第02讲 矩形的性质与判定(提升训练)(原卷版+解析版)

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第02讲
矩形的性质与判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BC＝5，点E为射线CD上一动点，△BCE沿BE折叠，得到ΔBFE，若∠FDE＝90°，则CE的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
如图1，根据折叠的性质得到BF=BC=5，FE=CE，根据勾股定理得到CE2=（3CE）2+12，于是得到CE=，即可得到结论．
【详解】
解：如图1，∵将△BCE沿BE折叠，得到△BFE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴BF=BC=5，FE=CE，
∴DE=3-CE，
∵AB=3，
∴AF=4，
∴DF=1，
∵EF2=DE2+DF2，
∴CE2=（3CE）2+12，
∴CE=．
故选：．
【点睛】
本题考查了翻折变换——折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行分析．
2．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】
连接BP，在BA的延长线上截
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【详解】
解：如图，连接BP，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∵BE=2AB=12，BC=AD=5，
∴CE==13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，勾股定理，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【分析】
由题意及函数图象可直接进行判断①②，③由题意作出图形，然后再根据矩形的性质、勾股定理及三角形面积计算公式可进行判断．
【详解】
解：①设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米，
600×2.5=1500（米）=1.5千米，1500÷1000=1.5分钟，
∵4.5-2.5=2分钟，6-4.5=1.5分钟，
∴①符合该函数关系；
②设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升，
∴0.6×2.5=1.5升，1.5÷1=1.5秒，
∴②符合该函数关系；
③如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
设点P的运动路程为x，的面积为y，
由题意可得当点P从点A运动到点C时，的面积逐渐增大，直到运动到点C时，达到最大，即为，
当点P在线段CD上运动时，的面积保持不变，此时x的范围为，
当点P在线段DA上时，则的面积逐渐减小，当点P与点A重合时，的面积为0，此时x=6，
∴③也符合该函数关系；
∴符合图中函数关系的情境个数为3个；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理是解题的关键．
4．折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（
）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】
连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】
解：如图，连接BM，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，勾股定理，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)菱形的面积公式的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．
5．如图，在矩形中，分别是的中点，若，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合矩形的性质，勾股定理，利用证明，进而可求解．
【详解】
解：四边形为矩形，，，
，，，，
，
为的中点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
在△DAF和△AEB中，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
6．下列命题是真命题的是（
）．
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B．正六边形的每一个内角为
C．有一个角是的三角形是等边三角形
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】
根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为
∴选项A不符合题意；
正六边形的内角和为：
∴每一个内角为，即选项B正确；
三个角均为的三角形是等边三角形
∴选项C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形
∴选项D不正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形外角和、正多边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．
7．如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点E，若，则图中阴影部分的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．14
B．18
C．24
D．28
【答案】D
【详解】
依题意得，∴阴影部分的周长等于矩形的周长，即，故选D．
8．如图，在矩形中，，点E在边上，连接，若平分，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
9．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D的对应点为与交于点F，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】B
【详解】
在和中，，，，，设，则，解得，．故选B．
10．如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M和点N，作直线MN交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则CD长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．3
C．2.5
D．2.4
【答案】C
【详解】
∵，，是直角三角形，∴，由作图可知，DE是AC的垂直平分线，∴，，∴D为AB的中点，∴．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C
恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，E
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】
解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
12．如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a，
HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a，
HE=GF=
b
，GH=EF=
c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可21教育名师原创作品
【详解】
解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形
∴GH=EF，HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a，
HE=GF=
b
，GH=EF=
c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，
∴，
∵
∵
∴，即
而，
所以，，故选项A符合题意，
∴，故选项B不符合题意，
而于都不一定成立，故都不符合题意，
故选：A
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系．
13．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点，若，
，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．4
C．3
D．2.5
【答案】D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知CE的长度，再根据中位线定理，即可求得DF的长度．
【详解】
解：∵在中，，为中线，，，
∴,
∴，
∵为的中点，
∴,
∵，点D是BC的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．
14．如图，矩形纸片中，，是上一点，连结，沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为．若，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
作于点H．由题意和所作辅助线可知HE=GD=2，AG=4，AF=AD=6，EF=DE=HG．在中，利用勾股定理即可求出的长．设，则，．再在中，利用勾股定理即可列出关于x的等式，解出x即为DE的长．
【详解】
如图，作于点H．
∵AD=6，AD=3GD，
∴GD=2，AG=4．
由题意可知AF=AD=6，EF=DE．
∴在中，．
由所作辅助线可知四边形为矩形，
∴HE=GD=2，．
设，则，
∴．
∴在中，，即，
解得：．
故．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理．正确的添加辅助线是解答本题的关键．
15．如图，矩形ABCD中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=12，点E是AD上的一点，AE=6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是(
)
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A．12.5
B．12
C．10
D．10.5
【答案】D
【分析】
利用“ASA”易证△EDG≌△FCG，从而求得DE=CF，，根据矩形的性质，设BC=x，则DE=x-6，DG=6，BF=2x-6，根据垂直平分线的性质求得，最后在中根据勾股定理列方程求出x即可．
【详解】
解：在矩形ABCD中，AD=BC，AB=CD=12，∠D=∠DCF=90°，
∵G为CD中点，
∴DG=CG．
又∵∠EGD=∠FGC，
∴，
∴DE=CF，．
设BC=x，则，，．
又∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴．
∴在中，，即，
解得：x=10.5
则BC的长是10.5．
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确列出方程是解题关键．21世纪教育网版权所有
16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（
）21·世纪
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据折叠的性质得到AF=AD，所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】
解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF=
=6，
∴FC=10?6=4，
设EC=x，则DE=EF=8?x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8?x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
【点睛】
本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．
