中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲
平行线分线段成比例
【提升训练】
一、单选题
1．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．如图，在中，E，F，G依次是对角线上的四等分点，连结并延长交于点M，连结并延长交于点H．若，的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．7
D．8
3．如图：分别以Rt△ABC的直角边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC＝EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO＝BC；⑤∠EAD＝120°．其中正确结论的个数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，现有一等腰直角三角形的腰长为4，，将沿折叠，使的顶点恰好落在边的中点处，则线段的长度为（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
5．如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，给出结论：①；②；③；④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．②③④
B．①②③
C．①③④
D．①②④
6．如图，已知点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，，，则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
7．如图，⊙O为Rt△ABC内切圆，∠C＝90°，AO延长线交BC于D点，若AC＝4，CD＝1，则BD的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．1
C．
D．
8．如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
9．如图，AC是?ABCD的对角线，点E是AB的延长线上的一点，连接DE，分别交BC，AC于点F，G，则下列式子一定正确的是（ ）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
10．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
11．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
12．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝4，AE＝10，BF＝，则DF的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．10
C．3
D．
13．如图，直线，若，，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．10
C．3
D．
14．如图，，射线和互相垂直，点D是上的一个动点，点E在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点C．设，，则y关于x的函数解析式是（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
15．如图，直线，则（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
16．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，则＝( )【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．1
17．如图，在中，点在边上，连接点在边上，过点作交于点，过点作，交于点则下列式子一定正确的是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
18．如图，点、、分别是的边、、上的点，若，，则下列比例式一定成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
19．如图，在中，，，下列结论正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
20．如图，，若，则的值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．
D．3
21．如图，，，若，则CE的长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．
D．5
22．如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于（
）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
23．如图，，若，则与的关系是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
25．如图，，，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
26．如图，直线，直线被所截得的两条线段分别为，直线被所截得的两条线段分别为，若，，，则的长为（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.6
B．1.2
C．2.4
D．3.6
27．如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．9
28．如图，在中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列式子一定正确的是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
29．有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
30．如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④
二、填空题
31．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
32．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
34．如图，与的边，分别相交于，两点，且．若，，则等于______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
35．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
36．已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求的值；
37．如图，AD平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，求BD的长．
38．如图，已知△ABC中，AB＝8，AC＝6．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：
①作∠CAB的角平分线交BC于点E；
②作线段AE的垂直平分线分别交AB、AC于点D、F．
（2）连接DE、EF，求四边形ADEF的周长．
39．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC、AC上，BE平分ABC，DE∥BA，如果CE=24，AE=26，AB=45，求DE和CD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
40．如图，点是边上一点，连接，过上点作，交于点，过点作交于点，已知，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的长；
（2）若，在上述条件和结论下，求的长．
41．如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
42．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM．
（1）求证：CF=EF；
（2）求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
43．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
44．如图，在中，点D，E分别在，的边上，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
45．如图，已知点在的边上，且，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
46．如图，梯形中，∥，对角线、交于点，∥交延长线与，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
47．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值．21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
