAS证明△BDE≌△CDF即可．
【详解】
解：∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)由点D分别向AB、AC作垂线段DE、DF，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
16．如图，要测量河两岸相对两点，的距离，可以在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使，，在一条直线上，这时测得的长是，那么的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．条件不够，无法判断
【答案】B
【分析】
利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而解题．
【详解】
解：，，
，
在和中，
，
，
，
m，
m．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法确定出三角形全等是解题的关键．
17．如图，已知∠A=∠D，∠1=∠2，若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中符合要求的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠B=∠E
B．ED=BC
C．AB=EF
D．AB=DE
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】
A、与题中条件形成三组对应角相等，无法证明全等，故错误；
B、C两组条件均不是对应边，与题目条件结合无法证明全等，故错误；
D、AB与DE是对应边，此时结合题目条件可运用“AAS”证明全等，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理，熟练掌握基本判定定理并灵活选择是解题关键．
18．根据下列已知条件，不能唯一画出的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定即可判断．
【详解】
A、满足三角形三边关系，且三边固定，能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、∠B是AB，BC的夹角，能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、两角夹一边，形状固定，可作唯一三角形，故本选项不符合题意；
D、三个角确定，但边不确定，可画出多个三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
19．如图，某同学把一块三角形的玻璃打
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是______，这么做的依据是______．（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．带①去，
B．带②去，
C．带③去，
D．①②③都带去，
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定定理，结合实际分析即可．
【详解】
第一块和第二块只保留了原三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．www.21-cn-jy.com
故选：C．
【点睛】
全等三角形判定的实际应用．
20．如图，6个边长相等正方形的组合图形，则的度数（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．90°
C．135°
D．225°
【答案】C
【分析】
利用全等证明∠3＝∠ACB，通过转化即可求出结果．
【详解】
如图，可知，则，，
是等腰直角三角形，，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，及等腰直角三角形的性质，熟练掌握基本的证明方法和性质是解决问题的关键．www-2-1-cnjy-com
21．下列说法正确的是（
）
A．在中，若，则是直角三角形
B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．所有正方形都是全等图形
D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等
【答案】A
【分析】
直角三角形的判定、正多边形的定义及三角形判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A.
若，设∠A=a，则∠B=2a,
∠C=3a．
∵
∠A+∠B+∠C=180°,
∴a+2a+3a=180°∴a=30°，3a=90°，∴是直角三角形，说法正确；
B.
各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故说法错误；
C.
所有正方形不是全等图形，说法错误；
D.
如果两个三角形有两边和两边的夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，故说法错误．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握直角三角形的判定、正多边形的定义及三角形判定．
22．如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，，已知，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．6
C．6.5
D．7
【答案】C
【分析】
根据、，可得∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，且EF=BC，可证，
从而得AC=DF，DC=AF，再根据，，求出DC，从而求出AC的长．21·cn·jy·com
【详解】
∵、，
∴∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，
在和中，∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，EF=BC，
∴，
∴AC=DF，可得DC=AF
又DC=(FC-AD)÷2=(10-3)÷2=3.5
∴AC=AD+DC=6.5
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握三角形的全等判定及性质是解决问题的关键，同时对于线段长度的转换是比较关键的．【版权所有：21教育】
23．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带④去
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】
观察碎成的四块玻璃，带④去，可以根据ASA定理，配一块完全一样的玻璃，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
24．下列条件中，能利用“”判定△≌△A′B′C′的是
（
）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B．AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′
C．AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C′
D．
AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′C′
【答案】C
【分析】
依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可．
【详解】
解：A、边边角不能证明两个三角形全等，故A错误；
B、边边角不能证明两个三角形全等，故B错误；
C、AC=A'C'，∠C=∠C'，BC=B'C'，符合ASA，故C正确；
D、边边角不能证明两个三角形全等，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25．下列条件中，不能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
任意两个三角形全等的判定方法有：，利用判定方法逐一判断每个选项即可．
【详解】
选项：根据已知条件可判定，判定定理为，故不符合题意;
选项：根据已知条件可判定，判定定理为，故不符合题意;
选项：根据已知条件可判定，判定定理为，故不符合题意;
选项：根据已知条件不能判定，故符合题意．
故选．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法并熟练使用是解题的关键．
26．如图，已知，下面给出的条件中，不能得到的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先说明AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
