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1.3
探索三角形全等的条件
【提升训练】
一、单选题
1．如图，已知AD是△ABC的角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E.以下四个结论：(1)∠EAD＝∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠FDE=90°；(4)∠B＝∠CAE.恒成立的结论有（
）
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A．(1)(2)
B．(2)(3)(4)
C．(1)(2)(4)
D．(1)(2)(3)(4)
2．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．10
C．11
D．13
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝4，则AC的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．2
C．2
D．
4．下列条件中能作出唯一三角形的是(
)
A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm
B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一个锐角、一条直角边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条斜边、一条直角边对应相等
6．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（
）．21·cn·jy·com
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A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
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A．AD＝BD
B．BD＝CD
C．∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C
8．如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．5
C．6
D．7
10．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6cm，AB=8cm，则△EBC的周长是（
）
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A．14cm
B．18cm
C．20cm
D．22cm
11．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，，，添加以下条件之一，仍不能证明≌的是 21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC中，∠C=9
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=8S△BDE其中正确的有（
??）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（
）
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A．∠B=∠E，BC=EF
B．∠A=∠D，BC=EF
C．∠A=∠D，∠B=∠E
D．BC=EF，AC=DF
14．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（
）.
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A．BD=DC，AB=AC
B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D．∠B=∠C，BD=DC
15．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为(
)
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A．
B．4
C．
D．
16．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（ ）
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A．90°
B．100°
C．120°
D．130°
17．如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．8
C．7
D．6
18．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是（ ）21教育名师原创作品
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A．∠A＝∠D
B．AB＝DC
C．AC＝DB
D．OB＝OC
19．如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,则AB,AC,CE的长度关系为（
??）
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A．AB>AC=CE
B．AB=AC>CE
C．AB>AC>CE
D．AB=AC=CE
20．如图，△ABC
中，∠C=90°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD
平分∠BAC，过点
D
作
DE⊥AB
于
E，测得
BC=9，BD=5，则
DE
的长为（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
21．如用，AD是中的角平分线，于点E，，，，则AC的长是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．7
22．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
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A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
23．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
24．如图，有两个长度相同的滑梯靠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是(
)【来源：21cnj
y.co
m】
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A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
25．如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有(
)
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A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
26．如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
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A．BC=ED
B．∠BAD=∠EAC
C．∠B=∠E
D．∠BAC=∠EAD
27．如图，AD是△ABC的角平分线，DE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有(
)
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A．①②③
B．①③④
C．②③
D．①②③④
28．如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
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A．AD=BC
B．AC=BD
C．OD=OC
D．∠ABD=∠BAC
29．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
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A．AB＝AE
B．BC＝ED
C．∠C＝∠D
D．∠B＝∠E
30．如图，已知△ABC中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
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A．2
B．3
C．2或3
D．1或5
31．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（
）
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A．AB=DE
B．AC=DF
C．∠A=∠D
D．BF=EC
32．AD是△ABC的中线，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DE=DF，下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；其中正确的有（ ）【出处：21教育名师】
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
33．如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（
）.
