一元一次方程的解型题宝典
山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平
一元一次方程是中考的热点．特别是一元一次方程的解更是倍受关注，特别吸引命题人的眼球，当然更吸引同学们的眼球．下面我们就一起走进2010年中考，感受一番一元一次方程的解的魅力吧！
一 以“x=a”的形式给出方程的解，探求方程中待定字母的值,表现为选择题
例1 （2010 四川泸州）若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，则m的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D.
分析: 利用方程解得定义,将未知数x用具体的数值代换,转化成关于待定字母的一元一次方程方程,解所得的新方程就得到待定字母的值.最后对应选项要看准,选准.
解:因为x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，所以2×2+3m-1=0,解得:m=-1.所以选择A.
二 以“数”的形式给出方程的解，探求方程中待定字母的值,表现为填空题
例2 （2010江苏宿迁）已知5是关于x的方程3x-2a=7的解，则a的值为 ．
分析: 利用方程解得定义,将未知数x用具体的数值代换,转化成关于待定字母的一元一次方程方程,解所得的新方程就得到待定字母的值.
解:因为5是关于x的方程3x-2a=7的解，所以3×5-2a=7,解得: a =4.所以a的值为4.
三 以“x=a”的形式给出方程的解，且待定字母与方程的解相同,探求方程中待定字母的值,表现为填空题
例3 （2010湖南怀化）已知关于x的方程3x-2m=4的解是x=m，则m的值是______．
分析: 利用方程解得定义,将未知数x用待定字母代换,转化成关于待定字母的一元一次方程方程,解所得的新方程就得到待定字母的值.
解: 因为关于x的方程3x-2m=4的解是x=m，所以3×m-2m=4,解得: m =4.所以m 的值为4.
四 以方程的形式给出,通过解方程,探求方程的解,表现为填空题
例4 （2010年福建省泉州）方程2x+8=0的解是 .
分析:熟练掌握一元一次方程解法,准确表述一元一次方程的解是解题的两个重要环节.
解:因为 2x+8=0,所以2x=-8,解得:x=-4.所以方程2x+8=0的解是x=-4.
五 以方程的形式给出,通过解方程,探求方程的解,表现为解答题
例5（2010 山东淄博） 解方程6(x-5)=-24
分析:在解题时,同学们可以根据自己的思维,结合题目的特点灵活选择解题的方法.
解法1:方程两边同时除以6,得:x－5＝－4，移项得:x＝5－4， 解得:x＝1.
解法2:去括号,得:6x－30＝－24，移项得:6x＝30－24， 合并同类项,得: 6x＝6，方程两边同时除以6,得:x＝1.直播去分母法解方程
山东沂源县徐家庄中学 ２５６１１６左效平
上一期我们直播了一元一次方程大观园，本期我们将现场直播去分母法解一元一次方程．欢迎同学们收看．直播现在开始
一、解方程，分母同，去掉分母常数乘
例１ 解方程＝２－．
温馨提示： 分母相同去分母时，各自的分子保持不变，只是要注意适当添加括号．其次，一定不要忘记，要用这个分母值去乘以原来的常数项．要谨记！
解：去分母，得（３ｘ＋２）＝１０－（２ｘ－６） ．
去括号，得 ３ｘ＋２＝１０－２ｘ＋６．
移 项，得 ３ｘ＋２ｘ＝１０＋６－２．
合并同类项，得 ５ｘ＝１４．
系数化为１，得 ｘ＝．
二、解方程，分母异，最小公倍数帮你拿主意
例２ 解方程＝４＋．
温馨提示： 分母不相同，去分母时，首先要正确找出所有分母的最小公倍数．后将方程的每一项都同时乘以这个最小公倍数．要注意适当添加括号，同时准确确定分子要扩大的倍数．其次，一定不要忘记，要用最小公倍数去乘以原来的常数项．要谨记！
解：去分母，得 ５（３ｙ－２）＝６０＋３（２ｙ＋１） ．
去括号，得 １５ｙ－３０＝６０＋６ｙ＋３．
移 项，得 １５ｙ－６ｙ＝６０＋３０＋３．
合并同类项，得 ９ｙ＝９３．
系数化为１，得 ｙ＝．
三、解方程，分母异，倍数分母是主体
例３ 解方程＝
温馨提示： 分母不相同，但是一个分母是另一个分母的倍数，去分母时，就以这个倍数分母作为最小公倍数．后将方程的每一项都同时乘以这个最小公倍数．要注意适当添加括号，同时准确确定分子要扩大的倍数．其次，一定不要忘记，要用最小公倍数去乘以原来的常数项．要谨记！
解：去分母，得－４（ｘ－３）＝（３ｘ－２） ．
