2.5 等腰三角形的轴对称性(提升训练)(原卷版+解析版)

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2.5
等腰三角形的轴对称性
【提升训练】
一、单选题
1．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（　　）
A．腰上的高
B．腰上的中线
C．底角的平分线
D．顶角的平分线
【答案】A
【分析】
画出图形，利用等积法证明可得等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
【详解】
解：如图：中，，为上任意一点，，，垂足为、，于，连接AD，
，
；
，
；
，
；
∵
又，
．
等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，
故选：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等积法证明垂线段之间的关系．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AC＝6cm，AB＝8cm．则△ADE的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．16cm
B．14cm
C．12cm
D．10cm
【答案】
【详解】
略
3．学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作的角平分线，根据提供的条件，无法判断是角平分线的是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．，P为中点
B．，
C．，
D．，P为中点
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角和平行线的性质综合进行判断即可．
【详解】
解：A、OC=OD，CP=DP，OP=OP，根据SSS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不符合题意；21cnjy.com
B、CD∥OB，可得∠CPO=∠POB，再由OC=CP，可得∠CPO=∠COP，可得∠POB=∠COP，故不符合题意；
C、OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE，根据SAS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不符合题意；
D、CD⊥OB，PC=PD，而PC和OA不垂直，不能判定∠POC=∠POD，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角和平行线的性质，解题的关键是读懂图形，结合已知条件判定结论．
4．如图，中，的角平分线相交于点D．若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【详解】
解：设∠BAC=x，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-x），
∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=（180°-x），∠DAB=x，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，
∴（180°-x）+x+130°=180°，
∴x=20°．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
5．如图所示，在中，，边的延长线与外角的平分线交于点D．若，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设∠BAC=x，则∠C=3x，根据三角形外角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定理得到∠DBA=4x，由等腰三角形的性质得到∠D=∠DBA=4x，由三角形外角定理得到∠DAE=5x，∠EAD=∠BAD=7x，根据平角等于180°列出方程，求解即可求得结论．
【详解】
解：设∠BAC=x，则∠C=3x，
∴∠DBA=4x，
∵AD=AB，
∴∠D=∠DBA=4x，
∴∠DAE=7x，
∴∠EAD=∠BAD=7x，
∵∠EAD+∠BAD+∠BAC=180°，
即15x=180°，
∴x=12°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．如图所示，平分平分，且，设，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30
B．33
C．36
D．39
【答案】A
【分析】
根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO=MB，NO=NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴MO=MB，NO=NC，
∵AB=18，AC=12，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查学生对等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．
7．如图，在△ABC中，∠C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．
【详解】
∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵∠AFB＝90°，EF＝2，
∴AE＝2EF＝4，
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝4，
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，
∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理、含30?角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．如图，在中，己知，，那么的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．72°
B．66°
C．60°
D．54°
【答案】B
【分析】
根据等腰三角的两底角相等，可得∠1与∠3，∠B与∠C的关系，根据三角形外角的性质，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：AB＝AC＝BD，
∴∠B＝∠C，∠1＝∠3．
设∠1＝x°＝∠BAD，
∠B＝∠C＝180°?2x，
由三角形外角的性质得∠1＝∠2＋∠C，
即x＝18°＋（180°?2x）
解得x＝66°，
则∠1＝66°．
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（　　）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②③④
C．①②
D．①
【答案】A
【分析】
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及平行线的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．
10．如图，△ABC为等边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下边结论①P在∠A的平分线上；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④QS=SC中正确的有（
）个www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
根据角平分线的判定定理知，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)①正确；根据等腰三角形的性质知，∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，内错角相等，所以PQ∥AR，②正确；根据AAS证明△BRP≌△QSP，③正确；根据等边三角形的判定与性质可得④正确．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴
∴点P在∠A的平分线上，故①正确；
∵点P在∠A的平分线上；
∴∠2=∠3．
又∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∴QP//AR，故②正确．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C．
又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠BRP=∠CSP．
又∵PR=PS，
∴△BRP≌△QSP，故③正确．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°
又QP//AR
∴∠PQC=∠BAC=60°
∴∠QPC=60°
∴△PQC为等边三角形，
∵PS⊥AC
∴QS=SC，故④正确
∴正确的结论有①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】
充分利用等边三角形三个角相等、三线合一等性质，找到图中相等的量，再根据角平分线的性质、平行线的判定等知识进行判定．
11．如图，任意中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于；④．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】
①利用角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断；
②根据平行线的性质和角平分线的定义得出，从而通过等量代换即可判断；
③根据等量代换即可判断；
④根据的大小关系即可判断．
【详解】
∵与的平分线交于点，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故②正确；
的周长等于，故③正确；
∵无法判断的大小关系，
∴BF，CF的大小也无法判断，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，掌握数形结合与转化的思想是关键．
12．如图，，点B关于的对称点E恰好落在上，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接BE，过A作AF⊥CD于F，依据∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF＝∠BAD，再根据直角三角形的性质，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°?∠BAD．