17．如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由折叠的性质可得，然后可得，在Rt△C′B′N中利用勾股定理求解DB′；当点M与点A重合时，可得ME=NE，设NE=x，在中，利用勾股定理求解DE，当时，的值最大；当点运动到点落在时，
点的运动轨迹，运动路径求出即可．
【详解】
解：如图1中，当点B′在DC上时，点E定为点B′，
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∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∵（），
∴（）．
∴DB′=DN-B′N=，
如图2中，当点与重合时，点E定为点E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴ME=NE，
设，DE=DN-NE=4-x，
在中，则有AD2+DE2=AE2，即，
解得，
∴（），
如图3中，当点运动到时，此时点E位置定为E′，的值最大，（），
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如图4中，当点运动到点落在时，
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∴点的运动轨迹，运动路径（）．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查翻折的性质、矩形的性
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质及勾股定理，等腰三角形判定与性质，熟练掌握翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质是解题的关键．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，
将此长方形折叠，使点B与点D重合，则折痕为EF的长为（
）
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A．cm
B．cm
C．4cm
D．cm
【答案】A
【分析】
设由折叠的性质结合勾股定理先求解
再证明四边形是菱形，再结合菱形与矩形的性质可得答案．
【详解】
解：设
由折叠可得：
长方形ABCD，
连接
交于点
四边形为菱形，
又
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故选：
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，判定四边形是菱形是解题的关键．
19．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为（
）
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A．10
B．9.6
C．4.8
D．2.4
【答案】D
【分析】
首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OD=，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案．
【详解】
解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB?BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，
∴S△AOD=S矩形ABCD=3，OA=OD=，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=3，
∴PE+PF==2.4．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为（
）【出处：21教育名师】
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A．或2
B．
C．或2
D．
【答案】B
【分析】
设CE=x，则C′E=x，证明四边形MN
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD是矩形，由矩形的性质得出∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=5，由折叠的性质得出C′D=CD=5，求出MC′=3，由勾股定理得出x2-（4-x）2=22，解方程可得出答案．
【详解】
解：设CE=x，则C′E=x，
∵矩形ABCD中，AB=5，
∴CD=AB=5，AD=BC=6，AD∥BC，
∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM=AD，BN=AM，
∴DM=CN=4，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∵∠NCD=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=5
由折叠知，C′D=CD=5，
∴，
∴C′N=5-3=2，
∵EN=CN-CE=4-x，
∴C′E2-NE2=C′N2，
∴x2-（4-x）2=22，
解得，x=，即CE=．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21．如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过点D作DF⊥AC'，垂足为F，过点B作BG⊥AC'，交AC'的延长线于G，则四边形BDFG是矩形，计算的长，继而根据面积的不同计算方法求解即可．
【详解】
如图，过点D作DF⊥AC'，垂足为F，过点B作BG⊥AC'，交AC'的延长线于G，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵把沿翻折，得到，
∴DC=，∠BDC=∠，
∵D是边上的中点，
∴DC=AD，
∵，
∴=，
∴是等边三角形，
∴∠BDC=∠=∠=∠=60°，
∴AG//BD，
∴∠BDF=∠AFD，
∵DF⊥AC'，
∴AF=FC'=1，
∴DF==，
∵DF⊥AC'，BG⊥AC'，
∴∠AFD=∠DFC′=∠G=90°，
∴∠BDF=90°，
∴四边形BDFG是矩形，
∴FG=BD=3，BG=DF，
∴BG=，=2，
∴==，
设点D到的距离为h，
∴，
∴，
∴h=，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的折叠问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
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A．5
B．2.5
C．4.8
D．2.4
【答案】D
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长．
【详解】
解：连接AP，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键．
23．在平面直角坐标系中，矩形的对角线轴，若点B在第一象限，则对角线与的交点M的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，2）．利用矩形的性质得出M为BD中点，∠DAB=90°．根据线段中点坐标公式得出M（x，2），由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程12+22+（x-1）2+22=x2，求出x，得到M点坐标．
【详解】
解：解：∵BD∥x轴，D（0，2），
∴B、D两点纵坐标相同，都为2，
∴可设B（x，2）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为M，
∴M为BD中点，∠DAB=90°．
∴M（x，2），
∵∠DAB=90°，
∴AD2+AB2=BD2，
∵A（1，0），D（0，2），B（x，2），
∴12+22+（x-1）2+22=x2，
解得x=5，
∴M（，2），
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了矩形的性质，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键．
24．如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使与点重合，折痕为，那么折痕的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接，过作于点，设，则，由折叠可得，，利用勾股定理求出的长，利用矩形和折叠的性质求得，得出的从，从而求出的长度，再利用勾股运算求出即可．21教育网
【详解】
连接，过作于点，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
设，则
由折叠的性质可得：，
∴在中，
∴
解得：
∵为矩形
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故选：D
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．2·1·c·n·j·y
25．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点．若，则的长为（
）．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
结合题意，根据矩形性质，得，，；根据勾股定理计算，得；再结合轴对称性质，通过证明，即可得到答案．
【详解】
∵矩形纸片
∴，，
∵，
∴
∵纸片沿直线折叠，点落在处，交于点
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形、勾股定理、轴对称、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、轴对称的性质，从而完成求解．
26．如图，在矩形中，点F为边上一点，过F作交边于点E，P为边上一点，交线段于H，交线段于Q，连接．当时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过Q作QG⊥AB于G，由，可得QG⊥FE，∠AGQ=∠FQG=90°，由四边形ABCD为矩形，可得∠A=90°，可证四边形AGQF为矩形，可得GQ=EF，∠DFE=∠PGQ=90°，可证△PGQ≌△DFE（ASA），可得PQ=DE，S阴影=S△PED-S△QED=即可．
【详解】
解：过Q作QG⊥AB于G，
∵，
∴QG⊥FE，
∴∠AGQ=∠FQG=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴∠AGQ=∠FQG=∠A
=90°
∴四边形AGQF为矩形，
∴GQ=AF=AB=EF，∠DFE=∠PGQ=90°，
∵∠PQG+∠EQH=90°，
∴∠HEQ+∠EQH=90°，
∴∠PQG=∠HEQ=∠DEF，
在△PGQ和△DFE中
，
∴△PGQ≌△DFE（ASA），
∴PQ=DE，
∴S阴影=S△PED-S△QED=．
故选择：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查矩形性质与判定，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握矩形性质与判定，三角形全等判定与性质，阴影面积的求法是解题关键．
27．已知，如图，矩形中，．将矩形沿对折，使点A和点C重合，则折痕的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．5
D．10
【答案】B
【分析】
如图（见解析），先根据矩形的性质可得，再根据翻折的性质、菱形的判定与性质可得，然后设，在中，利用勾股定理可得的值，从而可得的值，最后在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接，交于点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
矩形中，，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，，即，
解得，即，
在中，，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形与翻折问题、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
28．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一个动点，点为的中点，连接，当的最小值为时，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【分析】