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A．Rt△ACD和Rt△BCE全等
B．OA=OB
C．E是AC的中点
D．AE=BD
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（ ）【版权所有：21教育】
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A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
35．如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A．AB=DC,AC=DB
B．AB=DC,∠ABC=∠DCB
C．BO=CO,∠A=∠D
D．AB=DC,∠DBC=∠ACB
36．如图，D为△ABC边BC上一点，AB=AC，且BF=CD，CE=BD，则∠EDF等于
(
)
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A．90°－∠A
B．90°－∠A
C．180°－∠A
D．45°－∠A
37．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（
）
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A．BE+CF＞EF
B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关
系不能确定．
38．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（
）
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A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．DC＝BE
D．∠ADC＝∠AEB
39．如图,点A,B,C在一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面的结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中结论正确的有(
??)21教育网
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
40．如图，点C是线段AE上一动
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（
）个2·1·c·n·j·y
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A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
41．如图，在四边形中，于点，且平分，若的面积为，则的面积为________．
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42．如图，已知，添加一个条件________，可以得到．
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43．如图，和中，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你添加一个条件__________使和全等．
【来源：21·世纪·教育·网】
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44．如图，在中，与相交于点F，且，则之间的数量关系是_____________．
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45．如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且与所在的直线交于点P，若，则_______．2-1-c-n-j-y
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46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC＝11cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以4cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动_____s时，CF＝AB．
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三、解答题
47．如图，为的角平分线，F是线段上一点，，延长与线段相交于点D．
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（1）求证：；
（2）若，求的度数．
48．已知和中，，，，请判断与的位置关系，并说明理由．
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49．如图，//，，AQ平分，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，，求的度数．
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50．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
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52．如图，BC⊥AD于C，EF⊥AD于F，AB∥DE，分别交BC于B，交EF于E，且BC=EF．求证：AF=CD．
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53．如图，，，点、在上，，再添加一个什么条件后可推出，写出添加的条件并完成证明．
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54．如图，点在一条直线上，．
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求证：（1）
（2）
55．已知：如图，AC＝BD，BD⊥AD于点D，AC⊥BC于点C．求证：∠ABC＝∠BAD．
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56．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．
求证：AB=DE．
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57．如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且，的延长线与交于点．求证：．21·世纪
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58．如图，、、三点共线，，，．求证：．
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59．如图，于，于，若，．
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求证：平分；
已知，，求的长．
60．如图，已知在ABC中，BD是∠ABC的角平分线，，，求∠DBC的度数．
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61．在中，，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连结CE．21
cnjy
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（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果，则________．
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．
62．是经过顶点的一条直线，．、分别是直线上两点，点在点的左侧，且．
（1）直线经过的内部，、两点在射线上．
①如图1，若，，则______（填“”、“”或“”）；、、三条线段之间的数量关系是：______．www.21-cn-jy.com
②如图2，若，，①中的两个结论是否仍然成立，请说明理由．
（2）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出、、三条线段之间的数量关系．
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63．在△ABC中，∠ACB＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．21cnjy.com
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（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
64．在学习全等三角形知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”
兴趣小组进行了如下操究：
（1）如图1、两个等腰三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是
，此线BD和CE的数量关系是
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（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：
（3）如图3，已知△ABC、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、
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1.3
探索三角形全等的条件
【提升训练】
一、单选题
1．如图，已知AD是△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E.以下四个结论：(1)∠EAD＝∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠FDE=90°；(4)∠B＝∠CAE.恒成立的结论有（
）
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A．(1)(2)
B．(2)(3)(4)
C．(1)(2)(4)
D．(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【分析】
由中垂线的性质知，DE=AE，由等边对等角知，∠EAD=∠EDA，故可判断(1)
由中垂线的性质知，FD=FA?∠FDA=∠FAD，由AD平分∠BAC?∠FAD=∠DAC，∠FDA=∠DAC?DF∥AC，故可判断(2)
由三角形的外角与内角的关系知，∠EAD=∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，而∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠DAC，故有∠EAC=∠B．故可判断(4)
【详解】
(1)∵EF是AD的中垂线，
∴DE=AE.
∴∠EAD=∠EDA.故(1)正确
∵EF为中垂线，
∴FD=FA.
∴∠FDA=∠FAD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAC，
所以∠FDA=∠DAC.
∴DF∥AC.故(2)正确
∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，
∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，
∵∠FAD=∠DAC，
∴∠EAC=∠B.故(4)正确
故选C
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于由中垂线的性质得到，DE=AE，由等边对等角得到，∠EAD=∠EDA
2．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（
）
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A．8
B．10
C．11
D．13
【答案】A
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
【详解】
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝4，则AC的长为（ ）
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A．2
B．2
C．2
D．
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，得到∠ECB=∠B=30°，求出DE、BD和BC，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠B＝30°，
∴DE＝BE＝2，
由勾股定理得，，
∴BC＝2BD＝4，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACE＝30°，
∴∠A＝90°，又∠B＝30°，
∴AC＝BC＝2，
故选B．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4．下列条件中能作出唯一三角形的是(
)
A．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm
B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm
C．∠A＝∠B＝∠C＝60°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
【答案】A
【分析】
看是否符合所学的全等的公理或定理及三角形三边关系即可．
【详解】
A.符合全等三角形的SSS，能作出唯一三角形，故该选项符合题意，
B.AB+AC=BC，不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；故该选项不符合题意，
C.属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
D.属于全等三角形判定中的AAA的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，
故选A.
