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2.4
线段角的对称性
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．1
C．2
D．6
【答案】B
【分析】
根据∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根据角平分线的性质得到DE=BD=１．
【详解】
∵，∴，又∵平分，，∴由角平分线的性质得．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题．
2．如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则△DAB的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9cm2
B．8cm2
C．7cm2
D．6cm2
【答案】A
【分析】
延长CD交AB于点E，根据ASA证明△ACD≌△AED，得到CD=ED，进而得到S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，推出S△ABD=S△AED＋S△BED=S△ABC，即可得到答案．
【详解】
解：如图，延长CD交AB于点E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题可得，AP平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD=ED，
∴S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，
∴S△ABD=S△AED+S△BED=S△ABC=×18=9（cm2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了基本作图方法，角平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键．
3．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
【答案】D
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，分点P在三条公路相交的三角形地带和地带之外作出图形即可得解．
【详解】
解：如图，作直线l1、l2、l3所围成的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P2、P3、P4，内角平分线相交于点P1，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
4．给出下面两个命题：①如图1，若，，则垂直平分；②如图2，若点到，的距离，相等，则平分．其中真命题是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①
B．②
C．①②
D．无
【答案】C
【分析】
①根据线段垂直平分线的判定定理，可得P在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB的垂直平分线上，Q在AB的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，即可知PQ垂直平分AB；②由点P到OA，OB的垂线段PC，PD相等，利用HL可证得Rt△PCO≌Rt△PDO，即可得OP平分∠AOB．
【详解】
解：①∵PA=PB，QA=QB，
∴P在AB的垂直平分线上，Q在AB的垂直平分线上，
∴PQ垂直平分AB；
②∵点P到OA，OB的垂线段PC，PD相等，
∴∠PCO=∠PDO=90°，PC=PD，
在Rt△PCO与Rt△PDO中，
，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO(HL)，
∴∠POC=∠POD，
即OP平分∠AOB．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角平分线与线段垂直平分线的判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5．如图，在ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，ABC的周长为20，则AEC的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．14
B．20
C．16
D．12
【答案】A
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EC=EB，BC=2BD=6，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴EC=EB，BC=2BD=6，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC=20，
∴AB+AC=14，
∴△AEC的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AC+AB=14，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝9，则△ABD的面积是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．18
C．24
D．36
【答案】B
【分析】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由基本作图可知，AP平分∠CAB
∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积AB×DE＝18，
故选：B．
【点睛】
本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△CBE的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．6
C．9
D．15
【答案】C
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质可得EA=EB，利用线段得和差关系计算即可得答案．
【详解】
∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
∴EA=EB，
∵AB=AC，AB=6，BC=3，
∴△CBE的周长=BC+EB+CE=BC+EA+CE=BC+AC=6+3=9，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．已知如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①EBC可由ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180?；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】
利用SAS可证明△ABD≌△EBC，即可得出①正确；由①中△ABD≌△EBC可得∠BCE=∠BDA，由BC=BD可得∠BCD=∠BDC，由平角定义可得∠BDA+∠BDC=180°，即∠BCE+∠BCD=180°，②正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠BCD=90°-∠EBC，∠AED=90°-∠ABD，可得∠BDC=∠AED，即∠BCD=∠AED进而可得∠ABE=∠DAE；可得③正确；作EG⊥BC，交BC延长线于点G，利用HL可得Rt△BEF≌Rt△BEG，可得BF=BG，由①可得AD=CE，由③可得∠ADE=∠BDC=∠BCD=∠AED，可得AE=AD，即可得出AE=CE，利用HL可证明Rt△AEF≌Rt△CEG，可得AF=CG，根据线段的和差关系可得BA+BC=2BF，可得④正确；综上即可得答案．
【详解】
∵BD为ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC，
∴EBC可由ABD绕点B旋转而得到，故①正确，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180?；故②正确，
∵AB=BE，BD=BC，
∴∠BCD==90°-∠EBC，∠AED==90°-∠ABD，
∵∠ABD=∠EBC，
∴∠BCD=∠AED，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ABE=∠DAE，故③正确，
作EG⊥BC，交BC延长线于点G，
∵BD为∠ABC的角平分线，EF⊥AB，
∴EF=EG，
在Rt△BEF和Rt△BEG中，，
∴Rt△BEF≌Rt△BEG，
∴，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=CE，
∵∠ADE=∠BDC=∠BCD=∠AED，
∴AD=AE，
∴AE=CE，
在Rt△AEF和Rt△CEG中，，
∴Rt△AEF≌Rt△CEG，
∴AF=CG，
∴AB+BC=BF+AF+BG-CG=2BF，故④正确，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上所述，正确的结论为①②③④，
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判断
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与性质及角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等；全等三角形的判断方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
9．如图，ABC中，∠A=105?，通过如图所示的尺规作图得到交点P，若∠ACP=30?，则∠PBC=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15?
