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2.4
线段角的对称性
【基础训练】
一、单选题
1．如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4cm
B．5cm
C．8cm
D．20cm
2．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．三边垂直平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
3．观察下列作图痕迹，中，为边上的中线是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，若DC＝4，则DE＝(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．5
C．4
D．6
5．如图，中，的垂直平分线交于，如果，，那么的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．8
D．10
7．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．是线段的垂直平分线
B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线
D．是的垂直平分线
8．在三角形内，到三条边距离相等的点是这个三角形(
)的交点
A．三条角平分线
B．三条高线
C．三条中线
D．三边垂直平分线
9．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
10．
下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
11．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．l垂直AB
B．l平分AB
C．l垂直平分AB
D．不能确定
12．如图，在中，，的平分线交于点．若，则点到的距离为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．
C．
D．2
13．如图，△ABC中，AB＝5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．9
D．10
14．如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为10，，则的值为（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．4
C．7
D．8
15．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．6
C．4
D．2
16．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，其中正确的个数是（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
17．下列语句中是真命题的是（
）
A．同旁内角互补
B．三角形三条中线不会交于一点
C．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
D．三角形按边分类可分为不等边三角形和等边三角形
18．如图，△ABC中，BD平分∠AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25°
B．45°
C．50°
D．70°
19．如图，直线是线段AB的垂直平分线，点C在直线外，且与A点在直线的同一侧，点P是直线上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP＋PC的大小关系是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．＞
B．＜
C．≥
D．≤
20．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
21．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点
B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上
D．在边AB的中线上
22．如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．的垂直平分线上
B．的平分线上
C．的中点
D．的垂直平分线上
23．如图，已知，用尺规在上确定一点，使．则下列四种不同方法的作图中准确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
24．在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点，使点到点，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（
）【版权所有：21教育】
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
25．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．21
B．80
C．40
D．45
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．24
C．36
D．48
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为28，BC＝12，则AE等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．14
C．16
D．8
28．如图，四边形中，，、的垂直平分线交于点，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
29．如图，等腰的底边长为6，腰长为8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值(
)【出处：21教育名师】
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A．6
B．8
C．10
D．14
30．如图，在中，，平分，若，，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．6
C．8
D．12
二、填空题
31．如图，中，，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为________．
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32．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则ABD的面积为_____．
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33．如图，在△ABC中，∠C=90°，AP平分∠CAB，且PC=3，PB=5，则点P到边AB的距离是
______________
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34．如图，已知，O为和的平分线的交点，于点E，且，则AB与CD之间的距离是________.21世纪教育网版权所有
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35．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
____
处．21教育名师原创作品
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三、解答题
36．阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB=AC．
小明根据已知条件发现若AD平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD=CD，加上公共边的条件AD=AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B=∠C，可证出AB=AC成立；小芳的方法是用角平分线的性质得到DE=DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明（可以与小明和小芳的方法不同）21
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37．如图，中，．
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（1）请用尺规作边的垂直平分线，垂足为，交边于点；
（2）若的周长为13，求的周长．
38．如图，中，边的垂直平分线交于点P．
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（1）求证：．
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
39．如图，中，D是的中点，，，，求证：是的角平分线．
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40．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出什么作法）：
如图，已知，求作：
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（1）的角平分线；
（2）边上的中线．
41．已知：如图，是的角平分线，于点E，于点F，．
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（1）求证：;
（2）求证：是的中垂线．
42．如图，中，，，垂足为D．尺规作图：作的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点（不要求写作法，保留作图痕迹）21cnjy.com
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43．点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．21·世纪
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44．如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若BC=10，则ADE周长是多少？
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45．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠BAD，求证：AE⊥DE.
