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第02讲
用频率估计概率
【基础训练】
一、单选题
1．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（
）
A．25
B．20
C．15
D．10
【答案】B
【分析】
由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小．
【详解】
由题意可得，
解得．
经检验：a=20是原方程的根且符合题意
故选B．
【点睛】
本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键
2．在一个不透明的袋子里装有红球，黄球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)共60个，这些球除颜色外其他都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．9
B．15
C．18
D．24
【答案】B
【分析】
先根据摸出红球的频率稳定在0.25左右，估算摸到红球的概率为0.25，即可估算出红球的个数．
【详解】
解：∵摸出红球的频率稳定在0.25左右，
∴估计从袋中随机摸出一个小球，是红球的概率为0.25，
∴袋子中红球的个数约为60×0.25=15个．
故选：B
【点睛】
本题考查了用频率估计概率
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在大量重复试验后，事件发生的频率在某个固定数据附近摆动，根据频率稳定性原理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．在一个不透明的口袋里，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到黑球的概率约是（ ）
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
42
54
84
205
328
401
摸到黑球的频率
0.42
0.3
0.42
0.41
0.41
0.401
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
【答案】A
【分析】
根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.4左右，即为摸出黑球的概率．
【详解】
解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.4左右，
则P黑球＝0.4．
故选：A．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
4．小明将贵州健康码打印在面积为的正方形纸上，如图所示为了估计图中健康码部分的面积，在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计健康码部分的面积约为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求出正方形纸面的面积，在根据点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算可得答案．
【详解】
正方形纸面的面积为：
，
经过大量试验，发现点落入二维码部分的频率稳定在0.6左右，
二维码部分的面积约为：
故选：D．
【点睛】
本意考查的是利用频率估计
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率．
5．在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚每次换出一个球后放回，通过多次摸球实验后发现摸到黄色球的频率稳定在，则布袋中白色球的个数很可能是（
）
A．8个
B．15个
C．12个
D．16个
【答案】C
【分析】
根据利用频率估计概率得到摸到黄色球的概率为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)40%，由此得到摸到白色球的概率=1-40%=60%，然后用60%乘以总球数即可得到白色球的个数．
【详解】
解：∵摸到黄球概率为，
∴摸到白球概率为，
∴白球个数为（个）．
故选C
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
6．某服装厂对一批服装进行质量抽检结果如下：
抽取的服装数量
优等品数量
优等品的频率
则这批服装中，随机抽取一件是优等品的概率约为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
用优等品数除以抽取的服装数得到优等品的频率，即可估计随机抽取一件是优等品的概率．
【详解】
解：∵46＋89＋182＋450＋900＝1667，
50＋100＋200＋500＋1000＝1850，
1667÷1850≈0.90，
∴从这批服装中随机抽取一件是优等品的概率约为0.90，
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7．某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（ ）
A．380粒
B．400粒
C．420粒
D．500粒
【答案】D
【分析】
用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得．
【详解】
解：估计这袋黄豆约有25÷＝500（粒），
故选：D．
【点睛】
本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
8．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数
200
300
500
700
800
900
1000
发芽种子的个数
187
282
735
624
718
814
901
发芽种子的频率
0.935
0.940
0.870
0.891
0.898
0.904
0.901
有下面四个推断：
①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；
②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；
③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；
④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽．
其中正确的是（
）
A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】
①发芽率=发芽种子数除以总种子数；②频率稳定在0.9可估计概率约是0.9；③不能用特殊值代表概率；④用概率估计总体.
【详解】
①种子个数是700时，发芽种子的个数是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)624，所以种子发芽的概率大约是0.891，故错误；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1），故正确；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率，故错误；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽，故正确．其中正确的是②④，
故选D．
【点睛】
本题考查频率与概率、频率估计概率、概率估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键，难度容易.
9．在综合实践活动中，小明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次．其中哪位同学的实验相对科学( )
A．小明
B．小亮
C．小颖
D．小静
【答案】D
【分析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．
【详解】
解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的小静．
故选：．
【点睛】
考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
10．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（
）
A．0.32
B．0.55
C．0.68
D．0.87
【答案】C
【分析】
先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】
解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．www-2-1-cnjy-com
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
11．一个不透明的盒子有n个除
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)颜色外其它完全相同的小球，其中有12
个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（
）
A．20
B．30
C．40
D．50
【答案】C
【分析】
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值即可.
【详解】
根据题意得：，
解得n=40，
所以估计盒子中小球的个数为40个.