【点睛】
此题主要考查由已知条件作三角形，应用了全等三角形的判定和三角形三边之间的关系．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一个锐角、一条直角边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条斜边、一条直角边对应相等
【答案】A
【分析】
根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用HL判定两三角形全等，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．
6．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
过点P作PF⊥AD于F，作
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF=PE，PG=PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离．www.21-cn-jy.com
【详解】
过作，，由题意知平分，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴，
同理，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出AD、BC间的距离的线段是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AD＝BD
B．BD＝CD
C．∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C
【答案】A
【分析】
根据已知和公共边科证明△ADB≌△ACD，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．
【详解】
∵AB＝AC，AD＝AD，AD⊥BC，
∴Rt△ADB≌Rt△ACD（HL），
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C（全等三角形的对应角、对应边相等）
故B、C、D一定成立，A不一定成立．
故选A．
【点睛】
本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD是公共边．
8．如图，在中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出，进而得出，利用三角形内角和解答即可．
【详解】
将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
，
的垂直平分线交AB于点E，
，
，
，
在中，，
解得：，
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
9．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】
只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=4，BF=DE=3，推出AD=AF+DF=4+(3-2)=5.
【详解】
解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，
∵EF＝2，
∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
10．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6cm，AB=8cm，则△EBC的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．14cm
B．18cm
C．20cm
D．22cm
【答案】A
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故CE+BE=AB，再由△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB，即可得出结论．
【详解】
是中AC边的垂直平分线，
，
，
，
的周长，
故选A．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
11．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，，，添加以下条件之一，仍不能证明≌的是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由EB=CF，可得出EF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
【详解】
添加，根据AAS能证明≌，故A选项不符合题意．
B.添加与原条件满足SSA，不能证明≌，故B选项符合题意；
C.添加，可得，根据AAS能证明≌，故C选项不符合题意；
D.添加，可得，根据AAS能证明≌，故D选项不符合题意，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=8S△BDE其中正确的有（
??）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°，
∵AD=AD，
∴△DAC≌△DAE（AAS），
∴∠CDA=∠EDA，
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∵AC=4BE，
∴AB=5BE，AE=4BE，
∴S△ADB=5S△BDE，S△ADC=4S△BDE，
∴S△ABC=9S△BDE，
∴④错误；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，考查了学生利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力．
13．如图，在△ABC和△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠B=∠E，BC=EF
B．∠A=∠D，BC=EF
C．∠A=∠D，∠B=∠E
D．BC=EF，AC=DF
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定定理对选项逐一进行判断即可.
【详解】
添加∠B=∠E，BC=EF可用SAS判定两个三角形全等，故A选项不符合题意，
添加∠A=∠D，BC=EF是SSA，不能判定两个三角形全等，故B选项符合题意，
添加∠A=∠D，∠B=∠E可用ASA判定两个三角形全等，故C选项不符合题意，
添加BC=EF，AC=DF可用SSS判定两个三角形全等，故D选项不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
14．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（
）.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．BD=DC，AB=AC
B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D．∠B=∠C，BD=DC
【答案】D
【分析】
两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：
【详解】
分析：
∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键.
15．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．4
C．
D．
【答案】B
【分析】
求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABC，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
，
∴△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
16．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．100°
C．120°
D．130°
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100，
故答案选：B.
【点睛】
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质.
