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第02讲
矩形的性质与判定
【基础训练】
一、单选题
1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（ ）
A．∠B＝90°
B．∠A＝∠C
C．AB＝BC
D．AC⊥BD
【答案】A
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或有一内角为直角即可．
【详解】
解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：对角线相等（AC＝BD）或有一个内角等于90°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理与矩形的判定定理．掌握对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．
2．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】
解：直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A．中心对称图形
B．对边分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线相等
【答案】D
【分析】
根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．
【详解】
解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
4．如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答.
【详解】
在Rt△ACB中，点M是AB的中点，
∴CM=AM=AB=2.5(km)，
故选:
A.
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
5．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（
）
A．两组对边分别相等
B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直
D．两条对角线相等
【答案】D
【分析】
根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论．
【详解】
解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意；
D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
6．如图：矩形的对角线、相较于点，，，若，则四边形的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质可得OD＝OC，由，得出四边形OCED为平行四边形，利用菱形的判定得到四边形OCED为菱形，由AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD．
∵AC＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1．
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形．
∵OD＝OC，
∴四边形OCED为菱形．
∴OD＝DE＝EC＝OC＝1．
则四边形OCED的周长为4×1＝4．
故选：B．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
7．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质得到OA=OB=OD，结合得到，进一步得到BD=2AB．
【详解】
因为四边形为矩形，
所以，
，
，
所以，
所以，
因为
所以
因为，
所以，
故．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和含的直角三角形的边角关系，本题也可用等边三角形的性质和矩形的性质进行求解．
8．关于矩形，下列说法错误的是（
）
A．四个角相等
B．对角线相等
C．四条边相等
D．对角线互相平分
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质逐选项判断即可．
【详解】
解：选项A，矩形四个角均为直角，故正确；
选项B，矩形对角线相等，故正确；
选项C，矩形邻边不相等，故错误；
选项D，矩形两条对角线互相平分，故正确．
故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质，解答关键是熟练掌握矩形的相关性质．
9．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边=，
所以，斜边上中线长=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
10．如图，在矩形中，对角线，相交于点．下列结论中不一定成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．∥
C．
D．
【答案】A
【分析】
由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案．
【详解】
解：
矩形，
从而可得：选项正确，选项不一定成立，
故选A．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
11．四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（
）
A．AB=CD
B．AC=BD
C．AB=BC
D．AD=BC
【答案】B
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，只需添加条件是对角线相等．www.21-cn-jy.com
【详解】
可添加AC=BD，理由如下：
∵四边形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选B．
【点睛】
考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
12．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（
）
A．对角线互相平分且相等
B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相垂直平分
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质，即对角线平分相等，及是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可．
【详解】
解：A.矩形的对角线互相平分且相等．选项说法正确.不符合题意.
B.矩形的四个角相等，等于90°，选项说法正确.不符合题意．
C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．选项说法正确.不符合题意.
D.矩形对角线互相平分但不一定垂直．符合题意.
故选D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
13．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40°
B．55°
C．75°
D．80°
【答案】C
【分析】
连接AC，由矩形性质可得AD∥B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数．
【详解】
解：连接AC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，
∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°．
∴∠BAE=90°-15°=75°，
故选C．
【点睛】
本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
14．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
【答案】A
【详解】
解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．
15．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质即可求出答案．
【详解】
在矩形OABC中，
OB＝AC，
∵B（1，3），
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．
16．已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【分析】
根据矩形的判定进行分析即可．
【详解】
A.
，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B.
，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C.
，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D.
平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
17．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A．两组对边分别平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线平分一组对角
【答案】B
【分析】
根据矩形和菱形的性质逐一进行判定即可
【详解】
解：A.
两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，不符合题意；
B.
对角线相等，矩形具有而菱形不一定具有，符合题意；
C.
对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，不符合题意；
D.
