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2.5
等腰三角形的轴对称性
【基础训练】
一、单选题
1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（
）21·世纪
教育网
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A．10
B．6
C．7
D．8
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，则斜边的长为（ ）
A．8
cm
B．6
cm
C．4
cm
D．2
cm
3．如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4m
B．6m
C．8m
D．12m
4．一个等腰三角形的一边长为5，且它的周长为21，则它的底边长为（ ）
A．5
B．8
C．11
D．5或11
5．等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°或50°
B．80°
C．80°或65°
D．65°
6．两个等腰三角形，若顶角和底边对应相等，则两个等腰三角形全等，其理由是（
）
A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．ASA或AAS
7．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9
B．12
C．9或12
D．6或15
8．等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（
）．
A．50°
B．65°
C．70°
D．75°
9．已知一个等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角为（）
A．20°
B．50°
C．40°
D．20°或80°
10．如图，在中，，，按照以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧交点，所在直线分别与边AB，BC交于点D，E；②分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧交点，所在直线分别与边AC，BC交于点F，G．则的度数为（
）21·cn·jy·com
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A．
B．
C．
D．
11．等腰三角形的顶角为50°，则底角的度数为（
）
A．80°
B．50°
C．65°
D．130°
12．若的三条边长分别是、、，且则这个三角形是（
）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
13．等腰三角形具有“三线合一”的性质，以下哪个不是三线之一（
）
A．底边上的高
B．腰上的高
C．底边上的中线
D．顶角的角平分线
14．如图，ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，并且DE∥AB，则CDE的周长为（
）www.21-cn-jy.com
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A．20cm
B．12cm
C．13cm
D．14cm
15．如图，面积为9，平分，于点，连结，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．4.5
C．4
D．3.5
16．如图，在中，，垂直平分，若，则的度数等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
17．等边中，，绕点D逆时针转过，E点落在边的F处，已知，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．3.5
D．5
18．在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放．它们一组较短的直角边分别在，上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，交边于点D，则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．平分
B．
C．垂直平分
D．
19．如图，为等边三角形，点D、E分别在边和上，，与交于点，于点，若，则下列结论：①，②，③，其中正确的个数是（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
20．为了打造“绿洲”，计划在市内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（ ）元．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75a
B．50a
C．a
D．150a
21．如图，在Rt△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，直角MDN绕点旋转，DM、DN分别与边AB，AC交于E、F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；
②AE＝CF；
③△BDE≌△ADF；
④BE+CF＝EF．其中正确的是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．①②④
B．②③④
C．①②③
D．①②③④
22．如图，在中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别是AD的三等分点，若的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（
）cm2．21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．4.5
C．5
D．6
23．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点、；
②连接、交于点，连接；
若，，则的度数为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．96°
C．108°
D．112°
24．如图，在中，AB=BC，∠ABC=120°，过点作，若，的长度为
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2.5
C．2
D．3
25．如图，在中，，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．作射线，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：①；②垂直平分；③为等边三角形；④，正确的个数是（
）21
cnjy
com
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
26．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．4
C．3
D．2
27．如图，
ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC，垂足为D，则∠CAD＝（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．35°
C．20°
D．15°
28．如图，在中，是的中点，，则（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．108°
B．72°
C．54°
D．36°
29．如图，，点在线段上，，则的度数是（
）
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A．
B．
C．
D．
30．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠B＝22.5°AC＝6，则CE为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．3
D．12
二、填空题
31．如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的值为_______．
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32．老师在投影屏上展示了如下一道试题：
已知：如图，平分，．求证：．
证明：∵平分，
∴（①角平分线定义）．
∵，
∴（②等角对等边）．
∴③，
∴（④内错角相等，两直线平行）．
则以上证明过程中，结论或者依据错误的一项是__________．
