4.1.1成比例线段（1） 课件 -2021—2022学年北师大版九年级数学上册（49张）

(共49张PPT)
4.1成比例线段
数学（北师大版）
九年级
上册
第四章
图形的相似
学习目标
1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；
2．理解成比例线段的概念；掌握成比例线段的判定方法．
3．理解比例的基本性质及其应用。
　
导入新课
全等图形
指能够完全重合的两个图形，即它们的形状和大小完全相同.
讲授新课
如图，用同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，汽车的形状还相同吗？大小呢?
下面图形有什么相同和不同的地方？
图形的放大与缩小
一
相同点：形状相同
不同点：大小不相同
图形的放大
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
图形的缩小
两个图形相似
图形的缩小
归纳：
你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？
思考：
1、图中形状相同的图形有什么不同？
2、形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？
3、形状相同的图形对应线段如何变化？
4、形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描
述它们的大小关系？
合作交流1：
请在下面图形中找出
形状相同的图形？
考考你的眼力
讲授新课
这些图形有什么特点？
对于这些相似图形，可以用相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
1、形状相同，大小不同
2、图形之间的“放大、缩小”
图形上相应的线段也被“放大、缩小”
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
讲授新课
放大
右边的六边形怎样由左边的六边形得到?
如图，六边形放大一定的倍数，就得到和它相似的六边形.
讲授新课
缩小
右边的六边形怎样由左边的六边形得到?
如图，把六边形缩小一定的倍数就得到和它相似的六边形.
所以研究相似图形，先要学习线段的比和比例线段的有关知识.
讲授新课
　如果选用　　　　　　　量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是两条线段的长度比。
其中，AB、CD分别叫做这个线段比的前项、后项。
A
B
C
D
m
n
同一个长度单位
如果把
　表示成比值k，
那么
，或
线段的比
一
讲授新课
1.若线段AB＝6cm，CD＝4cm，则
。
2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则
。
巩固练习
练习：
讲授新课
　　如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.
(1)AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?
M
AB=_______
AD=_______
EF=_______
EH=_______
做一做
成比例线段
二
讲授新课
(2)计算　　
　　　
的值，你发现了什么？
则AB，EF，AD，EH是成比例线段，
AB，AD，EF，EH也是成比例线段。
讲授新课
已知四条线段a、b、c、d
中，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，
那么
a、b、c、d
叫做成比例线段，简称比例线段。
即
(或
a
:
b=c
:
d
)，
a
:
b
=
c
:
d
比例内项
比例外项
比例是指四条线段之间的一种关系，它们的排列是有顺序要求的。
a
:
b
=
c
:
d
d
叫做a、b、c的第四比例项
讲授新课
1.两条线段的比是一个正数，它没有单位；
注意事项：
3.线段的比要统一单位长度。
2.两条线段比与单位无关；
4.两条线段的比是有顺序的；
想一想：
1、两条线段的比和比例线段有什么区别和联系？
2、四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关吗？
归纳：线段的比是指
条线段之间的比的关系，而
比例线段是指
条线段间的关系.若两条线段的比
另两条线段的比，则这四条线段叫做
.
两
四
等于
成比例线段
四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关.
3.比例线段的概念是什么？如何判定四条线段成比例线段？它一般有哪些步骤？
概念：四条线段a,b,c,d，如果
（或a:b=c:d），那么这四条线段a,b,c,d叫比例线段。
方法有三：把四条线段按从小到大或从大到小的顺序排列好以后，①
②
③
步骤：一排（排顺序）二算（算比值或乘积）三判（判断是否成比例）
讲授新课
1.判断下列a、b、c、d是否成比例线段，为什么？
不成比例线段
成比例线段
2.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？
成比例线段
不成比例线段
3.下列各组线段中成比例线段的是（　　）
C
练习：
巩固练习
讲授新课
1.计算下列比例式的两个内项的积与两个内外项的积.
通过计算，你发现了什么规律？
两个内项的积与两个外项的积相等.
比例的基本性质
三
讲授新课
比例的基本性质
两外项之积＝两内项之积。
交叉相乘积相等
思考：如果
，用什么方法说明两个内项的积与两个外项的积相等？
1.如果a、b、c、d
四个数成比例，即
，那么ad＝bc
2.如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么
讲授新课
如果
，那么ad=bc.
证法一：等式
两边同时乘bd.
证法二：设
=k，则a=bk，c=dk，因此ad=(bk)d=b(dk)=bc.