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46．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
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47．如图，平分，为的中点，且，过点作于点，于点．
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（1）求证：；
（2）如果，，求，的长．
48．已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到两边的距离相等（要求写出作法，并保留作图痕迹，写出结论）
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49．已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．
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50．已知：∠AOB=90°，O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．如图1，当PC垂直OA，PD垂直OB是，易证PC=PD．当旋转到图2位置是PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．
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51．已知，如图，在ABC中，AB＜AC，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC=9，ABE的周长为14，求AB的长．
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52．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4．
（1）作AC边上的高BE
（2）求AC边上的高BE的长；
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53．如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足．
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（1）求的度数；
（2）若的周长为20，求的长．
54．如图，，分别是，的中点，于点，于点，，交于点．
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（1）证明：；
（2）连接，证明：是的平分线．
55．如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：EC是∠BCD的角平分线．
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56．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；2·1·c·n·j·y
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57．如图，在△ABC
中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：∠B=∠C
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58．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
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59．阅读并理解下面内容，解答问题．
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．
求证：AM，BN，CP相交于一点．
证明：如图2，设AM，BN相交于点O，
过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F．
∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，
∴，（依据1）
同理，．
∴．（依据2）
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点O在CP上，（依据3）
∴AM，BN，CP相交于一点．
请解答以下问题：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？
（2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．
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60．如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E；求证：∠ABE=∠CDE
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精品试卷·第
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2.4
线段角的对称性
【基础训练】
一、单选题
1．如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
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A．4cm
B．5cm
C．8cm
D．20cm
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质解答．
【详解】
解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM＝ON＝8cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（
）
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A．三边垂直平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】
依题意，对实际问题进行数学模型化处理，需要寻找一个点，到三点的距离相等；结合三角形垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】
由题，对建立货物中转仓到A、B、C三地距离相等；
进行数学模型转换为：在△ABC中找一点到三点距离相等；
依据三角形垂直平分线的性质，可知，三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个点的距离相等；
∴
中转仓位于三边垂直平分线的交点；
故选A．
【点睛】
本题考查三角形垂直平分线、角平分线、高线、中线的性质，重点在于掌握实际问题的数学模型化．
3．观察下列作图痕迹，中，为边上的中线是（
）
A．
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B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
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【答案】B
【分析】
中线的定义为：对应顶点到对边中点的连线，所以需要首先找到AB的中点，利用的是线段垂直平分线的做法．
【详解】
解：A选项：CD为AB边上的垂线，故错误；
B选项：D点为线段AB与其垂直平分线的交点，所以D点为AB边的中点，所以CD为AB边上的中线，故正确；2-1-c-n-j-y
C选项：CD为∠ACB的角平分线，故错误；
D选项：画图错误，不属于三角形中的三线，故错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考察的是三角形中线段的画法，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，若DC＝4，则DE＝(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．5
C．4
D．6
【答案】C
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，CD=4，
∴DE=CD=4，
故选：C．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．如图，中，的垂直平分线交于，如果，，那么的周长是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据垂直平分线的性质，可知，即可求的周长．
【详解】
垂直平分，
故选D
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，是重要常见考点，难度易，掌握相关知识是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC长为（ ）
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A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】
由角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CE=ED，由此即可求出AC．
【详解】
解：∵BE是∠ABC的平分线，
又∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴ED=EC，
又∵ED=3，AE=5，21·世纪
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AC=AE+EC=5+3=8．
故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质是解答本题的前提，要学会用相等的线段代替其它线段．
7．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（
）．21
cnjy
com
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A．是线段的垂直平分线
B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线
D．是的垂直平分线
【答案】A
【分析】