故选C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案．
【详解】
解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.25
B．0.3
C．25
D．30
【答案】B
【分析】
先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
【详解】
由图知，八年级（3）班的全体人数为：（人）
选择“5G时代”的人数为：30人
∴选择“时代”的频率是：
故选：B．
【点睛】
本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
14．在一个不透明的布袋中有红色、黑色的球共
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)10个，它们除颜色外其余完全相同．小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，则口袋中黑球的个数很可能是(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】
根据题意得出摸出黑球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．
【详解】
∵小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，
∴口袋中黑球的个数可能是10×60%＝6个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．在一次心理健康教育活动中，张
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（
）．
类型
健康
亚健康
不健康
数据（人）
32
7
1
A．32
B．7
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得测试结果为“健康”的频率是
故选：D．
【点睛】
本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解．
16．某鱼塘里养了1600
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【详解】
解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：，
∴x=2400，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴捞到鲢鱼的概率为：，
故选：D．
【点睛】
本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
17．一个不透明的盒子里装有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（
）
A．21
B．24
C．27
D．30
【答案】A
【分析】
设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%得＝30%，解方程即可求解．
【详解】
设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，
根据题意，得：＝30%，
解得：x＝21，
经检验：x＝21是分式方程的解，
∴原来盒子中白色乒乓球的个数为21个，
故选A．
【点睛】
本题考查了频率与频数的关系，熟知频率=是解决问题的关键．
18．如图，已知不透明的袋中装有红
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20
B．30
C．40
D．60
【答案】C
【分析】
由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，从而可得出现红球的概率，再利用概率公式求解红球的数量即可得到答案．21
cnjy
com
【详解】
解：由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，
所以出现红球的概率是
则袋中红球的数量为：
所以袋中红色球的数目为个，
故选：
【点睛】
本题考查的是利用频率来估计概率，再利用概率求解目标球的数量，掌握利用频率估计概率是解题的关键．
19．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得数据如下表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
）
A．200
B．300
C．500
D．800
【答案】C
【分析】
随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】
解：∵正面朝上的频率接近于0.5，
∴若抛掷硬币的次数为1000，
则“正面朝上”的频数最接近，
故选C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
20．一个盒子中装有a个白球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（
）
A．9
B．12
C．15
D．18
【答案】B
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在80%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】
解：由题意可得，×100%=80%，
解得，a=12．
故选：B．
【点睛】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
21．一个不透明的袋中装有黄、白
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两种颜色的球共30个，这些球除颜色外，其余都相同．在不倒出来的情况下，为了估计袋中两种颜色球的个数，小亮和同学们进行了多次摸球试验，统计分析后发现摸到黄球的频率稳定在0.3．由此估计袋中黄球有（
）
A．9个
B．12个
C．21个
D．24个
【答案】A
【分析】
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可．
【详解】
解：根据题意，估计袋中黄球有30×0.3=9（个），
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22．在一个不透明的布袋中装有5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0个红、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小东通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.30左右，则布袋中红球可能有（ ）
A．13个
B．15个
C．25个
D．35个
【答案】B
【分析】
根据摸到红球的频率稳定在0.30左右求解即可．
【详解】
解：由题意得
50×0.3=15个，
故选B．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
23．有颜色不同的15个红球和若干个白球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（
）
A．10个
B．16个
C．24个
D．40个
【答案】A
【分析】
设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以白球和红球的总数等于白球的频率列出等式，即可求出白球数．
【详解】
解：设袋中白球有x个，根据题意，得
解得．
所以袋中白球有10个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
24．在一个不透明的袋子中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)装有黑．白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中白球有5个，黑球有x个．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后，放回袋子中并摇匀．重复这一操作，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，则x的值为（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】C
【分析】
根据经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，可得出摸出白球的概率为0.25，根据求概率公式求解x值即可．
【详解】
解：根据题意，得，
解得：x=15，
经检验知，x=15是所列分式方程的根，
即x的值为15，
故选：C．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率、求概率公式、解分式方程，根据经过大量重复试验发现摸出白球的频率得出相应的概率及其等量关系是解答的关键．
25．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球，除颜色外完全相同，其中白球有60个．小明通过多次试验后发现，摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有（
）
A．15个
B．20个
C．25个
D．30个
【答案】B
【分析】
由频数=数据总数×频率计算即可．
【详解】
解：∵摸到红色球的频率稳定在左右，设红球有x个，
则，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解，
∴口袋中红色球可能有20个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量反复试验下频率稳定值即概率．
26．某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表：
轮数
投球数
命中数
命中率
第一轮
10
8
0.8
第二轮
15
10
0.67
第三轮
12
9
0.75
则他的投篮命中率为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】D
【分析】
根据用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确，进而分析得出即可．
【详解】
解：由于三轮投篮试验次数较少且命中率变化较大，故无法得出他的投篮命中率．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，注意随实验次数的增多，值越来越精确进而得出是解题关键．
27．为了解某市九年级男生的身高情况，随机
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（
）
组别（cm）
x≤160
160170x>180
人数
15
42
38
5
A．28500
B．17100
C．10800
D．1500
【答案】A
【分析】
先计算出样本中身高不高于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】
解：样本中身高不高于的频率，
则全市3万名男生的身高不高于180cm的人数是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，熟悉相关性质是解题的关键．
28．某种幼树在相同条件下移植试验的结果如下表:则下列说法正确的是（
）
移植总数n
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0.923
0.8829
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
A．由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902
B．由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89
C．由于表中移植总数为1500时，成活数为1335，所以当植树3000时，成活数为2670
D．从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90www.21-cn-jy.com
【答案】D
【分析】
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此判断可得．
【详解】
解：从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90，2·1·c·n·j·y
故选D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的结论是否成立．2-1-c-n-j-y
29．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的黑球和白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（
）
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
A．0.5
B．0.55
C．0.6
D．0.65
【答案】C
【分析】
根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.6左右，即为摸出白球的概率．
【详解】
解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.6左右，
则P白球=0.6．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
30．在一个不透明的容器中装有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若干个除颜色外其他都相同的黑球和白球，张伟每次摸出一个球记录下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，若布袋中白球有28个，则布袋中黑球的个数可能为（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此求解即可．