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33．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为___．21cnjy.com
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34．如图钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要_________根．
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35．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．www-2-1-cnjy-com
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三、解答题
36．如图，在中，,垂足为点D，AD平分，点O是线段AD上一点，线段的延长线交边AC于点F，线段CO的延长线交边AB于点E．【出处：21教育名师】
（1）说明是等腰三角形的理由；
（2）说明BF=CE的理由．
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37．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．【版权所有：21教育】
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已知：在中，为锐角，，______．
求证：______．
证明：______．
38．如图所示，在中，，分别是和的平分线，且．
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（1）求的周长．
（2）若，求的度数．
39．如图所示，在中，，求的度数．
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40．如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上，从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是秒（），连接、、、．
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（1）请判断形状，并证明你的结论．
（2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含的式子表示．
41．如图，在中，，．求的度数．
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42．如图，已知在中，．
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（1）求证：．
（2）求的度数．
43．已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．求证：DB＝DC．
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44．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过点C作，且AE⊥CE．解答下列问题：
（1）∠CAE=∠ABD成立吗？请说明理由；
（2）还有哪些结论？（写出一个即可）
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45．如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度．
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46．如图，在△ABC中，CD平分∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB，CD交AB边于点D，过D作DE//BC交AC边于点E，若DE恰好平分∠ADC，DB＝5，EC＝3，求△EDC的周长．
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47．如图，中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
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48．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，，，求的度数．
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49．如图，在中，，于D．
（1）求证：；
（2）若AF平分分别交CD、BC于E、F，求证：是等腰三角形．
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50．如图△ABC中，的平分线交于点O，过O点做，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．2-1-c-n-j-y
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51．如图，中，，点D，E在边上，，点F在的延长线上，
．
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（1）求证：；
（2）若，求的度数
．
52．如图，在中，，，，垂足为点，平分交于点，交于点．
点为的中点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）．
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53．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．21世纪教育网版权所有
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（1）求证：点在的垂直平分线上；
（2）若，求的度数．
54．已知：如图，，，与相交于点，求证：．
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55．如图，，，，在同一条直线上，交于点，，，．
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（1）求证：．
（2）若，，试判断的形状，并说明理由．
56．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，的周长是7．21教育网
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（1）求的长度；
（2）若，则度数是多少？请说明理由．
57．如图，在等边中，高线和高线相交于点．
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（1）求证：；
（2）连接，判断的形状，并说明理由．
58．如图，在等腰直角三角形中，是斜边上的中线，点在上，点在上，
（1）求的度数
（2）求证：点在的垂直平分线上
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59．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为8cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．【来源：21·世纪·教育·网】
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60．如图，已知，，和相交于点O．张老师要求添加一个条件后，编制一道题目，并解答．
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（1）小明编制题目是：添加条件，求证：，请你解答．
（2）请你也编制一道题目，并解答，（不标注新的字母）．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.5
等腰三角形的轴对称性
【基础训练】
一、单选题
1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（
）
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A．10
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】
分AB是腰长时，根据网格结构，找出一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
