椭圆的简单几何性质（北师大版）
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文档简介
课堂应成为学生展示自我的舞台
——课例： 椭圆的简单几何性质（1）的分析与反思
宿州市曹村中学 马 强
课堂设计理念：
授人于鱼不如授人于渔。通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。
教学目标：
（1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：
重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略与学法指导：
教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学媒体选择与应用：
使用实物投影及多媒体辅助教学。借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。
教学过程：
一、创设情景，激发兴趣
上节课我们学习了椭圆的定义、图形和标准方程。其实椭圆在我们生活中有着广泛的应用，比如建筑学（国家大剧院、鸟巢、“神七”运行轨道）、光学、运动学等。国家大剧院、鸟巢、“神七”运行轨道等建造与设计都要运用椭圆的性质。这节课我们来共同研究椭圆的性质。请大家思考方程表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？你能发现椭圆有哪些性质吗？
学生活动过程：
情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；
情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；
情形3：方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子做图；
情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；
辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。
教师点评：
（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；
（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；
（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。
教师板书：椭圆的简单几何性质
二、问题引动，探究新知：
设置问题，学生思考：椭圆有哪些几何性质？请同学们根据
椭圆方程用代数的方法证明你得出的结论。（学生分组讨论、共同探究、教师巡
视）
【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；
实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：
学生活动过程：
情形1：变形为：
这就得到了椭圆在标准方程下的范围：
同理，我们也可以得到的范围：
情形2：可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围；
教师点评：太聪明了，你可能没有意识到，如果将a,b乘过去，就得到了，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下起可以阅读有关内容，所以说我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的要打开研究问题的思路，拓宽我们的思维角度。
谁还有其他的方法：
情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围
结论：由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里。
【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性；
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
代后方程不变，说明椭圆关于轴对称；
代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称；
、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；
问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？
辨析与研讨：代后方程不变，就是用来代换方程中的，方程不变，和关于轴对称，两点坐标都满足方程，而是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
在椭圆的标准方程中，令，得，，得
顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点
顶点坐标；，
相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,
在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方程中的就有了明显的几何意义。
设置问题：
在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？
学生探究：
表示半焦距，表示短半轴长，因此，联结顶点和焦点，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，，即；
多媒体展示特征三角形.
三、应用知识，解决问题
阅读课本例1，方程，你能从方程得到椭圆的哪些几何性质？你有什么认识？（学生口答，教师板书）
（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程画为标准方程，然后找出相应的。
利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性
（2）掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：
（1）以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；
（2）由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；
（3）用曲线将四个顶点连成一个椭圆；
（4）画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.
四、回顾反思，提炼方法：
回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识： 这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？
学生：知道了椭圆的范围、对称性、顶点；还会根据椭圆的标准方程研究椭圆的性质。
本节课我们是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？
师生共同总结：研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质：（定义域、值域、奇偶性、单调性等）本节课主要以曲线的方程为工具，利用代数的方法研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想方法。
五、课后作业：
（1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；
（2）研究的范围、对称性、顶点；
（3）课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中和的系数不相等”，因此当和的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？
附录：板书设计
8.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的标准方程：
1、范围：椭圆位于直线和所围成的矩形里。
2、对称性：椭圆关于轴、轴、原点都对称
3、顶点：顶点坐标为：，
课堂练习：
反思与评价：
课后作业：
课堂设计说明：
1、对教材的研究认识：
利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质。因此，本人在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力。同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质。
2、 课堂教学模式的设置：
自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力。数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处。因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习。
3、 课堂练习题的说明：
如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础。为了不冲淡主题，课堂教学过程中重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力。因此，在椭圆几何性质的其它课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用。
——课例： 椭圆的简单几何性质（1）的分析与反思
宿州市曹村中学 马 强
课堂设计理念：
授人于鱼不如授人于渔。通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。
教学目标：
（1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：
重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略与学法指导：
教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学媒体选择与应用：
使用实物投影及多媒体辅助教学。借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。
教学过程：
一、创设情景，激发兴趣
上节课我们学习了椭圆的定义、图形和标准方程。其实椭圆在我们生活中有着广泛的应用，比如建筑学（国家大剧院、鸟巢、“神七”运行轨道）、光学、运动学等。国家大剧院、鸟巢、“神七”运行轨道等建造与设计都要运用椭圆的性质。这节课我们来共同研究椭圆的性质。请大家思考方程表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？你能发现椭圆有哪些性质吗？
学生活动过程：
情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；
情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；
情形3：方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子做图；
情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；
辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。
教师点评：
（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；
（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；
（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。
教师板书：椭圆的简单几何性质
二、问题引动，探究新知：
设置问题，学生思考：椭圆有哪些几何性质？请同学们根据
椭圆方程用代数的方法证明你得出的结论。（学生分组讨论、共同探究、教师巡
视）
【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；
实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：
学生活动过程：
情形1：变形为：
这就得到了椭圆在标准方程下的范围：
同理，我们也可以得到的范围：
情形2：可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围；
教师点评：太聪明了，你可能没有意识到，如果将a,b乘过去，就得到了，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下起可以阅读有关内容，所以说我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的要打开研究问题的思路，拓宽我们的思维角度。
谁还有其他的方法：
情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围
结论：由椭圆方程中的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里。
【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性；
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
代后方程不变，说明椭圆关于轴对称；
代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称；
、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；
问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？
辨析与研讨：代后方程不变，就是用来代换方程中的，方程不变，和关于轴对称，两点坐标都满足方程，而是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
在椭圆的标准方程中，令，得，，得
顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点
顶点坐标；，
相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,
在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方程中的就有了明显的几何意义。
设置问题：
在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？
学生探究：
表示半焦距，表示短半轴长，因此，联结顶点和焦点，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，，即；
多媒体展示特征三角形.
三、应用知识，解决问题
阅读课本例1，方程，你能从方程得到椭圆的哪些几何性质？你有什么认识？（学生口答，教师板书）
（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程画为标准方程，然后找出相应的。
利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性
（2）掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：
（1）以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；
（2）由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；
（3）用曲线将四个顶点连成一个椭圆；
（4）画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.
四、回顾反思，提炼方法：
回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识： 这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？
学生：知道了椭圆的范围、对称性、顶点；还会根据椭圆的标准方程研究椭圆的性质。
本节课我们是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？
师生共同总结：研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质：（定义域、值域、奇偶性、单调性等）本节课主要以曲线的方程为工具，利用代数的方法研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想方法。
五、课后作业：
（1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；
（2）研究的范围、对称性、顶点；
（3）课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中和的系数不相等”，因此当和的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？
附录：板书设计
8.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的标准方程：
1、范围：椭圆位于直线和所围成的矩形里。
2、对称性：椭圆关于轴、轴、原点都对称
3、顶点：顶点坐标为：，
课堂练习：
反思与评价：
课后作业：
课堂设计说明：
1、对教材的研究认识：
利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质。因此，本人在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力。同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质。
2、 课堂教学模式的设置：
自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力。数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处。因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习。
3、 课堂练习题的说明：
如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础。为了不冲淡主题，课堂教学过程中重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力。因此，在椭圆几何性质的其它课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用。
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