高中数学人教A版选修（2—1）第一章1.4全称量词与存在量词测试题（含解析答案）

高中数学人教A版选修（2—1）第一章1.4全称量词与存在量词测试题（含解析答案）
一、选择题
1．若命题p： x∈R,2x＋1＞0，则(　　)
A．p： x∈R,2x＋1≤0 B．p： x∈R,2x＋1≤0
C．p： x∈R,2x＋1＜0 D．p： x∈R,2x＋1＜0
A提示：命题p为全称命题，其否定为特称命题，p： x∈R,2x＋1≤0.
2.下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R,2x－1＞0　　　　 B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x∈R，lgx＜1 D． x∈R，tanx＝2
B提示：对于B选项x＝1时，(x－1)＝0.
3．对命题“ x∈R，x－2x＋4≤0”的否定正确的是(　　)
A． x∈R，x－2x＋4＞0 B． x∈R，x－2x＋4≤0
C． x∈R，x－2x＋4＞0 D． x∈R，x－2x＋4≥0
C提示：特称命题的否定是全称命题．“ x∈R，x－2x＋4≤0”的否定是 “ x∈R，x－2x＋4＞0”。
4．下列四个命题中，其中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x＋3＜0 B． x∈N，x≥1
C． x∈Z，使x＜1 D． x∈Q，x＝3
C 解析：选项A是假命题；选项B中，若x＝0，则命题不成立；
选项D中，x＝±，±是无理数．故选C.
5.命题“一次函数都是单调函数”的否定是（ ）
A．一次函数都不是单调函数 B．非一次函数都不是单调函数
C．有些一次函数是单调函数 D．有些一次函数不是单调函数
D提示：特称命题的否定是全称命题．
6.下列命题是全称命题并且是真命题的是（ ）
A．每个二次函数的图像都开口向上
B．对任意非正数，若，则
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个实数使不等式成立
B提示：C、D为特称命题，A为全称命题且是假命题。
7．已知命题p： x∈R，使tanx＝1，命题q： x∈R，x＞0.下面结论正确的是(　　)
A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧q”是假命题
C．命题“p∨q”是真命题 D．命题“p∧q”是假命题
D解析：先判断命题p和q的真假，再逐个判断．容易知命题p是真命题，如x＝ ，p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q 是真命题．所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错 误；“p∨q”是假命题，C错误；“p∧q”是假命题，D正确．
8．若命题“ x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．　B． C． D．
C解析：∵“ x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，∴“ x∈R,2x2－3ax＋9≥0”
为真命题．∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，解得－2≤a≤2.
9．下列命题：① x∈R，x2≥x；② x∈R，x2≥x；③4≥3；④“x2≠1”的充要条件 是“x≠1，或x≠－1”．其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3
C 解析：②③正确．
10．下列命题中，真命题是(　　)
A． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
A解析：由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“ m∈R，使函 数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题。
11．已知命题p： x0∈R，使tanx0＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}， 下列结论：①命题“p且q”是真命题； ②命题“p且(q)”是假命题；
③命题“(p)或q”是真命题； ④命题“(p)或(q)”是假命题．
其中正确的是(　　)
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
D解析：命题p： x0∈R，使tanx0＝1为真命题，
命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也为真命题，
∴p且q是真命题，p且(q)是假命题，
(p)或q是真命题，(p)或(q)是假命题，故①②③④都正确．
12．已知命题p： m∈R，m＋1≤0，命题q： x∈R，＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2，或m≥2 D．－2≤m≤2
B解析：由已知得p，q中至少有一个为假命题，而命题p： m∈R，m＋ 1≤0为真命题，∴命题q： x∈R，＋mx＋1＞0恒成立必定为假命题， ∴Δ＝－4×1≥0 m≤－2，或m≥2，又命题p： m∈R，m＋1≤0为真命 题，∴m≤－1.故综上知m≤－2.
二、填空题
命题“有些负数满足不等式”，用符号“”写成存在性命题为
____________________．
答案：，使得成立。
14．已知命题p： x∈R，x>sin x，则p：________.
答案： x0∈R，x0≤sin x0
15．若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是_____．
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：∵ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题，∴(a－1)2－4＞0，即(a－1)2
＞4， ∴a－1＞2，或a－1＜－2， ∴a＞3，或a＜－1.
16．已知命题p： x∈R，使sin x＝；命题q： x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出 下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p ∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是________．（填序号）
②③
提示：∵p假q真，∴q假，p真，∴p∧q假，p∨q真．
三、解答题
17．用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题，并判断真假．
(1)不等式x2－x＋≥0对一切实数x都成立；
(2)存在实数x0，使得＝.
解析：(1) x∈R，x2－x＋≥0恒成立．
x2－x＋＝(x－)2≥0，故该命题为真命题．
(2) x0∈R，使得＝.
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， ∴≤<.
故该命题是假命题．
18. 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0. (2)q：所有的正方形都是矩形．
(3)r： x0∈R，x02＋2x0＋2≤0. (4)s：至少有一个实数x0，使x03＋1＝0.
解析：(1)p： x0∈R，x02－x0＋＜0，这是假命题，因为 x∈R，x2－x＋＝
恒成立．
(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)r： x∈R，x＋2x＋2＞0，真命题，这是由于 x∈R，x＋2x＋2＝(x
＋1)＋1≥1＞0恒成立．
(4)s： x∈R，x＋1≠0，假命题，这是由于x＝－1时，x＋1＝0.
19.已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.若 x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围．
　解：∵ x∈R，f(x)＜b·g(x)，
∴ x∈R，x2－bx＋b＜0，
∴Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4.
因此实数b的取值范围是b＜0或b＞4.
20．已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果命题p是真命题，求实数a的取值 范围。
解析：因为命题p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，
就是不等式ax2＋2x＋3＞0对一切x∈R恒成立，这时应有
解得a＞，因此当命题p是假命题，
即命题p是真命题时实数a的取值范围是a≤.
21. 已知命题p：“ x∈[1,2]，x－a≥0”，命题q：“ x∈R，x＋2ax＋2－a＝0”， 若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解析：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，a≤x恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1.
若q为真命题，即x＋2ax＋2－a＝0有实根，
Δ＝4a－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2，
综上所述，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
22． 已知命题r(x)：sinx＋cosx＞m，命题s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对 x∈R，r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围.
解析：∵sinx＋cosx＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m＜－.
又∵对 x∈R，s(x)是真命题，即x2＋mx＋1＞0恒成立，
有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－，
同时m≤－2，或m≥2，即m≤－2，
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－，且－2＜m＜2，
即－＜m＜2.
综上所述，m的取值范围是m≤－2，或－＜m＜2.