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故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定．解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，则斜边的长为（ ）
A．8
cm
B．6
cm
C．4
cm
D．2
cm
【答案】A
【分析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．
【详解】
解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，
∴斜边长为8cm．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
3．如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（ ）
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A．4m
B．6m
C．8m
D．12m
【答案】B
【分析】
由立柱BC垂直于横梁AC知△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是直角三角形，再由∠A＝30°根据含30度角的直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半知
BC是AB的一半，问题可解．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，AB＝12m，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝6m．
则立柱BC的长度为6m．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对含30度角的直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形这一知识点的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了学以致用的思想，同时此题难度不大，也便于激发学生的学习兴趣．
4．一个等腰三角形的一边长为5，且它的周长为21，则它的底边长为（ ）
A．5
B．8
C．11
D．5或11
【答案】A
【分析】
分5为等腰三角形的腰长和底边长两种情况讨论即可．
【详解】
解：当5为腰长时，底边长为21-5×
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2=11，
所以此时三角形的三边长为5，5，11，
∵5+5=10＜11，
∴不能组成三角形；
当5为底边长时，腰长为（21-5）÷2=8，
此时三角形的三边长为5，8，8，能组成三角形，
所以等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系的知识，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
5．等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°或50°
B．80°
C．80°或65°
D．65°
【答案】A
【分析】
等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【详解】
解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°；
（2）当50°为底角时，顶角=180°-2×50°=80°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．两个等腰三角形，若顶角和底边对应相等，则两个等腰三角形全等，其理由是（
）
A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．ASA或AAS
【答案】D
【分析】
根据题意只有一组对应边相等，选项A、B可排除，两个等腰三角形顶角相等，则底角也相等，根据三角形全等判定定理选出正确答案．21cnjy.com
【详解】
设等腰三角形顶角为，则两个三角形底角都是，
两个三角形三组对应角相等；
有一组对应边相等
由此可得两个三角形两底角及夹边对应相等，即ASA；一个底角和顶角及底边对应相等，即AAS．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形全等判定，利用给定的条件，灵活运用三角形全等判定定理是解题关键．
7．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9
B．12
C．9或12
D．6或15
【答案】B
【分析】
所给出的边2、5均可以作腰，也可以作底，分两种情况讨论，注意使用三角形三边的关系进行判断．
【详解】
解：①若2为腰，则2+2＜5，不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)能构成三角形，此种情况舍去；
②若2为底，则5+2＞5，能构成三角形，故周长是2+5+5=12．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，解题的关键是注意分情况讨论．
8．等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是（
）．
A．50°
B．65°
C．70°
D．75°
【答案】B
【分析】
由等腰三角形的顶角为50°，则底角为：从而可得答案．
【详解】
解：
等腰三角形的顶角为50°，
底角为：
故选．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．已知一个等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角为（）
A．20°
B．50°
C．40°
D．20°或80°
【答案】D
【分析】
先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】
解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．
10．如图，在中，，，按照以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧交点，所在直线分别与边AB，BC交于点D，E；②分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧交点，所在直线分别与边AC，BC交于点F，G．则的度数为（
）21
cnjy
com
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意可知DE和FG分别是AB和AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的垂直平分线，再结合垂直平分线的性质和等边对等角可求出∠BAE和∠CAG，再根据三角形内角和定理求出∠BAC，最后根据角的和差即可求得∠EAG．
【详解】
解：由题意可知，DE和FG分别是AB和AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AG=GC，
∴∠BAE=，∠CAG
=，
∵∠BAC=180°-∠BAE-∠CAG=100°，
∴∠EAG=∠BAC-∠BAE-∠CAG=20°．
故选：A．
【点睛】
本题考查作垂直平分线，垂直平分线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握相关定理，能分别求出∠BAE、∠CAG和∠BAC是解题关键．21教育名师原创作品
11．等腰三角形的顶角为50°，则底角的度数为（
）
A．80°
B．50°
C．65°
D．130°
【答案】C
【分析】
等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得．
【详解】
解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角=（180°-50°）÷2=65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质；等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
12．若的三条边长分别是、、，且则这个三角形是（
）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
根据非负性质求出a,b,c的关系,即可判断．
【详解】
∵,
∴a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查平方和绝对值的非负性,等边三角形的判定,关键在于利用非负性解出三边关系．
13．等腰三角形具有“三线合一”的性质，以下哪个不是三线之一（
）
A．底边上的高
B．腰上的高
C．底边上的中线
D．顶角的角平分线