去括号，得 －４ｘ＋１２＝３ｘ－２．
移 项，得 －４ｘ－３ｘ＝－２－１２．
合并同类项，得 －７ｘ＝－１４．
系数化为１，得 ｘ＝２．
同学们，今天的现场直播就到此结束．希望今天直播的内容对同学们的学习能有所帮助．请同学们继续关注我们的直播节目．下次节目再见．一元一次方程考点大观园
山东沂源县徐家庄中学 ２５６１１６ 左效平
同学们已经学习完了一元一次方程的所有内容．是不是很想知道这一章的内容是如何成考点的吧？！好，那我们就一起走进一元一次方程考点大观园游览一番吧．
考点１ 一元一次方程解的定义
例１ (2009年安顺)已知关于ｘ的方程４ｘ－３ｍ＝２的解是ｘ＝ｍ，则ｍ的值是______________．
要点提示： 根据解的定义，用这个解值代换未知数ｘ的值后，等式仍然成立．
解：因为ｘ＝ｍ是方程４ｘ－３ｍ＝２的解，所以４ｍ－３ｍ＝２，所以ｍ＝２．
考点２ 一元一次方程的解法
例２ （2009江西）方程０．２５ｘ＝１的解是 ．
要点提示：解一元一次方程是考点之一，所以同学们一定熟练掌握一元一次方程的解法．做到解得快，解得准．
解：两边同除以０．２５，得 ｘ＝４．
考点３ 根据方程解的属性求范围
例３ （2009年泸州）关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是 ．
要点提示：
１．先解出方程的解，用含ｋ的代数式表示；２．根据解的属性建立起不等式，并解之．
解：因为ｋｘ－１＝２ｘ，所以ｋｘ－２ｘ＝１，（ｋ－２）ｘ＝１，解得：ｘ＝．
因为解为正实数，所以＞0，即ｋ－２＞0，因此ｋ＞２.
考点4 速度为背景的应用题
例4 （2009柳州）一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，则再过 秒它的速度为15米/秒．
要点提示： 这里等式是这样建立起来的：初速度+增加速度=现在速度．其中增加速度＝时间×定值２米/秒．这样就看可以直接设时间为未知数就可以．
解：设再过ｘ秒物体的速度为15米/秒．根据题意，得：５＋２ｘ＝１５，解方程，得：ｘ＝５，所以再过５秒物体的速度为15米/秒．
考点５ 计算利润
例５ (2009年陕西省)一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．
要点提示：
１．成本价＋提价＝标价；２．标价×打折数＝新售价；３．售价－成本价＝利润．
理解了这三点，既轻松又获利．
解：设商品的成本价为ｘ元，根据题意，得：ｘ＋50％ｘ=450，解得：x=300，即该商品的成本价为300元．打八折后的售价为：４５０×０．８＝３６０（元），所以售出这件商品可以获利：３６０－３００＝６０（元）．
考点６ 张贴标签
例６ (2009宁夏)某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 元．
要点提示： 成本价＋提价＝标价；２．标价×打折数＝新售价；３．售价－成本价＝利润．
４．利润÷成本价＝利润率．
解：设标签上的价格为ｘ元，根据题意，得：×１００％＝５％，
解得：ｘ＝１２０，所以标签上的价格为１２０元．
考点７ 购饮料，学会正确的消费观
例７ （2009年吉林省）Ａ种饮料比Ｂ种饮料单价少1元，小峰买了2瓶Ａ种饮料和3瓶Ｂ种饮料，一共花了13元，如果设Ｂ种饮料单价为ｘ元/瓶，那么下面所列方程正确的是
（ ）
A．２（ｘ－１）＋３ｘ＝１３ B．２（ｘ＋１）＋３ｘ＝１３
C．３（ｘ＋１）＋２ｘ＝１３ D．３（ｘ－１）＋２ｘ＝１３
要点提示：
１．费用＝单价×数量；２Ａ种饮料费用＋Ｂ种饮料费用＝１３；３．Ｂ种饮料单价为ｘ元/瓶，则Ａ种饮料单价为（ｘ－１）元/瓶．
根据题意，得：３ｘ＋２（ｘ－１）＝１３.．
解：选Ａ．游览一元一次方程概念大观园
山东沂源县徐家庄中学 256116左效平
学好一元一次方程，同学们首先就要过好一元一次方程的概念关，这些是进一步学习一元一次方程的基础．下面就和同学们一起走进这些概念，学习并掌握它们．
一、概念大观园
概念1、方程：
含有未知数的等式，叫方程．
对于这个概念，同学们要注意如下几个方面：
①方程的基础是等式，通俗一点说，就是式子中必须有等号，这是等式的一个显著的外显特征．
②在等式的前提下，式子中必须要有未知数．未知数通常就是同学们所学习的26个英语字母中的一个．最常用的未知数是x、y、z．其次，同学们也要知道一个数学小常识，法国数学家笛卡尔是最早用字母表示未知数的人．我国古代常用“天元”，“地元”，“人元”，“物元”等表示未知数．