B．18?
C．20?
D．25?
【答案】A
【分析】
设∠PBC=x，利用角平分线的定义得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到∠ABC=2∠PBC=2x，利用线段垂直平分线的性质得到PB=PC，则∠PCB=∠PBC=x，然后根据三角形内角和定理可计算出x的值．
【详解】
解：由作图痕迹可知BP平分∠ABC，点P在线段BC的垂直平分线上，
设∠PBC=x，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠PBC=2x，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴2x+x+30°+105°=180°，解得x=15°．
即∠PBC的度数为15°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解答此题的关键．www.21-cn-jy.com
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质，可得CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝ED，易证得△ADC≌△ADE，可得AC＋BE＝AB；由等角的余角相等，可证得∠BDE＝∠BAC；然后由∠B的度数不确定，可得BE不一定等于DE；又由CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
【详解】
解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的余角相等，所以∠BDE＝∠BAC；
④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故正确的个数为4个.
故选：B．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较适中，注意掌握数形结合思想的应用．
11．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若
，，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【分析】
根据线段垂直平分线的性质即可得到BD=CD，即可得到的周长．
【详解】
解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=7
∵AB=5，
∴的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+7=12，
故选：C．
【点睛】
本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
12．如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】
作点F关于AD的对称点F′，连接CF′交AD于点E′，连接EF′，得到≥CF′，结合点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短，即可求解．
【详解】
作点F关于AD的对称点F′，连接CF′交AD于点E′，连接EF′，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵平分交于点，
∴点F′在AB上，
∴≥CF′，
在中，当CF′⊥AB时，CF′的值最小，此时，CF′==，
∴的最小值为，
故选D
【点睛】
本题主要考查轴对称与两线段和的最小值问题，熟练掌握“马饮水”模型，是解题的关键．
13．如图，在中，边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点，边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点，又的周长为16，且，则的长为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．16
B．15
C．14
D．13
【答案】C
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
的周长为16，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)//BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．E为CD中点
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用两直线平行，同旁内角互补，等腰三角形的判定与性质，三角形的全等推理判断即可.
【详解】
如图,延长AE，BC二线交于点F，
∵AD//BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴2∠ABE+2∠BAE=180°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴，
∴选项C正确；
∵AD//BC，AE平分∠DAB，
∴∠F=∠DAF=∠BAF，
∴AB=BF，
∵，
∴AE=EF，
∵∠AED=∠FEC，
∴△AED≌△FEC，
∴CE=ED，
∴E为CD的中点，
∴选项B正确；
∵△AED≌△FEC，
∴CF=AD，
∵BF=BC+CF，
∴BF=BC+AD，
∴AB=BC+AD，
∴选项A正确；
无法证明BC=CE，
∴选项D错误；
故选D.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的全等，直角两个锐角互余，熟练运用上述性质，会延长二线的辅助线是解题的关键.【版权所有：21教育】
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
【答案】B
【分析】
作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4=7，于是可求出AC的值．
【详解】
解：作DH⊥AC于H，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DE=2，
∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，
∴×2×AC+×2×4=7，
∴AC=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
16．如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得出BD=CD，求出△ABD的周长=AB+AC，再代入求出即可．
【详解】
解：∵的垂直平分线与相交于点，∴，
∴的周长
．
故选：．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D．三角形的三条边的垂直平分线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部
【答案】A
【分析】
根据三角形的角平分线、高、中线的定义判断即可．
【详解】
A、三角形的三条高的交点在三角形内部、外部或顶点上，本选项说法错误，符合题意；
B、三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部，本选项说法正确，不符合题意；
D、三角形的三条边的垂直平分线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，本选项说法正确，不符合题意；【出处：21教育名师】
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的角平分线、高、中线，关键是根据三条高线可以交在三角形的内部或外部或一角的顶点解答．
18．如图，在中，的垂直平分线分别交、于，两点，，的周长为23，则的周长为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】A
【分析】
的垂直平分线分别交、于，两点，得,；结合的周长为23，可计算得的值，即可完成求解．
【详解】
∵的垂直平分线分别交、于，两点
∴,
∵的周长为23
∴
∴，即的周长为15
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，从而完成求解．
19．下列语句中，其中正确的个数是（ ）
①有两边和其中一边上的中线分别相等的两个三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形全等；②有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；③到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；④角是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定分析可得①正确，②错误，根据角平分线的判定可得③正确，根据轴对称图形的对称轴是直线可得④错误．21·cn·jy·com
【详解】
解：①如图，已知AC=EG，AB=EF，CD、GH分别是AB、EF边上的中线，CD=GH，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由AB=EF，CD、GH分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)别是AB、EF边上的中线可知AD=EH，结合AC=EG，CD=GH，根据SSS可知△ACD≌△EHG，故∠A=∠E，于是由SAS可证明△ACB≌△EFG,
所以有两边和其中一边上的中线分别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相等的两个三角形全等的说法是正确的；
②如图，△ABC和△EFG中，AC=EG，BC=FG，CD、GH分别是AB、EF边上的高，且CD=GH，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
△ABC和△EFG显然不全等；
所以有两边及第三边上的高分别相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等的两个三角形不一定全等，故②说法错误；
③根据角平分线的判定定理可知，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故③说法正确；
④角是轴对称图形，角的平分线所在直线是它的对称轴，故④说法错误；
正确的说法有2个，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的判定，以及轴对称图形，关键是注意轴对称图形的对称轴是直线，不是射线．