根据垂直平分线的定义判断即可．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
【点睛】
本题考查垂直平分线的定义,关键在于牢记基础知识．
8．在三角形内，到三条边距离相等的点是这个三角形(
)的交点
A．三条角平分线
B．三条高线
C．三条中线
D．三边垂直平分线
【答案】A
【分析】
因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【详解】
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
该题考查的是角平分线的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和判定，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为Ｄ．
9．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】
过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，从而得解．
【详解】
解：如图，过点P作PD⊥OB于D，
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∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC=PD=3，即点P到OB的距离等于3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
10．
下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
【答案】C
【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【详解】
解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
11．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．l垂直AB
B．l平分AB
C．l垂直平分AB
D．不能确定
【答案】D
【分析】
因为只说明了直线l经过点C，无其它条件限制，各种可能都能发生，所以无法确定直线L与AB的关系．
【详解】
因为只知道直线l经过点C，所以无法判定直线l与AB的关系．
故选：D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质的掌握情况．题目比较简单，属于基础题．
12．如图，在中，，的平分线交于点．若，则点到的距离为( )
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A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】
根据角平分线的性质即可得．
【详解】
，即
为点D到AB的距离
由角平分线的性质得：点到的距离等于AD
即点到的距离为2
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题关键．
13．如图，△ABC中，AB＝5，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．4
B．5
C．9
D．10
【答案】B
【分析】
作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】
解：作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG＝×5×2＝5．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为10，，则的值为（
）
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A．6
B．4
C．7
D．8
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得AB+BC=10，然后列方程组求解．
【详解】
解：∵AB的垂直平分线DE，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长为10，，
∴BE+CE+BC=10，
∴AE+
CE+BC=10，
∴AC+BC=10，即AB+BC=10，
∴可得，解得
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用及二元一次方程组的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
15．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（ ）
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A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【分析】
作PE⊥BC于E，根据平行线的性质得到AD⊥CD，根据角平分线的性质计算，得到答案．
【详解】
过点作于，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，其中正确的个数是（
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
由题意易得，然后可判定①，进而可证，最后可求解问题．
【详解】
解：∵平分，，，
∴，，
∴，故①正确；
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，故②正确；
∴垂直平分，故③正确；
由已知及①②③的结论无法得出垂直平分，故④错误；
∴正确的个数有3个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查直角三角形全等的判定、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．21世纪教育网版权所有
17．下列语句中是真命题的是（
）
A．同旁内角互补
B．三角形三条中线不会交于一点
C．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
D．三角形按边分类可分为不等边三角形和等边三角形
【答案】C
【分析】
根据同旁内角的性质，三角形重心的概念，线段垂直平分线的性质，三角形的分类逐项判断即可．
【详解】
A、只有两平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角才互补，故选项是假命题；
B、三角形的中线一定会交于同一点，这个点是三角形的重心，故选项是假命题；
C、到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故选项是真命题；
D、三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故选项是假命题；【来源：21cnj
y.co
m】
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的概念，三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形重心的概念，同旁内角的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的分类，熟练掌握三角形重心的概念，同旁内角，垂直平分线的性质，以及三角形的分类是解题关键．
18．如图，△ABC中，BD平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
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A．25°
B．45°
C．50°
D．70°
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质可得∠DBC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数．
【详解】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=25°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣25°×2=70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=25°，
∴∠ACF=70°﹣25°=45°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
19．如图，直线是线段AB的垂直平分线，点C在直线外，且与A点在直线的同一侧，点P是直线上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP＋PC的大小关系是（
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A．＞
B．＜
C．≥
D．≤
【答案】D
【分析】
利用线段垂直平分线的性质可得AP=BP，进而可得AP+PC=BP+PC，再根据P点位置确定结论．
【详解】
解：连接BP，
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∵直线是线段AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴AP+PC=BP+PC，
当点P在BC与的交点处时，AP+PC=CB，
当点P不在BC与的交点处时，AP+PC=BP+PC＞BC，
∴BC≤AP+PC，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质直接可以判断．
【详解】
解：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到AB、AC的距离相等，
∵PD⊥BC于点D，
PD=4，
∴P到BA的距离为4；
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质并能熟练运用．
21．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点
B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上
D．在边AB的中线上
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
【详解】
解：∵PA=PB，