对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不一定具有，不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握性质是解题的关键
18．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】C
【分析】
根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形．21
cnjy
com
【详解】
解：如图，矩形中，
分别为四边的中点，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．
19．下列命题中，假命题是（
）．
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线的交点到四条边的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质判定
【详解】
A、矩形的对角线相等，正确；
B、矩形对角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的交点到两条对边的距离相等，故不正确；
C、矩形的对角线互相平分，正确；
D、矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定知识点
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
∵D是AB的中点，
∴BD=DC=AD=5，，
如图，连接DE，
∵E是BC的中点，
∴，
∵
∴，
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形的面积平分是解题关键．
21．如图，四边形ABCD中，E，F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AC＝BD
B．AC⊥BD
C．AB＝DC
D．AB⊥DC
【答案】D
【分析】
由题意易得GF∥EH∥C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D，GE∥FH∥AB，则有四边形EGFH为平行四边形，由矩形的性质可得∠GFH=90°，然后可得∠GFB+∠HFC=90°，最后问题可求解．
【详解】
解：∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，
∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，
∴四边形EGFH为平行四边形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC，
若四边形EGFH为矩形，则有∠GFH=90°，
∴∠GFB+∠HFC=90°，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴AB⊥DC；
故选D．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键．
22．如图，在中，，点D是斜边的中点，，垂足为E，若，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
∵，
∴，，
∴，
∵，点D是斜边的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：C．
23．如图，在中，，垂足为是的中点，连接，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，点E是的中点，
．
故选：B．
24．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．3
C．5
D．6
【答案】C
【详解】
∵四边形为矩形，∴．由题意得:，设，则．由勾股定理得:，∴．由勾股定理得:，解得．
25．如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片沿折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64?，
∵是△EFG的外角，
∴=∠GEF+∠EFG=128?
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解．21·世纪
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26．求证：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图，
求证：四边形是矩形
证明：∵
∴，
∴，（①）
∵
∴四边形是矩形（②）
在证明过程中，依据①、②分别表示（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．①表示同旁内角互补，两直线平行，②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．①表示同旁内角互补，两直线平行：②表示对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】C
【分析】
，，表示的是同旁内角互补，推断直线平行，进而判断四边形是平行四边形；然后根据直角，进而判断出四边形是矩形．
【详解】
①根据，，推导出直线平行，利用了同旁内角互补，两直线平行；②根据平行四边形和直角推导出矩形，利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形的定理；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线定理、平行四边形证明定理、矩形证明定理的相关知识，对数学定理的熟记活用是解决问题的关键．
27．下列事件：①对顶角相等，②矩形的对角线相等，③同位角相等，④平行四边形是中心对称图形，其中不是必然事件的是（
）
A．①
B．②③
C．③
D．④
【答案】C
【分析】
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】
解：①对顶角相等是必然事件；
②矩形的对角线相等是必然事件；
③同位角相等是随机事件；
④平行四边形是中心对称图形是必然事件．
故选C．
【点睛】
本题考查了必然事件的定义，解决本题需要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
28．如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
由等腰三角形的性质推出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得．
【详解】
解：∵
，是角平分线，
∴
，
∴
，
∵
是中线，
∴
，
∴
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决问题的关键．
29．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，交于点，若的周长为5，，则的长为（
）．21cnjy.com
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A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
30．下列说法中，正确的是（
）
A．当x≠－1时，
有意义
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．若a＜b则一定成立
【答案】C
【分析】
由分别使分式和二次根式有意义的条件，即可判断A；由矩形的判定条件，即可判断B；由三角形垂心的性质，即可判断C；当m=0时，，即可判断D．21·cn·jy·com
【详解】
A．当，即时，有意义，故该选项错误，不符合题意．
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项错误，不符合题意．
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，正确，符合题意．
D．当m=0时，则，故该选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查使分式和二次根式有意义的条件，矩形的判定，三角形垂心的性质等知识．熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
31．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线相等
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【答案】D
【分析】
由平行四边形的判定得出A错误；由矩形的判定得出B不正确；由菱形的定义得出C正确；由菱形的判定得出D正确；即可得出答案．
【详解】
解：A.
对角线互相平分的四边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是平行四边形，∴A不正确；
B.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴B不正确；
C.
菱形的对角线互相垂直平分∴C不正确；
D.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形∴不正确;
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．
32．下列命题是真命题的是（
）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n（n≥3）边形的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】
根据三角形的外角性质、多边形的外角和、矩形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A、三角形的外角大于它的任何一个与它不相邻的内角，本选项说法是假命题；
B、n（n≥3）边形的外角和为360°，本选项说法是真命题；
C、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，本选项说法是假命题；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是真假命题的判断，同时考查三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，矩形的性质，平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键．21教育名师原创作品
33．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，若△ABD的中线BF＝2，则AC的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】
取AC的中点E，连接EF，DE，由三角形中位线定理得出EF∥BC，EF＝DC，证明四边形BDEF是平行四边形，由平行四边形的性质得出BF＝DE＝2，由直角三角形的性质得出答案．
【详解】
解：取AC的中点E，连接EF，DE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵BF是中线，
∴EF∥BC，EF＝DC，
∵BD＝CD，
∴EF＝BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE＝2，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴DE＝AC，
∴AC＝2DE＝4.