20．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据DE是线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，然后根据△BCD的周长是9cm，以及AD＋DC＝AC，求出BC的长即可．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长是9cm，
∴BD＋DC＋BC＝9（cm），
∴AD＋DC＋BC＝9（cm），
∵AD＋DC＝AC，
∴AC＋BC＝9（cm），
又∵AC＝5cm，
∴BC＝9?5＝4（cm）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．图2
B．图1与图2
C．图1与图3
D．图2与图3
【答案】C
【分析】
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
【详解】
解：在图1中，利用基本作图可判断AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF，AM=AN，则可判断△AMF≌△ANE，所以∠AMD=∠AND，
再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN，∠MDE=∠NDF可判断△MDE≌△NDF，根据三角形面积公式则可判定D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
22．如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F．下列结论：
①△ADC≌△ADE；②CE平分∠DEF；③AD垂直平分CE，④DE=DF．其中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．①②
D．①③
【答案】A
【分析】
由角平分线的定义结合条件可证明△ADC≌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ADE；可得DE=DF，则可证得∠DEC=∠DCE，再利用平行可证明CE平分∠DEF，由线段垂直平分线的判定可证明AD垂直平分CE．
【详解】
解：∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADC和△ADE中，
，
∴△ADC≌△ADE（SAS），故①正确；
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠DCE=∠CEF，
∴∠DEC=∠CEF，
∴CE平分∠DEF，故②正确；
∵AE=AC，DE=DC，
∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故③正确；
∵DC≠DF，DE=DC，
∴④不正确，
∴正确的有①②③3个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证得△ADC≌△ADE是解题的关键．
23．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=4cm，AB=5cm，则△EBC的周长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
【答案】B
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】
解：∵DE是△ABC中A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AE+BE=CE+BE=AB=5cm，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=5+4=9（cm）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．
24．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（
）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
【答案】C
【分析】
根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是．
【详解】
解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：
①以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、，
②再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，
③画射线，射线即为所求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．
25．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点在上时，有最小值．
【详解】
解：连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
垂直平分，
，
，
当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称中的最短路线问题，明确当点，，在一条直线上时，有最小值是解题的关键．
26．如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】
要求PC+PD的值最小，当PC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、PD在一条这线上值最小，根据垂直平分线定理可以把PD转化为PA，可得知A、P、C在一条直线上值最小，即最小值为AC的长．
【详解】
连接PA，
∵直线MN为线段AD的垂直平分线，
∴，
∴，
当P在AC上时，最小，即，
∴最小值为1，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查的是垂直平分线定理的运用，以及动点问题，熟练掌握垂直平分线的性质以及四边形动点问题的转化是解决本题的关键．
27．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【答案】A
【分析】
根据三角形内角和得出，进而利用线段垂直平分线的性质得出，进而可求出
．
【详解】
∵
，
，
∴
∠ABC=?∠A?∠C=
∵
DE
垂直平分
AB
∴
BD=AD
∴
∠ABE=∠A=
∴
故选：A．
【点睛】
本题主要考察线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
28．已知，如图，OC是∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【详解】
解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①
符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②
符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③
符合题意；
∵∠DPO=∠EPO，PD⊥OA，PE⊥OB
∴在△POD和△POE中，
∴△POD≌△POE（AAS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④
符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；2·1·c·n·j·y
29．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则AB=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．28
B．18
C．10
D．7
【答案】D
【分析】
利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可．
【详解】
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)EC，
则AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，AC=4，
故AB=11-4=7，
故选：D．【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，注意：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．
二、填空题
30．如图，在中，，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则的周长等于________．
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【答案】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质可得：，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：由的中垂线交于，的中垂线交于，
，
则的周长
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是：掌握线段的垂直平分线的性质，再利用等量代换计算即可．
31．如图，中，，是边上的高，平分，交于点．过点作，垂足为，，若，则的面积是_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】16
【分析】
先在中求出AD的长，再结合运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：在中，，
，
，
的面积．
故填：16．
【点睛】
本题考查了中垂线的性质、角平分线的性质以及直角三角形的性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
32．如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2．
【分析】
作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OD＝OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，
∵点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∴×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF+×AB×OD，
∴×6×8＝×6×OD+×8×OD+×10×OD，
解得，OD＝2，即点O到边AB的距离为2，
故答案为：2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题关键是作出恰当的辅助线，利用等积法求高．
33．如图，在四边形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD中，∠A=90°，AD=
6