根据中位线定理可得出点P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2=CE．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD=2：1，设AB=2t，则AD=t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=t，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．
∴∠DP2P1=90°．
∴∠DP1P2=45°．
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1=BC=t，
∴BP1=t=，
∴t=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
29．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB＝6，BE：EC＝4：1，则线段DE的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．2
C．4
D．2
【答案】D
【分析】
由翻折易得△DFE≌△DC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E，则DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，再由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA；则AE＝AD，设CE＝x，从而表示出BE，AE，再由勾股定理，求得DE．
【详解】
解：由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC．
由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE，
∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，
∴DF＝AB，∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠B，
由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，
在△ABE与△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∵BE：CE＝4：1，
∴设CE＝x，BE＝4x，则AD＝BC＝5x，
由△ABE≌△DFA，得AF＝BE＝4x，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF＝3x，
又∵DF＝CD＝AB＝6，
∴x＝2，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的内容．【版权所有：21教育】
30．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意过点C作CE⊥y轴于点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前8次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第100次旋转结束时，点C的坐标．
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OA＝OB＝1，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝，
∴CE＝BE＝2，
∴OE＝OB＋BE＝3，
∴C（﹣2，3），
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，
则第2次旋转结束时，点C的坐标为（3，2）；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（2，﹣3）；
则第6次旋转结束时，点C的坐标为（﹣3，﹣2）；
则第8次旋转结束时，点C的坐标为（﹣2，3）；
…
发现规律：旋转8次一个循环，
∴100÷8＝12…4，
则第100次旋转结束时，点C的坐标为（2，﹣3）．
故选：B．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转?规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律并总结规律．
31．如图，E是平行四边形边延长线上一点，且，连接、、．若，则四边形是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】B
【分析】
由平行四边形的性质得到，继而证得四边形是平行四边形，再证得，根据矩形的判定即可证得是矩形．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是矩形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定证得四边形BCED是平行四边形是解决问题的关键.
32．如图，点是矩形边上一动点，它从点出发，沿路径匀速运动到点．已知点是边的中点，，．设的面积为，点的路程为，则与之间函数关系的图象大致为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】A
【分析】
分段列出函数解析式，根据解析式的特征，画出函数图像，结合图像一一排查即可．
【详解】
解：∵的面积为，点的路程为，，．
当点P在AB上时，即，底为PB=2-x，高为BC长，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当点P在BC上时，即，底为BP=x-2,高为EC=1，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当点P在CE上时，即，底为PE=6-x,高为BC=3，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当点P在DE上时，底为PE=x-6,高为BC=3，即，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
函数解析式为，
列表
x
…
0
1
2
3
5
6
7
…
y
…
3
1.5
0
0.5
1.5
0
1.5
…
在平面直角坐标系中描点，
连线绘制函数图像的图像
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵每段函数都是一次函数，图像为直线形可排除B、D，
根据取值范围和图像可排除C，
正确的函数图像为A．
故选择：A．
【点睛】
本题考查动点图形的图像问题，矩形的性质，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用描点法画分段函数图像，掌握根据动点运动的路径，列出三角形面积函数解析式，并会求自变量取值范围，函数性质是解题关键．
33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．5
C．7
D．8
【答案】C
【分析】
连接DE，由三角形中位线定理求出DE，再根据勾股定理求出CE，角平分线的性质得出△ABE是等腰有直角三角形，求出BE，从而求出BC．
【详解】
解：连接DE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵FG＝且F、G分别为AD、AE中点，
∴DE＝2FG＝5，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝4，
在△CDE中，CE＝＝3，
∵AE平分∠BAD，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
在△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
又∵CE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4+3＝7．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出DE的长度是解题的关键．
34．如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点在上，将矩形纸片沿直线折叠，点落在点处．点恰好落在边上的点处，交于点，若，则四边形的面积等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质得，设，由勾股定理得，再证明得，由勾股定理得，可得，设由勾股定理求出，最后由四边形的面积求出结论即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，且
∴
∵
∴
设
∴
∵且
∴
∴
∴
∵∠
∴∠，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
设
∴
又
∴
解得，
∴
∵，
∴四边形的面积
故选：D
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用矩形的性质与勾股定理等其它知识有机结合．【来源：21·世纪·教育·网】
35．在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．由题意易证，从而证明ME为中位线，即，故判断B正确；又易证，从而证明D为BG中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出，故判断C正确；由、和可证明．再由、和可推出
，即推出，即，故判断D正确；假设，可推出，即可推出．由于无法确定的大小，故不一定成立，故可判断A错误．21
cnjy
com
【详解】
如图，设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD是的平分线，，，
∴HC=HF，
∴AF=AC．
∴在和中，，
∴，
∴，∠AEC=∠AEF=90°，
∴C、E、F三点共线，
∴点E为CF中点．
∵M为BC中点，
∴ME为中位线，
∴，故B正确，不符合题意；
∵在和中，，
∴，
∴，即D为BG中点．
∵在中，，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵AD是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
∵假设，
∴，
∴在中，．
∵无法确定的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
36．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H．连接．若平分，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【详解】
如解图，过点B作于点M．由旋转的性质得，∴．∵，∴．∴．∵，，∴，∴．∵，，，∴．∴．∴．故①正确；∵，∴．故②正确；∴．故④正确；∵平分，∴．∵，∴．∵，∴．故③错误．综上所述，正确的结论有3个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
37．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④AB＝HF，其中正确的有（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE＝AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，求出∠ADE＝∠AED＝∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，判断出③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°?45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°?45°?67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵∠AHB＝（180°?45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，
∴∠OHE＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠OHD＝90°?67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°?45°＝22.5°，