【详解】
解：如图，连接BE，过A作AF⊥CD于F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠CAF＝∠BAD＝a，
又∵∠AFE＝90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°?a，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°?a，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
13．如图，∠AOP＝∠BOP，CPOB，CP＝4，则OC＝（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
根据平行线性质得出∠CPO＝∠BOP，推出∠CPO＝∠COP，得出CP＝OC，代入求出即可．
【详解】
解：∵CP∥OB，
∴∠CPO＝∠BOP，
∵∠AOP＝∠BOP，
∴∠CPO＝∠COP，
∴CP＝OC，
∵CP＝4，
∴OC＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线性质和等腰三角形判定的应用，主要考查学生的推理能力．
14．如图，在等边三角形ABC中，延长BA到E，CB到D，让BD＝AE，AD延长线交CE于点F，则∠DFC的度数（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】C
【分析】
根据等边三角形性质，证△ABD≌△CAE，得出∠BAD=∠ACE，利用三角形内角和可求∠DFC的度数．
【详解】
解：在等边三角形ABC中，
AB=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠CAE=120°，
∵BD＝AE，
∴△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∵∠BAD+∠FAC=120°，
∴∠ACE+∠FAC=120°，
∴∠DFC=60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，应用全等三角形的性质求角．
15．如图，P为的边上一点，且，已知，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠DCP=3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数．
【详解】
解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；
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∵△PCD中，∠APC=60°，
∴∠DCP=30°，PC=2PD，
∵PC=2PB，
∴BP=PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，
∵∠ABP=45°，
∴∠ABD=15°，
∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，
∴∠ABD=∠BAD=15°，
∴BD=AD，
∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，
∴BD=DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD=AD，
∴AD=DC，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，
故选A．
【点睛】
此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．
16．如图，在中，，平分，将连续翻折两次，C点的对应点E点落在边上，B点的对应点F点恰好落在边上，则下列结论正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设∠ABC=∠C=2x，根据折叠的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF，BC=BE=EF，在△BDC中利用内角和定理列出方程，求出x值，可得∠A，再证明AF=EF，从而可得AD
=BC+BD．
【详解】
解：∵AB=AC，BD平分∠ABC，
设∠ABC=∠C=2x，则∠A=180°-4x，
∴∠ABD=∠CBD=x，
第一次折叠，可得：
∠BED=∠C=2x，∠BDE=∠BDC，
第二次折叠，可得：
∠BDE=∠FDE，∠EFD=∠ABD=x，∠BED=∠FED=∠C=2x，
∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，
∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，
∴x+2x+60°=180°，
∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，
∴∠A=20°，
∴∠EFD=∠EDB=40°，
∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，
∴AF=EF=BE=BC，
∴AD=AF+FD=BC+BD，
故选D．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17．如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②CE＝2AF；③四边形ABCD的面积等于AC2；④S△BCD＝S△ABF＋S△ADE．其中正确结论的个数是（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】
证明≌，得出，①正确；证出，，②正确；由，得出，③正确；由，不能确定，④不正确；即可得出答案．
【详解】
解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝45°，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACF＝∠E＝45°，①正确；
∵△ABC≌△ADE，
∠ACB＝∠AEC＝45°，
∵∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴AC平分∠ECF，
过点A作AG⊥CG，垂足为点G，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF＝AG，
又∵AC＝AE，
∴∠CAG＝∠EAG＝45°，
∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴CG＝AG＝GE，
∴CE＝2AG，
∴CE＝2AF，②正确；
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2，③正确；
∵S△ABF+S△ADE＝S△ABF+S△ABC＝S△ACF，
不能确定S△ACF＝S△BCD，④不正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
18．如图，已知在△ABC中，AB＝A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
【答案】A
【分析】
由AB＝AC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB＝70°，由角平分线的定义推出∠APB＝∠ACB＝35°，最后用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，AP与BC相交于点O，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠CAB＝40°，
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB＝∠ACB＝35°，
∵AB＝AC，AP是∠BAC的平分线，
∴AP⊥BC，OB＝OC，
∴CP＝BP，
∴∠APC＝∠APB＝35°，
∴∠BPC＝70°，
∵BP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBD＝∠CBD＝55°，
∴∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．已知如图，C为线段AE上一动
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③④
B．③④
C．①②③
D．①②④
【答案】D
【分析】
先由SAS判定△ACD≌△BCE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)证得①正确；再由ASA证△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正确，同理证得CM＝CN，得到④正确；易得③不正确．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∠CAD＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，故②正确；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥BE，CN⊥AD，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
当AC＝CE时，AP平分∠BAC，
则∠PAC＝30°，此时∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
则AD⊥BC，故③不正确；
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
20．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．5.5
C．6
D．5
【答案】D
【分析】
由平行线的性质，得出∠MEB=∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CBE，∠NEC=∠BCE，再由角平分线定义得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，证出ME=MB，NE=NC，即可求得MN的长．
【详解】
解：∵MN∥BC，