∴AC=DF，
A、添加，根据AAS即可证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、添加，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加，只满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，符合题意；
D、添加，根据SAS即可证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．21·世纪
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27．如图，在正中，D为上一点，E为上一点，交于P，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
证明△AEC≌△CDB，得到∠ACP=∠DBC，再根据外角的性质可得∠BPE．
【详解】
解：在正△ABC中，AC=BC，∠A=∠BCD，
又∵AE=DC，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACP=∠DBC，
∴∠BPE=∠DBC+∠ECB=∠ACP+∠ECB=60°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是利用全等得到一对对应角相等，进而求得所求角的度数．
28．如图，中边上的高为中边上的高为，下列结论正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【分析】
本题可通过构建全等三角形进行求解．过点A作
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；因此只要证明△AMC≌△FNE，即可得出h1=h2．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；
在△AMC和△FNE中，
∵AM⊥BC，FN⊥DE，
∴∠AMC=∠FNE；
∵∠FED=115°，
∴∠FEN=65°=∠ACB；
∵又AC=FE，
∴△AMC≌△FNE；
∴AM=FN，
∴h1=h2．
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质；做题中通过作辅助线构造了全等三角形是解决本题的关键，也是一种很重要的方法，要注意学习、掌握．
29．在下列条件中，不能说明的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
【分析】
根据题意，对选项一一分析，选择正确答案．
【详解】
解：A、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故选项不合题意；
B、∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，SSA不能判定两个三角形全等，故选项符合题意；
C、∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′，可用AAS判定△ABC≌△A′B′C，故选项不合题意；
D、AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′，可用SSS判定△ABC≌△A′B′C，故选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
30．如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【详解】
解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
31．如图，已知，，和，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】
由“AAS”可证△AOB≌△COD，可得AO=CO=3，即可求OC的长．
【详解】
解：∵AB=CD，∠1=∠2，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO=CO=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AOB≌△COD是本题的关键．
32．如图，的面积为，的平分线垂直于点P，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
延长AP交BC于E，根据AP垂直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【详解】
解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=
S△ABC=4cm2，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．
33．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（
）
A．一条直角边和斜边分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一个锐角和一条斜边分别对应相等
D．两个锐角分别对应相等
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A.
可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；
B.
可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C.
可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
D.
两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．21cnjy.com
34．如图，已知，则下列条件中，能够判定的有（
）
①；②；③；④．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
【详解】
解：∵∠D=∠C=90°，AB=AB，
①、添加，满足AAS，可判定△ABC≌△ABD；
②、添加AD=AC，满足HL，可判定△ABC≌△ABD；
③、添加，满足AAS，可判定△ABC≌△ABD；
④、添加，满足HL，可判定△ABC≌△ABD；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
35．如图，在上，在上，且，则下列条件中，无法判定的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A、正确，符合判定AAS；
B、正确，符合判定ASA；
C、正确，符合判定AAS；
D、不正确，三角形全等必须至少有一条边．
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，是一道较为简单的全等三角形判定题目，强调AAA不能判定两三角形全等．
36．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．
【详解】
解：，
，
在和中，
，
，
，
，
cm，
cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
37．如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由图形可知AC=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
解：在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，AC=AC，
∴当∠B=∠D=90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故A符合；
当∠BCA=∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不符合；
当∠BAC=∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C符合；
当CB=CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故D符合；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
38．在和中，条件：①；②；③；④；⑤；⑥；则下列各组给出的条件不能保证的是（
）
A．①②③
B．①②⑤
C．②⑤⑥
D．①③⑤
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定方法
对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、①②③可以利用“SSS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