，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】6
【分析】
根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD=∠CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=6，即可得出选项．
【详解】
解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠C+∠CBD=90°，
∵∠A=90°
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP=AD，
∵AD=6，
∴DP的最小值是6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键．21教育名师原创作品
34．如图，的三边、、长分别是10、15、20，三条角平分线交于点，则等于__________．
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【答案】
【分析】
由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF．
∵AB＝10，BC＝15，CA＝20，
∴＝(?AB?OE)：(?BC?OF)：(?CA?OD)＝＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理和三角形面积的计算方法是解题的关键．
三、解答题
35．如图，已知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在上作点D，使点D到和的距离相等；过点B作交的延长线于E；
（2）若，垂足为F，证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）作∠BAC的平分线，交BC于D，作∠ABE=∠BAD，交CA延长线于E即可；
（2）根据已知条件，利用ASA证明△AFE≌△AFB，可得结果．
【详解】
解：（1）如图所示，AD和BE即为所作；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）∵BE∥AD，AF⊥BE，
∴∠DAF=180°-90°=90°，∠EAF+∠CAD=90°，
即∠BAF+∠BAD=90°，
由（1）可知：∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠EAF，
∵∠AFE=∠AFB=90°，AF=AF，
∴△AFE≌△AFB（ASA），
∴EF=BF．
【点睛】
本题考查了尺规作图，平行线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
36．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：∠DEF＝∠DFE；
（2）求证：AD垂直平分EF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的性质证明即可得解；
（2）根据已知条件证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL）和即可得解；
【详解】
（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE；
（2）根据已知条件可得∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE＝∠ADF；
在△DEO和△DFO中，
，
∴，
∴，，
∵∠EOD+∠FOD＝180°，
∴∠EOD=∠FOD＝90°，
∴AD垂直平分EF．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的垂直平分线的判定与性质，结合等三角形证明是解题的关键．
37．如图，C为线段AB上任
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)意一点（不与A、B重合）分别以AC、BC为一边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N．AE与BD交于点P．连接PC．试说明：
（1）△ACE≌△DCB．
（2）∠APD的度数．
（3）∠APC＝∠BPC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析
（2）60°
（3）见解析
【分析】
（1）由已知可得∠ACE＝∠DCB，然后根据SAS即可证明△ACE≌△DCB；
（2）由全等三角形的性质可得∠CAE＝∠BDC，由外角性质可得∠APD＝60°；
（3）过点C作CG⊥AE于G，作C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)H⊥BD于H，由“AAS”可证△AGC≌△DHC，可得CH＝CG，由角平分线的判定可得∠APC＝∠BPC．
【详解】
（1）证明：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠BDC+∠CBD＝60°，
∴∠APD＝∠CAE+∠CBD＝60°；
（3）证明：如图，过点C作CG⊥AE于G，作CH⊥BD于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴CG＝CH，且CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，
即∠APC＝∠BPC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及角平分线的判定等知识．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质
38．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点，，，垂足分别是，．求证．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析
【分析】
欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
【详解】
证明：∵在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理．理解角平分线上的点到角两边距离相等是解题关键．
39．已知，如图，，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）连接，求证点在的平分线上．
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）由题意易得，然后由，可求证；
（2）过点A分别作AF⊥CD，AH⊥BE，垂足分别为F、H，则有，由（1）可得：，进而可证，然后可得，则问题得证．
【详解】
证明：（1）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（SAS）；
（2）过点A分别作AF⊥CD，AH⊥BE，垂足分别为F、H，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴，
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∴AO平分∠DOE，
∴点A在的平分线上．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定定理及三角形全等的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理及三角形全等的性质与判定是解题的关键．21
cnjy
com
40．如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的长；
（2）分别连结、、，若的周长为，求的长．
【答案】（1）6cm；（2）5cm．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得，利用等量代换即可求解；
（2）连结、、，利用线段垂直平分线的性质得，则，结合（1）中BC的长即可求解．
【详解】
解：（1）∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连结、、，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长为16cm，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
41．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
求证：△AED≌△CFD．
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【答案】证明见解析
【分析】
由作图得到PQ为线段AC的垂直平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线，则AE＝CE，AD＝CD，再根据平行线的性质得∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，然后利用“ASA”判断△AED≌△CFD．21
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【详解】
证明：由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB，
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD；
【点睛】
本题考查了全等的判定与性质及基本作图，平行线的性质，解题的关键是通过作图得到直线的垂直平分线．
42．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长．
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【答案】（1）证明见解析，（2）AE＝7，BE＝1．
【分析】
（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论．
【详解】
解：（1）证明：
连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB＝DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
∵AC+CF＝AF，
∴AE＝AC+CF．
∵AE＝AB﹣BE，
∴AC+CF＝AB﹣BE，
∵AB＝8，AC＝6，
∴6+BE＝8﹣BE，
∴BE＝1，
∴AE＝8﹣1＝7．
即AE＝7，BE＝1．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．21世纪教育网版权所有