17．如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【分析】
在Rt△BPQ，易求∠PBQ＝30°，于是可求BP，进而可求BE，而△BAE≌△ACD，那么有AD＝BE＝9．
【详解】
解：∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°，
又∵∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×4＝8，
∴BE＝BP+PE＝8+1＝9，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，
又∵AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴AD＝BE＝9，
故选A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△BAE≌△ACD．21
cnjy
com
18．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件使△ABC≌△DCB，下列添加的条件不能使△ABC≌△DCB的是（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠A＝∠D
B．AB＝DC
C．AC＝DB
D．OB＝OC
【答案】C
【分析】
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【详解】
A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
∵∠AOB=∠DOC，∠A+∠ABO+∠AOB=180°，∠D+∠DCO+∠DOC=180°，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，
∴能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
19．如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,则AB,AC,CE的长度关系为（
??）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB>AC=CE
B．AB=AC>CE
C．AB>AC>CE
D．AB=AC=CE
【答案】D
【分析】
因为AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB=AC=CE；
【详解】
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=EC，
∴AB=AC=CE；
故选D.
【点睛】
考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
20．如图，△ABC
中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠C=90°，AD
平分∠BAC，过点
D
作
DE⊥AB
于
E，测得
BC=9，BD=5，则
DE
的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
先根据角平分线的性质，得出DE=DC，再根据BC=9，BD=5，得出DC=9-5=4，即可得到DE=4．
【详解】
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE=DC，
∵BC=9，BD=5，
∴DC=9-5=4，
∴DE=4，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质的运用，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
21．如用，AD是中的角平分线，于点E，，，，则AC的长是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】
作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×5×4+×AC×4=8，然后解一次方程即可．
【详解】
解：作DF⊥AC于F，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴×5×4+×AC×4=24，
∴AC=7．
故选D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
22．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
【答案】B
【详解】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
详解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选B．
点睛：本题考查了三角形全等的判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【出处：21教育名师】
23．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
分析：
详解：如图,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB⊥CD,CE⊥AD,
∴∠1=∠2,
又∵∠3=∠4,
∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,
即∠A=∠C.
∵BF⊥AD,
∴∠CED=∠BFD=90°,
∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,ED=BF=b,
又∵EF=c,
∴AD=a+b-c.
故选:D.
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.
24．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
【答案】A
【解析】
由题意得：
，在
和中，
所以
.所以.
故选A.
25．如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【答案】C
【分析】
根据平行线求出∠ABE=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠CDF，根据SAS推出△ABE≌△CDF，根据全等得出AE=CF，根据SSS推出△ADE≌△CBF，求出AD=BC，根据SSS推出△ABD≌△CDB即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
∴BF=DE，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（SSS），
∴AD=BC，
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即3对全等三角形，
故选：C．
26．如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．BC=ED
B．∠BAD=∠EAC
C．∠B=∠E
D．∠BAC=∠EAD
【答案】C
【详解】
解：A．∵AB=AE，AC=AD，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SSS），故A不符合题意；
B．
∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=∠EAD．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD
，AC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS），故B不符合题意；
C．不能判定△ABC≌△AED，故C符合题意．
D．∵AB=AE，
∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故D不符合题意．
故选C．
27．如图，AD是△ABC的角平分线，DE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①③④
C．②③
D．①②③④
【答案】D
【解析】
试题解析：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2EC，
∴AC=3EC=3BF，故④正确．
故选D．
28．如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AD=BC
B．AC=BD
C．OD=OC
D．∠ABD=∠BAC
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可.
【详解】
由题意可知，在△ADO和△BCO中，已经有：∠D=∠C，∠AOD=∠BOC，结合各选项中添加的条件可知：
A选项中，当添加AD=BC后，结合已有条件，可由“AAS”证得△ADO≌△BCO；
B选项中，当添加AC=BD后，结合已有条件，不能证明△ADO≌△BCO；
C选项中，当添加OD=OC后，结合已有条件，可由“ASA”证得△ADO≌△BCO；
D选项中，当添加∠ABD=∠BAC后，结
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)合已有条件，可先证得△ABD≌△BAC，从而得到AD=BC，再由“AAS”可证得△ADO≌△BCO；www-2-1-cnjy-com
故选B.