B、①②⑤可以利用“SAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
C、②⑤⑥可以利用“AAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合；
D、①③⑤符合“SSA”，不能证明△ABC≌△DEF，故本选项符合．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
39．已知：如图，，添加下列一个条件仍不能判定的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【详解】
解：A、当添加AC=BD时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
B、当添加∠CAB=∠DBA时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
C、当添加∠C=∠D时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D、当添加BC=AD时，且∠ABC=∠BAD，AB=BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
40．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．以上三种都可以
【答案】B
【分析】
由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】
解：由图可知，，又，
在和中，
，
，
，
即是的平分线．
故答案为：．
故选：B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
二、填空题
41．下列各图中，左面ΔABC的边长为a、b、c，则甲、乙、丙三个三角形中和左侧△ABC不全等的是___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】甲
【分析】
利用三角形全等的判定方法对各图进行判断．
【详解】
解：根据“SAS”判断图乙中的三角形与△ABC全等；
根据“AAS”判断图丙中的三角形与△ABC全等．
根据图中数据不能判断甲图中的三角形与△ABC全等
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
42．如图，线段，相交于点，，要使，只需增加的一个条件是________．（只要填出一个即可）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】AE=DE或∠A=∠D或∠B=∠C
【分析】
根据全等三角形的判定方法添加条件即可．
【详解】
解：∵BE=CE，∠AEB=∠DEC，
添加AE=DE，可根据SAS证明△ABE≌△DCE，
添加∠A=∠D，可根据AAS证明△ABE≌△DCE，
添加∠B=∠C，可根据ASA证明△ABE≌△DCE，
故答案为：AE=DE或∠A=∠D或∠B=∠C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．
43．如图所示，在和中，在同一条直线上．已知，请你添加一个适当的条件___________，使（只需添加一个即可）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】AB=DE（或∠ACB=∠DFE）
【分析】
由条件可得出BC=EF，且AC=DF，故可再加一组对应边相等或一组两边的夹角相等可证明全等．
【详解】
解：∵BE=CF，
∴BC=EF，且AC=DF，
所以当AB=DE时，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
或当∠ACB=∠DFE时，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
所以可添加AB=DE或∠ACB=∠DFE，
故答案为：AB=DE（或∠ACB=∠DFE）．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
44．如图，已知，要使，还需添加的条件是：___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】BE＝CE
【分析】
根据题意，易得∠AEB＝∠AEC，又AE是公共边，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．
【详解】
解：∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠AEC，
又∵
AE=AE，
∴BE＝CE时，△ABE≌△ACE（SAS），
故答案是:
BE＝CE．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定方法，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
45．如图，在和中，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①；②；③平分；④.正确的结论序号是______________．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①②
【分析】
①通过证明即可得出结论；
②利用全等三角形的性质和三角形内角和定理判断即可；
③假设成立，然后推出矛盾即可判断；
④根据前③中的全等三角形的性质判断看能否推出结论．
【详解】
如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
∵，，
，
，故①正确；
，
，
，故②正确；
假设③正确，此时有，
而根据则与不可能全等，故假设不成立，故③错误；
而④无法证明，
故答案为：①②
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是关键．
三、解答题
46．如图，，求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据AE=BF，得到AF=BE，再利用SSS证明△ADF≌△BCE，得到∠A=∠B，可得ADBC．
【详解】
解：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
又∵AD=BC，DF=CE，
∴△ADF≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B，
∴ADBC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是结合已知条件，找准三角形证明全等．
47．已知：如图，，点E在的延长线上，说明的理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
首先证明可得，然后再证明可得．
【详解】
解：证明：在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
48．如图，在中，，点D是边上的一点，于D，交于M，且，过点E作分别交于点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质求得∠B=∠EFD，然后依据AAS即可证得△ABC≌△EFD；
（2）根据三角形内角和定理求得∠AMD，然后根据对顶角相等即可求得．
【详解】
解：（1）∵DE⊥AB于D，
∴∠EDF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠EDF，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EFD，
在△ABC与△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（AAS）；
（2）∵∠EDF=90°，
∴∠ADM=180°-∠EDF=90°，
在△ADM中，∠A+∠AMD+∠ADM=180°且∠A=25°
∴∠AMD=180°-∠A-∠ADM=65°，
∴∠EMN=∠AMD=65°．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，对顶角相等的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
49．如图，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）线段_________（填写图中现有的一条线段）．
（2）证明你的结论．
【答案】（1）DF；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意可得AC=DF；
（2）根据平行线的性质得到∠B=∠DEF，根据BE=CF得到BC=EF，利用AAS证明△ABC≌△DEF，即可证明．