故选：B．
【点睛】
此题主要考查三角形内线段长度求解，解题的关键是熟知平行四边形的判定及中位线的性质．
34．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
连接，利用垂直平分线的性质可得，设，利用勾股定理列出方程，结论可得．
【详解】
解：连接，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
是矩形，
，
，
为线段的垂直平分线．
，
设，则，
，
在中，
，
．
解得：．
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
35．如图，在矩形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点O，利用勾股定理求出AC，利用中位线求出OF，利用直角三角形斜边中线求OE即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AC，取AC的中点O，连结OF，OE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，F为CD的中点，
∴AC＝，
∵AO＝OC，CF＝FD，
∴OF＝AD＝BC＝4，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝＝5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF最大＝4+5＝9．
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形斜边中线，O、E、F三点共线，掌握矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，O、E、F三点共线是解题关键．
36．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，点C为线段的中点，则的长等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．10
D．20
【答案】A
【分析】
由点的坐标可OA=4，OB=2，根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】
解：∵A（4，0），B（0，2）
∴OA=4，OB=2，
在Rt△AOB中，
∵点C为AB的中点，
∴OC=
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
37．如图，矩形中，点在上，且平分，，，则矩形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由矩形的性质得出，得出，由角平分线和等腰三角形的性质得出求出，由直角三角形的性质得出，得出，即可得出结果．
【详解】
解：四边形是矩形，
，
，
平分，，
，
，
，
，，
，
矩形面积：；
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明是解题的关键．
38．下列命题中，是真命题的是（
）．
A．同旁内角互补
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．矩形的对角线互相平分
D．多边形的内角和为
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质、全等三角形的判定、矩形的性质和多边形的内角和定理逐项分析可得正确的选项．
【详解】
A.
同旁内角互补，只有在两平行直线被第三条直线所截时才成立，
故不符合题意；
B.
两边及一角证明三角形全等可以是SAS,若这一个角不是两边的夹角，
则不能证明三角形全等，故不符合题意；
C.
矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，
故矩形的对角线互相平分，是真命题，符合题意；
D.
多边形的内角和应为,故不符合题意
故选C.
【点睛】
本题考查了命题的判断，平行线性质，三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全等的判断定理，矩形的性质，多边形的内角和公式，当命题反映的情况与客观事实相符，就是真命题，否则就是假命题，理解记忆好各定理是解题的关键.
39．如图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．
C．
D．14
【答案】C
【分析】
易知OE是中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝10，根据矩形性质可求BO＝5，从而求出△BOE周长．2-1-c-n-j-y
【详解】
点是矩形的对角线的中点，点为的中点，
∴，，∴．
在中，利用勾股定理求得．
在中，利用勾股定理求得，
∴．
∴的周长为．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
40．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．.2
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，则AC=8，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=BD，再由菱形的面积求出BD=6，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=8，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴OH=BD，
∵菱形ABCD的面积=×AC×BD=×8×BD=24，
∴BD=6，
∴OH=BD=3；
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=BD．
二、填空题
41．在中，，、分别为边上的高和中线，若，则的度数为______．
【答案】35或55
【分析】
分AC>BC，AC【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，
∴CE=BE=AE，
∴∠BAC=∠ECA，
∵∠ECD=20°，
∴∠CED=90°-∠ECD=70°．
当AC>BC时，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∠BAC
=∠ECA=∠CED=35°；
当AC(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∠BAC
=∠ECA==55°；
综上，∠BAC
的度数为35°或55°．
故答案是：35°或55°．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
42．在矩形中，，的平分线交所在的直线于点，若，则的长为__________．
【答案】5或1
【分析】
当点在上时，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，可得的长；当点在的延长线上时，同理可求出的长．
【详解】
解：如图1，当点在上时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
；
如图2，当点在的延长线上时，同理，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
．
故答案为：5或1．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出两种图形．
43．已知矩形，点在边上，，连接，将沿着翻折得到，射线交于，若点为的中点，，，则的长______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】1
【分析】
先设，根据，，可得，，再根据，可得，进而得出方程，即可得到的长．
【详解】
解：设，
，，
，，
又为的中点，
，
由折叠可得，，
由，可得，
，
，
，
解得，
即，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
44．如图所示，将矩形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】1.5
【分析】
由折叠可得，．再由矩形性质结合勾股定理即可求出BF的长，从而求出CF的长．设，则，在中，利用勾股定理列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】
解：由折叠可知，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴在中，，
∴．
设，则，
∴在中，，即，
解得：．
故EC的长为1.5．
故答案为1.5．
【点睛】
本题考查折叠的性质，矩形的性质和勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
45．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，若，，则重叠部分（即）的面积是________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
利用勾股定理求得BE的长，根据折叠和矩形的性质求得BE=DE，从而求解
【详解】
解：∵∠A=90°
∴在Rt△ABE中，，
在长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB
又由折叠的性质可得∠DBC=∠EBD
∴∠ADB=∠EBD
∴BE=DE=5
∴阴影部分面积为：
故答案为：
【点睛】