∴∠OHD＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°?67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
38．如图，将矩形纸片的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，则边的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】B
【分析】
利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形为矩形，那么由折叠可得的长即为边BC的长．
【详解】
解：
，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
同理可得：，
四边形为矩形，
，，
，
在和中
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形为矩形是解题关键．
39．如图，在矩形中，，，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【详解】
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵，
∴AB?h=AB?AD，
∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE=，
即PA+PB的最小值为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
40．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（
）cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】
解：如图1中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠3，
由翻折的性质可知：∠1=∠2，BM=MB′，
∴∠2=∠3，
∴MB′=NB′，
∵（cm），
∴（cm）．
如图2中，当点M与A重合时，
同理可得：AE=EN，
设AE=EN=x
cm，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在Rt△ADE中，则有，解得x=，
∴（cm），
如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′=5-1-2=2（cm），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，
DB′（即DE″）（cm），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴点E的运动轨迹E→E′→E″，
运动路径（cm）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题
41．如图，AD是等腰的底边BC上的高，点O是AC的中点，延长DO到点E，使，连接CE.
（1）四边形ADCE的形状为________；
（2）若，，则四边形ADCE的面积为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】矩形
120
【详解】
（1）∵点O是AC的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰的底边BC上的高，
∴，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）∵，，，
∴，由勾股定理得，
∴
故答案为：矩形；120.
42．如图①，在矩形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，点E是边AD上动点，点F是边BC上动点，连接EF，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，记为点G；如图②，把矩形展开铺平，连接BE，FG．
（1）四边形BEGF的形状是________；
（2）若矩形边，，则四边形BEGF面积的最大值为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】菱形
20
【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，∵把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵，∴四边形BEGF是菱形；（2）由（1）知四边形BEGF是菱形，∴，∵，∴当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，当时，EG最大，∵，∴，∴，∴四边形BEGF面积的最大值为21cnjy.com
43．如图，在正六边形中，对角线交、于M，N，对角线交、于P、H，对角线交、于G、Q，则______；若，则________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
12
【详解】
∵六边形为正六边形，
∴每个内角都是，，且上述6个三角形均为底角为的等腰三角形，
∴，
∴，易得为等腰三角形，
∴．易得为等边三角形
∴．
∵，
∴．如图，连接、，
∵，
∴．
∴四边形为矩形，．同理可得．
∵．
∴四边形为矩形．
∴．
∴．
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
44．如图，，E为线段上一点，将矩形沿翻折，点B、C的对应点分别为点、．若恰好经过点D，则线段的长是____________；
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【答案】
【详解】
∵四边形为矩形，∴．由折叠的性质可知，，，，，∴在中，，∴．设，则，在中，，即，解得，即．
45．如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【详解】
根据折叠的性质可知，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．又∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．
三、解答题
46．如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，连接．
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（1）证明：；
（2）若矩形的周长为18，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可得，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴，．
∴，
∴，
∴的周长是．
47．已知一张平行四边形纸片，，，，将沿方向平移得到，连接、，当平移距离为时，请你判断四边形的形状，并说明理由．
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【答案】矩形，理由见解析
【详解】
解：四边形为矩形．
证明：由平移的性质易得四边形是平行四边形．
，，，
．
在中，．
在中，，，
，
．
∴四边形为矩形．
48．如图①是一个含30°角的直角三角板和矩形纸片，点E，F恰好分别于点C，B重合．如图②，将绕点D顺时针旋转，使点F落在边的延长线上，连接，请写出四边形的形状，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】平行四边形，理由见解析
【详解】
解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵点F在的延长线上，
，，
∵四边形是矩形，
，，
，
，
∴四边形为平行四边形．
49．如图①，将矩形纸片对折并展开，折痕为，连接、；在图①的基础上，折叠矩形使点A落在上的点P处，点C落在上的点Q处，折痕分别为、，如图②；将图②展开，连接、分别交、于点G、H，如图③．请直接写出四边形的形状，并说明理由．
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【答案】平行四边形，见解析
【详解】
解：四边形为平行四边形．
理由如下：∵四边形是矩形，
，
，，
由折叠可知E、F分别为AD、的中点，
，
易得，
，
由折叠可知，，
，
在和中，
，
，，
，即，
在和中，
，
，
∴四边形是平行四边形．
50．如图，在矩形中，把矩形绕点旋转得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
（1）如图①，求证：．
（2）如图②，连接，若平分，则满足2倍关系的线段有几对?写出这几对线段，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图①
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图②
【答案】（1）见解析；（2）满足2倍关系的线段有4对，分别是和和和和，见解析
【详解】
（1）证明：如解图，过点作于点，连接．
∵把矩形绕点旋转得到矩形，
．
．
，
．
．
在与中，
．
．
．
在与中，
．
．
，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）解：满足2倍关系的线段有4对，分别是和和和和．
理由：由（1）得，
，
．
，
．
平分，
，
是等腰直角三角形．
，
．
设，
．
在中，，
，
解得，
．
51．如图，在中，点、分别是边，的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
证明：（1）∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵点、分别为、的中点，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
即，
∴是矩形．
52．如图，矩形中，，，在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．
（1）过作，垂足为，用含的式子表示：______，______；
（2）当时，判断是否是直角三角形，并说明理由；
（3）当时，求的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1），；（2）不是，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据矩形的性质可得，再根据矩形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得；
（2）如图（见解析），先在（1）的基础上可得，再在和中，利用勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）如图（见解析），先根据矩形的性质、平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：（1）由题意得：，
矩形中，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：，；
（2）当时，不是直角三角形，理由如下：
如图，过作，垂足为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当时，，，
，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴不是直角三角形；
（3）如图，过作，垂足为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
当时，则，
，
在中，，即，
解得．
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
53．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】
（1）证明：如解图，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵E为的中点，
∴，
由折叠性质得，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由折叠性质得，
∵，
∴，
在中，
∵，，，
∴．
54．已知，如图1，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助性的情况下，请直接写出长度等于的所有线段．
【答案】（1）见解析；（2）长度等于的所有线段是，，，，．
【分析】
（1）先证△CDE≌△FAE（ASA），得CD=FA，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD=BC=CD=BD，则BD=FA，且BD∥FA，即可得出结论；