【详解】
解：（1）AC=DF，
故答案为：DF；
（2）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BE+EC=CE+CF，即BC=EF，
又∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法．
50．如图，DE=CA，AB//DE，∠1=70°，∠D=110°，求证：
△ABC≌△EAD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见详解．
【分析】
由∠1＝70°得∠ACB＝110°，得∠D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=∠ACB；再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件DE＝CA，可利用ASA证得△ABC≌△EAD．21世纪教育网版权所有
【详解】
证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，
又∵∠D＝110°，
∴∠ACB＝∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(ASA)．
【点睛】
本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据全等三角形证明的方法判定即可．
51．如图，求的长度．
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【答案】5
【分析】
根据三角形内角和得到∠D=∠B，再根据等量代换得到∠DAE=∠BAC，利用ASA证明△ADE≌△ABC，得到AE=AC即可．
【详解】
解：如图，∵∠1=∠3，∠AFD=∠BFE，
∴∠D=∠B，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，
又∵AD=AB，
∴△ADE≌△ABC（ASA），
∴AE=AC=5．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件找到三角形全等的条件．
52．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．
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【答案】见解析
【分析】
由“SSS”可证△ABC≌△EDF，可得∠A=∠E，可证AB∥ED．
【详解】
解：证明：∵AF=EC，
∴AC+FC=EF+FC，
即AC=EF，
∵AB=ED，BC=DF，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠A=∠E，
∴AB∥ED．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明△ABC≌△EDF是本题的关键．
53．如图，点、、、在同一条直线上，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）先证出，再用证明≌，即可得出结论；
（2）先由直角三角形的性质得，再由全等三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】
（1）证明：，
，
即，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：，，
，
由（1）得：≌，
，
．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握用定理证明两个直角三角形全等是解题的关键．
54．如图，AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE．BE与CD交于点O．
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求证：（1）BE=CD
（2）∠BOD=∠BAD
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得BE=CD；
（2）根据三角形内角和定理证明即可．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB
在△ACD和△AEB中
∴△ACD≌△AEB
∴CD=BE
(2)由(1)可知∠ADC=∠ABE
又∵∠1=∠2
∠1+∠ADC+∠BAD=∠2+∠ABE+∠BOD=180°
∴∠BOD=∠BAD
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【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．
55．如图，点
B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且
AB=DE，BF=CE．
（1）求证：AG=DG；
（2）若∠A=65°，求∠AGF
的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见详解；（2）∠AGF=50°
【分析】
（1）由题意易得BC=EF，然后可证，进而可得，则问题可证；
（2）由题意易得∠ACB=25°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴，
∵BF=CE，
∴，即，
∵AB=DE，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴；
（2）由（2）得：，，
∵∠A=65°，
∴∠ACB=∠DFE=25°，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
56．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝
cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据BD⊥直线m，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．
【详解】
证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE，
∵BD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE=∠ABD是解题的关键．
57．在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求证：；
（2）若，则的度数为
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）理由见解析；（2），理由见解析．
【分析】
（1）由SAS证明即可；
（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴AD＝CD，
∴是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，
∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，
∴∠B＝∠CED＝67°，
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质．
58．如图，已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠DAB和∠DCB的平分线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：（1）∠BAE+∠BCF=90°
（2）AE∥FC
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据四边形的内角和，可得∠BCD+∠BAD=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；
（2）由互余可得∠BEA=∠BCF，根据平行线的判定，即可得出．
【详解】
（1）∵AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，∠DCF=∠BCF，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠DAB+∠BCD=360°-180°=180°，
∴2（∠BAE+∠BCF）=180°，
∴∠BAE+∠BCF
=90°；
（2）在△ABE中，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵∠BAE+∠BCF
=90°，
∴∠BEA=∠BCF，
∴AE∥CF．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握四边形内角和为360°，同位角相等，两直线平行.