∴P点一定在边AB的垂直平分线上，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的判定，掌握点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
22．如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（
）
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A．的垂直平分线上
B．的平分线上
C．的中点
D．的垂直平分线上
【答案】A
【分析】
因为，，所以，点在的垂直平分线上，据此作答．
【详解】
解：∵，，
，
∴点在的垂直平分线上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的判定，正确理解线段垂直平分线的判定定理是解此题的关键．
23．如图，已知，用尺规在上确定一点，使．则下列四种不同方法的作图中准确的是（
）
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A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】D
【分析】
直接利用线段垂直平分线的性质作出AB的垂直平分线进而得出答案；
【详解】
用尺规在BC上确定一点P，使得，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PB，即可得出；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了作图-复杂作图，准确分析判断是解题的关键．
24．在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点，使点到点，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)D．
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【答案】B
【分析】
根据题意可知需做线段AB的垂直平分线，即可求解．
【详解】
解：∵点
P
到点
A
，
B
的距离相等，
∴要做线段AB的垂直平分线，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、尺规作图-线段垂直平分线，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（
）
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A．21
B．80
C．40
D．45
【答案】C
【分析】
如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC=DH=5，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由作图可知，AP平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH=5，
∴S△ABD=?AB?DH=×16×5=40．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）21·cn·jy·com
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A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】B
【分析】
作DE⊥AB于E，如图，利用基本作图得到AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得DC＝DE＝4，然后根据三角形面积公式．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
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∴DC＝DE＝4，
∴△ABD的面积＝×12×4＝24．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为28，BC＝12，则AE等于（
）
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A．10
B．14
C．16
D．8
【答案】D
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，再根据△BCD的周长为28可得AB+BC=28，进而得到AC的长，从而求解．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵△BCD的周长为28，
∴BD+CD+BC=28，
∴AB+BC=28，
∵BC=12，
∴AC=AB=28-12=16．
∴AE=8
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
28．如图，四边形中，，、的垂直平分线交于点，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先连接AC，可得=，=，再利用四边形内角和等于即可求解．
【详解】
连接AC，
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∵、的垂直平分线交于点，
∴AB=AC，AC=AD，
∴=，=，
∴=+=+，
∵+++=，
，
∴2=，
∴=．
故答案选：B．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质和四边形的内角和，熟练记住四边形的内角和以及利用垂直平分线的性质对角进行转化是解决本题的关键．
29．如图，等腰的底边长为6，腰长为8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值(
)
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A．6
B．8
C．10
D．14
【答案】B
【分析】
根据垂直平分，可知点B关于直线EF的对称点为点A，则AC与直线EF的交点即为使取得最小值时的点P，最小值即为AC的长度．
【详解】
解：如图，连接AP，
∵垂直平分，
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∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AP=BP，
∴，
∴当A、P、C同一直线上时取得最小值，即AC即为的最小值，
∴最小值为8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
30．如图，在中，，平分，若，，则的面积为（
）
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A．3
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【分析】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=2，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
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∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，，
∴DE=DC=2，
∵
∴△ABD面积=
故选：B．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题
31．如图，中，，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为________．
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【答案】12
【分析】
由EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，可得AF=BF，AN=CN，即可得△FAN的周长等于BC．
【详解】
解：∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴AF=BF，AN=CN，
∴△FAN的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=12cm，
故答案为：12．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
32．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则ABD的面积为_____．
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【答案】12
【分析】
过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝6，根据三角形的面积公式求出即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，
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∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，
∴DE＝DC，
∵DC＝6，
∴DE＝6，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积是
＝
＝12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE=DC=6是解此题的关键．
33．如图，在△ABC中，∠C=90°，AP平分∠CAB，且PC=3，PB=5，则点P到边AB的距离是
______________
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【答案】3
【分析】
作PH⊥AB于H．直接根据角平分线的性质求解即可．
【详解】
解：作PH⊥AB于H，如图，
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∵AP平分∠CAB，且∠C=90°，
∴，即点P到边AB的距离是3．
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线性质定理是解答此题的关键．
34．如图，已知，O为和的平分线的交点，于点E，且，则AB与CD之间的距离是________.