48．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
49．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
50．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
51．如图，点D，E，F分别在ABC的各边上，且DEBC，DFAC，若，BF6，则DE的长为多少？21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
52．如图，在中，平分，，，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
53．如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点、、和点、、，如果，，，求的长．21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
54．如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N，
求证：＝．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
55．如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
56．D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，BD=2，AE=6，求AC的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
57．在平面直角坐标中，OA＝4，OB＝8，直线y＝﹣2x+b交x轴和y轴于点D、E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若＝，试求b的值；
（3）若＝，求b的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
58．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，的平分线交轴于点，过点作的垂线交于点．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求出点的坐标；
（2）动点从点出发，沿折线的方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，到终点停止，设点的运动时间为的面积为求出与的关系式；
（3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
59．[感知]如图①，在?ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；
[应用]如图②，在四边形ABCD中，AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝
．
[拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，，BD，CE相交于点F，则＝
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
60．如图1，在等边中，，点D是直线上一点，在射线上取一点E，使，以为边作等边，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若点D是的中点，则__________，_________；
（2）如图2，连接，当点D由中点向点C运动时，请判断和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点D在延长线上，连接，当时，求的长．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲
平行线分线段成比例
【提升训练】
一、单选题
1．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【详解】
解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
2．如图，在中，E，F，G依次是对角线上的四等分点，连结并延长交于点M，连结并延长交于点H．若，的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】
根据AD∥BC，得到，根据四等分点和MG得到CG，可得MC=MF=4，再证明可得HF，可得MH．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
∵E，F，G依次是对角线BD上的四等分点，MG=1，
∴，
∴CG=3，
∴MF=MC=MG+CG=4，
∵AD∥BC，
∴，
∴HF=4，
∴MH=MF+HF=8，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例式．
3．如图：分别以Rt△ABC的直角边AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC＝EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO＝BC；⑤∠EAD＝120°．其中正确结论的个数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
由等边三角形的性质可得A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F＝BC，由“HL”可证△AFE≌△BCA，可得AC＝EF，即可判断①成立，由平行四边形的判定可证四边形ADFE是平行四边形，即可判断②成立，由“SSS”可证△ADF≌△CAB可判断③不成立，由平行线分线段成比例可判断④成立，由等边三角形的性质可判断⑤不成立．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF，
故①正确；
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
故②正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF＝AB，AE∥DF，
又∵AF＝BC，AD＝AC，
∴△ADF≌△CAB（SSS），
∴△ABC与△ADO不全等，
故③错误；
∵∠BAC＝30°，
∴2OF=AF，
∵AF＝BC，
∴BC＝2OF，
故④正确；
∵∠EAD＝∠BAE+∠BAC+∠CAD＝150°，
故⑤错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质是解题的关键．21
cnjy
com
4．如图，现有一等腰直角三角形的腰长为4，，将沿折叠，使的顶点恰好落在边的中点处，则线段的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接，交MN于点O，可得AB∥MN，根据平行线分线段定理，可得MN是三角形的中位线，进而即可求解．
【详解】
解：连接，交MN于点O，
∵等腰直角三角形中，的顶点恰好落在边的中点处，
∴⊥AB，⊥MN，，
∴AB∥MN，
∴AM=CM，CN=BN，
∴MN是三角形的中位线，
∵等腰直角三角形的腰长为4，，
∴AB=4，
∴=2．
故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，折叠的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5．如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，给出结论：①；②；③；④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．②③④
B．①②③
C．①③④
D．①②④
【答案】D
【分析】
延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE=EH，由直角三角形的性质可得AE=EF=EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF=270°，可得∠ADF=135°，可判断②；由垂线段最短，可得当CF⊥DF时，CF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF的最小值，可判断④；由连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，由梯形中位线定理可求PE=（AM+CD），由“AAS”可证△APE≌△ENF，可得AP=NE=AD，即可求AM=2DG=，可判断③，即可求解．
【详解】
解：如图，延长交的延长线于点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，
，故①正确；
，
，，
，
，
，
，故②正确；
如图，连接，过点作于点，过点作于，交于，连接，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，，
四边形是矩形，