59．如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，连接AC，求证：AB//CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
根据全等三角形的判定与性质，平行线的判定即可证得结论．
【详解】
证明：在△ADC与△CBA中，
∵AB＝CD
，AD＝CB，AC＝CA，
∴△ADC≌△CBA(SSS)，
∴∠ACD＝∠CAB．
∴AB//CD．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
60．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）猜想线段AD、BE、DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD、BE、DE之间的数量关系是
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）AD＝BE＋DE，见解析；（3）DE＝AD＋BE
【分析】
（1）由已知推出∠CDA=∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)EC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，推出∠DAC=∠ECB，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB；2-1-c-n-j-y
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD=∠CBE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠CDA＝∠BEC＝90°．
∴∠ACD＋∠DAC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠DAC＝∠ECB．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB．
（2）AD＝BE＋DE．
理由如下：
由（1）知△ADC≌△CEB．
∴AD＝CE，CD＝BE．
∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE．
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（3）DE＝AD＋BE．
理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵∠ADC=∠CEB，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵CD+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
【点睛】
本题主要考查了余角的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证明△ADC≌△CEBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．2·1·c·n·j·y
61．如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB，AC于E，F．
（1）试说明：EO＝BE；
（2）探究图①中线段EF与BE，CF间的关系，并说明理由；
（3）探究图②，△ABC中若∠ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F，这时EF与BE，CF的关系又如何？请直接写出关系，不需要说明理由．
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【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）由题意易得∠EOB=∠EBO，∠ABO=∠OBC，则有∠EOB=∠ABO，进而问题得证；
（2）由题意易得∠FOC=∠OCB，∠FCO=∠OCB，则有∠FCO=∠FOC，然后可得CF=OF，由（1）得BE=OE，进而问题可求解；
（3）同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，然后问题可求解．
【详解】
证明：（1）∵EF∥BC
，
∴∠EOB=∠EBO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∴∠EOB=∠ABO，
∴BE=OE；
（2）解：，理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB，
∵CO平分∠ACB，
∴∠FCO=∠OCB，
∴∠FCO=∠FOC，
∴CF=OF，
由（1）得：BE=OE，
∴EF=BE+CF；
（3）解：EF=BE-CF，理由如下：
同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键，也要熟练掌握“双平等腰”模型．21教育名师原创作品
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精品试卷·第
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1.3
探索三角形全等的条件
【基础训练】
一、单选题
1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（
）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
2．如图，，，，，则等于（
）
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A．
B．
C．
D．
3．如图，点、、、在一条直线上，，，下列条件中，不能判定的是（
）
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A．
B．
C．
D．
4．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（
）
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A．
B．
C．
D．
5．如图，，，添加下列条件不能判定的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．如图，，下列条件中，不能判定与全等的是
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A．
B．
C．
D．
7．如图，∠1=∠2，若要使△ABD≌△ACD，则要添加的一个条件不能是（ ）
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A．AB=AC
B．BD=CD
C．∠BAD=∠CAD
D．∠B=∠C
8．如图，为了测量池塘两侧两点间的距离，在地面上找一点，连接，使，然后在的延长线上确定点，使得到，通过测量的长，得的长，则的理由是（
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A．
B．
C．
D．
9．下列说法正确的是（
）
A．形状相同的两个三角形全等
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．三个角对应相等的两个三角形全等
D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
10．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（
）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D
B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
C．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D
D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
11．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝10，CF＝6，则BD等于（ ）
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A．6
B．4
C．3
D．2
12．如图，已知AD＝AE，AF是公共边，用“SAS”证明△ADF和△AEF全等，给出条件正确的是（
）
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A．AF平分∠BAC
B．DF＝EF
C．BF＝CF
D．∠B＝∠C
13．如图，，，，，证明的理由是（
）．
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A．HL
B．SAS
C．ASA
D．AAS
14．如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且，，则DE的长等于（
）
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A．AC
B．BC
C．
D．AB
15．如图所示，在中，，D为的中点，过点D分别向，作垂直线段、，则能直接判定的理由是（
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A．
B．
C．
D．
16．如图，要测量河两岸相对两点，的距离，可以在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使，，在一条直线上，这时测得的长是，那么的长为（
）
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A．
B．
C．
D．条件不够，无法判断
17．如图，已知∠A=∠D，∠1=∠2，若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中符合要求的是（
）
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A．∠B=∠E
B．ED=BC
C．AB=EF
D．AB=DE
18．根据下列已知条件，不能唯一画出的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
19．如图，某同学把一块三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是______，这么做的依据是______．（
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A．带①去，
B．带②去，
C．带③去，
D．①②③都带去，
20．如图，6个边长相等正方形的组合图形，则的度数（
）
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A．45°
B．90°
C．135°
D．225°
21．下列说法正确的是（