【详解】
解：∵通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，
∴设袋中有黑球个，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有7个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率和解分式方程，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题
31．一个不透明的袋子中装有4个白球和若
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球______个．
【答案】8
【分析】
根据共摸球30次，其中10次摸到白球，可知随机摸出一球，摸到白球的概率约为，可求出总球数，再求黄球个数即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：根据共摸球30次，其中10次摸到白球，可知摸到白球的概率约为，
不透明的袋子中球的个数为：（个），黄球的个数为12-4=8（个），
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，解题关键是准确理解题意，求出随机摸出一球，摸出白球的概率，进而求解．
32．某农场引进一批新菜种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取一定数量的种子进行实验．
实验结果如下表所示
：
实验的菜种数
200
500
1000
2000
10000
发芽的菜种数
193
487
983
1942
9734
发芽率
0.965
0.974
0.983
0.971
0.973
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为_________．（
精确到
0.01
）
【答案】0.97
【分析】
利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.97左右，由此可估计发芽的概率大约是0.97．
【详解】
根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.97左右，所以可估计这种大蒜发芽的机会大约是0.97．
故答案为0.97．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
33．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
46
487
2506
5008
24996
50007
根据列表，可以估计出的值是____．
【答案】12
【分析】
利用大量重复实验时，事件
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
【详解】
解∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，
∴=0.5，
解得：n=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．21教育网
34．一个不透明的箱子中装有大小形状
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)完全相同的2个红球和3个黄球，从箱子中随机摸出一球，记下颜色并放回，大量重复该试验，则摸到黄球的频率会趋向稳定为_________．
【答案】
【分析】
求出摸到黄球的概率，根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．
【详解】
解：∵一共5个球，2个红球，3个黄球，
∴摸到黄球的概率为，
∴大量重复实验后，摸到黄球频率趋向稳定为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
35．某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品的频数
93
192
380
561
752
941
1128
优等品的频率
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是______．（精确到）
【答案】0.94
【分析】
由表中数据可判断频率在0.94左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.94．
【详解】
解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.94．
故答案为：0.94．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
三、解答题
36．在不透明的口袋中装有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到0.01），黄球有 个；
（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．
摸球次数
80
180
600
1000
1500
摸到白球次数
21
46
149
251
371
摸到白球的概率
0.2625
0.256
0.2483
0.251
0.247
【答案】（1）0.25；2；（2）
【分析】
（1）根据用频率估计概率的方法即可得到结论；（2）根据列表法即可得到结论．
【详解】
解：（1）从表中可看出，随着摸球次数的增加，摸到白球的概率越来越接近0.25．
∴估计摸到白球的概率约为0.25．
∴口袋中乒乓球总数为：1÷0.25＝4．
∴黄球的个数为4﹣1﹣1＝2．
∴估计有2个黄色的乒乓球．
故答案为：0.25；2．
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列表：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴同时摸出2个球时，共有12种等可能的结果，而“一红一黄”有4种结果．
∴P（一红一黄）＝＝．
【点睛】
本题考查了估算概率和列表法或树状图求概率等知识点，熟知求概率的方法和公式是解题的基础．
37．刘老师将1个红球和若干
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次实验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近．
（1）估算袋中黄球的个数；
（2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并摇匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率．
【答案】
【详解】
略
38．在大课间活动中，同学们积极参加体
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）该班共有______名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为______°．
（4）若全校有1830名学生，请计算出“其他”部分的学生人数．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）115.2；（4）366人
【分析】
（1）用最喜欢篮球的人数除
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以它所占的百分比可得总共的学生数；
（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比，可得最喜欢足球的人数和其他的人数，即可把条形统计图补充完整；
（3）圆心角的度数=360°×它所占的百分比；
（4）首先计算出抽查的学生中“其他”所占的比例，乘以总人数1830即可．
【详解】
解：（1）（1）学生数=15÷30%=50人；
故答案为：50；
（2）最喜欢足球的人数50×18%=9，喜欢其他的人数有50-15-9-16=10人；
条形图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为：360°×=115.2°；
故答案为：115.2°；
（4）“其他”部分的学生人数：（人）
故答案为：366．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
39．新冠疫情期间，某校有“录播”和“直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
录播
5
18
14
13
直播
2
15
21
12
（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于的概率；
（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在以下的共有多少人？
【答案】（1）；（2）75人
【分析】
（1）用表格中“录播”教学方式学生参与度在50%以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（2）先根据“录播”和“直播”的人数之
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)比为3：5及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在20%以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
【详解】
解：（1）估计该生的参与度不低于的概率为；
故答案为：
（2）∵选择“录播”的学生数为，
选择“直播”的学生数为．
选择“录播”参与度在以下的学生数为，
选择“直播”参与度在以下的学生数为．
，
估计参与度均在以下的学生共有75人．
故答案为75人
【点睛】
本题考查统计与概率相关知识，熟练掌握相关计算公式是解决此题的关键
40．某个盒中装有若干枚黑棋和白棋，这些棋除
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计，从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________（精确到0.01）；
（2）若盒中有1枚黑棋与3枚白棋，某同学一次摸出两枚棋，请利用画树状图法或列表法求这两枚棋子颜色不同的概率．【版权所有：21教育】
【答案】（1）0.25；（2），见解析
【分析】
根据表中的频率故估算概率便可求解．
先写出所有的等可能结果，再找到颜色不不同的结果数，最后计算出概率．
【详解】
解：（1）根据表中重复试验的数据，黑棋的频率稳定在0.25左右，故从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率0.25．
（2）画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
由树状图可知，所有等可能结果共有12种情况，其中这两枚棋子颜色不同的结果有6种．
所以这两枚棋子颜色不同的概率为．
【点睛】
本题考查了用频率去估计概率，已经求概率的方法，属于必会基础题．
41．某商场举办抽奖活动规则如下：在不透明的袋子中有个黑球和个红球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到黑球，则获得份奖品；若摸到红球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为
．
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），请用表格法或树状图法求小芳获得份奖品的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意，布袋中有黑球2个，总球4个求摸到黑球的概率即可；
（2）第一次摸球有4种等可能结果，不放回，第二次摸球有3种等可能解果，据此解题即可．
【详解】
（1）在布袋中，任意摸出一个球，摸出是黑球的概率，
故答案为：；
（2）画树状图为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到黑球的结果数为2，
所以两次摸到黑球的概率．
【点睛】
本题考查概率、列表法与树状图法求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
42．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：
抽取件数
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
42
88
141
176
445
724
901
合格频率
0.84
0.94
0.88
0.81
0.89
（1）计算表中，的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．
（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．
【答案】（1）a＝0．88，b＝0．90，P＝0．90
；（2）其中次品大约有
200件
【分析】
（1）根据频数÷总数＝频
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)率，分别求出a、b即可，再根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，故总数为1000时所得频率即为每一件衬衣的合格率；
（2）利用一件衬衣的合格率×总数=频数，即可合格的衬衣数量，再用总量-合格的衬衣数量=次品数量．
【详解】
解：（1），
，
，
故答案为：，，．
（2）由（1）可知每一件衬衣的合格率为，
∴次品数量=，
故答案为：次品大约有200件．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率的应用，解答此题关键是估计出任取1件衬衣是次品的概率．
43．对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n
50
100
500
1000
5000
优等品数m
45
92
455
890
4500
优等品频率
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?