（2）证△ABC、△ACD、△ABD都是等腰直角三角形，得AD=CD=AC=AB=BD，再由菱形的性质得AF=BF=AD=BD=AC即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠CDE=∠FAE，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
在△CDE和△FAE中，
，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD=FA，
∵∠CAB=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BC=CD=BD，
∴BD=FA，且BD∥FA，
∴四边形ADBF是平行四边形，
又∵AD=BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF，理由如下：
∵CE=BE，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴△ABC、△ACD、△ABD都是等腰直角三角形，
∴AD=CD=AC=AB=BD，
由（1）得：四边形ADBF是菱形，
∴AF=BF=AD=BD=AC，
即长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
55．如图，已知点是中边的中点，连接
并延长交的延长线于点，连接，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为4，求四边形的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证，得，再由，证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，即可求解．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是中边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形的面积．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
56．在一些几何问题中直接求证或求解有些困难，若能正确添加辅助线，问题就迎刃而解了．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，是的中位线．
求证：________________________________．
证明：如图1，在中，延长到点F，使得，连接．请继续完成证明过程．
（2）如图2在矩形中，，E为边的中点，G为边上的点，且，，求矩形的面积．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用“SAS”证明△ADE和△CEF全
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF,然后判断四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得；
（2）先判断出，进而判断出EC垂直平分GH，再用勾股定理，即可得出结论．
【详解】
（1）填：,
证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE,连接CF；
在△ADE和△CFE中：
∴
,
∴∠A=∠ECF,AD=CF,
∴
,
又∵AD=BD,
∴CF=BD,
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴;
（2）如图，延长GE,CD交于一点H，
∵E为AD中点，
∴AE=ED,且∠A=∠EDH=90°，
在和中，
∴(ASA),
∴,
∵∠GEC=90°，
∴CE垂直平分GH,
∴GC=HC=DH+CD=4,
在Rt△GBC中，已知GC=4,GB=CD-AG=3-1=2,
∴,
∴矩形面积=
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是判断出EF垂直平分GH．
57．在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）cm
【分析】
（1）由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；
（2）连接交于点，设，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解．
【详解】
解：（1）四边形是平行四边形．
证明：，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图1，连接交于点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
四边形为矩形，
，
设，则，
，
在中，，
，解得：，
cm．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
58．如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，由“AAS”可证△ABO≌△ECO，可得AO＝EO；21
cnjy
com
（2）先证明四边形ABEC是平行四边形，再证明OA=OC，即可得四边形ABEC是矩形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，
∵点O是边BC的中点，
∴BO＝CO，
∴△ABO≌△ECO（AAS），
∴；
（2）四边形ABEC是矩形，理由如下：
∵，BO＝CO，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵
∴∠DAC=∠OCA，
∵，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OA=OC，
∴OA=OC=OB=OE，即：AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，证明△ABO≌△ECO是本题的关键．
59．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1），
，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
60．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若OE＝2，求AB的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ADCE为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝CO，
又∵OE＝OD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：∵四边形ADCE为矩形，
∴OE＝AO＝2，
∵点O是AC中点，
∴AO＝2，AC＝4，
又∵AB＝AC，
∴AB＝4．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质．熟记各个性质是解题的关键．
61．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，
，点是的中点，过点作，交
于点．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求
的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为10．
【分析】
（1）根据四边形是平行四边形，点是的中点，可得是
的中位线，则有，，可证四边形
是平行四边形，根据，，可得，可证得四边形
是矩形；www-2-1-cnjy-com
（2）根据，，可得，则有，根据可求出结果．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
，点是的中点，
是的中位线．
，
．
，，
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是矩形．
（2）解：，
，
．
．
在中，，由勾股定理可得，
．
故的长为10．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，中位线等知识；熟悉相关性质是解题的关键．
62．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以为对角线的长方形（顶点字母按逆时针顺序），且面积为6，点、在小正方形的顶点上；
（3）连接，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图，即为所求作．
（2）如图，矩形即为所求作．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）．
【点睛】
本题考查作图应用与设计，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
63．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB=3，BC=5，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）在直角三角形ACB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，E是斜边BC的中点，可得AE
=
CE；由AD∥BC，AE∥DC可得四边形AECD是平行四边形；再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可完成本题的证明；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形ACB中，由勾股定理可得AC
=
4，再根据等积法易得AG=；S菱形AECD
=
CD·EF
=
CE·AG，而CD
=
CE，从而可得EF
=
AG，即可得出本题答案．
【详解】
（1）∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE
=BC
=
CE，
又∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
∴四边形AECD是菱形．
（2）过点A作AG⊥BC于点G
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在直角三角形ACB中，
，
，
∵AB=3，BC=5，
∴AG=；
又∵S菱形AECD
=
CD·EF
=
CE·AG，CD
=
CE，
∴EF
=
AG
=
．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定定理，直角三角形斜边中线的性质以及利用等积法求多边形边长的有关知识．
64．已知平行四边形，若M，N是BD上点，且，，求证：四边形是矩形．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，证明O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A=OC,OM=ON，故MN=2MO，结合已知，证明AC=MN，从而利用对角线互相平分且相等的三角形是矩形，证明即可2-1-c-n-j-y
【详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，灵活选择矩形的判定定理证明是解题的关键．
65．如图，已知矩形中，E是上一点，F是上的一点，，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，矩形的周长为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）7cm
【分析】
（1）根据矩形的每一个角都是直角求出∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出AEF=∠ECD，然后利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，再根据矩形ABCD的周长为38cm，即可求得AE的长．
【详解】
解：（1）证明：∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
（2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE．
∴AE=CD．
∴AD=AE+5．
又∵矩形ABCD的周长为38cm，
∴2（AE+AE+5）=38cm．
∴AE=7cm．
答：AE的长为7cm．
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．