43．在△ABC中，若AD是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
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【答案】（1）DE＝DF，理由见解析；（2）不一定成立
【分析】
（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，DM＝DN，△DME≌△DNF，DE＝DF；
（2）如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立；
【详解】
（1）DE＝DF．
理由如下：
过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
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∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，
∴∠DFN＝∠AED，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE＝DF；
（2）不一定成立．
如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，
经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，
所以不一定成立．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，难点在于熟练和灵活的应用角平分线要点；
44．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
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（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．【来源：21cnj
y.co
m】
【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE．
【分析】
(1)
由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；
（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；
（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．
【详解】
证明(1)
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵BA=BF，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×
180°=90°，
∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：
延长CE，交BA的延长线于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，
∴GE=2CE=2GE，
∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，
∴△BAD≌△CAG（ASA），
∴BD=CG=2CE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）FM=2
CE，理由如下：
作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，
∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，
∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，
∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，
∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，
∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，
∴△FNH≌△CME（AAS），
∴FH=CE，
∴FM=2FH=2CE．
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【点睛】
本题考查角平分线性质，三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．
45．如图，已知四边形ABCD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．
【分析】
（1）作A点关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P点，利用PA=PA′，则PA+PD=DA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（2）①作BC的垂直平分线交AC于M；②BA和CD的延长线相交于O点，作∠BOC的平分线交AC于N．
【详解】
解：（1）如图①，点P为所作；
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（2）①如图①，点M为所作；
②如图②，点N为所作．
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【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了最短路径问题．
46．如图，C是内部的一条射线OM上一点，D、E分别在边OA、OB上．，．求证：．
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【答案】证明见解析．
【分析】
过点C作，，根据AAS证明△CDF≌△CEG，得到CF=CG，由，即可得到结论．
【详解】
证明：过点C作，．
，
，
又，
．
在与中，
，
，
，
又，，
OM平分，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定及性质定理，熟记角平分线的判定定理的证明是解题的关键．21·世纪
教育网
47．如图，在中，是它的角平分线．
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（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，由三角形面积公式可得，再与（1）所得结论建立等式，即可求出的长．
【详解】
（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
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∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF．
∵，，
∴．
即S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形的面积公式等知识，熟练掌握角平分线的性质定理、三角形的面积公式以及正确的作出辅助线是解题的关键．21cnjy.com
48．如图1，已知A（0，a），B（b，0），a，b满足．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，求证：射线OC是∠AOB的平分线；
（3）以（2）中的点C为直角顶点作∠DCE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，交x轴于点D，交y轴于点E，设D（m，0），E（0，n），当∠DCE绕点C任意旋转时，m+n的值是否改变？若不改变，请求出m+n的值；若改变，请说明理由．
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【答案】（1）a=3，b=1；（2）证明见解析；（3）不改变，m+n=4．
【分析】
（1）根据非负性即可得解；
（2）过点C作CG⊥x轴于点G，CH⊥y轴于点H，证明△ACH≌△BCG，即可得到结果；
（3）分三种情况讨论：当D在x正半轴上，当E在y正半轴上时；当D在x负半轴上，当E在y正半轴上时；当D在x正半轴上，当E在y负半轴上时；
【详解】
解：（1）∵，
∴（a-3）2+=0，
得a=3，b=1；
（2）过点C作CG⊥x轴于点G，CH⊥y轴于点H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ACB=∠AOB=90°，
∴∠CBO+∠OAC=360°-∠ACB-∠AOB=180°．
∵∠CBO+∠CBG=180°，
∴∠OAC=∠CBG，
在△ACH和△BCG中
，
∴△ACH≌△BCG，
∴CG=CH，
∴OC是∠AOB的平分线；
（3）不改变．
由（2）得C（2，2），分以下三种情况讨论：
①如图a，当D在x正半轴上，当E在y正半轴上时．
∵∠ECH+∠DCH=90°=∠DCH+∠DCG，∴∠ECH=∠DCG，
在△ECH和△DCG中
，
∴△ECH≌△DCG，
∴EH=DG，∴m+n=OE+OD=EH+OH+（OG-DG）=OH+OG=2+2=4；
②如图b，当D在x负半轴上，当E在y正半轴上时，
同上可得：EH=DG，∴m+n=OE-OD=EH+OH-（DG-OG）=OH+OG=2+2=4；
③如图c，当D在x正半轴上，当E在y负半轴上时，
同理可得m+n=OD-OE=OG+DG-（EH-OH）=OG+OH=2+2=4．
综上所述：m+n是定值为4．
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【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定，旋转的综合应用，结合全等三角形的判定与性质计算是解题的关键，第3问注意分情况讨论．
49．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
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（1）画出关于轴的对称图形；
（2）在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；P
【分析】
（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作点A关于x轴的对称点，再连接A′B，与x轴的交点即为所求．
【详解】
（1）如图所示，即为所求．
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（2）如图所示，点即为所求，其坐标为．
【点睛】
本题主要考查作图?轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