，，
，
点在上运动，
当时，有最小值，
，，
的最小值，故④正确；
，，，
，
，
，
是梯形的中位线，
，
，，
，
，，
，，
，
又，，
，
，
，
，
，
，故③错误；
故选：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．如图，已知点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，，，则下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例依次判断可求解．
【详解】
解：∵DE∥AC，
∴BD：AD=BE：EC，A正确；
∵EF//AB，
∴EF：AB=CF：CA，B正确；
∵DF∥BC不一定成立，
∴AD：AF=BD：CF不一定成立，C错误；
∵DE//AC，
∴DE：AC=BD：AB，
∴DE：BD=AC：AB，D正确；
故选C．
【点睛】
本题考查平行线分线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键
．
7．如图，⊙O为Rt△ABC内切圆，∠C＝90°，AO延长线交BC于D点，若AC＝4，CD＝1，则BD的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】
设⊙O与Rt△ABC的切点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为E，F，G，连接OE，OF，OG，OC，OB，利用已知易证四边形OGCE为正方形，利用OE//BC，得出比例式，进而求出圆的半径，在利用角平分线的性质得出AB：BD＝4，最后利用直角三角形的内切圆的半径的关系列出关于BD的方程即可求解．
【详解】
解：如图，设⊙O与Rt△ABC的切点为E，F，G，
连接OE，OF，OG，OC，OB．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵⊙O为Rt△ABC内切圆，切点为E，F，G，
∴AE＝AF，CE＝CG，BF＝BG，
∵AC切⊙O于E，BC切⊙O于G，
∴OE⊥AC，OG⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OGCE为矩形，
∵OE＝OG，
∴矩形OGCE为正方形，
设圆的半径为x，则AE＝4﹣x，
∵OE//CD，
∴
∴
∴，
∵O是△ABC的内心，
∴OC平分∠ACB,
∴,
∴BO平分∠ABC,
∴,
设BD＝a，则AB＝4a,
∵AE＝AF，CE＝CG，BF＝BG，
∴CE＝EC＝，
∴，
∴a＝，
即BD＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质、平行线分线段成比例、切线的性质、直角三角形的内切圆与内心等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．【来源：21cnj
y.co
m】
8．如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
做DG∥BE，交AC于点G，得到AE=EG，，问题得解．
【详解】
解：如图，做DG∥BE，交AC于点G，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
∴AE=EG，
∵，
DG∥BE，
∴，
∴．
故选：B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．
9．如图，AC是?ABCD的对角线，点E是AB的延长线上的一点，连接DE，分别交BC，AC于点F，G，则下列式子一定正确的是（ ）．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，抓住其中的两个基本图形：“A”字型图形和“8”字型图形，列比例判断即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴AD∥CF，
∴，
∴选项A错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AE，CD=AB，
∴，
∴，
∴选项B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥BE，
∴，
∴选项C错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥BE，
∴，
∴选项D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，准确写出比例式是解题的关键．
10．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据同圆的半径相等可知，点C在半径为1的上运动，取OD=OA，根据三角形的中位线定理知，点C在BD与的交点时，OM最小，在DB的延长线与的交点时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而确定中点M的坐标即可．
【详解】
解：∵点C在坐标平面内，BC=1，
∴C在半径为1的上，
如图所示，取，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM为△ACD的中位线，
∴，
当OM最大时，即CD最大，
此时D，B，C三点共线，
∵，∠BOD=90°，
∴BD=2，
∴CD=2+1=3，
作CE⊥x轴于E点，
∵CE∥OB，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∵M是AC的中点，
∴，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等，确定OM最大时动点C的位置关系是解题关键．
11．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
直接利用平行线分线段成比例定理分别分析得出答案．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴＝，＝，故选项A错误；
∵DF∥AC，
∴＝，可得选项C错误；
可得：＝＝，故选项B错误，
＝＝，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确得出比例式是解题关键．
12．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝4，AE＝10，BF＝，则DF的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．10
C．3
D．
【答案】A
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论．
【详解】
解：∵AC＝4，AE＝10，
∴CE＝6，
∵直线AB∥CD∥EF，
∴，
即，
∴DF＝4.5，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
13．如图，直线，若，，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．10
C．3
D．
【答案】A
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线得出比例式．
14．如图，，射线和互相垂直，点D是上的一个动点，点E在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点C．设，，则y关于x的函数解析式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．
【详解】
解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y-3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即，
∴，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线分线段成比例，辅助线的做法是解题的关键．
15．如图，直线，则（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例，依次对各选项进行判断即可．
【详解】
解：∵，
∴，B选项错误，不符合题意；
，C选项错误，不符合题意；
，D选项正确，符合题意；
无法确定A选项是否正确，故A选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
16．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，则＝( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】
先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】
解：∵，
∴，
∵a∥b∥c，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
17．如图，在中，点在边上，连接点在边上，过点作交于点，过点作，交于点则下列式子一定正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质对选项逐一判断即可.
