黑龙江讷河市拉哈第一高中2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题（Word版含答案解析）

拉哈一中2021-2022学年高二上学期9月月考
数学试卷
考试时间：120分钟；
一、选择题（每题5分，共60分。1-8为单选，9-12为多选题）
1．已知是虚数单位，若复数满足，则（
）
A．1
B．
C．2
D．3
2．已知，，则与（
）
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
A．
B．
C．
D．
4．若O为坐标原点，
＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．
5．如图，已知在平行六面体中，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
7．在中，若，则的形状为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．“”是“直线与直线互相垂直”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
10．直线y＝ax＋可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知直线，则下列说法正确的是（
）
A．直线过定点
B．直线一定不与坐标轴垂直
C．直线与直线一定平行
D．直线与直线一定垂直
12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（
）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
二、填空题（每题5分，共20分）
13．直线过定点P,则P点坐标为
______.
14．过点且垂直于直线的直线方程为__________．
16．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为___________.
三、解答题（共70分）
17．（本题10分）已知的顶点.
（1）求AB边所在直线的方程；
（2）求AB边上的中线所在的直线方程。
18．（本题12分）在正方体中，已知O为中点，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量，并证明平面；
（2）求异面直线与OD夹角的余弦值.
19．（本题12分）在中，a?b?c分别是角A?B?C的对边，且．
（1）求角B的大小;
（2）若，求的面积和周长．
20．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.
（1）求与平面所成角的正弦；
（2）求点到面PBC的距离.
21．（本题12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
22．（本题12分）如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，.
（1）证明：EF⊥平面；
（2）求二面角的正弦值.
参考答案
1．B
【分析】
先求出z,再求.
【详解】
因为，
所以，
所以.
故选：B
2．A
【分析】
根据空间向量平行及垂直的坐标表示判断向量与的位置关系.
【详解】
∵
，，
又
∴
，
∴
与垂直，
又，∴与不平行，
故选：A.
3．D
【分析】
利用向量的数量积公式即可得解.
【详解】
，，，
，
又，∴与的夹角为，
故选：D．
4．D
【分析】
先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】
由题意＝
(＋)＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5．A
【分析】
根据题意得，进而根据空间向量求模即可.
【详解】
由题意可知，因为，
所以，所以．
故选：A．
6．C
【分析】
如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可
【详解】
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，所以，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离.
故选：C.
【点睛】
此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题
7．D
【分析】
利用正弦定理将已知条件边化角，再逆用二倍角正弦公式进行化简，即可求解．
【详解】
解：在中，
，
由正弦定理，得，，
，
，
，
或，
或，
为等腰三角形或直角三角形，
故选：D．
8．A
【分析】
根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．
【详解】
若，则直线和直线互相垂直，是充分条件；
若直线与直线互相垂直，则，因为m取任意实数都成立，故不是必要条件；
故选：A．
9．BC
【分析】
根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．
【详解】
解：因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确：
因为，故C正确；
又，，故D不正确．
故选：BC.
10．AB
【分析】
分类讨论和时，直线的位置．
【详解】
因为a≠0，所以C错；
当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；
当a＜0时，＜0，不过第一象限，故D错，B对．
故选：AB
11．AD
【分析】
多项选择题，一个一个选项验证：
对于A:
整理为：，判断过定点；
对于B、D：判断直线与直线的垂直，用两直线垂直的条件判断；
对于C:
用两直线平行的条件判断.
【详解】
对于A:整理为：，恒过定点(-1,0)，故A正确；
当时，直线与轴垂直，故B错误；
当时，两直线重合，故C错误；
因为，故直线与直线一定垂直，故D正确，
故选：AD.
【点睛】
（1）证明直线过定点，通常有两类：直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；
（2）若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1A2+B1
B2=0,两直线垂直；只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1，可判断两直线平行.
12．AD
【分析】
对选项A，易判断A正确.以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为，再利用向量法依次判断B，C，D即可.
【详解】
对选项A，由图知：与是异面直线，故A正确；
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体边长为，
对选项B，
，，，，
所以，，
设与所成角为，
则，
又因为，所以，故B错误.
对选项C，由题知：平面的法向量为，
因为，，
设与平面所成角为，
则，，故C错误；
对选项D，，，
设平面的法向量，
则，令得，
设平面的法向量，
则，令得，
设二面角的平面角为，
则，
又因为为锐角，所以，故D正确.
故选：AD
13．(-2,1)
14．
【分析】
由题可设垂直于直线的直线方程为，进而待定系数即可求解.
【详解】
解：设垂直于直线的直线方程为，
将点代入得，解得
所以所求方程为.
故答案为：
15．a=-1
16．.
【分析】
根据题意求得直线恒过定点，分别求得的斜率，结合图象，即可求解.
【详解】
由题意，直线可化为，可得直线恒过定点，
如图所示，
又由，可得,
结合图象可得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
17．（1）；（2）14.
【分析】
（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程；
（2）先求得点到直线的距离和，代入三角形面积公式求解.
【详解】
（1）直线的斜率为，
直线的方程为：，
即.
（2）点到直线的距离，
，
故的面积为.
18．（1），证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求出平面的基底向量，利用垂直关系即可得到平面的法向量，借助平面法向量与直线方向向量的关系，即可证明平面；
（2）写出，的坐标，根据空间向量的夹角计算公式即可得解.
【详解】
（1）证明：，，
故，，
设平面的一个法向量为，
由得，
令，则，，所以.
又，从而.
∵平面，
所以平面；
（2）解：设、分别为直线与OD的方向向量.
则由，，
得.
所以两异面直线与OD的夹角的余弦值为.
19．（1）；（2），．
【分析】
（1）由余弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求解；
（2）由面积公式即可求出面积，再利用余弦定理得出即可求出周长.
【详解】
（1）由余弦定理，得，
将上式代入，整理得，
∴，
∵角B为的内角，∴．
（2）在中，，
在中，由余弦定理，
将，
代入得，
∴，
∴，
的周长为．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）首先以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解与平面所成角的正弦即可.
（2）利用向量法求解点到面PBC的距离即可.
【详解】
（1）因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，
则
（2），，
设平面的法向量，
则，令，即，
设点到面PBC的距离为，
则
21．（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.
【分析】
（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；
（2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值；
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可
【详解】
（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，，
，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以
.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）首先根据题意易证，，再利用线面垂直的判定证明EF⊥平面即可；
（2）以为原点，分别为轴，垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解二面角即可.
【详解】
（1）因为，分别是线段，的中点，
所以，且.
在中，，则，
在中，，，，
所以，即.
又因为.
所以平面.
（2）如图所示：以为原点，分别为轴，垂直的直线为轴，
建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，即，
设平面的法向量，
则，令，即，
则，
又因为二面角为锐角，
所以二面角的正弦值为.