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，逐个选项进行分析即可得出结果．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
只有选项B符合条件，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是正确解答本题的关键，比较简单．
14．如图，ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，并且DE∥AB，则CDE的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20cm
B．12cm
C．13cm
D．14cm
【答案】D
【分析】
由等腰三角形的性质可得CD＝BD＝4cm，AD⊥BC，再由直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵AB＝AC＝10cm，AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝4（cm），AD⊥BC，
∵点E为AC的中点，
∴CE＝DE＝AC＝5（cm），
∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝14（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．
15．如图，面积为9，平分，于点，连结，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．4.5
C．4
D．3.5
【答案】B
【分析】
延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC．
【详解】
解：延长AP交BC于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=S△ABC=×9=4.5，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
16．如图，在中，，垂直平分，若，则的度数等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形性质和垂直平分线相纸可分别诶得到∠DCE和∠ACB的值，然后计算∠ACD即可．
【详解】
解：∵，
∴∠ACB=∠A==70°，
∵垂直平分，
∴∠DCE=∠B=40°，
∴∠ACD=∠ACB-∠∠DCE=30°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质和垂直平分线性质，利用相关性质的道对应边角关系式解题的关键．
17．等边中，，绕点D逆时针转过，E点落在边的F处，已知，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．3.5
D．5
【答案】A
【分析】
连接EF，根据等边三角形性质可得，根据旋转性质可证是等边三角形，继而可得，，，根据全等三角形判定定理可证得，，．
【详解】
解：如图，连接EF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是等边三角形，
∴；
∵绕点D逆时针转过，E点落在边的F处，
∴是等边三角形（有一角是的等腰三角形是等边三角形），
∴，，
∵，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴；
在和中，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质，旋转图形性质及全等三角形判定与性质，根据图形旋转性质证明三角形全等是解题关键．【版权所有：21教育】
18．在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放．它们一组较短的直角边分别在，上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，交边于点D，则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．平分
B．
C．垂直平分
D．
【答案】D
【分析】
先根据角平分线的判定定理得到BP平分∠ABC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到AD=DC，BD垂直平分AC，进而即可求解．
【详解】
解：如图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，
∴BP平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，BD垂直平分AC，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB=2AD，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
19．如图，为等边三角形，点D、E分别在边和上，，与交于点，于点，若，则下列结论：①，②，③，其中正确的个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】D
【分析】
证明△ACE≌△CBD（SAS），推出∠ACE=∠CBD，可得①②正确，再根据AAS证明△APB≌△BFC，可得结论．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=∠CAE=60°，
在△ACE和△CBD中，，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠ACE=∠CBD，故①正确，
∵∠BPE=∠PCB+∠CBD=∠PCB+∠ACE=∠ACB=60°，故②正确，
∵AP⊥BD，BF⊥CE，
∴∠APB=∠BFC=90°，
∵∠ACB=∠ABC=60°，∠ACE=∠CBD，
∴∠BCF=∠ABP，
在△APB和△BFC中，，
∴△APB≌△BFC（AAS），故③正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
20．为了打造“绿洲”，计划在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（ ）元．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75a
B．50a
C．a
D．150a
【答案】A
【分析】
作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则∠DBC＝30°，由BC＝15米，即可求出CD＝7.5米，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】
解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴CD＝7.5米，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式，含30
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)度角的直角三角形的性质，解题关键在于做出AB边上的高，并利用含30度角的直角三角形的性质求出高CD的长度．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BA
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，直角MDN绕点旋转，DM、DN分别与边AB，AC交于E、F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；
②AE＝CF；
③△BDE≌△ADF；
④BE+CF＝EF．其中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②④
B．②③④
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得∠C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出④错误．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△ADF和△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
故③正确；
∴DE＝DF、BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确；
∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，
∴AE＝CF，
故②正确；
∵BE+CF＝AF+AE
∴BE+CF＞EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