29．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB＝AE
B．BC＝ED
C．∠C＝∠D
D．∠B＝∠E
【答案】B
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠EAB，
∴∠CAB=∠DAE，
A、添加AB=AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
B、添加CB=DE不能判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
C、添加∠C=∠D可利用ASA定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
D、添加∠B=∠E可利用AAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
故选B．21教育名师原创作品
【点睛】判定两个三角形全等的一般方法有：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
30．如图，已知△ABC中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．2或3
D．1或5
【答案】C
【详解】
设经过t秒后，△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
∵∠B=∠C，BP=CQ=2t，
∴要使△BPD和△CQP全等，只有BD=CP=6厘米，
则8?6=2t，
解得：t=1，
v=2÷1=2厘米/秒，
当BP=PC时，
∵BC=8cm，
∴PB=4cm，
t=4÷2=2s，
QC=BD=6cm，
v=6÷2=3厘米/秒．
故选C.
31．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB=DE
B．AC=DF
C．∠A=∠D
D．BF=EC
【答案】C
【详解】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
32．AD是△ABC的中线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，DE=DF，下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；其中正确的有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，∴BD=C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D，
又∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE=BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选D．
33．如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（
）.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．Rt△ACD和Rt△BCE全等
B．OA=OB
C．E是AC的中点
D．AE=BD
【答案】C
【详解】
A．∵∠C=∠C=90°，∴△ACD和△BCE是直角三角形，在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∵AD=BE，DC=CE，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确；
B．∵Rt△ACD≌Rt△BCE，∴∠B=∠A，CB=CA，∵CD=CE，∴AE=BD，在△AOE和△BOD中，
∵∠A=∠B，∠AOE=∠BOD，AE=BD，∴△AOE≌△BOD（AAS），∴AO=OB，正确，不符合题意；
C.AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，错误，符合题意；
D．∵Rt△ACD≌Rt△BCE，∴∠B=∠A，CB=CA，∵CD=CE，∴AE=BD，正确，不符合题意．
故选C．
考点：全等三角形的判定与性质．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【答案】D
【详解】
试题分析：∵
D为BC中点，∴CD=BD，又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中，
，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，
，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；所以共有4对全等三角形，故选D．
考点：全等三角形的判定.
35．如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A．AB=DC,AC=DB
B．AB=DC,∠ABC=∠DCB
C．BO=CO,∠A=∠D
D．AB=DC,∠DBC=∠ACB
【答案】D
【详解】
试题分析：根据题意知，BC边为公共边．
A．由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B．由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C．由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D．由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．
故选D．
考点：全等三角形的判定．
36．如图，D为△ABC边BC上一点，AB=AC，且BF=CD，CE=BD，则∠EDF等于
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°－∠A
B．90°－∠A
C．180°－∠A
D．45°－∠A
【答案】A
【详解】
试题分析：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BFD和△EDC中，
，
∴△BFD≌△EDC（SAS），
∴∠BFD=∠EDC，
∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=180°-=90°+∠A，
则∠EDF=180°-（∠FDB+∠EDC）=90°-
∠A．
故选A．
考点：全等三角形的判定与性质．
37．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．BE+CF＞EF
B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关
系不能确定．
【答案】A
【解析】
试题分析：延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在△BED与△CGD中，
∵，
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，ED=DG，
又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF＞FG
∴BE+CF＞EF
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．
38．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．DC＝BE
D．∠ADC＝∠AEB
【答案】C
【分析】
△ADC和△AEB中，已知的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD=AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
【详解】
A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；
B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；
C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误；
D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确；
故选C．
39．如图,点A,B,C在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面的结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中结论正确的有(
??)2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【详解】