【答案】（1）见解析；（2）0.9
【分析】
（1）根据表格中所给的样本容量和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)频数，由频率=频数：样本容量，得出“优等品”的频率，然后填入表中即可；
（2）用频率来估计概率，频率一般都在0.9左右摆动，所以估计概率为0.9，这是概率与频率之间的关系，即用频率值来估计概率值．
【详解】
解：（1）“优等品”的频率分别为45÷5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0=0.9，92÷100=0.92，455÷500=0.91，890÷1000=0.89，4500÷5000=0.9．
填表如下：
抽取球数n
50
100
500
1000
5000
优等品数m
45
92
455
890
4500
优等品频率
0.9
0.92
0.91
0.89
0.9
（2）由于“优等品”的频率都在0.9左右摆动，故该厂生产的羽毛球“优等品”的概率约是0.9．
【点睛】
本题是一个统计问题，考查样本容量，频率和频数之间的关系，这三者可以做到知二求一，本题是一个基础题，可以作为选择题和填空题出现．
44．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近_____
(精确到0.01)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在(2)条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）0.50；0.5；（2）20个、20个；（3）10.
【分析】
（1）根据所给“频率折线图”进行分析判断即可；
（2）根据（1）中所得概率进行计算即可；
（3）设需再放入x个白球，结合（2）中结果列出方程，解此方程即可得到所求答案.
【详解】
解：(1)根据题意可得：当n足够大时，摸到白球的概率会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；21cnjy.com
(2)∵40×0.5=20，40-20=20，
∴盒子里白、黑两种颜色的球各有20个；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得：
，
解得x=10，
经检验，x=10是所列方程的根，
故需要往盒子里再放入10个白球.
【点睛】
熟悉某事件发生的概率与频率间
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的关系：“在大次数的实验中，当某事件发生的频率逐渐稳定下来，在某个常数周围作小幅波动时，我们就说这个常数是该事件发生的概率”是解答本题的关键.
45．在一个不透明的袋子中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀，在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如下折线统计图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）袋子中一共有
个球；
（2）若从该袋中同时摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据摸到红球的频率稳定在左右，可以得到摸到红球的概率，从而可以求得总的球数．
（2）利用画树状图可得答案．
【详解】
解：（1）设袋子中黑球的个数有个，则
将检验x=2是原方程的解
∴1+2+2=5
袋子里一共有个球，
故答案为：
（2）画树状图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
所有的等可能的结果有种，其中两次摸到白球的有种，
所有从该袋中同时摸出2个球，摸出的2个球都是白球的概率为：
【点睛】
本题考查的是用频率来估计概率，同时考查画树状图或列表的方法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
46．李老师将1个黑球和若干
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
21教育名师原创作品
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）=
，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是
．
（2）估算袋中白球的个数为
．
（3）在（2）的条件下，若小强同学从袋中摸出两个球，用画树状图或列表的方法计算摸出的两个球都是白球的概率．
【答案】（1）0.251，0.25；（2）3；（3）
【分析】
（1）直接利用频数÷总数=频率求出答案；
（2）设袋子中白球有个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于的分式方程，解之得出答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
（1）
，
根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25，
故答案为：
，0.25；
（2）设袋子中白球有个，
根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25可得=0.25，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴估算袋中白球的个数为3．
故答案为：3；
（3）画树状图得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
∴两次都摸出白球的概率为．
【点睛】
本题考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
47．某次数学测验中，一道题满分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
解答下列问题：
（1）m=
，n=
，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
【答案】（1）25，20；（2）或者（0.45）；（3）中档题．
【分析】
（1）根据图表得出得1分的人数，然后进行计算，即可得到m和n的值，再补全条形统计图即可；
（2）根据众数的定义得到众数，在根据得分为众数的人数，计算概率即可；
（3）根据题意可以算出L的值，从而可以判断试题的难度系数．
【详解】
解：（1）∵被调查的总人数为6÷10%=60（人），
∴得1分的人有：60-6-27-12=15（人）
∴m%=15÷60=25%
n%=12÷60=20%
∴m=25，n=20，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)；
（2）众数为2分，有27人，
∴概率为=或者（0.45）；
（3）平均数为=1.75，
L==≈0.58，
∵0.58在0.4-0.7中间，
∴这道题为中档题．
【点睛】
本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数的定义和概率的计算，掌握知识点是解题关键．
48．某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查，见下表：
抽取灯泡数
40
100
150
500
1000
1500
优等品数
36
92
145
474
950
1427
优等品频率
（1）计算表中的优等品的频率（精确到0.001）
（2）根据抽查的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率（精确到0.01）
【答案】（1）0.900，0.920，0.967，0.948，0.950，0.951；（2）0.95
【分析】
（1）根据优等品的频数除以数据的总个数即可求得优等品的频率；
（2）根据表格中的数据可以得到优等品的概率；
【详解】
(1)表中优等品的频率从左到右依次是：0.900，0.920，0.967，0.948，0.950，0.951
(2)根据求出的优等品的频率，可以知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)道，随着抽取的灯泡数的增多，优等品的频率逐渐稳定在0.95左右，由此可以估计这批灯泡优等品的概率是0.95
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用概率的知识解答．
49．某射击选手在同一条件下进行射击训练，结果如下表所示
射击次数
击中靶心次数
击中靶心频率
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）试估计这个射手射击一次，击中靶心的概率是多少？
【答案】（1）见解析；（2）击中靶心的概率约是0.90．
【分析】
（1）分别用击中靶心的次数除以射击次数，计算即可；
（2）用频率来估计概率即可．
【详解】
解：（1）从左至右依次为：，，，，，，，，；
（2）由于击中靶心的频率在0.90左右摆动，故这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.90．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
50．某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为．21·世纪
教育网
（1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共吨生活垃圾，数据统计如下图(单位：吨)：
请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率；
（2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用频率估计概率，通过计算“厨房垃圾”投放正确的百分比估计“厨房垃圾”投放正确的概率．
（2）先画树状图展示所有9种可能的结果数，再找出垃圾投放正确的结果数，然后根据概率公式计算；
【详解】
解：（1）∵
∴估计“厨房垃圾”投放正确的概率为；
画树状图如下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵共有种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为，