∴∠MEB=∠CBE，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)NEC=∠BCE，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，
∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，
∴ME=MB，NE=NC，
∴MN=ME+NE=BM+CN=2+3=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
21．如图，在中，平分，平分，经过点且，若，，，则的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．16
C．17
D．24
【答案】A
【分析】
先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE=OE，OF=CF，再进行线段的代换即可求出的周长．
【详解】
解：∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∵平分，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
同理可得：OF=CF，
∴的周长为AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF=
AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．
故答案为：A
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC
的平分线分别交
AC、AD于E、F
两点，M为EF
的中点，AM的延长线交
BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF=
DN；③AN
=
BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC
，
∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，
∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，
∴△AFE为等腰三角形，
∴结论①正确；
∵△AFE为等腰三角形，M为EF
的中点，
∴∠AMF=90°，
∴∠DBF=∠DAN，
∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，
∴AD=BD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴△DBF≌△DAN，
∴DF=
DN，AN=BF，
∴结论②③正确；
∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN=
90°，BM=BM，
∴△BMA≌△BMN，
∴AM=MN，
∴BE是线段AN的垂直平分线，
∴EA=EN，
∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，
∴AD∥EN，
∵AD⊥BC
∴EN⊥NC，
∴结论④正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．
23．如图，在等腰中，，，D是边上的中点，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．12
C．
D．
【答案】C
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值，根据勾股定理求出AD，再根据面积不变求出BH即可．
【详解】
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BM′＋M′N′=
BM′+
M′H
=BH，
∵BH是点B到直线AC上各点的最短距离，
∴BH
=BM′＋M′N′为所求的最小值，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=5，
∴AD＝=12，
∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AD，
∴13×BH＝10×12，
解得：BH＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是轴对称?最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
24．如图，等腰直角中，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M为EF的中点且AE=AF可判断②；作FH⊥AB，证△FBD≌△NAD可判断③，证明△EBA≌△EBN（SAS），推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断④．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF=DN，故③正确；
∵∠BAM=∠BNM=67.5°，
∴BA=BN，
∵∠EBA=∠EBN，BE=BE，
∴△EBA≌△EBN（SAS），
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴∠ENC=∠ADC=90°，
∴AD∥EN．故④正确，
综上，正确的结论有：①②③④
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．www.21-cn-jy.com
25．如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于M、N，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．4
C．8
D．不确定
【答案】C
【分析】
由角平分线的定义和平行线性质易证△BME和△CNE是等腰三角形，即BM＝ME，CN＝NE，由此可得△AMN的周长＝AB+AC．
【详解】
解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝4+4＝8．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
26．如图，在等腰三角形中，，垂直平分，已知，则度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=65°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键．
27．如图，在四边形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，AC＝AE，则∠B的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【答案】B
【分析】
先ASA证明△BAC≌△EDC，再利用全等三角形的性质，等腰三角形的两底角相等即可求解．
【详解】
解：∵∠BCE＝∠ACD，
又∵∠BCE＝∠BCA＋∠ACE，∠ACD＝∠DCE＋∠ACE，
∴∠BCA＝∠DCE，
∵∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，
∴△BAC≌△EDC（ASA），
∴AC＝CD，
∴∠CAE＝∠D＝40°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠CAE）＝70°，
∵∠AEC＝∠D＋∠DCE，
∴∠DCE＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝110°．
故选：B．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据ASA证明△BAC≌△EDC．
28．如图，在△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB=AC，∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点E、F分别在BC、AC上，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠BEO的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．26°
B．32°
C．52°
D．58°
【答案】C
【分析】
连结OB，根据角平分线定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)义得到∠OAB=32°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，则∠OBA=∠OAB，所以得出∠1，由于AB=AC，OA平分∠BAC，根据等腰三角形的性质得OA垂直平分BC，则BO=OC，所以得出∠1=∠2，然后根据折叠的性质得到EO=EC，于是∠2=∠3，再根据三角形内角和定理计算∠OEC，解答即可．
【详解】
解：连结OB、OC，
∵∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=32°，
∵AB=AC，∠BAC=64°，
∴∠ABC=∠ACB=58°，
∵OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=32°，
∴∠1=58°-32°=26°，
∵AB=AC，OA平分∠BAC，
∴OA垂直平分BC，
∴BO=OC，
∴∠1=∠2=26°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠2=∠3=26°，
∴∠BEO=∠2+∠3=52°，
故选择:C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的性质,折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
29．如图，RtACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②④
B．②③④
C．①②③
D．①③④
【答案】C
【分析】
①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义
然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②③先根据直角的关系求出，然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得
然后利用平角的关系求出
，再利用角角边证明△ABP与△FBP全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解；