【详解】
A．∵，∴根据平行线分线段成比例的性质得，∵，∴A选项错误；
B．∵，∴根据平行线分线段成比例的性质得，同理，∴根据平行线分线段成比例的性质得，∵，∴B选项错误；21世纪教育网版权所有
C．∵，∴根据平行线分线段成比例的性质得，同理，∴根据平行线分线段成比例的性质得，∵，∴C选项错误；
D．∵，∴根据平行线分线段成比例的性质得，同理，∴根据平行线分线段成比例的性质得，∴，∴D选项正确；
故选D.
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的比例性质，解题的关键是通过平行线找到对应的线段比例关系.
18．如图，点、、分别是的边、、上的点，若，，则下列比例式一定成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据平行可得，，再根据平行四边形的性质得EF=BD即可．
【详解】
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∵，，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴EF=BD,
∴,
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线列出恰当的比例式，再结合平行四边形性质进行推理．
19．如图，在中，，，下列结论正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【详解】
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
20．如图，，若，则的值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】
由BF=3DF，得BD=2DF，使用平行线分线段成比例定理计算即可.
【详解】
∵BF=3DF，
∴BD=2DF，
∵，
∴=，
∴==2，
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.
21．如图，，，若，则CE的长是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．2
C．
D．5
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，变形已知比例式，为计算需要的比例式，代入计算即可．
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴CE=5，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据已知，结合定理，把已知比例式变形为计算需要的比例式是解题的关键．21教育网
22．如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由可得BC：AC=3：5，根据平行线分线段成比例定理即可得答案．
【详解】
∵，
∴BC：AC=3：5，
∵，直线，分别交，，于点、、和、、，
∴，
∵EF=15，
∴DF=25．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握定理是解题关键．
23．如图，，若，则与的关系是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到EG＝3GC，进而得出结论．
【详解】
∵DE∥FG∥BC，DF＝3FB，
∴=3，
∴EG＝3GC，
∴EC＝4GC，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
24．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
连接AF交于点G，根据平行线分线段成比例，得出和，则，即可求出结果．
【详解】
解：如图，连接AF交于点G，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质．
25．如图，，，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
过点G作交BC于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由得到，，进而可得，，即可得．
【详解】
解：过点G作交BC于F，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
26．如图，直线，直线被所截得的两条线段分别为，直线被所截得的两条线段分别为，若，，，则的长为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.6
B．1.2
C．2.4
D．3.6
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可．
【详解】
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵CD=1，DE=2，FG=1.2，
∴，
∴GH=2.4，
经检验：是原方程的解且符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
27．如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．4
D．9
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】
解：∵ED∥BC，
∴
，
即，
∴AE＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
28．如图，在中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列式子一定正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质判断选项的正确性．
【详解】
解：∵，
∴，故A错误，
∵，
∴，故B错误，
∵，
∴，即，故C错误，
∵，，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
29．有一种有趣的读数法：如图，在图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．
【详解】
解：如图所示，过C点分别向OA、OB作垂线，垂足分别为点D、点E，
因为∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，
∴OE=CE=CD=OD,
设OE=CE=CD=OD=x,
∴BE=6-x，
∵CE∥OA，
∴,
∴，
∴，
∵OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,
∴点C处的标度等于CD的长，即为，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．【版权所有：21教育】
30．如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④
【答案】B
【分析】
过A作AI⊥BC垂足为I，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
【详解】
解：如图1,
过A作AI⊥BC垂足为I
∵是边长为1的等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=
∴AI=
∴S△ABC=,故①正确；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图2，当D与C重合时
∵∠DBE=30°，是等边三角形
∴∠DBE=∠ABE=30°
∴DE=AE=
∵GE//BD
∴
∴BG=
∵GF//BD,BG//DF
∴HF=BG=,故②正确；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN
∵∠3=30°
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°
∴∠NBE=∠3=30°
又∵BD=BN，BE=BE
∴△NBE≌△DBE（SAS）
∴NE=DE
延长EA到P使AP=CD=AN
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°
∴△ANP为等边三角形
∴∠P=60°，NP=AP=CD
如果AE+CD=DE成立，则PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图1，当AE=CD时，
∵GE//BC
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE
同理：CH=CD
∴AG=CH
∵BG//FH,GF//BH
∴四边形BHFG是平行四边形
∵BG=BH
∴四边形BHFG为菱形，故④正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．21教育名师原创作品
二、填空题
31．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
过E点作交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由得到,由于AD=CD，则，然后利用平行线分线段成比例定理得到的值.