22．如图，在中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别是AD的三等分点，若的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（
）cm2．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．4.5
C．5
D．6
【答案】D
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，，利用三角形面积公式得到
，所以图中阴影部分的面积．
【详解】
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴，，
∴（同底等高的三角形面积相等），
∴图中阴影部分的面积（cm2）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，利用和的面积相等是解题的关键．
23．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点、；
②连接、交于点，连接；
若，，则的度数为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．96°
C．108°
D．112°
【答案】C
【分析】
由作图可知MN垂直平分线段BC，求出∠B，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：由题知为垂直平分线尺规作图，
∴为的中垂线，
∴，
∴，
又，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．如图，在中，AB=BC，∠ABC=120°，过点作，若，的长度为
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2.5
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
由BD⊥BC，推出∠CBD=90°，所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以∠ABD=∠ABC-∠CBD=120°-90°=30°，由AB=BC，∠ABC=120°，推出∠A=∠C=30°，所以∠A=∠ABD，DB=AD=1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，进而得出CD=2BD=2．
【详解】
解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=120°-90°=30°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴DB=AD=1，
在Rt△CBD中，
∵∠C=30°，
∴CD=2BD=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，以及含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
25．如图，在中，，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．作射线，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：①；②垂直平分；③为等边三角形；④，正确的个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
由中，，由作法知BC=BD=CD，可得AD是BC的垂直平分线，AD平分∠BAC，①正确；②垂直平分正确；③为等边三角形正确；由知④不正确．
【详解】
解：∵中，，由作法知BC=BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
①正确；
②垂直平分正确；
③为等边三角形正确；
④，故④不正确．
故选择：C．
【点睛】
本题考查尺规作图，线段垂直平分线，等腰三角形性质，等边三角形判定，掌握尺规作图，线段垂直平分线，等腰三角形性质，等边三角形判定是解题关键．
26．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】
延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据BD=1，BC=3，即可推出AC的长度．
【详解】
解：延长BD与AC交于点E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵BD＝1，BC＝3，
∴CE=3，
∴AE=BE=2，
∴AC=AE+EC=2+3=5
故答案为：A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．21世纪教育网版权所有
27．如图，
ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC，垂足为D，则∠CAD＝（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．35°
C．20°
D．15°
【答案】C
【分析】
根据题意易知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD是△ABC的角平分线，且平分∠BAC，即可求解．
【详解】
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴AD平分∠BAC
∵∠BAC＝40°
∴∠CAD＝∠BAC
＝20°
故选：C
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”得性质．
28．如图，在中，是的中点，，则（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．108°
B．72°
C．54°
D．36°
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的三线合一性质，判定AD⊥BC，再根据∠B+∠BAD=90°，代入计算即可．
【详解】
∵，是的中点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵，
∴∠BAD=54°，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的两个锐角互余的性质，熟练掌握并能灵活运用性质是解题的关键．21·cn·jy·com
29．如图，，点在线段上，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
依据，即可得到，，，再根据等腰三角形的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：，
，，，
，
中，，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
30．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠B＝22.5°AC＝6，则CE为（
）．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．3
D．12
【答案】A
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质解答.
【详解】
已知∠C=
90°，∠B=
22.5°，DE垂直平分AB.
故∠B=∠EAB=
22.5°，
所以∠AEC=∠B+∠EAB
=
45°.
又∵∠C=
90°，
△ACE为等腰直角三角形，
所以CE=
AC=
6
故选:A.
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)，难度一般.
二、填空题
31．如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的值为_______．
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【答案】2
【分析】
由线段垂直平分线的性质定理可知BD=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD，∠ABD=∠A，易知∠CBD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可得CD的长．
【详解】
垂直平分，，
，,
，
∴,
∴,
，
故填：2．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，同时涉及到了直角三角形30°角这一性质，灵活利用这两个性质求线段长是解题的关键．
32．老师在投影屏上展示了如下一道试题：
已知：如图，平分，．求证：．
证明：∵平分，
∴（①角平分线定义）．
∵，
