2021-2022学年人教版数学九年级上册22.1.3.1二次函数y＝ax2＋k的图象和性质课件(26张ppt)

(共26张PPT)
22.1.3.1
二次函数y=ax?+k的图象和性质
九年级上册
学习目标
1、会画二次函数y=ax?+k的图象；
2
、掌握二次函数y=ax?+k的性质并会应用；
3、比较函数y=ax?与y=ax?+k的联系.
学习重难点
重点
难点
画二次函数y=ax2+k的图象,理解y=ax2与y=ax2+k之间的联系。
二次函数y=ax2+k的性质。
思考
1、二次函数y=ax2+k的性质并会应用；
2、比较函数y=ax?与y=ax?+k的联系
例1
在同一直角坐标系中，画出二函数
y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x
···
－2
－1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y
=2x2＋1
···
···
y
=
2x2－1
···
···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
列表
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y
=
2x2＋1
y
=
2x2－1
(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y
=2x2
向上
(0,0)
y轴
y
=2x2＋1
y
=
2x2－1
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
画图
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y
=
2x2＋1
y
=
2x2－1
(2)
抛物线
y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
；把抛物线
y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
观察
二次函数y=ax2+k的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当k>0
时,向上平移k个单位长度得到.
当k<0时,向下平移-k个单位长度得到.
二次函数y=ax2
与y=ax2+k（a
≠
0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
比较
把抛物线y
=
2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？
x
y
O
　－2
2
2
4
6
4
－4
8
－2
－4
画一画
想一想
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
思考
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
（0,0）
y=ax2+k
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
（0,k）
二次函数y=ax2+k（a
≠
0）的特点
特点
1.抛物线y=2x2-1开口向
?，对称轴是
?
，图象有最
?
点即函数有最值是
?
．
2.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=
，交点坐标为
?
．
上
y轴
低
-1
-17
（2，3）
针对训练
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线
．　　
2、填表：
y
=
2x2－４
函数
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
y
=
3x2
y
=3x2＋1
y
=-4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
课堂练习
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)
___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.
若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k
.
在
=2
>2
<2
课堂练习
C
拓展提高
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是(　　)
D
拓展提高
3.已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下列结论不正确的是(　　)
A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形
D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
拓展提高
D
4．点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1＜y2＜y3
B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3
D．y2＜y1＜y3
A
拓展提高
拓展提高
A
6．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的函数解析式；
拓展提高
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
拓展提高
7．一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
拓展提高
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.
∵y＝ax2＋c的图象的顶点为(0，4)，∴c＝4.
把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，
解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
拓展提高
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
总结
不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x
时，y随x的增大而减小；当x
时，函数y有最大值，最大值y是
，其图象与y轴的交点坐标是
，与x轴的交点坐标是
.
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
课后作业
再
见