如果ad=bc，怎么证明
？
等式两边同时除以bd.
注意：由ad=bc,得出
是有条件的,
即a,b,c,d都不等于0
讲授新课
你能由
推导出下列比例式吗？
左
右
右
左
右
左
左
右
a
b
c
d
=
b
c
b
c
b
a
d
c
=
b
d
a
c
=
c
d
a
b
=
c
d
b
c
a
=
b
c
a
c
b
d
=
c
b
c
b
c
c
a
d
b
=
c
b
d
c
b
a
=
c
b
ad=bc
对调内项或对调外项，比例仍成立！
1.如果-2x=5y，那么
C
针对练习
讲授新课
讲授新课
例1
一块矩形绸布的长AB=a
m，宽AD=1
m，按照图中所示方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即
那么a的值应当是多少？
解：根据题意可知，
AB=a
m
，
AE=
m，AD=1
m.
由
得
∴
B
C
E
F
D
A
当堂检测
1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比
为（
）
A.100:3
B.1:3
C.10:3
D.1000:3
2.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（
）
A.5:1
B.
1:5
C.1:500000
D.500000:1
A
C
当堂检测
解：根据题意可知,
,
AB
=
15
,
AC
=
10
,
BD
=
6.
则
AD
=
AB
–
BD
=15
–
6=
9.
则
3.已知
，AB=15，AC=10，BD=6．求AE．
A
B
C
D
E
课堂小结
成比例线段
如果选用同一长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长
度的比，即AB：CD=m：n，或写成
四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的
比，即
，那么这四条线段a，b，c，d叫做
成比例线段，简称比例线段.
线段的比
成比例线段
比例性质
新知导入
如图，已知
，你能求出
的值吗？
如果
，那么
有怎样的关系？在求解过程中，
你有什么发现？
【思考】比例的基本性质
方法1
令
（或者
）
方法2
等式两边同时加1（或者减1）
问题：已知，a、b、c、d、e、f
六个数，如果
，那么
和
成立吗？为什么？
成立。
由等式的性质就可以证明，在
的两边同时加上或减去1就行了。
比例的合比与分比性质：
如果
，那么
合比与分比性质
合分比性质：
如果
，那么
等比性质
如图，已知
，你能求出
的值吗？
由此你能得到什么样的结论？
解：∵
∴
AB=2HE，BC=2EF，CD=2FG，AD=2HG.
∴
∴
设
，则
a=kb,c=kd,e=kf,
所以
等比性质
由此可得到比例的又一性质：
此性质称为比例的等比性质，可以这样记忆：如果有n个数成比例，只要分母之和不为零，那么
。
等比性质
比例
性质
总结
例1：在△ABC与△DEF中，已知
，且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵
∴
∴4(AB
+
BC
+
CA)=3(DE
+
EF
+
FD).
即
AB+BC+CA
=
(DE+EF+FD)
，
又
△ABC的周长为18cm，
即
AB+BC+CA=18cm.
∴
△DEF的周长为24cm.
等比性质应用
例2：若a，b，c都是不等于零的数，且
，求k的值.
解：当a＋b＋c≠0时，由
，
得
，
则k＝2；
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时
综上所述，k的值是2或－1.
等比性质应用
易错点
课堂练习
1、已知
，
的值。
2、小明认为：
（1）如果
那么
。
（2）如果
，那么
。
这两个结论正确吗？为什么？
（1）?
（2）?
合比性质的应用
2、（1）证明：∵
∴
在等式两边同时加ac
即
∵
在等式两边同时除以
即
∴
3.(1)已知
，那么
=
，
=
.
(2)如果
那么
.
(3)如果
，那么
.
4.已知a:b:c=2:3:5,求
的值。
解：设
则
a=2k,b=3k,c=5k
∴
∴
方法提炼：
当题目中出现等比的形式时，我们通常用设参数法来解决此类问题，利用参数作为中间的“桥梁”，在题设中增设参数k，然后在解题的过程中参数k自然消失，从而最终解决问题。
课堂练习
1.若
A.1
B.2
C.3
D.4
B
C
2.
若x:y:z=2:3:7，且x-y+3=z-2y，则z的值为（
）
A.7
B.63
C.10.5
D.6.75
拓展提高
1、一个多边形的边长为2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边是（
）
A、
6
B、8
C、10
D、12
2、已知相似的两个矩形中，一个矩形的长和面积分别是4和12，
另一个矩形的宽是6，求这两个矩形的面积比。（
）
1、B
2、4:1
谢谢~