试题分析：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；∵∠DMA=60°，∴∠AMC=120°，∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，∵BP=BQ，∴，∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选D．
考点：等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理．
40．如图，点C是线段AE上一动点（不与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（
）个21·世纪
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；【来源：21cnj
y.co
m】
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；
②根据②△CQB≌△CP
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】
①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60?，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE(已证)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60?，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD?AP=BE?BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠QE，
则DP≠DE，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．
二、填空题
41．如图，在四边形中，于点，且平分，若的面积为，则的面积为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】20
【分析】
延长BC和AD相交于点M，根据已知得出△ABC≌△AMC，得出BC=CM，从而得出，再根据等高的三角形的面积得出，继而得出答案．
【详解】
解：延长BC和AD相交于点M，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACM=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠MAC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△AMC，
∴BC=CM，
∴，
∵与同高，
∴
∵与同高，
∴
∴
∵的面积为，
∴；
∴
故答案为：20．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，以及三角形的面积，得出是解题的关键．
42．如图，已知，添加一个条件________，可以得到．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（答案不唯一）
【分析】
要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等；
【详解】
解：添加AB=DC，
∵
AC=BD，BC=BC，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴
加一个适当的条件是AB=DC，
故答案为：AB=DC．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知图形以及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
43．如图，和中，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你添加一个条件__________使和全等．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据三角形全等判定条件即可得解；
【详解】
当时满足条件；
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键．
44．如图，在中，与相交于点F，且，则之间的数量关系是_____________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先利用同角的余角相等得到=，再通过证，得到即，再
利用三角形内角和得可得，最后利用角的和差即可得到答案，=．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴=
又∵，
∴
∴即
∵
∴即
∴=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．
45．如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且与所在的直线交于点P，若，则_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】或2
【分析】
分两种情况：（1）当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，可证，，可得，由等腰三角形的性质可得AC=BC，根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D位于CB之间时，如图过点E作AP的垂线于点N，可证，，可得，由等腰三角形的性质可得AC=BC，根据线段的和差关系可证的结论；
【详解】
（1）当点D位于CB延长线上时，如图：过点E作AP延长线的垂线于点M，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
为等腰直角三角形
在和中
，
在和中
，，
设
（2）当点D位于CB之间时，如图：过点E作AP的垂线于点N，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
为等腰直角三角形
在和中
，
在和中
，，
设
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等和线段的和差得出所求线段之间的关系，同时运用分类讨论的思想．
46．如图，在△ABC中，∠ACB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°，AC＝11cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以4cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动_____s时，CF＝AB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4或1.5
【分析】
①点E在射线BC上移动时，若E移动4s，则BE＝4×4＝16（cm），根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
②点E在射线CB上移动时，若E移动1.5s，则BE′＝1.5×4＝6（cm），根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：①如图，当点E在射线BC上移动时，若E移动4s，则BE＝4×4＝16（cm），
∴CE＝BE?BC＝16?5＝11cm．
∴CE＝AC，
∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，
∴∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠A，
∴∠BCD=∠A，
∵∠ECF=∠BCD，
∴∠ECF=∠A，
在△CFE与△ABC中，
，
∴△CEF≌△ABC（ASA），
∴CF＝AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②当点E在射线CB上移动时，若E移动1.5s，则BE′＝1.5×4＝6（cm），
∴CE′＝BE′＋BC＝6＋5＝11（cm），
∴CE′＝AC，
在△CF′E′与△ABC中，
，
∴△CF′E′≌△ABC（ASA），
∴CF′＝AB，
综上所述，当点E在直线CB上移动8s或3s时，CF′＝AB；
故答案为：1.5或4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
47．如图，为的角平分线，F是线段上一点，，延长与线段相交于点D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