50．如图，在中，点D在边的延长线上．完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作边的中点M．
（2）作，且点E在线段的延长线上．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可．
（2）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可．
【详解】
（1）如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
作法：分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，四弧相交于两点，连接此两点的直线与AB的交点M即为AB的中点．
（2）如图：
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作法：分别以A、D为圆心，等长为半径画弧，分别与两边交于点M、N，交CD于点F，再以点F为圆心，MN长为半径画弧，该弧与以点D为圆心，等长为半径所画弧交于点G，连接DG并延长与AC交于点E，则．
【点睛】
本题考查了尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图法，和作一个角等于已知角的方法是解题关键．
51．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠C=70°，则∠A的大小为
；
（2）若AE=BC，求∠A的度数；
（3）如图2，点M是边BC上的一个定点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）
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【答案】（1）40°；（2）36°；（3）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的两底角相等和三角形内角和等于180°即可求解；
（2）根据DE垂直平分AB可得BE=AE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，进而可知∠A=∠ABE，再由AE=BC，可得∠C=∠BEC，进而得出∠ABC=∠C=2∠A，再由三角形内角和即可求出∠A；
（3）由已知可知B关于直线DE的对称点是A点，由此可知当A、M、N三点在同一直线上时，BN+MN=AN+MN最小．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠C=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
故答案为：40°；
（2）如图：连接BE，
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∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴∠A=∠ABE，
又∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°；
（3）如图，
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连接AM交DE于N点；即N点为所求．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和及最短路径等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
52．如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
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（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
【答案】（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析
【分析】
（1）①由垂直平分线与角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明BP=2PD，进而即可得到结论；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．
【详解】
（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度数是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵CD是AB的垂直平分线，
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∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°．
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90°?∠PCE=90°?45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，
∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），
∴AE=AD，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，
又∵AC=BC，
∴AD+PD=BC．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．
53．如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．
（1）如图2，将仪器放置在△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC上，使点O与顶点A重合，D、E分别在边AB、AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．则AP就是∠BAC的平分线吗？请给出判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的前提下，过点P作PQ⊥AB于点Q，已知PQ=4，AC=7，△ABC的面积是32，求AB的长．
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【答案】（1）AP是∠BAC的平分线，理由见解析；（2）AB=9
【分析】
（1）利用“SSS”证明△ADF≌△AEF即可证明AP是∠BAC的平分线；
（2）利用角平分线的性质得到PG=PQ=4，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴∠DAF=∠EAF，
即AP平分∠BAC；
（2）过点P作PG⊥AC于点G，
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∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PG⊥AC，
∴PG=PQ=4，
∵
∴，
∴AB=9．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定和性质．熟练掌握确定三角形的判定方法，正确的识别图形是解题的关键．21教育网
54．如图，在中，点在上，过点作于点点是边上一点，连接．若，求证：平分．
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【答案】证明见解析
【分析】
由已知可得RT△DCF≌RT△DEB，从而得到DC=DE，又由已知可得DC⊥AC，DE⊥AB，所以由角平分线的判定定理即可得解．
【详解】
证明：由题意可得，在和中，
，
平分．
【点睛】
本题考查角平分线与直角三角形的综合运用，熟练掌握角平分线的判定与直角三角形的判定和性质是解题关键．
55．在中，是的高，，
（1）尺规作图：作的角平分线
（2）求的大小．
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【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）以任意长度为半径，点A为圆心画圆弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径画圆弧并相交于点K，连接AK，AK交BC于点E，即可得到答案；
（2）结合题意，根据三角形内角和定理，得；再根据角平分线性质得；结合是的高，根据直角三角形两锐角互余的性质计算得；最后通过的关系计算完成求解．
【详解】
（1）作图如下：
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AE即为的角平分线；
（2）∵，
∴
∵AE为的角平分线
∴
∵是的高
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线、三角形内角和、直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形两锐角互余、三角形高的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形内角和、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
56．如图，在△ABC中，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．
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【答案】证明见解析．
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，证明△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到BE=CF．
【详解】
证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC平分∠ACF，
∴∠FCB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FCB，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
57．如图，中，AD平分，BC的垂直平分线DG交AD于D，于E，于F．求证：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）．
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）连接DB、DC，先
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△BDE≌△CDF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△DAE≌△DAF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论．