∴（②等角对等边）．
∴③，
∴（④内错角相等，两直线平行）．
则以上证明过程中，结论或者依据错误的一项是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】②
【分析】
根据题目条件可以直接判断②错误，应该是等边对等角．
【详解】
证明：∵平分，
∴①（角平分线定义），
∵，
∴②（等边对等角），
∴③，
∴④（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：②．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，理解等腰三角形的性质是解题的关键．
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为___．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】6．
【详解】
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，
连接AE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB的垂直平分线交BC于E，
∴AE＝BE＝3，
∴∠EAB＝∠B＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAC＝90°，
∴CE＝2AE＝6．
故答案为：6．
34．如图钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要_________根．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】8
【分析】
由于焊上的钢条长度相等，并且
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AP1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数不大于90度即可求出最多能焊上的钢条数．
【详解】
解：如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵
∠A=∠P1P2A=10°，
∴∠P2P1P3=20°，
同理：∠P3P2P4=30°，
∠P4P3P5=40°，
∠P9P8B=90°．
此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上8条．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形底角相等，三角形内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角和为180度，平角度数为180度等．结合图形依次算出各角的度数，根据等腰三角形底角小于90度判断何时不能在焊接上．
35．如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
作点B关于AC的对称点B'，过B′作B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)′D⊥AB交AC于E，连接AB′，B′D即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，
此时B′E+ED=BE+ED为最小值，
此时∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，
即BE+ED的最小值为，
故答案为：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了最短路径问题，关键是作点B关于AC的对称点B'，利用轴对称的性质解答即可．
三、解答题
36．如图，在中，,垂足为点D，AD平分，点O是线段AD上一点，线段的延长线交边AC于点F，线段CO的延长线交边AB于点E．
（1）说明是等腰三角形的理由；
（2）说明BF=CE的理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据，可得，根据AD平分，可得．由三角形外角性质可推出即可；
（2）根据是等腰三角形，,可得．先证，可得．再证，可得．
【详解】
（1），
AD平分，
．
，
即是等腰三角形；
（2）是等腰三角形，,
．
在中，
，
，
．
在中，
，
，
．
【点睛】
本题考查垂线性质，角平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线定义，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握垂线性质，角平分线定义，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质是解题关键．www.21-cn-jy.com
37．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
已知：在中，为锐角，，______．
求证：______．
证明：______．
【答案】，，证明见解析．
【分析】
题目的已知条件是已知部分，题目的结论是求证部分，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质解得，再利用同角的余角相等解题即可．
【详解】
解：已知：在中，为锐角，，．
求证：．
证明：过点作于点，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查推理论证，涉及等腰三角形三线合一、等角的余角相等，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
38．如图所示，在中，，分别是和的平分线，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）8cm；（2）115°
【分析】
（1）分别利用角平分线的性质和平行线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可求得．
【详解】
解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．
（2）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∠ABC+∠ACB=65°，
∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
39．如图所示，在中，，求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】35°
【分析】
首先根据AB=AD=AE，DE=EC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．
【详解】
解：∵AB=AD=AE，DE=EC，
∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，
∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，
∵∠DAB=30°，
∴∠B=∠ADB=75°，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，
∴∠C=35°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．
40．如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上，从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是秒（），连接、、、．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请判断形状，并证明你的结论．
（2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含的式子表示．
【答案】（1）△EDF为等腰直角三角形，证明见详解；（2）不变，16
【分析】
（1）由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得DE=DF，∠BDE=∠ADF，由余角的性质可得∠EDF=90°，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得S△BDE=S△ADF，可得S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABD，可求解．
【详解】
△EDF为等腰直角三角形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC中点，
∴AD=BD=CD=BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∵点E、F速度都是1个单位/秒，时间是t秒，