此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出BE的长是解答此题的关键，难度一般，注意掌握折叠前后三角形的对应角相等．【版权所有：21教育】
三、解答题
46．如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
47．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求平行四边形的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由是平行四边形，，即可证明且，即证明四边形是平行四边形，再ED⊥AB，得到BFDE为矩形．www-2-1-cnjy-com
（2）由平分，，易证，即．再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出，，，最后利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明：∵是平行四边形，
∴且，
又∵．
∴且，
∴四边形是平行四边形
又∵ED⊥AB
∴∠DEB=90°
∴四边形BFDE为矩形
（2）∵平分
∴
∵
∴
∴
又∵且
∴，，
∴
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理．掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
48．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求平行四边形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由是平行四边形，，即可证明且，即证明四边形是平行四边形，再ED⊥AB，得到BFDE为矩形．
（2）由平分，，易证，即．再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出，，，最后利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明：∵是平行四边形，
∴且，
又∵．
∴且，
∴四边形是平行四边形
又∵ED⊥AB
∴∠DEB=90°
∴四边形BFDE为矩形
（2）∵平分
∴
∵
∴
∴
又∵且
∴，，
∴
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理．掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
49．已知，如图，、分别为矩形的边和上的点，．
求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】证明见解析．
【分析】
先求出BF＝DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即ED＝BF，
而ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴BE＝DF（平行四边形对边相等）．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，主要利用了矩形的对边相等的性质．
50．将两张完全相同的矩形纸片、按如图方式放置，为重合的对角线．重叠部分为四边形．试判断四边形的形状，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】菱形，见解析
【分析】
根据矩形的性质得出∠A=∠E=90°，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D=ED，AB=EB，根据全等三角形的判定得出△DAB≌△DEB，根据全等三角形的性质得出∠ABD=∠EBD，求出DH=BH，再根据菱形的判定推出即可．
【详解】
解：四边形DHBG是菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD、四边形FBED是完全相同的矩形，
∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB，
在△DAB和△DEB中，
，
∴△DAB≌△DEB（SAS），
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB∥CD，DF∥BE，
∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB=∠EBD，
∴∠HDB=∠HBD，
∴DH=BH，
∴?DHBG是菱形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
51．如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连结．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若时，试证明四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先由AF∥BC，利用平行线的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【详解】
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
【点睛】
本题考查矩形的判定，关键是利用了矩形的判定、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
52．如图，已知矩形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；
②作的平分线交于点；
③连接；
（2）在（1）作出的图形中，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据题目作图步骤作图即可；
（2）先证△ADF≌△AEF得∠AEF=∠D=90°，再结合∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE即可得证．
【详解】
（1）如图所示，即为所求；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，
由作图知，AD=AE，∠DAF=∠EAF，
又AF=AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴∠AEF=∠D=90°，
又∠AEB+∠FEC=∠AEB+∠EAB
=90°，
∴∠FEC=∠EAB．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质等知识点．
53．如图，已知在矩形中，请用尺规作图，分别在上作点F，E，使四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
作线段BD的垂直平分线，与指定二直线相交的交点就是所求．
【详解】
解：如图，点E，F即为所求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理，线段的垂直平分线的作图，熟练掌握菱形的判定，并能准确进行线段的垂直平分线的作图是解题的关键．
54．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，交BD于点G，若BD⊥CF，请直接写出∠AED的度数为 度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）60
【分析】
（1）根据矩形的性质得到AE=BE，然后证得四边形AEBF为平行四边形即可；
（2）连接EF，由题意推出△AFC为直角三角形，从而结合“斜中半”定理以及菱形的性质推出△AEF为等边三角形，从而求出角度即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
（1）∵四边形ABCD
为矩形，对角线AC与BD相交于点E，
∴AE=BE，
又∵AF∥BD，BF∥AC，
∴四边形AEBF为平行四边形，
∵AE=BE，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）如图所示，连接EF，
∵BD⊥CF，AF∥BD，
∴AF⊥CF，∠AFC=90°，
∵E为AC的中点，
∴在Rt△AFC中，AE=FE=CE，
又∵四边形AEBF为菱形，
∴AE=AF，
∴AE=AF=FE，即：△AEF为等边三角形，
∴∠AEF=60°，
根据菱形的性质可得，∠BEF=∠AEF=60°，
∴∠AED=60°，
故答案为：60．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查矩形的性质以及菱形的判定与性质，理解并掌握各类图形的基本性质以及判定方法是解题关键．
55．如图，己知四边形是平行四边形，为平行四边形的对角线．
（1）请用直尺和圆规在上取一点，使得；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）作BC的垂直平分线交CD于E点即可；
（2）根据三角形的中位线与直角三角形的性质得到DE=BE，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图．点记为所求作的点．
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（2）设（1）中所作直线与交于点，由（1）知，直线为边的垂直平分线
则，
∵，
∴为的中位线，
∴，，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，∴
∴，即．
【点睛】
此题主要考查尺规作图及其应用，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、中位线定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．