【详解】
（1）连接DB、DC，如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
垂直平分BC，
，
又平分，，，
，，，
在和中，
，
，
．
（2）在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
58．我们知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，角平分线有许多性质．
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（1）如图1，在的平分线上截取线段，分别以点O和点C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E、F．画直线，分别交、于点D．G连结，，则形状一定是_____________________；
（2）如图2，在中，，平分，过点D作于M，连结，若，求证：；
（3）如图3，点D是的平分线上一点，P是边上一点，若，，点D到的距离为8，直接写出线段的长．
【答案】（1）等腰三角形；（2）见详解；（3）21或9
【分析】
（1）证明OC是DG的中垂线，进而即可得到结论；
（2）过点D作DN⊥AC，交AC的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)延长线于点N，先证明Rt?ADN?Rt?ADM，得AN=AM，从而得MB=CN，再证明?CDN??BDM，可得∠DCN=∠ABD，进而即可得到结论；
（3）过点D作DE⊥AC于点E
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，过点D作DF⊥AB于点F，在Rt?ADF中，求出AF的值，然后分两种情况：当点P1在点F得右边时，当点P2在点F得左边时，别分求解，即可．
【详解】
（1）∵分别以点O和点C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，
∴EF⊥OC且EF平分OC，
∵OM平分∠AOB，
∴OM是∠AOB的对称轴，
∴DP=GP，
又∵DG⊥OC，
∴OC是DG的中垂线，
∴CD=CG，即是等腰三角形，
故答案是：等腰三角形；
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（2）过点D作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，
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∵AD是∠CAB的平分线，DN⊥AC，DM⊥AB，
∴DN=DM，
又∵AD=AD，
∴Rt?ADN?Rt?ADM（HL），
∴AN=AM，
∵，
∴AM+MB+AN-CN=2AM，即MB=CN，
又∵∠CND=∠BMD=90°，DN=DM，
∴?CDN??BDM（SAS），
∴∠DCN=∠ABD，
∴；
（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，
由题意得：DE=8，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DF=DE=8，
∴在Rt?ADF中，AF=，
当点P1在点F得右边时，
在Rt?DFP1中，FP1=，
∴AP1=AF+
FP1=15+6=21，
当点P2在点F得左边时，
在Rt?DFP2中，FP2=，
∴AP2=AF-
FP2=15-6=9，
综上所述：AP=21或9．
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【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
59．在活动课上我们曾经探究过三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：
（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝
（直接写出结果）．
（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．
①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为
（直接写出结果）．
②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．
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【答案】（1）180°；（2）①70°；②平行，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形内角和解答即可；
（2）①由四边形的内角和为360°以及角平分线的定义可得∠AOB+∠COD＝180°，据此解答即可；
②由①得∠AOB+∠COD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝180°，从而得出∠AOD+∠BOC＝180°，可得∠AOD＝∠BOC＝90°，进而得出∠DAB+∠ADC＝180°，可得AB∥CD．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．
故答案为180°；
（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB=∠DAB,
∠OBA=∠CBA,
∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，
在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，
∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∵∠AOB＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°；
②AB∥CD，理由如下：
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB=∠DAB,
∠OBA=∠CBA,
∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC，
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，
在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，
∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°．
在∠AOD中，∠OAD+∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DAO=∠DAB,
∠ADO=∠ADC，
∴∠DAB+∠ADC=90°，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD．
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．
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精品试卷·第
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页）
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2.4
线段角的对称性
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（
）
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A．
B．1
C．2
D．6
2．如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则△DAB的面积是（
）【出处：21教育名师】
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A．9cm2
B．8cm2
C．7cm2
D．6cm2
3．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
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A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
4．给出下面两个命题：①如图1，若，，则垂直平分；②如图2，若点到，的距离，相等，则平分．其中真命题是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．①
B．②
C．①②
D．无
5．如图，在ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=3，ABC的周长为20，则AEC的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．14
B．20
C．16
D．12
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝9，则△ABD的面积是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．18
C．24
D．36
7．如图，在△ABC中，AB=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC，AB=6，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△CBE的周长为（
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A．12
B．6
C．9
D．15
8．已知如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①EBC可由ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180?；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的个数为（
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A．4
B．3
C．2
D．1
9．如图，ABC中，∠A=105?，通过如图所示的尺规作图得到交点P，若∠ACP=30?，则∠PBC=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15?
B．18?
C．20?
D．25?