66．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15；
（2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______；
（3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，AE=，BF=；（3）见解析
【分析】
（1）如图1中，根据平行四边形的定义，画出第为5，高为3的平行四边形即可．
（2）如图2中，根据菱形的判定画出图形即可．
（3）根据矩形的定义画出图形即可．
【详解】
解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求．
（2）如图2中，菱形ABEF即为所求．AE=，
BF=；
（3）如图3中，矩形ABMN即为所求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，勾股定理，菱形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
67．在的方格纸中，点，，都在格点上，按要求画图（保留作图痕迹）：
（1）在图1中找一点，使点在线段上，且；
（2）在图2中找一格点，使180°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）先作线段AB的垂线，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行作图；
（2）分别作AB、AC的垂线，然后交于一点，则问题即可求解．
【详解】
解：（1）作AB的垂线，构造直角三角形斜边中线，如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由直角三角形斜边中线定理可得AD=BD，则有；
（2）分别作AB、AC的垂线，然后交于一点，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴，
∴，
∴，则点E即为所求．
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边中线定理、垂线及中线的作法，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、垂线及中线的作法是解题的关键．
68．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）请用尺规作图过点C作CE⊥AB，垂足为点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）利用垂线的性质作图；
（2）先证明四边形ABCD是菱形，得到OB＝OD＝BD，利用勾股定理求出OA=4，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求得答案．
【详解】
解：（1）如图，线段CE即为所求；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
；
（2）∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD＝CD，
又∵AD＝AB，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝2，
∴OA＝＝4，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC
＝OA＝4．
【点睛】
此题考查作图——垂线，菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟记各定理是解题的关键．
69．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AE＝DF．
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【答案】见解析
【分析】
根据矩形的性质得到OA＝OC＝OB＝OD，再根据AE⊥BD，DF⊥AC得出∠AEO＝∠DFO，从而证明出△AOE≌△DOF即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，熟练运用全等三角形的判定进行证明．
70．如图，四边形为菱形，延长使得，延长使得，延长使得，延长使得，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）猜想：四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
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【答案】（1）见详解；（2）四边形是矩形，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得PM=NQ，PMNQ，进而可得BM=ND，然后问题可求证；
（2）由题意易证△BNM≌△NCD，∠BNM=90°，进而可得∠C=90°，然后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵四边形为菱形，
∴PM=NQ，BMND，
∵，，
∴BM=ND，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴BMND，BM=ND，ADBC，
∴∠NBM=∠CND，
∵，
∴△BNM≌△NCD（SAS），
∴，
∵，DM=BN,
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴由三角形内角和可得，即，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定、菱形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
71．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）写出点C的坐标；当运动2秒时，求的面积．
（2）在整个运动过程中，是否
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)存在这样的t，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出t的值，若不存在，请改变点P的运动速度，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形，求出此时点P的速度．
（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）C，；（2）不存在，点P的速度为每秒个单位；（3）s或8s
【分析】
（1）利用平行四边形的性质可得点C坐标，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA．QE即可得到的面积．
（2）画出以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形时的图像，求出此时点P和点Q运动的时间，再判断，从而求出点P应有的速度；
（3）当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=6，BC∥OA，
∵B，
∴C，
如图，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵A（6，0），B，
∴OA=6，OF=10，BF=，
∴AF=10-6=4，AB==8，
当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠BAF=∠COA=60°，
∵QE⊥AE，
∴∠AEQ=90°，
∴AE=AQ=2，
∴EQ==，
∴S△PAQ=?PA?EQ=×4×=；
（2）如果以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形，如图，
此时OP=4，则t=4，
AB+BQ=8+4=12，则t=6，
∴不存在这样的t，
若改变点P的运动速度，则为；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）如图，当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
∴|14-2t|=|t-6|，
解得t=或8，
∴t为s或8s时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
72．如图1，已知，，点为边上一点，过点作于点，连接，点为的中点，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）线段与的数量关系为_____________；
（2）将绕点逆时针旋转60°，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在平面内，将绕点旋转，当点落在边上，若，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解；
（2）分别取的中点，连接，根据中位线的性质及全等三角形的判定定理证明，故可求解；
（3）依题意作图，分别求出EF，AF，再得到BF的长，
再证明，求出BH的长，进而得到FH的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴△BCE和△FEC是直角三角形
∵点为的中点
∴BG=，
∴，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
如图，分别取的中点，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，∴
∵
分别是的中点，
∴，
∵是中点，是中点，
∴；同理，
∴
∵
∴，∴，
∴，同理，即
∴
∴；
（3）依题意作图，∵∠EAF=30°，EF⊥AF，
∴EF=，AF=
同理∠CAB=30°，AB⊥BC
∴AC=2BC=16，AB=
∴BF=AB-AF=
∵EF⊥AB，AB⊥BC
∴
∴
∵点为的中点，
∴CG=EG
又
∴
∴CH=EF=2，FG=HG
∴BH=BC-CH=6
∴FH=
∵G点是FH中点
∴BG=．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题主要考查三角形的几何证明，解题的关键是全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理、勾股定理及含30°的直角三角形的性质．
73．已知是等边三角形，，将一块含有30°角的直角三角板如图所示放置，让等边向右平移（只能在上移动）．如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角板的斜边上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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（1）若点平移到与点重合，求等边平移的距离；
（2）在等边向右平移的过程中，，与三角板斜边的交点分别为，，连接交于点，如图2
①求证：；
②若，求的长；
③判断的长度在等边平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）6；（2）①见解析；②；③不变，3
【分析】
（1）就是刚开始时点与的距离；
（2）①作于点，于点，证明即可；②此时是等腰三角形，作于点，由（1）知，，从而，自然求出；③由于前面已经证明了，从而有，则，．
【详解】
解：（1）等边未平移时，如图1，
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∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：点平移到与点重合时，等边平移的距离为6；
（2）①作于点，于点，如图2，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由（1）知，
∴是矩形，
∴，
∵
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如图3，作于点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴；
③不变．如图2，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
，
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含有30°角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，灵活证明三角形的全等，构造三角形中位线定理是解题的关键．