∴BE=AF，
在△BDE和△ADF中
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形；
故答案为△EDF为等腰直角三角形
（2）四边形AEDF面积不变，
理由：∵由（1）可知，△BDE≌△ADF，
∴S△BDE=S△ADF，
∴S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABC，
∴S四边形AEDF=××AC×AB=××8×8=16
故答案为不变，面积为16
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△BDE≌△ADF是本题的关键．
41．如图，在中，，．求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由题意易得，由三角形外角可得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
由三角形外角的性质得：，
∴，
∴在中，由三角形内角和可得：，即，
∴．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
42．如图，已知在中，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【分析】
（1）由条件可得出∠B=∠C，则结合已知可证明△BDE≌△CFD；
（2）由（1）可知△BDE≌△CFD，则有∠BED=∠CDF，从而可求得∠BDE+∠CDF=110°，可求得∠EDF的度数．
【详解】
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
（2）由（1）可知△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=180°-∠B=110°，
∴∠EDF=180°-110°=70°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的证明方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
43．已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．求证：DB＝DC．
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【答案】见解析
【分析】
连接BC，利用等腰三角形的性质和判定解答即可．
【详解】
证明：连接BC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACD，
即∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键．
44．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过点C作，且AE⊥CE．解答下列问题：
（1）∠CAE=∠ABD成立吗？请说明理由；
（2）还有哪些结论？（写出一个即可）
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【答案】（1）成立，理由见解析；（2）AE=
BD．
【分析】
（1）利用AAS即可证明△ABD≌△AEC，得到∠CAE=∠ABD；
（2）由（1）可得到AE=
BD．
【详解】
解：（1）成立，理由为：
∵三角形ABC是等边三角形，
AD=CD，
∴AB=BC=AC，BD⊥AC
即∠AEC=∠BDA=90°，
∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠BAD．
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC(AAS)，
∴∠CAE=∠ABD；
（2）AE=
BD，
由（1）得：△ABD≌△AEC，
∴AE=
BD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
45．如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度．
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【答案】9
【分析】
首先利用等角对等边得出，然后通过等量代换得出，然后利用求解即可．
【详解】
，
．
，
．
，
．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是关键．
46．如图，在△ABC中，CD平分∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ACB，CD交AB边于点D，过D作DE//BC交AC边于点E，若DE恰好平分∠ADC，DB＝5，EC＝3，求△EDC的周长．
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【答案】11．
【分析】
由角平分线的性质可得∠BCD＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠DCE，∠ADE＝∠CDE，由平行线的性质可得∠DCB＝∠CDE＝∠ADE＝∠B＝∠ECD，由等腰三角形的判定可得BD＝CD＝5，EC＝DE＝3，即可求解．
【详解】
∵CD平分∠ACB，DE恰好平分∠ADC，
∴∠BCD＝∠DCE，∠ADE＝∠CDE，
∵DE//BC，
∴∠DCB＝∠CDE，∠ADE＝∠B，
∴∠B＝∠DCB，∠EDC＝∠ECD，
∴BD＝CD＝5，EC＝DE＝3，
∴△EDC的周长＝DE+EC+CD＝3+3+5＝11．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质等，理解基本性质并灵活判断等腰三角形是解题关键．
47．如图，中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
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【答案】40°
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝25°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵∠B＝25°，
∴∠EAB＝∠B＝25°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝65°，
∴∠CAE＝65°﹣25°＝40°．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．2-1-c-n-j-y
48．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，，，求的度数．
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【答案】∠BCE的度数为40°．
【分析】
根据线段垂直平分线性质求出∠ACE=∠A，即可得出∠BCE的度数．
【详解】
解：∵AC的垂直平分线DE，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=35°，
∵∠ACB=180°-∠A-∠B=75°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=75°-35°=40°．
∴∠BCE的度数为40°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
49．如图，在中，，于D．
（1）求证：；
（2）若AF平分分别交CD、BC于E、F，求证：是等腰三角形．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据同角的余角相等证明即可；
（2）根据等角的余角相等，对顶角的性质，即可证明．
【详解】
解：（1）∵，于D，
∴，，
∴；
（2）在中，，
同理在中，．
又∵AF平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定，等角的余角相等的概念；关键在于能结合图形，灵活的运用相关知识．21·世纪
教育网
50．如图△ABC中，的平分线交于点O，过O点做，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
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【答案】CF＋BE＝EF，理由见解析
【分析】
由BO平分∠ABC，证明∠EBO＝∠CBO?，再由平行线的性质证明∠EOB＝∠OBC?，可得∠EBO＝∠EOB，
可得EO＝BE?，同理可证明
再利用线段的和差可得结论．
【详解】
解：CF＋BE＝EF．
证明如下：
∵BO平分∠ABC
∴∠EBO＝∠CBO?，
∵?