（1）为的角平分线，
，
在和中，，
，
；
（2），
，
，
，即，
，即，
解得，
，
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
48．已知和中，，，，请判断与的位置关系，并说明理由．
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【答案】见详解
【分析】
先证明?，从而得∠DBF=∠ACE，进而即可得到结论．
【详解】
∵，
∴，即：AC=DB，
∵，
∴∠A=∠D，
又∵，
∴?（SAS），
∴∠DBF=∠ACE，
∴CE∥BF．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及平行线的判定和性质定理，熟练掌握SAS证明三角形全等，是解题的关键．
49．如图，//，，AQ平分，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，，求的度数．
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【答案】∠CAQ＝65°
【分析】
先根据三角形外角和定理求出∠EHQ的度数，再根据平行的性质和判定证明DE∥AF，可以求出∠FAQ的度数，再由角平分线的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵∠EHQ是△DHQ的外角，
∴∠EHQ＝∠1+∠Q＝65°，
∵BD∥GE，
∴∠E＝∠1＝50°，
∵∠AFG＝∠1＝50°，
∴∠E＝∠AFG，
∴DE∥AF，
∴∠FAQ＝∠EHQ＝65°
，
∵AQ平分∠FAC，
∴
∠CAQ＝∠FAQ＝65°．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练运用这些性质定理进行求解．
50．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
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【答案】见解析．
【分析】
根据可知，又根据∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求证；
【详解】
∵，∴，
∵，∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出，注意全等三角形的对应边相等；
51．已知：如图，AB
＝
AD．请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】BC=CD,证明见解析（答案不唯一）．
【分析】
已知两组对应边相等，则找另一组边相等或找另一组对应角相等均可证明△ABC≌△ADC．
【详解】
解：若添加条件为：BC=CD,证明如下：
在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
52．如图，BC⊥AD于C，EF⊥AD于F，AB∥DE，分别交BC于B，交EF于E，且BC=EF．求证：AF=CD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析．
【分析】
由BC⊥AD，EF⊥AD得∠EF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D=∠BCA=90°，由AB∥DE，得∠D=∠A，又BC=EF，从而△ABC≌△DEF，则AC=FD，
AF=CD．
【详解】
证明：∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠EFD=∠BCA=90°
∵AB∥DE，
∴∠D=∠A
∵BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC=FD，
∴AF=CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
53．如图，，，点、在上，，再添加一个什么条件后可推出，写出添加的条件并完成证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】添加AB=CD；证明见解析．
【分析】
根据线段的和差关系可得BF=CE，故添加AB=CD即可利用SAS证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质即可得出AF=DE．
【详解】
可添加AB=CD，理由如下：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵，，
∴∠B=∠C=90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE，
∴AF=DE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判断与性质，全等三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL等；注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．
54．如图，点在一条直线上，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：（1）
（2）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据AAS证出△BAC≌△EDF，可得AC=DF；．
（2）由△BAC≌△EDF，可证BC=EF，进而可得FB=CE．
【详解】
证明：（1）∵AB//ED，AC//FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△BAC和△EDF中
，
∴△BAC≌△EDF（AAS），
∴AC=DF；
（2）∵△BAC≌△EDF，
∴BC=EF，
∴BC-FC=EF-FC，
∴FB=CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
55．已知：如图，AC＝BD，BD⊥AD于点D，AC⊥BC于点C．求证：∠ABC＝∠BAD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】详见解析
【分析】
利用HL证明Rt△ABD≌Rt△BAC，即可得到结论．
【详解】
∵BD⊥AD，AC⊥BC，
∴∠D=∠C=，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴∠ABC＝∠BAD．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．
56．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．
求证：AB=DE．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见详解
【分析】
先根据条件求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可．
【详解】
∵FB＝CE，
∴FB+FC=FC+CE，
即BC=FE，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E
，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AB=DE．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理论证能力．
57．如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且，的延长线与交于点．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
根据题意可以得到△ACE≌△BCD，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义可以证明结论成立．
【详解】
证明：∵
∴
在和中，
∴
∴
∵中，，
∴，
∴
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质、数形结合的思想作答．
58．如图，、、三点共线，，，．求证：．
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【答案】证明见解析
【分析】
利用AAS证明△ABC≌△CED即可得到结论．
【详解】
证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据已知题意确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键．21教育网