74．在中，
，点分别是边的中点，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
（2）如图2，当时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或
【分析】
（1）连接DE，则当α=60°
可得△AEF≌△DEG，从而得到AF=DG；
（2）与（1）同理可得△AEF≌△DEG，从而得到解答；
（3）分F位于A点右侧时和F位于A点左侧两种情况讨论．
【详解】
解：（1）如图，连接DE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵α=60°，CA=CB，
∴AC=AB，
∵点分别是边的中点，
∴DE∥BC且DE=BC，
∴AE=DE且∠AED=60°，
又∠FEG=α=60°，
∴∠AED=∠FEG，
∴∠AED+∠DEF=∠FEG+∠DEF，
即∠AEF=∠DEG，
又AE=ED，FE=EG，
∴△AEF≌△DEG，
∴；
（2）成立．
证明：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
连结，
由题意得，
∵
∴是等腰直角三角形
∵点分别是边的中点
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∴
∴
（3）①如图，当F位于A点右侧时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由（2）∠ADE=45°，∠EDG=∠EAF=45°，
∴GD⊥AB，
连接CD，因为CA=CA，所以CD⊥AB，
∴G、C、D共线，
在△ABC中，由勾股定理可得AB=4，
∴CD=，
∴CG=DG-CD=AF-CD=4-；
②如图，F位于A点左侧时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵CD=AD，
∴∠CDE=∠DEG+∠G=∠FEA+∠F=45°，
同理可得C、D、G三点共线，CG⊥AB，CG=CD+DG=4+，
∴或．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用是解题关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
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第02讲
矩形的性质与判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝5，点E为射线CD上一动点，△BCE沿BE折叠，得到ΔBFE，若∠FDE＝90°，则CE的长为（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．11
C．12
D．13
3．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口空
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．2
C．1
D．0
4．折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（
）
A．
B．2
C．
D．4
5．如图，在矩形中，分别是的中点，若，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．
C．
D．
6．下列命题是真命题的是（
）．
A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B．正六边形的每一个内角为
C．有一个角是的三角形是等边三角形
D．对角线相等的四边形是矩形
7．如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点E，若，则图中阴影部分的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．14
B．18
C．24
D．28
8．如图，在矩形中，，点E在边上，连接，若平分，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D的对应点为与交于点F，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12
B．10
C．8
D．6
10．如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M和点N，作直线MN交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则CD长为（　　）
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A．4
B．3
C．2.5
D．2.4
11．如图，在矩形ABCD中，AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C
恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（
）
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A．1
B．
C．
D．
12．如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
13．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点，若，
，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．4
C．3
D．2.5
14．如图，矩形纸片中，，是上一点，连结，沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为．若，则的值为（
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A．
B．
C．
D．
15．如图，矩形ABCD中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB=12，点E是AD上的一点，AE=6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．12.5
B．12
C．10
D．10.5
16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
17．如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（
）21cnjy.com
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A．
B．
C．
D．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，
将此长方形折叠，使点B与点D重合，则折痕为EF的长为（
）www-2-1-cnjy-com
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A．cm
B．cm
C．4cm
D．cm
19．如图，矩形ABCD对角线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．9.6
C．4.8
D．2.4
20．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为（
）21·世纪
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A．或2
B．
C．或2
D．
21．如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（
）
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A．
B．
C．
D．
22．如图，在△ABC中，∠BAC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．2.5
C．4.8
D．2.4
23．在平面直角坐标系中，矩形的对角线轴，若点B在第一象限，则对角线与的交点M的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
24．如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使与点重合，折痕为，那么折痕的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．3
C．
D．
25．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点．若，则的长为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
26．如图，在矩形中，点F为边上一点，过F作交边于点E，P为边上一点，交线段于H，交线段于Q，连接．当时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
27．已知，如图，矩形中，．将矩形沿对折，使点A和点C重合，则折痕的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．5
D．10
28．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一个动点，点为的中点，连接，当的最小值为时，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．6
29．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB＝6，BE：EC＝4：1，则线段DE的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．2
C．4
D．2
30．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
31．如图，E是平行四边形边延长线上一点，且，连接、、．若，则四边形是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
32．如图，点是矩形边上一动点，它从点出发，沿路径匀速运动到点．已知点是边的中点，，．设的面积为，点的路程为，则与之间函数关系的图象大致为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．5
C．7
D．8
34．如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点在上，将矩形纸片沿直线折叠，点落在点处．点恰好落在边上的点处，交于点，若，则四边形的面积等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
35．在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
36．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接交于点H．连接．若平分，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
37．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④AB＝HF，其中正确的有（　　）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
38．如图，将矩形纸片的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，则边的长是（
）
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A．4
B．5
C．8
D．10
39．如图，在矩形中，，，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和的最小值为（
）
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A．
B．
C．
D．
40．如图，有一张矩形纸条ABCD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（
）cm．
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A．
B．
C．
D．
二、填空题
41．如图，AD是等腰的底边BC上的高，点O是AC的中点，延长DO到点E，使，连接CE.