【详解】
过E点作交BD于点H，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴，
∵BE＝3EC，
∴，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴，
∵，
∴.
故答案为.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
32．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离=
EQ与CD之间的距离+BQ．
【详解】
解：过点E作EQ⊥BM，则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
根据图1图形EQ与CD之间的距离=
由勾股定理得：，解得：；
，解得：
∵
∴
∵EQ⊥BM，
∴
∴
∴之间的距离=
EQ与CD之间的距离+BQ
故答案为．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．【出处：21教育名师】
33．如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】3
【分析】
利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度．
【详解】
由翻折可知
∴O是的中点，
∵点D为边BC的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，三角形的中位
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
34．如图，与的边，分别相交于，两点，且．若，，则等于______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】8
【分析】
根据平行线分线段成比例定理及比的性质求解．
【详解】
解：∵DE//BC
，
∴，
∴BC=，
故答案为8．
【点睛】
本题考查平行线分线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理及比的性质是解题关键．
35．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】3.6
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．
【详解】
解：∵a∥b∥c，
∴，
即，
∴DE＝3.6，
故答案为：3.6．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键．
三、解答题
36．已知：正方形中，为边中点，为边中点，交于，交于，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）求的值；
【答案】（1）见解析；（2）6：4：5
【分析】
（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）分别求出、、即可解决问题；
【详解】
解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
．
（2），，
，
，
在中，，，
，
，
同法可得，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．www.21-cn-jy.com
37．如图，AD平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：．
（2）若，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【分析】
（1）根据AD平分，，，可得，，利用，易证，即有；
（2）根据，，可得，即是等腰直角三角形，得到，利用，根据平行线的性质有，即有：．
【详解】
解：（1）∵AD平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴
（2）∵
∴
又∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴,
即有：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，平行线分线段成比例等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
38．如图，已知△ABC中，AB＝8，AC＝6．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：
①作∠CAB的角平分线交BC于点E；
②作线段AE的垂直平分线分别交AB、AC于点D、F．
（2）连接DE、EF，求四边形ADEF的周长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】
（1）①②根据要求作出图形即可．
（2）先判定四边形ADEF是菱形，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】
解：（1）①如图，射线即为所求作．
②如图，直线即为所求作．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）由作图可知：AF=EF，
AD=ED，∠EAF=∠EAD，∠
AOF=∠AOD=90°，
∵AO=AO，
∴△AOF≌△AOD（ASA），
∴AF=AD，
∴四边形是菱形，设边长为．
，
，
，
，
四边形的周长为．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，菱形的判定和性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21·世纪
教育网
39．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC、AC上，BE平分ABC，DE∥BA，如果CE=24，AE=26，AB=45，求DE和CD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】，
【分析】
根据平行线截线段成比例的性质求解．
【详解】
解：∵DE∥BA，
即
∵DE∥BA，
∴∠ABE=∠DEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵DE∥BA，
即
【点睛】
本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线截线段成比例定理是解题关键．
40．如图，点是边上一点，连接，过上点作，交于点，过点作交于点，已知，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的长；
（2）若，在上述条件和结论下，求的长．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）由，推出，由，推出，可得结论．
（2）在和中，由，推出，可得结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
41．如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；
（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB=DC，∠ADC=90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．
【详解】
证明：（1）如图1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
在和中，∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴平行四边形是菱形
（2）如图2，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
【点睛】