59．如图，于，于，若，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：平分；
已知，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）10
【分析】
（1）根据“”证明，得到，进而得出平分么；
（2）根据“”证明，再利用全等三角形的性质及线段的和与差即可得出答案．
【详解】
证明：，
，
在和中，
，
，
平分．
解：在和中，
∴
，
∴．
，，
，
．
【点睛】
考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知角平分线的性质和三角性的判定、性质．
60．如图，已知在ABC中，BD是∠ABC的角平分线，，，求∠DBC的度数．
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【答案】
【分析】
根据三角形的外角的性质求出∠ABD=，再根据角平分线求出答案．
【详解】
∵∠BDC=∠A+∠ABD，，，
∴∠ABD=，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠ABD=．
【点睛】
此题考查三角形的外角的性质定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及三角形角平分线的性质，熟记外角性质是解题的关键．21·cn·jy·com
61．在中，，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连结CE．2·1·c·n·j·y
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（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果，则________．
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．
【答案】（1）；（2）①；②或，图见解析
【分析】
（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B，得到答案；
（2）①根据三角形内角和定理得到∠B=∠ACB=，根据（1）的结论得到∠ACE=∠B，计算；
②分点D在BC的延长线上，点D在CB的延长线上两种情况，仿照①的作法解答．
【详解】
（1）；
证明：∵，
∴；
∴；
在和中，
，
∴；
∴；
∴；
故答案为90°；
（2）①由（1）中可知，
∴、存在的数量关系为；
证明方法同（1）中证明
②当点D在射线BC上时，如图1，
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同（1）的方法即可得出，；
∴，
∴，
∴；
当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
同（1）的方法即可得出，；
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21世纪教育网版权所有
62．是经过顶点的一条直线，．、分别是直线上两点，点在点的左侧，且．
（1）直线经过的内部，、两点在射线上．
①如图1，若，，则______（填“”、“”或“”）；、、三条线段之间的数量关系是：______．
②如图2，若，，①中的两个结论是否仍然成立，请说明理由．
（2）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出、、三条线段之间的数量关系．
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【答案】（1）①；；②当时，①中的两个结论仍然成立，理由见解析；（2）．
【分析】
（1）①根据题意易证△BEC≌△CFA，进而问题可得解；
②由题意易得，进而可证，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由题意易证△BEC≌△CFA，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】
（1）①∵，，
∴，
∴∠BCE+∠FCA=90°，∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠FCA=∠EBC，
∵，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，AF=CE，
∵CF=CE+EF，
∴；
故答案为，；
②当时，①中的两个结论仍然成立．
，即，
又，
，
，，
，
，，
，
．
（2），理由如下：
∵，
∴∠ACF=180°-∠ACB-∠BCE，∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC，
∴∠ACF=∠CBE，
∵CB=CA，
，
∴EC=AF，CF=BE，
∵EF=EC+CF，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
63．在△ABC中，∠ACB＝2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
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（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析．
【分析】
（1）首先在AB上截取AE＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；
（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD．
【详解】
（1）猜想：．
证明：如图②，在上截取，连结，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵为的角平分线时，
∴，∵，
∴，
∴，，
∵，∴．
∵，
∴，∴，
∴．
（2）猜想：．
证明：在的延长线上截取，连结．
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∵平分，∴．
在与中，，，，
∴．
∴，．
∴．
又，，．
∴．
∴．
∴．
【点睛】
此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【版权所有：21教育】
64．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”
兴趣小组进行了如下操究：
（1）如图1、两个等腰三角形△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是
，此线BD和CE的数量关系是
【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图2、两个等腰直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：
（3）如图3，已知△ABC、请完
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
【分析】
（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；
（2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果；
（3）根据已知条件证明即可得到证明；
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴，
即，
∴，
∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；．．
理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB=∠EAC．
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在△DAB和△EAC中，
所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．
所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．
综上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
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由图可知，AD=AB，AE=AC，
∴，
即，
∴，
∴BE=CD，，
又∵，
∴，
∴，
∴∠PBC+∠PCB=60°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键．
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