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【答案】4
【分析】
作GH过O点垂直于AB，根据角平分线的性质即可得解．
【详解】
作GH过O点垂直于AB，
，
，
AO、CO为角平分线，
，，
，
故答案为：4．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质；掌握好角平分线线上的点到两边的距离相等是关键．
35．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
____
处．
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【答案】4．
【分析】
作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
【详解】
解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故答案是：4．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题
36．阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB=AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BAC可得∠BAD=∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD=CD，加上公共边的条件AD=AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B=∠C，可证出AB=AC成立；小芳的方法是用角平分线的性质得到DE=DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明（可以与小明和小芳的方法不同）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】小芳的证明思路正确，理由见解析
【分析】
小明的证明思路用到边边角，三角形全等并没有这个证明方法，所以小明的证明思路错误；小芳的方法可完整证出AB=AC，所以小芳的证明思路正确．
【详解】
解：小芳的证明思路正确．
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证明：过点D作AB的垂线交AB于点E，作AC的垂线交AC于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∴AB×DE=AC×DF，
∴AB=AC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明、角平分线的性质、中线的性质相关知识点，准确掌握相关知识点是关键．
37．如图，中，．
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（1）请用尺规作边的垂直平分线，垂足为，交边于点；
（2）若的周长为13，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）19
【分析】
（1）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交AC边于点D，交BC边于点E；
（2）由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合△ABE的周长，进行线段的等量代换可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）连接AE，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵△ABE的周长为13，
即AB+BE+AE=13，
∴AB+BE+CE=AB+BC=13，又AC=6，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19．
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【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
38．如图，中，边的垂直平分线交于点P．
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（1）求证：．
（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA=PB，PB=PC，则PA=PB=PC．
（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．
【详解】
解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC．
∴PA=PB=PC．
（2）∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上．
【点睛】
此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
39．如图，中，D是的中点，，，，求证：是的角平分线．
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【答案】见解析
【分析】
首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是△ABC的角平分线即可．
【详解】
解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的判定，直角三角形全等的判定．要证边相等，想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
40．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出什么作法）：
如图，已知，求作：
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（1）的角平分线；
（2）边上的中线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线BD即可．
（2）利用尺规作出线段BC的垂直平分线，与BC交于点E，连接AE即可．
【详解】
解：（1）如图，射线BD即为所求．
（2）如图，线段AE即为所求．
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【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
41．已知：如图，是的角平分线，于点E，于点F，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：;
（2）求证：是的中垂线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）依据证明，依据全等三角形的性质可得到，然后依据证明即可；
（2）先证明，然后依据证明，由全等三角形的性质可得到，，故此可证明是的中垂线．
【详解】
解：证明：（1）是的角平分线，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
；
（2），
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
是的中垂线．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
42．如图，中，，，垂足为D．尺规作图：作的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点（不要求写作法，保留作图痕迹）
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【答案】见解析
【分析】
利用基本作图（作已知角的角平分线）作BQ平分∠ABC即可；
【详解】
解：如图所示，BQ为所求作；
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【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
43．点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．
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【答案】点P到三边的距离为2cm
【分析】
作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F⊥AB于F，连接PA，PB，PC，由平分线的性质可得：PD＝PE＝PF，再利用三角形的面积公式建立方程，解方程可得答案．
【详解】
解：∵点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，如图，
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∴PD＝PE＝PF，
设PD＝PE＝PF＝R，
由三角形的面积公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，
∴×AC×BC＝×AC×R+×BC×R+×AB×R，
6×8＝6R+8R+10R，
R＝2，
即PD＝2cm．
答：点P到三边的距离为2cm．
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线的交点的性质，三角形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
44．如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若BC=10，则ADE周长是多少？
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【答案】10
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
45．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠BAD，求证：AE⊥DE.