本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键．
42．如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：CF=EF；
（2）求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析．
【分析】
（1）证∠FCE=∠FEC即可；
（2）证△EMF≌△FOC，再通过平行列比例式，通过线段相等进行代换即可．
【详解】
（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
∠FCE=∠BCO+∠FCO=45°+∠FCO，
∠FEC=∠B+∠EFM=45°+∠EFM，
∵∠FCO=∠EFM，
∴∠FCE=∠FEC，
∴CF=EF；
（2）∵EM⊥AB，
∴∠EMF=∠COF=90°，
∵EF=CF，∠FCO=∠EFM，
∴△EMF≌△FOC，
∴FM=OC=OB，
∵EM∥CO，
∴，
∵EM∥NO，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用相关知识，整合已知条件，进行推理证明．
43．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】
解：∵a∥b∥c，AB＝3，BC＝5，DE＝4，
∴，即，
解得，EF，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
44．如图，在中，点D，E分别在，的边上，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】6．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
45．如图，已知点在的边上，且，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析．
【分析】
根据得到，再根据得到，再根据平行四边形的性质得到，即可求解；
【详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例，结合平行四边形的性质证明是解题的关键．
46．如图，梯形中，∥，对角线、交于点，∥交延长线与，求证：．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析．
【分析】
通过∥可得到，再根据∥可得到，从而得到答案；
【详解】
证明：∵∥，
∴，
又∵∥，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例，准确证明是解题的关键．
47．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】的值为．
【分析】
首先延长FE交DA的延长线于点P，由四边形A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BCD是平行四边形，即可得AD∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可得AE=BE，继而可得AP=BF，又由CF=3BF，即可求出结论．
【详解】
解：延长FE交DA的延长线于点P．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴．
∵AE=BE，
∴，即PA=BF．
又∵AD∥BC，
∴．
而AD=BC，CF=3BF，
∴AD=BC=4BF，
∴PD=5BF，
∴．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．2·1·c·n·j·y
48．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】的值为．
【分析】
作DH∥AC交BE于H，如图，根据平行线分线段成比例，由DH∥CE得到，则CE=2DH，由DH∥AE得到，则AE=DH，然后计算AE：EC的值．
【详解】
解：作DH∥AC交BE于H，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵DH∥CE，
∴，
∴CE=2DH，
∵DH∥AE，
∴，
∴AE=DH，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．
49．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）11
【分析】
（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
50．如图，在中，点、分别在、上，，若，，，求AD的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】AD=4
【分析】
设AD=x，则，根据平行线分线段成比例定理可得关于x的方程，解方程即可求出答案．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴，
设AD=x，则，
∴，
解得：x=4或﹣4（舍去），
即AD=4．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理和简单的一元二次方程的解法，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
51．如图，点D，E，F分别在ABC的各边上，且DEBC，DFAC，若，BF6，则DE的长为多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】3
【分析】
先判断四边形DECF为平行四边形得到DE=CF，再利用平行线分线段成比例，由DE//BC得到，然后利用比例性质得到，从而可得到DE的长．
【详解】
解：∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE=CF，
∵DE//BC，
∴，
∵AE：EC=1：2，
∴AE：AC=1：3，
∴，
∴DE=3．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例性质．
52．如图，在中，平分，，，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】10
【分析】
根据平行线分线段成比例的知识求出AE，EC，然后判断ED=EC，即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴
又∵，
∴，．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
此题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握此定理是解答此题的关键．
53．如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点、、和点、、，如果，，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】7.5
【分析】
根据平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】
∵，
∴，即，
解得，
∴．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段的书写顺序是解答的关键．
54．如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N，
求证：＝．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
由DN∥AF可得：，，结合FB＝FC即可证明．
【详解】
证明：∵直线DN∥AF，
∴＝，＝，
∵在△ABC中，AF是BC边上的中线，
∴FB＝FC，
∴＝．
【点睛】
根据平行线分线段成比例定理和三角形中线的定义，熟练应用平行线分线段成比例是解答本题的关键.
