函数的性质（苏教版）
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文档简介
函数的性质
知识点梳理
一：奇偶性
1奇偶函数的定义
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫偶函数。
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数。
2 奇偶函数的性质
（1）奇偶函数的定义域关于是关于原点对称；
（2）奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称；
（3）若一个奇函数在处有意义，那么
（4）奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性；
二：周期性
设函数，如果存在非零常数，使得对任何，都有，则称函数为周期函数，T为的一个周期；若T是的周期，则也是的周期。
三：单调性
1：增减函数的定义；
一般地，设函数的定义域为I；
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量得值当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数；
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量得值当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数；
2用定义证明函数单调性的步骤：
设是定义域内一个区间上的任意两个量，且（取值）
作差变形（变形方法：因式分解，配方，有理化等）或作商变形；
判断差的正负或商与1的大小关系
结论
2复合函数的单调性
对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间上是单调函数，若与单调性相同（同增或同减），则为增函数；若与单调性相反；则为减函数；
3.判断函数单调性的方法：
(1)定义法:利用定义严格判断.
(2)利用函数的运算性质:
如若f(x)、g(x)为增函数,则①f(x)+g(x)为增函数.
②为减函数(f(x)＞0).
③ 为增函数(f(x)≥0).
④f(x)·g(x)为增函数(f(x)＞0,g(x)＞0).
⑤-f(x)为减函数.
（3） 导数法：，为增函数；，为减函数。
四：函数的最值
(1)设函数的定义域为,如果存在实数,满足:
①对于任意的都有②存在,使得
则称是的最大值.
(2)设函数的定义域为,如果存在实数,满足:
①对于任意的,都有 ②存在,使得
则称m是的最小值.
基础自测
1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是_____.
①② ③；④
2.若函数在区间上是减函数,则a的取值范围_____.
3.函数 的增区间为________________.
4.已知函数在闭区间上最大值为3,最小值为2,则的取值范围为______.
5.已知是奇函数，则实数的值等于______.
6设函数为偶函数,则=____.
例1 讨论函数的单调性。
例2函数在区间A上是增函数，那么区间A是_________________;
例3已知偶函数在区间上单调增加，则满足的取值范围是_________________
变式 设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若求实数的取值范围；
例4是否存在实数，使函数在闭区间上是增函数？如果存在，说明可取哪些值；如果不存在。
例5已知函数证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
例6已知函数在开区间内是增函数，求实数的取值范围。
同步练习1求函数的单调区间.
例7函数对任意的都有，并且当时, ；
(1)求证: 是上的增函数;
(2)若，,解不等式
跟踪练习4 如果函数的定义域为，且为增函数, 。
(1)求证: =；
(2)已知，且求的取值范围
【例8】已知函数当时,恒有
(1)求证: 是奇函数;
(2)如果，并且 ,试求在区间［-2,6］上的最值.
例9已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)证明:函数在上是减函数;
(3)若对任意的，不等式恒成立,求k的取值范围.
例10已知函数 是奇函数,且求a、b、c的值.
例11函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。
例12
当时，求函数的最大值和最小值；
求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；
例13若的最小值为.
求的表达式；
求能使的的值，并求出当取此值时，的最大值；
例14 已知函数是二次函数，当时，的最小值为1，且为奇函数，求函数的表达式；
课后作业
1设为定义在R上的奇函数，当时，为常数），则；
2设是R上的奇函数，，当时，，则，；
3函数的单调递减区间是______.
4已知是上的减函数，则满足的x的取值范围为____________.
5若在(0,+∞)上是减函数，则与的大小关系是______________.
6.若与在区间［1,2］上都是减函数,则a的取值范围
是_______.
7若函数是偶函数，则的单调减区间是________.
8若函数的定义域为，值域为则的取值范围是_____.
9、已知在定义域上为增函数,且满足，试解不等式；
10已知
(1)若，试证在内单调递增;
(2)若且在)内单调递减,求的取值范围.