∴垃圾投放正确的概率为
故答案是：（1）；（2）
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，求出概率．21
cnjy
com
51．小展和小冰两位同学在学习“概率”时投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验结果如下：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
10
15
20
25
20
10
（1）计算“2点朝上”的频率和“3点朝上”的频率；
（2）小展说：“根据实验，一次实验出现4点朝上的概率是”；小展的这一说法正确吗？为什么？
【答案】（1），；（2）小展的说法不正确，理由见详解．
【分析】
（1）直接利用频率公式计算即可；
（2）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可；
【详解】
（1）“2点朝上”的频率=15÷100=，“3点朝上”的频率=20÷100=；
（2）小展的说法不正确，因为4点朝上的频率为，不能说明4点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值近似地作为该事件发生的概率．
【点睛】
本题主要考查用频率与概率的关系，掌握
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值近似地作为该事件发生的概率”，是解题的关键．
52．为了提高学生的汉字书写能力，某
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学校连续举办了几届汉字听写大赛，今年经过层层选拔，确定了参加决赛的选手，决赛的比赛规则是每正确听写出1个汉字得2分，满分是100分，下面是根据决赛的成绩绘制出的不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
请结合图表完成下列各题
（1）表中a的值为______，并把频数分布直方图补充完整；
（2）学校想利用频数分布表估计这次决赛的平均成绩，请你直接写出平均成绩；
（3）通过与去年的决赛成绩进行比较，发现今年各类人数的中位数有了显著提高，提高了15%以上，求去年各类人数的中位数最高可能是多少？
（4）想从A类学生的3名女生和2名男生中选出两人进行培训，直接写出选中1名男生和1名女生的概率是多少．
【答案】（1）13，补全频数分布直方图见解析；（2）平均成绩为78.6；（3）去年各类人数的中位数最高可能是8；（4）选中1名男生和1名女生的概率．
【分析】
（1）用E点的频数除以该组的频率得到调查的总人数，然后计算a的值，最后补全频数分布直方图；
（2）取组中值表示各组的平均数，然后根据加权平均数的计算方法求解；
（3）根据中位数的定义得到今年各类人数的中位数为10，然后计算10÷(1+15%)≈8.7，利用人数为整数确定去年各类人数的中位数最高；
（4）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出选中1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）调查的总人数为：10÷=50，
所以；
故答案为：13；
频数分布直方图为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）平均成绩=(5×55+7×65+13×75+15×85+10×95)=78.6；
（3）今年各类人数的中位数为10，
10÷(1+15%)≈8.7，
而人数为整数，今年各类人数的中位数比去年提高了15%以上，
去年各类人数的中位数最高可能是：8；
（4）画树状图为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的结果数为12，
所以选中1名男生和1名女生的概率==．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了统计图．
53．在硬地上抛掷1枚图钉，通常会出现如图两种情况：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
八（1）班张老师让同学们做抛掷图钉试验，每人抛掷1枚图钉20次，班长小明分别汇总5人、10人、15人…的试验结果，并将获得的数据填入下表：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）填空：a=，b=；
（2）补全小明根据试验数据绘制的折线统计图；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）仔细观察“抛掷图钉试验”的数据统计表和统计图，试估计“钉尖不着地”的概率是多少？
【答案】（1）0.37，240；（2）作图见解析；（3）0.61．
【分析】
（1）先由频率=频数÷试验次数算出频率；
（2）根据表格作出折线统计图即可；
（3）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪个数值，这就是概率．
【详解】
（1）a=148÷400=0.37；b=600×0.40=240．
故答案为：0.37，240；
（2）补全的折线统计图如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）通过大量试验，发现频率围绕0.39上下波动，于是可以估计概率是0.39，
所以估计“钉尖不着地”的概率是1﹣0.39=0.61．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
54．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）摸到黑球的频率会接近____________(精确到)，估计摸一次球能摸到黑球的概率是_____________；袋中黑球的个数约为_________只；
（2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在左右，则小明后来放进了____________个黑球．
【答案】（1）0.4，0.4；20；（2）25
【分析】
（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率；用总数乘以摸到黑球的频率即可得到黑球的个数；
（2）设向袋子中放入了x个黑球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
【详解】
（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.4附近，故摸到黑球的频率会接近0.4．袋中黑球的个数约为50×0.4=20(只)．
（2）设放入黑球x个，根据题意得：
0.6，
解得：x=25，
经检验：x=25是原方程的根．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键．
55．一只不透明的袋子中装有个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出个球，并计算摸出的这个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表
摸球总次数
“和为”出现的频数
“和为”出现的频率
解答下列问题：
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为”的概率是_______；21·cn·jy·com
如果摸出的这两个小球上数字之和为的概率是，那么的值可以取吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取，请写出一个符合要求的值．
【答案】（1）；（2）的值可以为其中一个．
【分析】
（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可；
（2）根据小球分别标有数字3、4、5、x，用列表法或画树状图法说明当x=7时，得出数字之和为9的概率，即可得出答案．
【详解】
（1）利用图表得出：
突验次数越大越接近实际概率，所以出现和为8的概率是0.33．
（2）当x=7时
则两个小球上数家之和为9的概率是
故x的值不可以取7．
∴出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，
∴3+x=9或4+x=9或5+x=9，
解得：x=6，x=5，x=4，故x的值可以为4，5，6其中一个．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，以及列树状图法求概率，注意甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，列出图表是解答本题的关键．
56．为增强中学生体质，篮球运球已列为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)铜陵市体育中考选考项目，某校学生不仅练习运球，还练习了投篮，下表是一名同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答问题．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
124
153
252
（1）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少？（精确到0.1）
（2）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？
【答案】（1）约0.5；（2）估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．
【分析】
（1）对于不同批次的定点投
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法；
（2）投中的次数＝投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解．
【详解】
解：（1）估计这名球员投篮一次，投中的概率约是；
（2）622×0.5＝311（次）．
故估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．
【点睛】
本题考查频率估计概率，解题的关键是掌握频率估计概率.