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（
）
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A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
11．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若
，，则的周长为（
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A．10
B．11
C．12
D．13
12．如图，在中，，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为（
）
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A．
B．
C．3
D．
13．如图，在中，边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点，边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点，又的周长为16，且，则的长为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．16
B．15
C．14
D．13
14．如图，在四边形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，AD//BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（
）．
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A．
B．E为CD中点
C．
D．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
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A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
16．如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为(
)
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A．
B．
C．
D．
17．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D．三角形的三条边的垂直平分线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部
18．如图，在中，的垂直平分线分别交、于，两点，，的周长为23，则的周长为（
）．
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A．15
B．16
C．17
D．18
19．下列语句中，其中正确的个数是（ ）
①有两边和其中一边上的中线分别相等的两个三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形全等；②有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；③到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；④角是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴
A．1
B．2
C．3
D．4
20．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
21．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC的是（
）
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A．图2
B．图1与图2
C．图1与图3
D．图2与图3
22．如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F．下列结论：
①△ADC≌△ADE；②CE平分∠DEF；③AD垂直平分CE，④DE=DF．其中正确的是（ ）
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A．①②③
B．①②④
C．①②
D．①③
23．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=4cm，AB=5cm，则△EBC的周长为（ ）
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A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
24．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（
）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
25．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
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A．
B．
C．
D．
26．如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（
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A．1
B．
C．
D．3
27．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（ ）21
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A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
28．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
29．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则AB=（
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A．28
B．18
C．10
D．7
二、填空题
30．如图，在中，，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则的周长等于________．【版权所有：21教育】
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31．如图，中，，是边上的高，平分，交于点．过点作，垂足为，，若，则的面积是_______．
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32．如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．
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33．如图，在四边形ABCD中，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A=90°，AD=
6
，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．
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34．如图，的三边、、长分别是10、15、20，三条角平分线交于点，则等于__________．
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三、解答题
35．如图，已知
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（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在上作点D，使点D到和的距离相等；过点B作交的延长线于E；
（2）若，垂足为F，证明．
36．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：∠DEF＝∠DFE；
（2）求证：AD垂直平分EF．
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37．如图，C为线段AB上任
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)意一点（不与A、B重合）分别以AC、BC为一边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N．AE与BD交于点P．连接PC．试说明：
（1）△ACE≌△DCB．
（2）∠APD的度数．
（3）∠APC＝∠BPC．
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38．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点，，，垂足分别是，．求证．
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39．已知，如图，，，．
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（1）求证：．
（2）连接，求证点在的平分线上．
40．如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为．
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（1）求的长；
（2）分别连结、、，若的周长为，求的长．
41．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
求证：△AED≌△CFD．
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42．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长．
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43．在△ABC中，若AD是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：21cnjy.com
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
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44．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
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（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．
45．如图，已知四边形ABCD．
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（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；
（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；
②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．
46．如图，C是内部的一条射线OM上一点，D、E分别在边OA、OB上．，．求证：．
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47．如图，在中，是它的角平分线．
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（1）求证：；
（2）若，求的长．
48．如图1，已知A（0，a），B（b，0），a，b满足．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，求证：射线OC是∠AOB的平分线；
（3）以（2）中的点C为直角顶点作∠DCE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，交x轴于点D，交y轴于点E，设D（m，0），E（0，n），当∠DCE绕点C任意旋转时，m+n的值是否改变？若不改变，请求出m+n的值；若改变，请说明理由．
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49．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
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（1）画出关于轴的对称图形；
（2）在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点的坐标．
50．如图，在中，点D在边的延长线上．完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作边的中点M．
（2）作，且点E在线段的延长线上．
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51．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠C=70°，则∠A的大小为
；
（2）若AE=BC，求∠A的度数；
（3）如图2，点M是边BC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）21世纪教育网版权所有
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52．如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
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（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．www.21-cn-jy.com
53．如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．
（1）如图2，将仪器放置在△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC上，使点O与顶点A重合，D、E分别在边AB、AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．则AP就是∠BAC的平分线吗？请给出判断并说明理由．2·1·c·n·j·y
（2）如图3，在（1）的前提下，过点P作PQ⊥AB于点Q，已知PQ=4，AC=7，△ABC的面积是32，求AB的长．2-1-c-n-j-y
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54．如图，在中，点在上，过点作于点点是边上一点，连接．若，求证：平分．
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55．在中，是的高，，
（1）尺规作图：作的角平分线
（2）求的大小．
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56．如图，在△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．【来源：21cnj
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57．如图，中，AD平分，BC的垂直平分线DG交AD于D，于E，于F．求证：
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（1）．
（2）．
58．我们知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，角平分线有许多性质．
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（1）如图1，在的平分线上截取线段，分别以点O和点C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E、F．画直线，分别交、于点D．G连结，，则形状一定是_____________________；21
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（2）如图2，在中，，平分，过点D作于M，连结，若，求证：；
（3）如图3，点D是的平分线上一点，P是边上一点，若，，点D到的距离为8，直接写出线段的长．
59．在活动课上我们曾经探究过三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：
（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝
（直接写出结果）．
（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．
①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为
（直接写出结果）．
②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．
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