④根据PF⊥AD，∠ACB=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF>AP，从而得出本小题错误．
【详解】
解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴
在△ABP中,
，故本小题正确；
②③∵
∴
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴
在△AHP与△FDP中，
∴△AHP≌△FDP(AAS)，
∴DF=AH，
∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，
∴
又∵
∴∠PAE=∠PFD，
∵∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP与△FBP中，
∴△ABP≌△FBP(AAS)，
∴AB=BF，AP=PF故②小题正确；
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD?AH=AB，故③小题正确；
④∵PF⊥AD,
∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，
∴
∴
∴DG=AG，
∵
AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG=AG，GH=GF，
∴DG=GH+AF，
∵AF>AP，
∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选C．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质,
角平分线的定义,
垂线,
全等三角形的判定与性质，难度较大.掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
30．如图，点A、B、C在一条直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线上，△ABD和△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
①由等边三角形的性质得出AB=DB，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；②由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；③由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；④推出△BPQ是等边三角形，得到∠PBQ=60°，根据平行线的性质即可得到PQ∥AC，故④正确．
【详解】
解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，故②正确；
在△ABP和△DBQ中，
，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，故③正确；
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=60°，
∴∠PQB=∠QBC，
∴PQ∥AC，故④正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．【版权所有：21教育】
二、填空题
31．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是__________．
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【答案】9.6
【分析】
根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可．
【详解】
解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵,
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
【点睛】
本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键．
32．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是_________．
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【答案】2
【分析】
根据含30°角的直角三角形的性质可求解CD的长，再利用AAS证明△BDH≌△ADC，可得HD=CD，进而求解．
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠HBD+∠BHD=90°，
∵∠CAD=30°，AC=4，
∴CD=AC=2，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠C=90°，
∴∠BHD=∠C，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴HD=CD=2，
故点H到BC的距离是2．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，证明△BDH≌△ADC是解题的关键．
33．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】5
【分析】
过D作交BC于H，求出，延长GC到M，使，连接DM，DG，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：过D作交BC于H，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中
∴（AAS），
∴，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
延长GC到M，使，连接DM，DG，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
34．在△ABC中，AC＝CD且∠CAB﹣∠B＝30°，则∠BAD＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】15°
【分析】
由AC＝CD，可得∠CAD=∠CDA，由∠CAB-∠CAD=∠DAB和∠CDA=∠B+∠DAB
可得∠CAB-∠B=2∠DAB=30°求出∠DAB=15°即可．
【详解】
解：∵AC＝CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠CAB-∠CAD=∠DAB
又∵∠CDA为△DAB的外角
∴∠CDA=∠B+∠DAB
∴∠CAB-（∠B+∠DAB）=∠DAB
∴∠CAB-∠B=2∠DAB=30°
∴∠DAB=15°
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，外角性质，角的和差计算，掌握等腰三角形的性质，外角性质，角的和差计算是解题关键．
35．如图，∠BAC＝30°，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)P平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】6
【分析】
作PH⊥AC于H，连接PF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据角平分线的性质求出PH，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FP，根据三角形的外角的性质求出∠PFH，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：作PH⊥AC于H，连接PF，
当PQ⊥AB时，PQ的最小，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC，
∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，
∵GF垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴∠FPA＝∠PAC＝15°，
∴∠PFH＝30°，
∴PF＝2PH＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题为三角形综合题，掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质以及含角的直角三角形的性质是解答本题的关键．
三、解答题
36．如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：垂直平分；
（2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得，根据等腰三角形的判定定理，可得，结合中垂线的判定定理，即可得到结论；
（2）由，可得，同理可得，进而即可得到结论．
【详解】
（1）证明：为的角平分线，，，
，，
，
，
点A、都在的垂直平分线上，
垂直平分；
（2）解：．
理由：，平分，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理以及中垂线的判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
37．如图，在等腰ABC中
，AB=AC，CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BD交于点P
（1）求证：CE=BD；
（2）若∠A=100?，求∠BPE的度数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）40?
【分析】
（1）由“ASA”可证△ABD≌△ACE，可得CE=BD；
（2）由三角形外角的性质可求∠BPE的度数．
【详解】
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线，
∴∠ACB=∠ABC，即∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠ACE，AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD;
（2）∵AB=AC，∠A=100?，
∴∠ABC+∠ACB=80?，
由（1）可知，∠DBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=40?，
∴∠BPE=∠DBC+∠ECB=40?