57．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
0.64
0.58
0.60
0.601
（1）完成上表；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是
（精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.59，0.58；（2）0.6；（3）黑球8个，白球12个．
【分析】
（1）将m和n的值分别代入求解即可得出答案；
（2）根据表中数据，取平均值即可得出答案；
（3）根据总数和摸到白球的概率求出白球的个数，再用总数减去白球的个数，即可得出答案.
【详解】
（1）填表如下：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
0.59
0.64
0.58
0.58
0.60
0.601
（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝20×0.6＝12（个），黑球20﹣12＝8（个）．
答：黑球8个，白球12个．
【点睛】
本题考查的是数据统计，难度系数较低，解题关键是用样本概率估计总体概率.
58．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近
（结果精确到0.1）；
（2）试估算口袋中黑球有
只，白球有
只；
（3）在（2）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是白球的概率．
【答案】（1）0.6；（2）2，3；（3）表格见解析，随机摸出两个球都是白球的概率为.
【分析】
（1）根据统计表中第三行的数据即可得；
（2）用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用概率公式即可求得；
（3）先利用列表列出随机摸出两个球的所有可能的结果，再找出摸出两个球都是白球的结果，最后利用概率公式计算即可得.
【详解】
（1）统计表中第三行的数据分别为：
因此，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6
故答案为：0.6；
（2）由（1）可得摸到白球的概率为0.6，设口袋中白球个数为x个
则，解得，即口袋中白球个数为3个
黑球的个数为（个）
故答案为：2，3；
（3）由题意，将这5个球依次标记为，其中W表示白球，B表示黑球.因此，两次摸球的所有可能的结果有25种，如下表所示：
第一次第二次
它们每一种结果出现的可能性相等
从表中看出，两次摸出的球都是白球的结果有9种，即
故所求的概率为.
【点睛】
本题考查了用频率估计概率、用列举法求概率，依据题意列出所有可能的结果是解题关键.
59．从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉针尖着地.也可能图钉针尖不着地，雨薇同学在相同条件下做了这个实验.并将数据记录如下：【来源：21·世纪·教育·网】
实验次数n
200
400
600
800
1000
…
针尖着地频数m
84
176
280
362
451
…
针尖着地频率
0.420
0.440
0.467
0.453
0.451
…
(1)观察针尖着地的频率是否稳定，若稳定，请写针尖着地频率的常数______(精确到0.01)；若不稳定，请说明理由.
(2)假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计图钉针尖着地的次数大约是多少.
【答案】（1）0.45；（2）4500次.
【分析】
（1）根据在相同条件下大量反复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可得出答案；
（2）在相同条件下用实验次数乘以频率即得结果.
【详解】
解：（1）由表格中的数据可知：针尖着地的频率是稳定的，针尖着地的频率是常数0.45.
故答案为：0.45；
（2）假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计图钉针尖着地的次数大约是次.
【点睛】
本题考查了用频率估计概率的知识，属于基础题型，熟知大量反复实验下频率的稳定值可估计为事件的概率是解题关键.
60．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，搅匀，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.2，求n的值；
（2）若，小明两次摸球（摸出一球后，不放回，再摸出一球），请用树状图画出小明摸球的所有结果，并求出两次摸出不同颜色球的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.2，然后利用概率公式列方程即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式求概率即可.
【详解】
解：（1）∵经过大量实验，摸到绿球的频率稳定于0.2，
∴摸到绿球的概率为0.2
∴
解得：，经检验是原方程的解.