55．如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，求的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理可得，即，解得．
【详解】
解：∵，
∴
∵，，
∴
解得．
【点睛】
此题主要考查平行线分线段成比例，正确理解定理是解题关键．
56．D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，BD=2，AE=6，求AC的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理可得比例式，然后求解即可．
【详解】
解：，，
．
，
．
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并准确识图准确确定出对应相等是解题的关键．
57．在平面直角坐标中，OA＝4，OB＝8，直线y＝﹣2x+b交x轴和y轴于点D、E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若＝，试求b的值；
（3）若＝，求b的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）b＝7；（3）b＝．
【分析】
（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入即可解决问题．
（2）根据题意求出点C坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）想办法用b表示点C坐标，代入直线AB的解析式即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵OA＝4，OB＝8，
∴A（0，4），B（8，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则有解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（2）如图，作CM⊥OB于M，CN⊥OD于N．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵CNOB，CMOA，，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，＝，
∴CN＝2，CM＝3，
∴点C坐标为（2，3），
把点C代入y＝﹣2x+b，得3＝﹣4+b，
∴b＝7．
（3）∵直线y＝﹣2x+b交x轴和y轴于点D、E，
∴D（0，b），E（，0），
∵CNOE，CMOD，，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，＝，
∴CN＝，CM＝，
∴C（，），把点C坐标代入y＝﹣x+4得到，＝﹣+4，
∴b＝．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质、平行线分线段成比例等内容，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
58．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，的平分线交轴于点，过点作的垂线交于点．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求出点的坐标；
（2）动点从点出发，沿折线的方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，到终点停止，设点的运动时间为的面积为求出与的关系式；
（3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①当时，；②当时，
；③当时，；（3）存在，满足条件的点的坐标为或或
【分析】
（1）根据已知条件求出点的坐标分别为，证明，得到根据勾股定理可得到结果．
（2）根据t得取值范围分三部分求解，分别得出相关的式子．
（3）根据平行条件可得，得到，根据Q点的位置不同分类讨论即可．
【详解】
解：直线分别交轴、轴于两点，
点的坐标分别为．
，
，
设则．
在中，
在中，
．
当时，
当时，
；
当时，
存在．满足条件的点的坐标为或或
如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
当四边形是平行四边形时，．
当四边形是平行四边形时，，
可得
当四边形是平行四边形时，，
可得．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合应用，结合三角形全等、勾股定理、平行四边形的知识点进行求解是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
59．[感知]如图①，在?ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；
[应用]如图②，在四边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝
．
[拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，，BD，CE相交于点F，则＝
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）．
【分析】
（1）通过证△DEF≌△CEB，然后结合?ABCD的性质可以得到所证结论成立；
（2）与（1）同理可得△DEF≌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△CEB，从而有DF=BC，结合已知可以证得四边形DFCB是菱形，所以可得DF=BD，由勾股定理可得BD=5，最后即可得到AF=8；
（3）过A作AG∥EC交BD延长线于G，则与（1）同理可得AG=FC，再由平行线分线段成比例可得，最后根据可以得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵?ABCD，
∴AF∥BC，AD=BC，
∴∠F=∠EBC，
∴在△DEF和△CEB中，
∴△DEF≌△CEB，
∴BE=EF，DF=BC=AD，
∴点E是BF的中点，点D是AF的中点；
（2）与（1）同理可得△DEF≌△CEB，
∴DF=BC，
又由已知可得DF∥BC，
∴四边形DFCB是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴四边形DFCB是菱形，
∴DF=BD，
∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD=5，
∴AF=AD+DF=3+5=8，
故答案为8；
（3）如图，过A作AG∥EC交BD延长线于G，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
与（1）同理可得△ADG≌△CDF，
∴AG=FC，
∵AG∥EF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定与应用，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)熟练掌握构造辅助线证三角形全等的方法、三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、及类比的思维方法是解题关键
．
60．如图1，在等边中，，点D是直线上一点，在射线上取一点E，使，以为边作等边，连接．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若点D是的中点，则__________，_________；
（2）如图2，连接，当点D由中点向点C运动时，请判断和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点D在延长线上，连接，当时，求的长．
【答案】（1）；；（2），见解析；（3）
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠BDC=90°，CD=1，再利用勾股定理得出AE=AD=，从而得出DE的长，继而根据勾股定理即可得出EC的长；
（2）根据SAS得出即可得出结论；
（3）根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，再根据勾股定理即可得出结论
【详解】
解：∵等边，点D是的中点，
∴CD=，∠BDC=90°，
∴，
∵等边，且AD=AE，
∴DE=2，
∴；
（2）
∵在等边和等边中，
∴
∴
∴
∴
（3）∵
∴，
又∵等边
∴
∴是直角三角形，，
∴
又∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关的知识是本题的关键．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