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
38．如图，在中，，且，求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】77°
【分析】
由条件可先求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质可求得∠AED．
【详解】
.解：
为等腰三角形，且为底边上的高
为的平分线（三线合一）
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．
39．已知，如图，在中，，，点E是线段AD上一点，且．
（1）若，求的度数；
（2）判断直线BE与AC的位置关系并证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）25°；（2）BE⊥AC；证明见解析．
【分析】
（1）根据“斜边、直角边”证Rt△ADC≌Rt△BDE，得出∠BAD=45°，∠BED=70°，利用外角即可求的度数；
（2）延长BE交AC于点F，根据∠DBE=∠DAC，证∠EFA=90°即可．
【详解】
解：∵，
∴∠BDE=∠CDA=90°，
∵，
∴Rt△ADC≌Rt△BDE，
∴BD=AD，∠BED=∠C
=70°，
∴∠BAD=∠DBA
=45°，
=∠BED-∠BAD=25°；
（2）BE⊥AC；
证明：延长BE交AC于点F，
∵Rt△ADC≌Rt△BDE，
∴∠DBE=∠DAC，
∵∠DEB=∠FEA，
∴∠EFA=∠BDE=90°,
∴BE⊥AC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定进行证明．
40．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
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（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由：
（3）探究：当为多少度时，？
【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，见解析；（3）140°
【分析】
（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；21·世纪
教育网
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形判定求解即可．
【详解】
解：（1），
，
，
是等边三角形．
（2）是直角三角形，理由如下：
等边三角形，
，
，，
，
，
是直角三角形．
（3）由（1）（2）得，，，
．
若，则，
，
．
当为140°是时，．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键．
41．如图，在中，，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点．
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（1）若，求的度数（用含的式子表示）；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质得出∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，求出∠BCF＝∠DAG＝∠CAD＝α，即可得出结论；
（2）由三角形内角和得出∠BAG＝45°，证出∠BAC＝∠AFC，即可得出结论；
【详解】
解：（1）过点作于点，如图1．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，，
，
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
42．如图，在中，，的垂直平分线分别交于，，垂足分别是，．
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（1）若，则______．
（2）若（），则______．（用含α的式子表示）
【答案】（1）20°；（2）
【分析】
（1）由∠BAC=100°，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案；
（2）运用（1）的方法可得解．
【详解】
解：（1）和分别垂直平分和，
，，
，．
，
，
．
（2）由（1）得，
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
43．如图，在中，，垂直平分．
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（1）如果，，试求的周长；
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）14cm；（2）∠B=35°．
【分析】
（1）由AB的垂直平分线DE交AB、BC于E、D，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长=AC+BC；
（2）由∠CAD：∠BAD=4：7，可设∠CAD=4x，∠BAD=7x，继而可得方程4x+7x+7x=90°，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BD+CD=AC+BC=14（cm）；
（2）∵∠CAD：∠BAD=4：7，
∴设∠CAD=4x，∠BAD=7x，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=7x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°，
∴4x+7x+7x=90°，
解得：x=5°，
∴∠B=35°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
44．已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、．
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（1）若，，求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）22；（2）∠EBC=30°．
【分析】
（1）由AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，易得△EBC的周长=AC+BC；
（2）由AB=AC，∠A=40°，即可得到∠ABC的度数，再根据∠ABE=∠A，即可得出∠EBC的度数．
【详解】
解：（1）∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，
∴AE=BE，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE
=BC+AE+CE
=BC+AC
=10+12
=22；
（2）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
又∵AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠EBC=70°-40°=30°．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
45．如图，中，∠ABC与∠ACB
的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，
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（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若AB=5cm，AC=4cm，求△ADE的周长．
【答案】（1）见解析；（2）△ADE
的周长为9cm．
【分析】
（1）由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的性质即可证得DE=BD+CE．
（2）由DB=DF,EC=EF可将△ADE的周长转化为AB+AC即可．
【详解】
（1）证明：∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB
∴∠ABF=∠CBF,
∠ACF=∠BCF
∵DE∥BC
∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠BCF
∴∠ABF=∠DFB,∠ACF=∠CFE
∴DB=DF,EC=EF
∵DE=DE+EF
∴DE=BD+CE
（2）解：∵DB=DF,EC=EF
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+FE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC
∵
∴△ADE的周长=5+4=9cm．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分线的性质及平行线的性质,本题利用了两直线平行内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形,等量代换的利用是解答本题的关键．【出处：21教育名师】
46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
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【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE．
（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21教育网
47．已知：如图，在等边中，点、分别在边、上，与交于点，．
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（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据SAS证明△ABE≌△BCD即可解决问题；
（2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质即可解决问题；
【详解】
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠ABE=∠C=60°，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE；
（2）∵△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∴∠AFD=∠ABF+∠BAE=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
48．在中，，，平分交于点，交延长线于点，连接，过点作交于．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图①，①求的度数；
②求证：；
（2）如图②，交的延长线于点，探究之间的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）①；②见解析；（2）AB+AC=2AM，见解析
【分析】
（1）①由角平分线的性质求出∠CAE=22.5°，由余角的性质可得出答案；
②证明△ACF≌△BCD（ASA），由全等三角形的性质可得出AF=BD；
（2）过点D作DH⊥AB于点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)H，证明Rt△CDM≌Rt△BDH（HL），由全等三角形的性质得出CM=BH，证明Rt△ADM≌Rt△ADH（HL），得出AM=AH，则可得出结论．21
cnjy
com
【详解】
解：（1）①∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴∠EBD=∠CAE=
②如图所示，
∵CF⊥CD
∴∠FCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠FCE=∠BCD+∠FCE，
即∠ACF=∠BCD，
由①得∠EBD=∠CAE=
在△ACF和△BCD中，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DH⊥AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴DM=DH，
由△ACF≌△BCD
得CF=CD
又∵CF⊥CD
∴∠CFD=45°
∵∠CAE
∴∠FCA=22.5°
∴AF=CF
由②得AF=BD
∴DC=DB