）
A．在中，若，则是直角三角形
B．每条边都相等的多边形是正多边形
C．所有正方形都是全等图形
D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等
22．如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，，已知，，则的长为（
）
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A．5
B．6
C．6.5
D．7
23．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（
）2·1·c·n·j·y
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A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带④去
24．下列条件中，能利用“”判定△≌△A′B′C′的是
（
）
A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′
B．AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′
C．AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C′
D．
AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′C′
25．下列条件中，不能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
26．如图，已知，下面给出的条件中，不能得到的是（
）
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A．
B．
C．
D．
27．如图，在正中，D为上一点，E为上一点，交于P，若，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
28．如图，中边上的高为中边上的高为，下列结论正确的是（
）
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A．
B．
C．
D．无法确定
29．在下列条件中，不能说明的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
30．如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
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A．
B．
C．
D．
31．如图，已知，，和，则（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
32．如图，的面积为，的平分线垂直于点P，则的面积为（
）
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A．
B．
C．
D．
33．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（
）
A．一条直角边和斜边分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一个锐角和一条斜边分别对应相等
D．两个锐角分别对应相等
34．如图，已知，则下列条件中，能够判定的有（
）
①；②；③；④．
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
35．如图，在上，在上，且，则下列条件中，无法判定的是（
）
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A．
B．
C．
D．
36．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（
）
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A．
B．
C．
D．
37．如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（
）
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A．
B．
C．
D．
38．在和中，条件：①；②；③；④；⑤；⑥；则下列各组给出的条件不能保证的是（
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A．①②③
B．①②⑤
C．②⑤⑥
D．①③⑤
39．已知：如图，，添加下列一个条件仍不能判定的是（
）
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A．
B．
C．
D．
40．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（
）21·世纪
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A．
B．
C．
D．以上三种都可以
二、填空题
41．下列各图中，左面ΔABC的边长为a、b、c，则甲、乙、丙三个三角形中和左侧△ABC不全等的是___________．www-2-1-cnjy-com
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42．如图，线段，相交于点，，要使，只需增加的一个条件是________．（只要填出一个即可）2-1-c-n-j-y
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43．如图所示，在和中，在同一条直线上．已知，请你添加一个适当的条件___________，使（只需添加一个即可）21
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44．如图，已知，要使，还需添加的条件是：___________．
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45．如图，在和中，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①；②；③平分；④.正确的结论序号是______________．【来源：21cnj
y.co
m】
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三、解答题
46．如图，，求证：．
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47．已知：如图，，点E在的延长线上，说明的理由．
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48．如图，在中，，点D是边上的一点，于D，交于M，且，过点E作分别交于点．
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（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
49．如图，．
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（1）线段_________（填写图中现有的一条线段）．
（2）证明你的结论．
50．如图，DE=CA，AB//DE，∠1=70°，∠D=110°，求证：
△ABC≌△EAD．
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51．如图，求的长度．
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52．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．
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53．如图，点、、、在同一条直线上，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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54．如图，AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE．BE与CD交于点O．
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求证：（1）BE=CD
（2）∠BOD=∠BAD
55．如图，点
B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且
AB=DE，BF=CE．21cnjy.com
（1）求证：AG=DG；
（2）若∠A=65°，求∠AGF
的度数．
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56．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝
cm．
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57．在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求证：；
（2）若，则的度数为
．
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58．如图，已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠DAB和∠DCB的平分线．
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求证：（1）∠BAE+∠BCF=90°
（2）AE∥FC
59．如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，连接AC，求证：AB//CD
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60．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）猜想线段AD、BE、DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD、BE、DE之间的数量关系是
．
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61．如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB，AC于E，F．
（1）试说明：EO＝BE；
（2）探究图①中线段EF与BE，CF间的关系，并说明理由；
（3）探究图②，△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F，这时EF与BE，CF的关系又如何？请直接写出关系，不需要说明理由．
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