56．如图，在△ABC中，，于点D，为边上的中线．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据直角三角形的两锐角互余
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)即可证得∠BAD＝∠C，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明△CDE是等腰三角形，利用等腰三角形的性质，以及等量代换即可证得．
【详解】
证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°，
又∵AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠DAC＋∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C．
∵DE是直角△ACD斜边上的中线，
∴DE＝AC＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解直角三角形被斜边上的中线分成两个等腰三角形是关键．
57．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
在△AEF与△DEB中，
∴；
（2）由（1）可知，，
∵D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．21世纪教育网版权所有
58．已知：四边形中，为对角线，，，．
（1）如图，求证：四边形是矩形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图，将沿着对角线翻折得到，交于点，请直接写出图中所有的全等三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）；；
；．
【分析】
（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可直接证得结论．
（2）根据对折性质可证，根据平行四边形对边相等可证，根据HL定理可证，根据对折性质和平行四边形性质可证，进而证得，根据AAS可证．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∵在中，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）；；
；．
∵沿着对角线翻折得到，
∴
∴(SSS)；
根据上题结论四边形是矩形，
∴
∴(SSS)；
在、中，
∵
∴（HL）；
∵，
∴，
∵将沿着对角线翻折得到，
∴，
∴，
∴，
在、中，
（AAS）．
【点睛】
本题考查了矩形性质与判定定理，全等三角形的判定定理，掌握矩形性质与判定定理及全等三角形判定定理是解题关键．21教育网
59．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F．
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（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）96
【分析】
（1）根据菱形的性质结合已知条件即可得证；
（2）由（1）所得结合菱形的性质计算出、的长度，再计算面积即可．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形AEBO为矩形；
（2）∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝8，
∴，
∴，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理；掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
60．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AN＝AB，ANCM．求证：MN＝AC．
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【答案】证明见解析
【分析】
欲证明MN＝AC，只要证明四边形ACMN是平行四边形即可．
【详解】
证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵M是AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AN＝AB，
∴CM＝AN，
∵AN∥CM，
∴四边形ACMN是平行四边形．
∴MN＝AC．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键，属于基础题．【来源：21cnj
y.co
m】
61．如图，在每个小正方形的边长都是1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）△ABC的面积为
（面积单位）
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C（点A的对应点是A1），连接AB1，BA1．
①请在网格中补全图形；
②直接写出四边形AB1A1B是何种特殊的四边形．
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【答案】（1）4；（2）①见解析；②矩形．
【分析】
（1）用一个正方形的面积分别减去3个三角形的面积可计算出△ABC的面积；
（2）①延长AC到A1，使CA1＝AC，延长BC到B1，使CB1＝CB，从而得到△B1A1C；
②利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形进行判断．
【详解】
解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4；
故答案为4；
（2）①如图，△A1B1C为所作；
②四边形AB1A1B是矩形．
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【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了矩形的判定．
62．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）OE＝OF，详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，详见解析
【分析】
（1）根据矩形的性质得出，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在和中，
，
，
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定；关键在于掌握好相关的基础知识．
63．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）重合部分是什么图形？请说明理由．
（2）若AB＝4，BC＝8，求△BDF的面积．
【答案】（1）等腰三角形，见解析；（2）10
【分析】
（1）由折叠对应角相等和两直线平行，内错角相等，可知△BDF中，两角相等，可判断为等腰三角形；
（2）利用勾股定理求出DF的长，进而根据三角形面积公式得出结论．
【详解】
解：（1）重叠部分为等腰三角形．理由如下：
由折叠可知，∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠FDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴△FBD是等腰三角形；
（2）∵∠EBD=∠FDB，
∴FB=FD．
设FD=x，则BF=x，AF=8﹣x．
在Rt△ABF中，AF2+AB2=BF2，
∴（8﹣x）2+42=x2，
解得：x=5，
∴△BDF的面积=
DF×AB5×4=10．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质以及三角形面积求法，折叠前后对应角相等．利用平行线的性质得出角相等，是证明角的关系问题中常用的方法．
64．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC的度数．
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【答案】∠ACF＝90°，∠AFC＝45°
【分析】
利用矩形的性质，先证明△ABC≌△CEF，可得∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，再证明
证明
从而可得△ACF是等腰直角三角形，从而可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，
在△ABC和△CEF中，
，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，
∵∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACB+∠FCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，∠ECG＝90°
∴∠ACB+∠ACF+∠FCE＝180°，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴∠AFC＝45°
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【出处：21教育名师】
65．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上－点，DF＝DC，DF⊥AE于P．若AB＝3，AF＝4，求EC的长．