∴∠EOB＝∠OBC?，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EO＝BE?，
同理可得：CF＝FO，
∵EO＋FO＝EF
，
∴CF＋BE＝EF．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
51．如图，中，，点D，E在边上，，点F在的延长线上，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，求的度数
．
【答案】（1）见解析；（2）81°
【分析】
（1）通过等边对等角得到，再利用等式的性质得到边相等，用SAS证明ABD≌ACE即可；
（2）由ABD≌ACE，推出，再利用等腰三角形内角和的特点即可解答．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴（）；
（2）证明∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
52．如图，在中，，，，垂足为点，平分交于点，交于点．
点为的中点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）67.5°；（2）见解析．
【分析】
（1）由，可得，再利用三角形的内角和定理可得：从而可得答案；
（2）先证明≌，可得，
连接，由，点为的中点，证明垂直平分，再求解
证明
从而可得结论．
【详解】
解：（1）
∵，
∴
∵
∴．
（2）
∵，为垂足，
∴
∵，
∴
，
∴,
∴，
又∵，平分，
∴，
∴，
,
∴,
在和中
∴≌，
∴，
连接，∵，点为的中点，
∴垂直平分，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
又∵点在上，
∴，
平分，
∴,
∴,
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
53．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：点在的垂直平分线上；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）18°
【分析】
（1）先证明
再证明
可得
从而可得结论；
（2）利用等腰三角形的性质先求解，再求解，利用，求解，再利用三角形的外角的性质可得，从而可得答案．
【详解】
证明：（1）∵，点是的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
（2）解：∵，点是的中点，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．【来源：21cnj
y.co
m】
54．已知：如图，，，与相交于点，求证：．
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【答案】见解析
【分析】
首先根据题意可直接证明，然后得到，从而根据等角对等边得出结论即可．
【详解】
证明：在和中，
，
∴．
∴，
即，
∴（等角对等边）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题关键．
55．如图，，，，在同一条直线上，交于点，，，．
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（1）求证：．
（2）若，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）是等边三角形，见解析
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∴．
（2）是等边三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
，
,
∴是等边三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确找出判定全等三角形的条件是解题的关键．
56．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，的周长是7．www-2-1-cnjy-com
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（1）求的长度；
（2）若，则度数是多少？请说明理由．
【答案】（1）；（2），见解析．
【分析】
（1）由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解得，再根据三角形的周长公式解题即可；
（2）由垂直平分线性质结合等边对等角性质，可证，再根据三角形内角和180°定理，结合及
解题即可．
【详解】
（1）垂直平分
垂直平分
的周长是7
；
（2）垂直平分
垂直平分
．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【出处：21教育名师】
57．如图，在等边中，高线和高线相交于点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得、，即可得证；
（2）易证得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）证明：是等边三角形，
．
和是等边的高线，
即和是等边的中线，
，，
．
在与中，，
．
（2）是等腰三角形．
理由：是等边三角形，
．
，
是等边三角形，
．
是等边的中线，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
58．如图，在等腰直角三角形中，是斜边上的中线，点在上，点在上，
（1）求的度数
（2）求证：点在的垂直平分线上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）见详解．
【分析】
（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质求得=，问题即可得解；
（2）连接ED，DF，通过证明，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证ED=DF问题即可得证．
【详解】
解：如图，，是AB边上的中线，
∵，
，
（2）证明：连接ED，FD，
，
，
，
，
又是斜边AB边上的中线，
，
又，
（SAS）
，
点D在EF的垂直平分线上．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，三角形全等的证明，证明是解决本题的关键．
59．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为8cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．21教育网
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【答案】72cm
【分析】
如图，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解
从而可得答案．
【详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
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∵
在中，，
∴
，
同理可得，，
又∵
双翼边缘的端点与之间的距离为8cm，
∴
∴
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为72cm．
【点睛】
本题考查的是含的直角三角形的性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
60．如图，已知，，和相交于点O．张老师要求添加一个条件后，编制一道题目，并解答．
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（1）小明编制题目是：添加条件，求证：，请你解答．
（2）请你也编制一道题目，并解答，（不标注新的字母）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质添加并解答．
【详解】
解：（1）在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）添加条件：OB=OC，证明：AD=AE；
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD=AE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据已知条件合理运用知识进行添加和证明．2·1·c·n·j·y
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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