在Rt△CDM和Rt△BDH中，
∴Rt△CDM≌Rt△BDH（HL），
∴CM=BH，
在Rt△ADM和Rt△ADH中，
∴Rt△ADM≌Rt△ADH（HL），
∴AM=AH，
∴AB+AC=AH+BH+AC=AM+CM+AC=AM+AM=2AM
∴AB、AC、AM之间的数量关系为AB+AC=2AM
【点睛】
本题属于三角形综合题，考
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)查了等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
49．如图，在中，，点分别在边上，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）请你猜想：当为多少度时，，并请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析
【分析】
（1）用三角形全等判定定理“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形可得，证出，利用等腰三角形的性质得即可；
（3）根据可求，结合（1）（2）可求．
【详解】
解：（1）解：，，
在和中，
，
，
（2），
即，
，
，
，
又在中，，，
，
；
（3）由（1）知：是等腰三角形，即，
由（2）知，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是准确把握已知，熟练运用所学知识进行证明和计算．
50．如图，已知AB=CD，∠A=∠C，AD和BC相交于点O，E是BD的中点，连接OE．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）求∠BEO的度数．
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【答案】（1）证明见解析；（2）∠BEO=90°．
【分析】
利用AAS定理证明即可；
根据全等三角形的性质得到BO=DO，再根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】
解：(1)在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC；
(2)∵△AOB≌△DOC,
∴OB=OD,
又∵E是BD的中点,
∴OE⊥AD,即∠AEO=90°
【点睛】
本题考查的是全等三角形的的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
51．已知，如图，△ABC为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．
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【答案】见解析
【分析】
由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠ABC＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，得出∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，作出AF＝BD＝CE，证明△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），得出EF＝FD＝DE，即可得出结论．
【详解】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，
∵AE＝BF＝CD，
∴AB+BF＝BC+CD＝AC+AE，
即AF＝BD＝CE，
在△AEF、△BFD和△CDE中，
，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），
∴EF＝FD＝DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
52．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠BAC，且AE交CD于点E，
（1）如图1，若AE＝BC；
①求证：△ADE≌△CDB；
②求证：AB＝AC；
（2）如图2，若AE≠BC，延长AE交BC于点H，过C作CG⊥AH分别交AH、AB于F、G两点，当DB＝DE+CH时，求∠ACB的度数．
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【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠ACB＝90°．
【分析】
（1）①由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CDB；
②由全等三角形的性质可得∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，可证∠B＝∠ACB，进而可得AB＝AC；
（2）连接GH，由“ASA”可证△AFG≌△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AFC，可得AG＝AC，等腰三角形的性质可得AH是GC的垂直平分线，可证GH＝HC，由“ASA”可证△ADE≌△CDG，可得DE＝DG，由线段关系可证BG＝CH＝GH，由外角的性质可求∠BCG＝22.5°，即可求解．
【详解】
解：（1）①证明：∵∠BAC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
在Rt△ADE和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDB（HL）；
②证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠AED＝67.5°
∵Rt△ADE≌Rt△CDB，
∴∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝67.5°＝∠B，
∴AB＝AC；
（2）如图2，连接GH，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，
又∵AF＝AF，∠AFC＝∠AFG＝90°，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG＝67.5°，
∵AG＝AC，AH⊥GC，
∴AH是GC的垂直平分线，
∴GH＝HC，
∴∠GCH＝∠CGH，
∴∠GHB＝∠GCH+∠CGH＝2∠GCH，
∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝AC，∠DCG＝∠ACG﹣∠ACD＝22.5°＝∠DAE
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，
∵DB＝DE+CH＝DG+CH，DB＝DG+BG，
∴BG＝CH，
∴∠B＝∠GHB，
∴∠B＝2∠GCH，
∵∠AGC＝∠B+∠GCH，
∴67.5°＝3∠GCH，
∴∠GCH＝22.5°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝90°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．21教育名师原创作品
53．如图，在等边三角形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，点D为BC边上一点，DE//AB，过D作DF⊥DE交AB于点F，且∠EFD＝60°，CN平分∠ACB，CN分别交DE、EF于M、N两点．
（1）求证：△CEN≌△EDF；
（2）求证：点N为线段EF中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由“ASA”可证△CEN≌△EDF；
（2）由全等三角形的性质可得EN＝DF，由直角三角形的性质可得EF＝2DF＝2EN，可得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE//AB，
∴∠DEC＝∠A＝60°，∠EDC＝∠B＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC＝ED＝CD，
∵CN平分∠ACB，
∴∠ECN＝∠DCN＝30°，
∵EF⊥AC，
∴∠FED＝∠ECN＝30°，
在△EDF和△CEN中，
，
∴△EDF≌△CEN（ASA）；
（2）证明：∵△EDF≌△CEN，
∴EN＝DF，
∵∠FED＝30°，∠EDF＝90°，
∴EF＝2DF，
∴EF＝2EN，
∴点N为线段EF中点．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定方法是本题的关键．21·cn·jy·com
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
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（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形内角和定理得到∠AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD
（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；
（2）DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．
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【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
55．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）证明，；进而证明
，即可解决问题；
（2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）平分，，
，
，；
在和中，
，
，
；
（2）平分，，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
56．如图，点在线段上，，，，平分．试探索与的位置关系，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】CF垂直平分DE，
【分析】
根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【详解】
解：CF垂直平分DE，理由是：
∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴DC=CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF=EF
即CF垂直平分DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
57．如图，是等边三角形，延长到使．点是边的中点，连接并延长交于．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）90°；（2）见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质得出AC=BC，∠ACB=∠B=60°，求出CD=CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E=30°，求出∠EFB即可；
（2）连接BD，求出BD=DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠B=60°，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD=AC，
∵，
∴CD=CE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠E=∠CDE=30°，
∵∠B=60°，
∴∠EFB=180°-60°-30°=90°；
（2）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，
∵∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DE=BD，
∵∠BFE=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2DF，
即DE=2DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
58．如图，是边长为的等边三角形，点从出发沿向运动，同时点从出发以相同的速度沿延长线方向运动．当点到达点时，P，Q停止运动，连接交于．