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【答案】1
【分析】
根据矩形的性质可得∠AFD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=∠B，AB=DF，由AAS证明△ABE≌△DFA，得出AE=BC，
BE=AF=4，由勾股定理求出AE=5，得出BC=5，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD//BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF＝DC，
∴AB＝DF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
在△ABE和△DFA中，
∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD，AB＝DF
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴BE＝AF＝4，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC．
∵∠B＝90°，
∴AE＝，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
66．如图，点在矩形的边上，延长到点，使，连接．求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据矩形性质可得，然后结合等式的性质求得，从而使问题得证．
【详解】
证明：四边形是矩形，
，，
∴EF=BC
．
【点睛】
本题考查矩形的性质及等式的性质，题目比较简单，掌握相关性质正确推理论证是解题关键．
67．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，，求的长及的面积．
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【答案】BE=5，的面积为
【分析】
首先设BE=x，则DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x，进而利用勾股定理即可求出BE，然后过E作EH⊥BC于H，根据平行线的性质和等腰三角形的判定求得EH和BF，即可求出的面积．
【详解】
解：设BE=x，
由折叠的性质可得DE=BE=x，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AE=AD-DE=9-x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
则32+（9-x）2=x2，
解得：x=5
∴BE=5
过E作EH⊥BC于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则EH=AB=3，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BF=BE=
5，
∴=BF·EH=
【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题、勾股定理和等腰三角形的判定，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解题关键．
68．如图，中，，是边上的高，点O是中点，延长到E，使，连接，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】
先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形AECD是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形便可证出．
【详解】
证明：∵点O是中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴四边形矩形
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定，能综合运用定理进行推理是解题的关键．
69．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，求矩形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
由矩形的性质得出，，，，证出是等边三角形，得出，，．由勾股定理求出，即可得出矩形的面积．
【详解】
解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，．
在直角中，，
则矩形的面积是：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解题的关键．
70．如图，ABCD是长方形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)纸片，E是AB上一点，AB=6，，BC=10，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰如落在AD边上点F处，求BE的长是多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据矩形的性质可得、、，由折叠的性质可得、，再根据勾股定理、线段的和差求得，然后设，利用勾股定理可得到关于的方程，解方程即可求得的值．
【详解】
解：∵四边形
是长方形
∴，，
∵把沿折痕向上翻折，若点恰如落在边上点处
∴，
∴在中，
∴
∴设，则，
∵在中，
∴
∴
∴
∴的长为．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、一元二次方程、线段的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
71．将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点在上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：．
【答案】见解析
【分析】
结合矩形以及旋转的基本性质，推出，继而得出结论．
【详解】
证明（方法不唯一）：
由旋转可得，，
，
又
又，
，
，
又，
．
【点睛】
本题考查了矩形与旋转的基本性质，以及全等三角形的证明，能够利用余角的性质证明出是解决本题的关键．
72．已知：如图，在ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=DB；
求证：ABCD是矩形．
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【答案】见解析
【分析】
结合平行四边形的性质，通过△ABC
≌△DCB，证得∠ABC=，即可得出结论．
【详解】
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB
=
CD，AB∥CD．
在△ABC和△DCB中,
∵
∴
△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AB∥CD
∴
∠ABC
+
∠DCB
=
∴
∠ABC=∠DCB
=
=
∴ABCD是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形判定定理的证明，能够明白如何证明“对角线相等的平行四边形是矩形”这个判定定理是关键．
73．如图，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点，若，，求的长．
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【答案】4
【分析】
根据矩形的性质和角平分线的性质推知∠E＝∠1＝∠2，则BE＝BD，所以在直角△ABD中，利用勾股定理求得AB的长度即可．
【详解】
解：如图，∵四边形是矩形，
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∴．∴．
又∵的平分线交的延长线于点，
∴．∴．∴．
∵，∴．
在中，，，
则由勾股定理知，，即．
解得．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，此题难度不大，关键是推出等式BD＝BE＝10?AB．
74．如图所示，把一张矩形ABDC纸片沿对角线BC折叠，重合部分是什么图形，试说明理由；若AB=4，BD=8，求AF的长．
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【答案】等腰三角形，见解析，3
【分析】
由题意易得∠CBD=∠FBC，AC∥BD，进而可得BF=CF，设AF=x，则BF=CF=8-x，然后根据勾股定理可求解．
【详解】
解：重叠部分△BCF为等腰三角形，
理由如下：由折叠及矩形的性质可知∠CBD=∠FBC，AC∥BD，
∴∠FCB=∠CBD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴BF=CF，
∴重叠部分△BCF为等腰三角形，
设AF=x，则BF=CF=8-x，
在直角三角形ABF中，由勾股定理得AB2+AF2=BF2，即42+x2=(8-x)2
解得：AF=x=3．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质与判定、折叠的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第02讲
矩形的性质与判定
【基础训练】
一、单选题
1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（ ）
