24.3正多边形和圆

(共25张PPT)
24.3 正多边形和圆
A
B
C
D
E
观察下列图形他们有什么特点？
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
三条边相等，三个角相等（60度）。
四条边相等，四个角相等（900）。
正三角形
正方形
一 .正多边形定义
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。
思考: 菱形是正多边形吗 矩形是正多边形呢
菱形, 矩形都不是正多边形
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
B
C
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
得到正多边形吗
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
A
B
C
D
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
⌒
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
定理1：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正多边形.
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
为切点的⊙O的切线
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
又∵AB=BC
∴AB=BC
∴△PAB与△QBC是全等
的等腰三角形。
∴∠P=∠Q PQ=2PA
同理∠Q=∠R=∠S=∠T
QR=RS=ST=TP=2PA
⌒
⌒
A
B
C
D
E
P
Q
R
S
T
O
定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切
线的交点为顶点的多边形是这个圆的
外切正多边形.
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:
一个正多边形的
外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.
二. 正多边形有关的概念
1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_____
圆与________圆的圆心。
2. OB叫正△ABC的_____,
它是正△ABC的______圆
的半径。 　　　　　
3. OD叫作正△ABC______,
它是正△ABC的______
圆的半径。
A
B
C
　.O
D
外接
内切
半径
外接
边心距
内切
4. ∠BOC是正△ABC的________角;
中心
∠BOC=_____度; ∠BOD=_____度.
120
60
5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的____________
6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的___________
A
B
C
D
.O
E
中心
边心距
7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的________，
它是正五边形ABCDE的________圆的半径。
8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角，
它的度数是________
D
E
A
B
C
.O
F
边心距
内切
中心
72度
9、图中正六边形ABCDEF的中心角是_______;
它的度数是_________;
10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？　
B
A
E
F
C
D
.O
∠AOB
60度
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ）
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形
各边中点所得的多
边形是正六边形。
A
B
C
D
E
F
×
×
A
B
C
D
E
3.求证：正五边形的对角线相等。
证明： 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形，求证：DB=CE
E
F
C
D
.
.
O
中心角
A
B
G
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.
R
a
正n边形的一个内角的度数是____________;
中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
相等
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
三、正多边形的有关计算
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
F
A
D
E
.
.
O
B
C
r
R
P
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
F
A
D
E
.
.
O
B
C
r
R=4
P
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
四、正多边形的性质及对称性
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
它的中心就是对称中心。
1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
小结：
1、怎样的多边形是正多边形？
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
①各边相等
②各角相等
的多边形叫做正多边形。
1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心距是________
4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的内接正六边形边长为__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；边心距为________．
五.拓展练习
6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正多边形是( )
A．正三角形 B、正方形
C．正六边形 D正十二边形
7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36° B、 18°
C．72° D．54°
10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ）
A、
11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是( )
A、
六.画正多边形的方法
1.用量角器等分圆
2.尺规作图等分圆
(1) 正四、正八边形的尺规作图
(2) 正六、正三 、正十二边形的尺规作图
(3)按照一定比例,画一个停车让行的交通标
志的外缘
停
(4)用量角器作五角星；