（1）四边形ADCE的形状为________；
（2）若，，则四边形ADCE的面积为__________．
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42．如图①，在矩形ABCD中，点E是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边AD上动点，点F是边BC上动点，连接EF，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，记为点G；如图②，把矩形展开铺平，连接BE，FG．
（1）四边形BEGF的形状是________；
（2）若矩形边，，则四边形BEGF面积的最大值为________．
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43．如图，在正六边形中，对角线交、于M，N，对角线交、于P、H，对角线交、于G、Q，则______；若，则________．
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44．如图，，E为线段上一点，将矩形沿翻折，点B、C的对应点分别为点、．若恰好经过点D，则线段的长是____________；21
cnjy
com
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45．如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则________．
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三、解答题
46．如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，连接．
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（1）证明：；
（2）若矩形的周长为18，求的周长．
47．已知一张平行四边形纸片，，，，将沿方向平移得到，连接、，当平移距离为时，请你判断四边形的形状，并说明理由．
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48．如图①是一个含30°角的直角三角板和矩形纸片，点E，F恰好分别于点C，B重合．如图②，将绕点D顺时针旋转，使点F落在边的延长线上，连接，请写出四边形的形状，并说明理由．
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49．如图①，将矩形纸片对折并展开，折痕为，连接、；在图①的基础上，折叠矩形使点A落在上的点P处，点C落在上的点Q处，折痕分别为、，如图②；将图②展开，连接、分别交、于点G、H，如图③．请直接写出四边形的形状，并说明理由．
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50．如图，在矩形中，把矩形绕点旋转得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
（1）如图①，求证：．
（2）如图②，连接，若平分，则满足2倍关系的线段有几对?写出这几对线段，并说明理由．
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图①
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图②
51．如图，在中，点、分别是边，的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
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（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为矩形．
52．如图，矩形中，，，在上，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒．【版权所有：21教育】
（1）过作，垂足为，用含的式子表示：______，______；
（2）当时，判断是否是直角三角形，并说明理由；
（3）当时，求的值．
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53．如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长．
54．已知，如图1，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助性的情况下，请直接写出长度等于的所有线段．
55．如图，已知点是中边的中点，连接
并延长交的延长线于点，连接，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为4，求四边形的面积．
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56．在一些几何问题中直接求证或求解有些困难，若能正确添加辅助线，问题就迎刃而解了．
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（1）证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，是的中位线．
求证：________________________________．
证明：如图1，在中，延长到点F，使得，连接．请继续完成证明过程．
（2）如图2在矩形中，，E为边的中点，G为边上的点，且，，求矩形的面积．
57．在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．21教育名师原创作品
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（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
58．如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，且．
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（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
59．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
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60．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若OE＝2，求AB的长．
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61．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，
，点是的中点，过点作，交
于点．www.21-cn-jy.com
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（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求
的长．
62．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
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（1）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以为对角线的长方形（顶点字母按逆时针顺序），且面积为6，点、在小正方形的顶点上；
（3）连接，直接写出的长．
63．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
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（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB=3，BC=5，求EF的长．
64．已知平行四边形，若M，N是BD上点，且，，求证：四边形是矩形．
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65．如图，已知矩形中，E是上一点，F是上的一点，，且．
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（1）求证：．
（2）若，矩形的周长为，求的长．
66．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上．
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（1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15；
（2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______；
（3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上．
67．在的方格纸中，点，，都在格点上，按要求画图（保留作图痕迹）：
（1）在图1中找一点，使点在线段上，且；
（2）在图2中找一格点，使180°．
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68．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）请用尺规作图过点C作CE⊥AB，垂足为点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
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69．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AE＝DF．【来源：21cnj
y.co
m】
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70．如图，四边形为菱形，延长使得，延长使得，延长使得，延长使得，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）猜想：四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
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71．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（）．2-1-c-n-j-y
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（1）写出点C的坐标；当运动2秒时，求的面积．
（2）在整个运动过程中，是否
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)存在这样的t，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出t的值，若不存在，请改变点P的运动速度，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形，求出此时点P的速度．【来源：21·世纪·教育·网】
（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
72．如图1，已知，，点为边上一点，过点作于点，连接，点为的中点，连接．
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（1）线段与的数量关系为_____________；
（2）将绕点逆时针旋转60°，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；2·1·c·n·j·y
（3）在平面内，将绕点旋转，当点落在边上，若，请直接写出的长．
73．已知是等边三角形，，将一块含有30°角的直角三角板如图所示放置，让等边向右平移（只能在上移动）．如图1，当点与点重合时，点恰好落在三角板的斜边上．
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（1）若点平移到与点重合，求等边平移的距离；
（2）在等边向右平移的过程中，，与三角板斜边的交点分别为，，连接交于点，如图2
①求证：；
②若，求的长；
③判断的长度在等边平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出的长；如果变化，请说明理由．
74．在中，
，点分别是边的中点，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
（2）如图2，当时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长．
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精品试卷·第
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2
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