A．∠B＝90°
B．∠A＝∠C
C．AB＝BC
D．AC⊥BD
2．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A．中心对称图形
B．对边分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线相等
4．如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（
）2-1-c-n-j-y
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A．
B．
C．
D．
5．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（
）
A．两组对边分别相等
B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直
D．两条对角线相等
6．如图：矩形的对角线、相较于点，，，若，则四边形的周长为（
）
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A．
B．
C．
D．
7．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
8．关于矩形，下列说法错误的是（
）
A．四个角相等
B．对角线相等
C．四条边相等
D．对角线互相平分
9．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在矩形中，对角线，相交于点．下列结论中不一定成立的是（
）
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A．
B．∥
C．
D．
11．四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（
）
A．AB=CD
B．AC=BD
C．AB=BC
D．AD=BC
12．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（
）
A．对角线互相平分且相等
B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．对角线互相垂直平分
13．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．40°
B．55°
C．75°
D．80°
14．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
15．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（ ）
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A．4
B．
C．
D．2
16．已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
17．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A．两组对边分别平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线平分一组对角
18．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
19．下列命题中，假命题是（
）．
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线的交点到四条边的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．3
B．4
C．5
D．
21．如图，四边形ABCD中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（
）21·cn·jy·com
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A．AC＝BD
B．AC⊥BD
C．AB＝DC
D．AB⊥DC
22．如图，在中，，点D是斜边的中点，，垂足为E，若，则的长为（
）
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A．2
B．
C．
D．
23．如图，在中，，垂足为是的中点，连接，则的度数是（
）
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A．
B．
C．
D．
24．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（
）
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A．4
B．3
C．5
D．6
25．如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（
）【来源：21cnj
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A．
B．
C．
D．
26．求证：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图，
求证：四边形是矩形
证明：∵
∴，
∴，（①）
∵
∴四边形是矩形（②）
在证明过程中，依据①、②分别表示（
）
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A．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．①表示同旁内角互补，两直线平行，②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．①表示同旁内角互补，两直线平行：②表示对角线相等的平行四边形是矩形
27．下列事件：①对顶角相等，②矩形的对角线相等，③同位角相等，④平行四边形是中心对称图形，其中不是必然事件的是（
）【出处：21教育名师】
A．①
B．②③
C．③
D．④
28．如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
29．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，交于点，若的周长为5，，则的长为（
）．【版权所有：21教育】
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A．2
B．2.5
C．3
D．4
30．下列说法中，正确的是（
）
A．当x≠－1时，
有意义
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．若a＜b则一定成立
31．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线相等
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
32．下列命题是真命题的是（
）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n（n≥3）边形的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
33．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，若△ABD的中线BF＝2，则AC的长为（
）
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A．5
B．4
C．3
D．2
34．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
35．如图，在矩形ABCD中，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（ ）21教育名师原创作品
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A．7
B．8
C．9
D．10
36．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，点C为线段的中点，则的长等于（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．10
D．20
37．如图，矩形中，点在上，且平分，，，则矩形的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
38．下列命题中，是真命题的是（
）．
A．同旁内角互补
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．矩形的对角线互相平分
D．多边形的内角和为
39．如图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为（
）
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A．10
B．
C．
D．14
40．如图，菱形ABCD的对角线A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（
）21
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A．.2
B．3
C．
D．
二、填空题
41．在中，，、分别为边上的高和中线，若，则的度数为______．
42．在矩形中，，的平分线交所在的直线于点，若，则的长为__________．
43．已知矩形，点在边上，，连接，将沿着翻折得到，射线交于，若点为的中点，，，则的长______．www-2-1-cnjy-com