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【答案】见解析
【分析】
过点E作EF⊥AD于点F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)由角平分线的性质可知EF=BE，由于E是BC的中点，所以CE=EB，所以EF=CE，再由角平分线的判定定理可知点E在∠CDA的平分线上，然后根据平行线的判定证出CD∥AB，从而证出∠BAD＋∠CDA=180°，结合角平分线的定义求出∠EAD＋∠EDA=90°，从而得出∠AED=90°，即可证出结论．
【详解】
证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
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∵∠B=90°，AE平分∠BAD，
∴EF=BE，∠EAD=∠BAD
∵E是BC的中点，
∴CE=EB，
∴EF=CE，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠CDA的平分线上，
∴∠EDA=∠CDA
∵∠B=∠C=90°
∴∠B＋∠C=90°
∴CD∥AB
∴∠BAD＋∠CDA=180°
∴∠EAD＋∠EDA=∠BAD＋∠CDA
=（∠BAD＋∠CDA）
=90°
∴∠AED=90°
∴AE⊥DE．
【点睛】
本题考查角平分线性质及判定、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平行线的判定及性质和直角三角形的判定，熟练掌握角平分线性质及判定、平行线的判定及性质和直角三角形的判定是解题的关键．【版权所有：21教育】
46．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
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【答案】见解析
【分析】
首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF?DM＝DN?CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．
【详解】
证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：BF?DM，
△DCE的面积为：DN?CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴BF?DM＝DN?CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
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【点睛】
此题主要考查角平分线的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的判定定理．
47．如图，平分，为的中点，且，过点作于点，于点．
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（1）求证：；
（2）如果，，求，的长．
【答案】（1）证明见解析；（2），．
【分析】
（1）连接AM、MC，根据垂直平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线的性质可得AM=MC，根据角平分线的性质可得FM=EM，根据HL定理证明Rt△AFM≌Rt△CEM即可得出结论；21cnjy.com
（2）根据HL定理证明Rt△BFM≌Rt△BEM，可得BF=BE，再利用线段的和差即可求得AF和BE．
【详解】
解：（1）证明：连接AM、MC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵为的中点，且，
∴AM=MC，
∵平分，，，
∴MF=ME，∠BFM=∠BEM=90°，
∴Rt△AFM≌Rt△CEM（HL），
∴AF=CE；
（2）在Rt△BFM和Rt△BEM中
∵MF=ME，BM=BM，
∴Rt△BFM≌Rt△BEM（HL），
∴BF=BE,
∴，
∵，，
∴，
∵AF=CE，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，HL定理．熟练掌握HL定理，并能依此证明三角形全等是解题关键．21教育名师原创作品
48．已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到两边的距离相等（要求写出作法，并保留作图痕迹，写出结论）
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【答案】见详解．
【分析】
利用角平分线的作法作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点，这一点就是P点．
【详解】
解：作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线MN交于一点，
如图所示：点P即为所求．
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【点睛】
此题主要考查了作角平分线，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
49．已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．
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【答案】见解析
【分析】
由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【详解】
解：证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE=AC，DE=DC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，且AD平分CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
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【点睛】
本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．
50．已知：∠AOB=90°，OM是∠AO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．如图1，当PC垂直OA，PD垂直OB是，易证PC=PD．当旋转到图2位置是PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．
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【答案】PC=PD，证明见解析
【分析】
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
【详解】
解：PC=PD，
过P分别作PE⊥OB于E，P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC=PD．
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【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
51．已知，如图，在ABC中，AB＜AC，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC=9，ABE的周长为14，求AB的长．
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【答案】5
【分析】
由线段垂直平分线的性质可求得BE=EC，则可求得AE+BE的值，由△ABE的周长可求得AB．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E=CE，
∴AE+BE=AE+EC=AC=9，
∵△ABE的周长为14，
∴AB+AE+BE=14，
∴AB+9=14，
∴AB=5．www-2-1-cnjy-com
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
52．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4．
（1）作AC边上的高BE
（2）求AC边上的高BE的长；
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）过点B作AC的垂线，交AC于点E即可；
（2）利用三角形的面积公式和等面积法解答．
【详解】
解：（1）如图，BE即为所作；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）∵S△ABC=BC?AD=AC?BE，
∴BE===．
【点睛】
本题考查了尺规作图和三角形的面积公式，熟练运用“等面积法”求解是解题的关键．
53．如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足．
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（1）求的度数；
（2）若的周长为20，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）分别求出和，再利用即可；
（2）根据垂直平分线的性质求解即可．
【详解】
（1）∵，
∴；
∵是线段的垂直平分线，
∴，∴，
同理可得，，