11函数对任意的实数有且当时有；
(1)求证: 在上为增函数;
(2)若，解不等式
12已知函数，若的最小值为，写出的表达式
补充题目
1. 设是定义在上的奇函数，当时，，则
2若且函数在处有极值，则的最大值等于______
3已知定义在上的奇函数和偶函数满足，若，则；
4曲线在点处的切线的斜率为__________
5曲线在点A（0,1）处的切线斜率为___________
6设则的解集为____________
7若函数为奇函数，则；
8设偶函数满足，则= ___________
9.设是周期为2的奇函数，当时，，则；
10函数的增区间是____________;
11若函数在处取最小值,则；
12已知为奇函数，则
13设函数若，则；
知识点梳理
一：奇偶性
1奇偶函数的定义
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫偶函数。
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数。
2 奇偶函数的性质
（1）奇偶函数的定义域关于是关于原点对称；
（2）奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称；
（3）若一个奇函数在处有意义，那么
（4）奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性；
二：周期性
设函数，如果存在非零常数，使得对任何，都有，则称函数为周期函数，T为的一个周期；若T是的周期，则也是的周期。
三：单调性
1：增减函数的定义；
一般地，设函数的定义域为I；
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量得值当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数；
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量得值当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数；
2用定义证明函数单调性的步骤：
设是定义域内一个区间上的任意两个量，且（取值）
作差变形（变形方法：因式分解，配方，有理化等）或作商变形；
判断差的正负或商与1的大小关系
结论
2复合函数的单调性
对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间上是单调函数，若与单调性相同（同增或同减），则为增函数；若与单调性相反；则为减函数；
3.判断函数单调性的方法：
(1)定义法:利用定义严格判断.
(2)利用函数的运算性质:
如若f(x)、g(x)为增函数,则①f(x)+g(x)为增函数.
②为减函数(f(x)＞0).
③ 为增函数(f(x)≥0).
④f(x)·g(x)为增函数(f(x)＞0,g(x)＞0).
⑤-f(x)为减函数.
（3） 导数法：，为增函数；，为减函数。
四：函数的最值
(1)设函数的定义域为,如果存在实数,满足:
①对于任意的都有②存在,使得
则称是的最大值.
(2)设函数的定义域为,如果存在实数,满足:
①对于任意的,都有 ②存在,使得
则称m是的最小值.
基础自测
1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是_____.
①② ③；④
2.若函数在区间上是减函数,则a的取值范围_____.
3.函数 的增区间为________________.
4.已知函数在闭区间上最大值为3,最小值为2,则的取值范围为______.
5.已知是奇函数，则实数的值等于______.
6设函数为偶函数,则=____.
例1 讨论函数的单调性。
例2函数在区间A上是增函数，那么区间A是_________________;
例3已知偶函数在区间上单调增加，则满足的取值范围是_________________
变式 设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若求实数的取值范围；
例4是否存在实数，使函数在闭区间上是增函数？如果存在，说明可取哪些值；如果不存在。
例5已知函数证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
例6已知函数在开区间内是增函数，求实数的取值范围。
同步练习1求函数的单调区间.
例7函数对任意的都有，并且当时, ；
(1)求证: 是上的增函数;
(2)若，,解不等式
跟踪练习4 如果函数的定义域为，且为增函数, 。
(1)求证: =；
(2)已知，且求的取值范围
【例8】已知函数当时,恒有
(1)求证: 是奇函数;
(2)如果，并且 ,试求在区间［-2,6］上的最值.
例9已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)证明:函数在上是减函数;
(3)若对任意的，不等式恒成立,求k的取值范围.
例10已知函数 是奇函数,且求a、b、c的值.
例11函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。
例12
当时，求函数的最大值和最小值；
求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；
例13若的最小值为.
求的表达式；
求能使的的值，并求出当取此值时，的最大值；
例14 已知函数是二次函数，当时，的最小值为1，且为奇函数，求函数的表达式；
课后作业
1设为定义在R上的奇函数，当时，为常数），则；
2设是R上的奇函数，，当时，，则，；
3函数的单调递减区间是______.
4已知是上的减函数，则满足的x的取值范围为____________.
5若在(0,+∞)上是减函数，则与的大小关系是______________.
6.若与在区间［1,2］上都是减函数,则a的取值范围
是_______.
7若函数是偶函数，则的单调减区间是________.
8若函数的定义域为，值域为则的取值范围是_____.
9、已知在定义域上为增函数,且满足，试解不等式；
10已知
(1)若，试证在内单调递增;
(2)若且在)内单调递减,求的取值范围.
11函数对任意的实数有且当时有；
(1)求证: 在上为增函数;
(2)若，解不等式
12已知函数，若的最小值为，写出的表达式
补充题目
1. 设是定义在上的奇函数，当时，，则
2若且函数在处有极值，则的最大值等于______
3已知定义在上的奇函数和偶函数满足，若，则；
4曲线在点处的切线的斜率为__________
5曲线在点A（0,1）处的切线斜率为___________
6设则的解集为____________
7若函数为奇函数，则；
8设偶函数满足，则= ___________
9.设是周期为2的奇函数，当时，，则；
10函数的增区间是____________;
11若函数在处取最小值,则；
12已知为奇函数，则
13设函数若，则；