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44．如图所示，将矩形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____．
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45．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，若，，则重叠部分（即）的面积是________．
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三、解答题
46．如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
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47．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求平行四边形的面积．
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48．如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求平行四边形的面积．
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49．已知，如图，、分别为矩形的边和上的点，．
求证：．
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50．将两张完全相同的矩形纸片、按如图方式放置，为重合的对角线．重叠部分为四边形．试判断四边形的形状，并说明理由．2·1·c·n·j·y
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51．如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连结．
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（1）求证：．
（2）若时，试证明四边形是矩形．
52．如图，已知矩形．
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（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；
②作的平分线交于点；
③连接；
（2）在（1）作出的图形中，求证：．
53．如图，已知在矩形中，请用尺规作图，分别在上作点F，E，使四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）21教育网
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54．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，交BD于点G，若BD⊥CF，请直接写出∠AED的度数为 度．
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55．如图，己知四边形是平行四边形，为平行四边形的对角线．
（1）请用直尺和圆规在上取一点，使得；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求证：．
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56．如图，在△ABC中，，于点D，为边上的中线．求证：．
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57．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
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58．已知：四边形中，为对角线，，，．
（1）如图，求证：四边形是矩形．
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（2）如图，将沿着对角线翻折得到，交于点，请直接写出图中所有的全等三角形．
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59．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F．
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（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．
60．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，AN＝AB，ANCM．求证：MN＝AC．
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61．如图，在每个小正方形的边长都是1的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）△ABC的面积为
（面积单位）
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C（点A的对应点是A1），连接AB1，BA1．
①请在网格中补全图形；
②直接写出四边形AB1A1B是何种特殊的四边形．
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62．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．21·世纪
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（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
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63．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠．
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（1）重合部分是什么图形？请说明理由．
（2）若AB＝4，BC＝8，求△BDF的面积．
64．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC的度数．
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65．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上－点，DF＝DC，DF⊥AE于P．若AB＝3，AF＝4，求EC的长．
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66．如图，点在矩形的边上，延长到点，使，连接．求证：．
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67．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，，求的长及的面积．
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68．如图，中，，是边上的高，点O是中点，延长到E，使，连接，．
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求证：四边形是矩形．
69．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，求矩形的面积．
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70．如图，ABCD是长方形纸
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)片，E是AB上一点，AB=6，，BC=10，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰如落在AD边上点F处，求BE的长是多少？21cnjy.com
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71．将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点在上．
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求证：．
72．已知：如图，在ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=DB；
求证：ABCD是矩形．
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73．如图，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点，若，，求的长．
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74．如图所示，把一张矩形ABDC纸片沿对角线BC折叠，重合部分是什么图形，试说明理由；若AB=4，BD=8，求AF的长．【来源：21·世纪·教育·网】
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精品试卷·第
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