③理解好等式与方程的关系．方程一定是等式，但是等式不一定方程．关键是看等式中是否含有字母．如1+4=2+3是一个等式，但是就不是方程．3x+3，因为没有等号，所以不是等式，尽管含有字母，它也不能成为方程，只是一个代数式．3x+3=0这就是一个方程．这个特征非常的重要．
④方程中，只要求有未知数，但是，却不限制未知数的个数．如x+y+z=0就是一个含有多个未知数的方程．
概念2、 一元一次方程
只含有一个未知数，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
这里的“元”就是指未知数．
对于这个概念，同学们要注意如下几点：
①基础是方程．
②未知数的个数：未知数的个数有限制，只能是一个．
③未知数的次数：未知数的次数有限制，只能是1.
概念3、解方程
求出使方程两边相等的未知数的值．
解方程实际上就是一个计算过程．
概念4 方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
在理解时，我们注意如下几点：
①方程的解，是可变化的．
②一元一次方程只有一个解．
③用方程的解代换未知数，等式一定成立．
④解的表示方法：通常是用未知数字母后跟着等号，等号后面跟着数值的方式．
如方程x+3=5，当x等于2时，方程的左边=2+3=5，等于等号的右边，所以2是这个方程的解，就说方程x+3=5的解是x=2．
二、应用小天地
例1 下列各式是方程的是 （ ）
A +2xy B 2s-7t C 3+7=6+4 D +2=0
分析： A中虽然含有未知数， 但不含有等号，所以不是方程，这样就可以排除A；
B中虽然含有未知数，但不含有等号，所以不是方程，这样就可以排除B；
C中虽然含有等号，但不含有未知数，所以不是方程，这样就可以排除C；
D中含有等号，含有未知数，所以是方程，所以正确答案就是D了．
解：选D．
例2 下列方程是一元一次方程的是 （ ）
A2xy+1=0 B 2s-7t=0 C +4=x-1 D +2=0
分析： 一元一次方程的两个显著特点是，方程中一共有一种字母为未知数，二是这个字母的次数是1．用这个标准去评判四个选项，A选项字母未知数有两种，x和y，与定义不相符，所以A不是一元一次方程；B 选项字母未知数有两种，s和t，与定义不相符，所以B不是一元一次方程； C 选项字母未知数有1种，是x，且次数为1，与定义相符，所以C是一元一次方程； D 选项字母未知数有1种，是x，但是次数为3，与定义不相符，所以D不是一元一次方程．
解：选C．
例3 已知关于x的方程是+3=0一元一次方程，则m的相反数为 ．
分析： 因为+3=0是一元一次方程，所以x的次数一定是1，所以m=1，因此m的相反数位-1．
解：填-1
例4 已知 x=2是方程mx-4=2x的解，求m的值．
分析： 利用方程解的定义就完成问题的解答．
解：因为x=2是方程mx-4=2x的解，所以2m-4=4，所以m=4．喜羊羊用一元一次方程雕刻生活
山东沂源县第二中学 宋华 2561００
山东沂源县徐家庄中心学校 左效平 256116
喜羊羊非常热爱大自然，热爱美好的生活，下面是他用一元一次方程的画笔，在2012年中考数学大舞台上描绘的精美画卷。让我们紧随他的画笔，欣赏一番吧！
1．爱劳动，自己动手绿化家园
例１（2012年铜仁）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A．５（ｘ+２１－１）＝６（ｘ－１） B．５（ｘ+２１）＝６（ｘ－１）
C．５（ｘ+２１－１）＝６ｘ D．５（ｘ+２１）＝６ｘ
分析：解答时，同学们要清楚的问题有如下几个：
（１）问题中的等量关系：公路的长度＝公路的长度；
（２）公路长度的表示法：公路的长度＝间隔米数×间隔数；
（３）间隔数＝栽种的树苗数－１．明白了这些，方程就好布列了．
解：间隔５米时，需要的树苗数为（ｘ+２１）棵，所以间隔数为（ｘ+２１）－１，此时公路长为：５［（ｘ+２１）－１］＝５（ｘ+２１－１）米；间隔６米时，需要的树苗数为ｘ棵，所以间隔数为（ｘ－１），此时公路长为：６［ｘ－１］米；由题意得：
５（ｘ+２１－１）＝６（ｘ－１），所以选择Ａ．
２．爱自然，游览宝岛台湾
例２（2012年湘潭）湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为 ．
分析：此题体现了课标要求：在玩中学的要求．解答时，找准等量关系是解题的关键．
这里的等量关系是：缴纳总费用+余款＝计划花费．