（2）树状图如下图所示：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次摸出不同颜色球的结果共有10种，
故两次摸出不同颜色球的概率为：
【点睛】
此题考查的是利用频率估计概率、画树状图及概率公式，掌握画树状图分析结果和利用概率公式求概率是解决此题的关键.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第02讲
用频率估计概率
【基础训练】
一、单选题
1．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（
）21·世纪
教育网
A．25
B．20
C．15
D．10
2．在一个不透明的袋子里装有红球，黄
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)球共60个，这些球除颜色外其他都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．9
B．15
C．18
D．24
3．在一个不透明的口袋里，装
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到黑球的概率约是（ ）
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
42
54
84
205
328
401
摸到黑球的频率
0.42
0.3
0.42
0.41
0.41
0.401
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
4．小明将贵州健康码打印在面积为的正方形纸上，如图所示为了估计图中健康码部分的面积，在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计健康码部分的面积约为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
5．在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚每次换出一个球后放回，通过多次摸球实验后发现摸到黄色球的频率稳定在，则布袋中白色球的个数很可能是（
）
A．8个
B．15个
C．12个
D．16个
6．某服装厂对一批服装进行质量抽检结果如下：
抽取的服装数量
优等品数量
优等品的频率
则这批服装中，随机抽取一件是优等品的概率约为（
）
A．
B．
C．
D．
7．某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（ ）21教育网
A．380粒
B．400粒
C．420粒
D．500粒
8．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数
200
300
500
700
800
900
1000
发芽种子的个数
187
282
735
624
718
814
901
发芽种子的频率
0.935
0.940
0.870
0.891
0.898
0.904
0.901
有下面四个推断：
①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；
②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；21·cn·jy·com
③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；
④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽．
其中正确的是（
）
A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
9．在综合实践活动中，小明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次．其中哪位同学的实验相对科学( )
A．小明
B．小亮
C．小颖
D．小静
10．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（
）
A．0.32
B．0.55
C．0.68
D．0.87
11．一个不透明的盒子有n个除颜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)色外其它完全相同的小球，其中有12
个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（
）2-1-c-n-j-y
A．20
B．30
C．40
D．50
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（
）21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
13．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0.25
B．0.3
C．25
D．30
14．在一个不透明的布袋中有红色
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、黑色的球共10个，它们除颜色外其余完全相同．小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，则口袋中黑球的个数很可能是(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
15．在一次心理健康教育活动中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（
）．
类型
健康
亚健康
不健康
数据（人）
32
7
1
A．32
B．7
C．
D．
16．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（
）
A．
B．
C．
D．
17．一个不透明的盒子里装有若干个同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（
）
A．21
B．24
C．27
D．30
18．如图，已知不透明的袋中装有红色
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．20
B．30
C．40
D．60
19．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得数据如下表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
）
A．200
B．300
C．500
D．800
20．一个盒子中装有a个白球和3个红球（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（
）
A．9
B．12
C．15
D．18
21．一个不透明的袋中装有黄、白
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两种颜色的球共30个，这些球除颜色外，其余都相同．在不倒出来的情况下，为了估计袋中两种颜色球的个数，小亮和同学们进行了多次摸球试验，统计分析后发现摸到黄球的频率稳定在0.3．由此估计袋中黄球有（
）www.21-cn-jy.com
A．9个
B．12个
C．21个
D．24个
22．在一个不透明的布袋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中装有50个红、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小东通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.30左右，则布袋中红球可能有（ ）2·1·c·n·j·y
A．13个
B．15个
C．25个
D．35个
23．有颜色不同的15个红球和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（
）www-2-1-cnjy-com
A．10个
B．16个
C．24个
D．40个
24．在一个不透明的袋子中装有黑．白
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中白球有5个，黑球有x个．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后，放回袋子中并摇匀．重复这一操作，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，则x的值为（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
25．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球，除颜色外完全相同，其中白球有60个．小明通过多次试验后发现，摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有（
）
A．15个
B．20个
C．25个
D．30个
26．某位篮球爱好者进行了三轮投篮试验，结果如下表：
轮数
投球数
命中数
命中率
第一轮
10
8
0.8
第二轮
15
10
0.67
第三轮
12
9
0.75
则他的投篮命中率为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
27．为了解某市九年级男生的身高情
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（
）
组别（cm）
x≤160
160170x>180
人数
15
42
38
5
A．28500
B．17100
C．10800
D．1500
28．某种幼树在相同条件下移植试验的结果如下表:则下列说法正确的是（
）
移植总数n
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0.923
0.8829
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
A．由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902
B．由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89
C．由于表中移植总数为1500时，成活数为1335，所以当植树3000时，成活数为2670
D．从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.9021cnjy.com
29．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的黑球和白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（
）
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
A．0.5
B．0.55
C．0.6
D．0.65
30．在一个不透明的容器中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)装有若干个除颜色外其他都相同的黑球和白球，张伟每次摸出一个球记录下颜色后放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，若布袋中白球有28个，则布袋中黑球的个数可能为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．6
B．7
C．8
D．9
二、填空题
31．一个不透明的袋子中装有4个白球和若
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)干个黄球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，再放回，不断重复，共摸球30次，其中10次摸到白球，则估计袋子中大约有黄球______个．
32．某农场引进一批新菜种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取一定数量的种子进行实验．
实验结果如下表所示
：【出处：21教育名师】
实验的菜种数
200
500
1000
2000
10000
发芽的菜种数
193
487
983
1942
9734
发芽率
0.965
0.974
0.983
0.971
0.973
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为_________．（
精确到
0.01
）
33．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中有6个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：【版权所有：21教育】
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
摸出黑球次数
46
487
2506
5008
24996
50007
根据列表，可以估计出的值是____．
34．一个不透明的箱子中装有大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小形状完全相同的2个红球和3个黄球，从箱子中随机摸出一球，记下颜色并放回，大量重复该试验，则摸到黄球的频率会趋向稳定为_________．21教育名师原创作品
35．某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品的频数
93
192
380
561
752
941
1128
优等品的频率
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是______．（精确到）
三、解答题
36．在不透明的口袋中装有1个白色、1个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到0.01），黄球有 个；
（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．
摸球次数
80
180
600
1000
1500
摸到白球次数
21
46
149
251
371
摸到白球的概率
0.2625
0.256
0.2483
0.251
0.247
37．刘老师将1个红球和若干个黄
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次实验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近．
（1）估算袋中黄球的个数；
（2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并摇匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率．
38．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）该班共有______名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为______°．
（4）若全校有1830名学生，请计算出“其他”部分的学生人数．
39．新冠疫情期间，某校有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
录播
5
18
14
13
直播
2
15
21
12
（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于的概率；
（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在以下的共有多少人？
40．某个盒中装有若干枚黑棋和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计，从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是__________（精确到0.01）；
（2）若盒中有1枚黑棋与3枚白棋，某同学一次摸出两枚棋，请利用画树状图法或列表法求这两枚棋子颜色不同的概率．
41．某商场举办抽奖活动规则如下：在不透明的袋子中有个黑球和个红球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到黑球，则获得份奖品；若摸到红球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为
．
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），请用表格法或树状图法求小芳获得份奖品的概率．
42．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：
抽取件数
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
42
88
141
176
445
724
901
合格频率
0.84
0.94
0.88
0.81
0.89
（1）计算表中，的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．
（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．
43．对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n
50
100
500
1000
5000
优等品数m
45
92
455
890
4500
优等品频率
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?