∴；
（2）∵的周长为20，
∴，
由（1）可知，，，
∴．
【点睛】
本题考查垂直平分线的基本性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，准确记忆并熟练掌握此概念是解决本题的关键．
54．如图，，分别是，的中点，于点，于点，，交于点．
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（1）证明：；
（2）连接，证明：是的平分线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接AC，由垂直平分线的性质可得出结论
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)；
（2）利用HL证明Rt△BEF≌Rt△BDF，由全等三角形的性质得出∠ABF=∠CBF，则可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图1，连接AC，
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∵CE⊥AB，E为AB的中点，
∴AC=BC，
∵AD⊥BC，D为BC的中点，
∴AC=AB，
∴AB=BC；
（2）证明：如图2，
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∵D，E分别是BC，AB的中点，AB=BC，
∴BE=BD，
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠EBC=∠BDA=90
在Rt△BEF和Rt△BDF中，
∴Rt△BEF≌Rt△BDF（HL），
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF是∠B的平分线．
【点睛】
此题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
55．如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：EC是∠BCD的角平分线．
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【答案】证明见详解．
【分析】
过E作EF⊥BC于F，∠A=90?，EA⊥AB，BE平分∠ABC，利用角平分线性质得EA=EF，
由点E是AD的中点，推出AE=DE，ED⊥DC，又EF⊥BC，且EF=ED，EC为∠BCD的角平分线．
【详解】
过E作EF⊥BC于F，
∵∠A=90?，EA⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴EA=EF，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠D=90°，
∴ED⊥DC，
又EF⊥BC，
且EF=ED，
∴EC为∠BCD的角平分线．
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【点睛】
本题考查角分线的性质与判定，掌握好角平分线的性质，会利用性质推出到角两边距离相等，通过等量传递性，来证明角平分线是解题关键．
56．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
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【答案】证明见解析
【分析】
由已知可以得知△BED与△CFD都是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL可知RT△BED≌RT△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
【详解】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，
∴RT△BED≌RT△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．
【点睛】
本题考查直角三角形的全等与角平分线的判定，灵活运用HL定理及角平分线的判定定理是证题关键．
57．如图，在△ABC
中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：∠B=∠C
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【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】
解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．
58．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．21
cnjy
com
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠AED不变；；理由见解析
【分析】
（1）由题意易得∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，进而可证∠ABD=∠ACF，则问题可证；
（2）由（1）可得BD=CF，则有BC=BF，然后根据线段的数量关系可求解；
（3）如图，过点A作AG⊥CF于G，作AH⊥BD于H，则有BD?AH=CF?AG，进而可得EA平分∠BEF，则问题可解．
【详解】
解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）由（1）知，△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC=BF，
∵BD⊥CE，
∴CE=EF，
BD
（3）∠AED不变
，
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
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由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD=S△CAF，BD=CF，
∴BD?AH=CF?AG，而BD=CF，
∴AH=AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，．
即．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．【出处：21教育名师】
59．阅读并理解下面内容，解答问题．
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．
求证：AM，BN，CP相交于一点．
证明：如图2，设AM，BN相交于点O，
过点O分别作，，，垂足分别为点D，E，F．
∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，
∴，（依据1）
同理，．
∴．（依据2）
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点O在CP上，（依据3）
∴AM，BN，CP相交于一点．
请解答以下问题：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？
（2）如果，，，，请直接用a，b，c，r表示△ABC的面积．
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【答案】（1）依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等；依据2：等量代换；依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（2）或．
【分析】
（1）根据题意可直接进行作答；
（2）由（1）可得OD=OE=OF，然后根据等积法进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
依据1：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：等量代换．
依据3：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
（2）由（1）得：
OD=OE=OF=r，
，，，
，
△ABC的面积表示为：．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
60．如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E；求证：∠ABE=∠CDE
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【答案】见解析
【分析】
连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，，又已知，则可利用证明，从而得出结论．
【详解】
解：证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，．
又，
．
．
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【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，已知线段的线段垂直平分线常作辅助线是连接中垂线上的点与线段的两个端点．
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精品试卷·第
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