解：设每人向旅行社缴纳x元费用，根据题意得出：20000﹣3x=5000，
故答案为：20000﹣3x=5000．
３．爱动手，用剪拼创新生活
例３ （2012年山西）图1是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3．
分析： 仔细观察图１，图２，不难发现图１中下方小正方形的边长就是图２中长方体的高，这样我们就顺利表示出长方体的长为：３０－２小正方形的边长＝３０－２×高；长方体的宽为：３０－２×小正方形的边长－宽＝３０－４×高．以宽不变为等量关系建立方程．
解：设长方体的高为xcm，则长方体的宽为30﹣4x，根据题意得：30﹣4x=2x，
解得：x=5，所以长方体的宽为10 cm，长为20cm，所以长方体的体积为：5×10×20=1000．
所以应该填1000．
４．爱和平，绿色发展找商机
例４ （2012湖南长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个．
（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？
（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？
分析：绿色发展是环保发展，只有不断引进先进的技术，才能不断推动经济又快又好发展，才能使得国家发展更快，更富裕，人民才会过上小康生活，希望同学们好好学习，将来为国家建设做出更大的贡献．
解： （1）设境外投资合作项目个数为x个，根据题意得出：2x﹣（348﹣x）=51，
解得：x=133，故省外境内投资合作项目为：348﹣133=215个．
答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个．
（2）因为境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，
所以湖南省共引进资金：133×6+215×7.5=2410.5亿元．
答：东道湖南省共引进资金2410.5亿元．
５．爱动脑，用智慧做出选择
例５ （2012无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
分析：当需要我们做出选择时，智慧就显得分外重要，特别是遇到经济问题更是如此．希望同学们好好学习，将来成为一名经济数学家，为国家的经济建设保驾护航．
（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；
（2）利用（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解．
解：（1）设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1） x+x 10%×5=0.7x
投资收益率为：×100%=70%
按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85） x+x 10%×（1﹣10%）×3=0.62x
投资收益率为×100%≈72.9%
所以投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
（2）由题意得0.7x﹣0.62x=5， 解得x=62.5万元，
所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
６．富爱心，捐资助学好美德
例６（2012年云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共件，已知捐
给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿
泉水各多少件？
分析：学校的发展离不开社会的支持，离不开企业的帮助，只要人人关心教育，教育才会健
康发展，才会培养出更多祖国建设的有用人才．
这里等量关系是：甲校的矿泉水件数+乙校的矿泉水件数＝２０００．
解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是ｘ，则捐给甲校的矿泉水件数是：２ｘ－４００，
依题意得方程：ｘ+（２ｘ－４００）＝２０００， 解得：ｘ＝８００，２ｘ－４００＝１２００．所以该企业捐给甲校的矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件．