44．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近_____
(精确到0.01)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在(2)条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
45．在一个不透明的袋子中有1个红球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀，在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如下折线统计图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）袋子中一共有
个球；
（2）若从该袋中同时摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率．
46．李老师将1个黑球和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）=
，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是
．
（2）估算袋中白球的个数为
．
（3）在（2）的条件下，若小强同学从袋中摸出两个球，用画树状图或列表的方法计算摸出的两个球都是白球的概率．21
cnjy
com
47．某次数学测验中，一道题满分3分，老师
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
解答下列问题：
（1）m=
，n=
，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
48．某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查，见下表：
抽取灯泡数
40
100
150
500
1000
1500
优等品数
36
92
145
474
950
1427
优等品频率
（1）计算表中的优等品的频率（精确到0.001）
（2）根据抽查的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率（精确到0.01）
49．某射击选手在同一条件下进行射击训练，结果如下表所示
射击次数
击中靶心次数
击中靶心频率
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）试估计这个射手射击一次，击中靶心的概率是多少？
50．某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为．21世纪教育网版权所有
（1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共吨生活垃圾，数据统计如下图(单位：吨)：
请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率；
（2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率．
51．小展和小冰两位同学在学习“概率”时投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验结果如下：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
10
15
20
25
20
10
（1）计算“2点朝上”的频率和“3点朝上”的频率；
（2）小展说：“根据实验，一次实验出现4点朝上的概率是”；小展的这一说法正确吗？为什么？
52．为了提高学生的汉字
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)书写能力，某学校连续举办了几届汉字听写大赛，今年经过层层选拔，确定了参加决赛的选手，决赛的比赛规则是每正确听写出1个汉字得2分，满分是100分，下面是根据决赛的成绩绘制出的不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
请结合图表完成下列各题
（1）表中a的值为______，并把频数分布直方图补充完整；
（2）学校想利用频数分布表估计这次决赛的平均成绩，请你直接写出平均成绩；
（3）通过与去年的决赛成绩进行比较，发现今年各类人数的中位数有了显著提高，提高了15%以上，求去年各类人数的中位数最高可能是多少？
（4）想从A类学生的3名女生和2名男生中选出两人进行培训，直接写出选中1名男生和1名女生的概率是多少．
53．在硬地上抛掷1枚图钉，通常会出现如图两种情况：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
八（1）班张老师让同学们做抛掷图钉试验，每人抛掷1枚图钉20次，班长小明分别汇总5人、10人、15人…的试验结果，并将获得的数据填入下表：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）填空：a=，b=；
（2）补全小明根据试验数据绘制的折线统计图；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）仔细观察“抛掷图钉试验”的数据统计表和统计图，试估计“钉尖不着地”的概率是多少？
54．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）摸到黑球的频率会接近____________(精确到)，估计摸一次球能摸到黑球的概率是_____________；袋中黑球的个数约为_________只；
（2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在左右，则小明后来放进了____________个黑球．
55．一只不透明的袋子中装有个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出个球，并计算摸出的这个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表
摸球总次数
“和为”出现的频数
“和为”出现的频率
解答下列问题：
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为”的概率是_______；
如果摸出的这两个小球上数字之和为的概率是，那么的值可以取吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果的值不可以取，请写出一个符合要求的值．
56．为增强中学生体质，篮球运球已
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列为铜陵市体育中考选考项目，某校学生不仅练习运球，还练习了投篮，下表是一名同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答问题．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
124
153
252
（1）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少？（精确到0.1）
（2）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？
57．在一个不透明的口袋里装有只有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
0.64
0.58
0.60
0.601
（1）完成上表；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是
（精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
58．在一个不透明的口袋里装有只有颜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近
（结果精确到0.1）；
（2）试估算口袋中黑球有
只，白球有
只；
（3）在（2）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是白球的概率．
59．从一定高度落下的图钉，落地后可能图钉针尖着地.也可能图钉针尖不着地，雨薇同学在相同条件下做了这个实验.并将数据记录如下：【来源：21cnj
y.co
m】
实验次数n
200
400
600
800
1000
…
针尖着地频数m
84
176
280
362
451
…
针尖着地频率
0.420
0.440
0.467
0.453
0.451
…
(1)观察针尖着地的频率是否稳定，若稳定，请写针尖着地频率的常数______(精确到0.01)；若不稳定，请说明理由.
(2)假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计图钉针尖着地的次数大约是多少.
60．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，搅匀，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.2，求n的值；
（2）若，小明两次摸球（摸出一球后，不放回，再摸出一球），请用树状图画出小明摸球的所有结果，并求出两次摸出不同颜色球的概率．
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精品试卷·第
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