（1）设P，Q的运动速度为，当运动时间为多少秒时，∠BQD=30°？
（2）过作于，在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长．如果变化请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）当运动时间为2秒时，∠BQD=30°；（2）点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变，长度为3cm．
【分析】
（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-x=(6+x)，求出x的值即可；
（2）过Q作QF⊥AB，交CB的延长线于F，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，从而知AE=BF，PE=QF，同理可证△PDE≌△QDF，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【详解】
解：（1）∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PCQC，即6-x=(6+x)，
解得x=2，
∴当运动时间为2秒时，∠BQD=30°；
（2）点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变，
过Q作QF⊥AB，交AB的延长线于F，连接QE，PF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF=30°，
在△APE和△BQF中，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
在△PDE和△QDF中，
，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE=DF，即DEEF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DEAB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变，长度为3cm．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定定理，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
59．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为，，，且，一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点P恰好在的角平分线上，求此时t的值；
（3）当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值并求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
（4）连结，若为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1），；（2）秒；（3）秒时，的坐标是或；或秒
时，的坐标是或；（4）点P的坐标为、、．
【分析】
（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出，，求出即可；
（2）根据角平分线性质和三角形面积求出BP的长，从而求得P点运动时间t．
（3）根据对应边相等关系分为情况：求出点的坐标即可．
（4）设点P坐标为（x，0），由、、AB=13根据PA=PB、PA=AB、PB=AB三种情况分别求解即可，
【详解】
解：（1）∵，
，，
∴，，
的坐标是，的坐标是；
（2）过P点作PH⊥AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点P恰好在的角平分线上，，
∴PH=OP，
又∵，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴（秒）
（3当在线段上运动时，在轴上存在点，使与全等，
在线段上运动，
，即；
①当，时，和全等，
此时（秒），的坐标是在y轴正半轴为或负半轴为；
②当，时，和全等，
此时（秒），的坐标是在y轴正半轴为或负半轴为；
综上所述，秒时，的坐标是或；
秒时，的坐标是或．
（4）点P的坐标为、、；
求解过程如下：设点P坐标为（x，0），
∴、、AB=13，
当时，即，解得：，即点P为，
当时，即，解得：，（与B点重合，舍去），故点P为，
当时，即，解得：，故点P为，
综上所述，若为等腰三角形，点P的坐标为、、；
【点睛】
本题考查了三角形综合题，需要掌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)握等腰三角形、全等三角形的性质和判定，偶次方和算术平方根的非负性，三角形的面积，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目．
60．如图①，点分别是等边边上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续交于点M．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）点分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图②，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）120°
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可；
（2）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到；
（3）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到．
【详解】
解：（1）证明：如图1，是等边三角形，
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
，
；
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（2）点、在、边上运动的过程中，不变．
理由：，
，
是的外角，
，
，
；
（3）如图，点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：同理可得，，
，
是的外角，
，
，
即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．
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【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.5
等腰三角形的轴对称性
【提升训练】
一、单选题
1．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（　　）
A．腰上的高
B．腰上的中线
C．底角的平分线
D．顶角的平分线
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AC＝6cm，AB＝8cm．则△ADE的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．16cm
B．14cm
C．12cm
D．10cm
3．学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作的角平分线，根据提供的条件，无法判断是角平分线的是（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．，P为中点
B．，
C．，
D．，P为中点
4．如图，中，的角平分线相交于点D．若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，在中，，边的延长线与外角的平分线交于点D．若，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，平分平分，且，设，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30
B．33
C．36
D．39
7．如图，在△ABC中，∠C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．8
D．10
8．如图，在中，己知，，那么的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．72°
B．66°
C．60°
D．54°
9．如图，△ABC中，∠ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（　　）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②③④
C．①②
D．①
10．如图，△ABC为等边三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下边结论①P在∠A的平分线上；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④QS=SC中正确的有（
）个21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
11．如图，任意中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于；④．其中正确的有（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
12．如图，，点B关于的对称点E恰好落在上，若，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
13．如图，∠AOP＝∠BOP，CPOB，CP＝4，则OC＝（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
14．如图，在等边三角形ABC中，延长BA到E，CB到D，让BD＝AE，AD延长线交CE于点F，则∠DFC的度数（
）．21教育名师原创作品
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A．45°
B．50°
C．60°
D．70°
15．如图，P为的边上一点，且，已知，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
16．如图，在中，，平分，将连续翻折两次，C点的对应点E点落在边上，B点的对应点F点恰好落在边上，则下列结论正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
17．如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①∠ACF＝45°；②CE＝2AF；③四边形ABCD的面积等于AC2；④S△BCD＝S△ABF＋S△ADE．其中正确结论的个数是（　　）【版权所有：21教育】
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A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
18．如图，已知在△ABC中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）
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A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
19．已知如图，C为线段AE上一动点（不与A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③④
B．③④
C．①②③
D．①②④
20．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．5.5
C．6
D．5
21．如图，在中，平分，平分，经过点且，若，，，则的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．16
C．17
D．24
22．如图，在Rt△ABC中，∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC
的平分线分别交
AC、AD于E、F
两点，M为EF
的中点，AM的延长线交
BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF=
DN；③AN
=
BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
23．如图，在等腰中，，，D是边上的中点，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．12
C．
D．
24．如图，等腰直角中，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
25．如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于M、N，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．4
C．8
D．不确定
26．如图，在等腰三角形中，，垂直平分，已知，则度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
27．如图，在四边形ABCD中，点E在边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，AC＝AE，则∠B的度数为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
28．如图，在△ABC中，AB=AC，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点E、F分别在BC、AC上，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠BEO的度数是（
）www.21-cn-jy.com
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A．26°
B．32°
C．52°
D．58°
29．如图，RtACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是（　　）
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A．①②④
B．②③④
C．①②③
D．①③④
30．如图，点A、B、C在一条直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)上，△ABD和△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（
）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
31．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是__________．
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32．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是_________．
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33．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长_____．
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34．在△ABC中，AC＝CD且∠CAB﹣∠B＝30°，则∠BAD＝_____．
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35．如图，∠BAC＝30°，AP
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为_____．
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三、解答题
36．如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
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（1）求证：垂直平分；
（2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．
37．如图，在等腰ABC中
，AB=AC，CE、BD分别为∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BD交于点P
（1）求证：CE=BD；
（2）若∠A=100?，求∠BPE的度数
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38．如图，在中，，且，求的度数．
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39．已知，如图，在中，，，点E是线段AD上一点，且．
（1）若，求的度数；
（2）判断直线BE与AC的位置关系并证明．
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40．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
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（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由：
（3）探究：当为多少度时，？
41．如图，在中，，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点．
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（1）若，求的度数（用含的式子表示）；
（2）求证：．
42．如图，在中，，的垂直平分线分别交于，，垂足分别是，．
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（1）若，则______．
（2）若（），则______．（用含α的式子表示）
43．如图，在中，，垂直平分．
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（1）如果，，试求的周长；
（2）如果，求的度数．
44．已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、．
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（1）若，，求的周长；
（2）若，求的度数．
45．如图，中，∠ABC与∠ACB
的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，
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（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若AB=5cm，AC=4cm，求△ADE的周长．
46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
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47．已知：如图，在等边中，点、分别在边、上，与交于点，．
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（1）求证：；
（2）求证：．
48．在中，，，平分交于点，交延长线于点，连接，过点作交于．
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（1）如图①，①求的度数；
②求证：；
（2）如图②，交的延长线于点，探究之间的数量关系，并给出证明．
49．如图，在中，，点分别在边上，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）请你猜想：当为多少度时，，并请说明理由．
50．如图，已知AB=CD，∠A=∠C，AD和BC相交于点O，E是BD的中点，连接OE．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）求∠BEO的度数．
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52．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠BAC，且AE交CD于点E，
（1）如图1，若AE＝BC；
①求证：△ADE≌△CDB；
②求证：AB＝AC；
（2）如图2，若AE≠BC，延长AE交BC于点H，过C作CG⊥AH分别交AH、AB于F、G两点，当DB＝DE+CH时，求∠ACB的度数．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
53．如图，在等边三角形ABC中，点D为BC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边上一点，DE//AB，过D作DF⊥DE交AB于点F，且∠EFD＝60°，CN平分∠ACB，CN分别交DE、EF于M、N两点．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：△CEN≌△EDF；
（2）求证：点N为线段EF中点．
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54．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．【出处：21教育名师】
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（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．
55．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
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56．如图，点在线段上，，，，平分．试探索与的位置关系，并说明理由．
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57．如图，是等边三角形，延长到使．点是边的中点，连接并延长交于．
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（1）求的度数；
（2）求证：．
58．如图，是边长为的等边三角形，点从出发沿向运动，同时点从出发以相同的速度沿延长线方向运动．当点到达点时，P，Q停止运动，连接交于．
（1）设P，Q的运动速度为，当运动时间为多少秒时，∠BQD=30°？
（2）过作于，在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长．如果变化请说明理由．2·1·c·n·j·y
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59．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为，，，且，一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．21·cn·jy·com
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（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点P恰好在的角平分线上，求此时t的值；
（3）当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值并求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
（4）连结，若为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
60．如图①，点分别是等边边上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续交于点M．21·世纪
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（1）求证：；
（2）点分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图②，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，求的度数．
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精品试卷·第
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