2020-2021学年湖南省常德市武陵区八年级（下）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年湖南省常德市武陵区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意。）
1．《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．小明投掷一枚硬币100次，出现“正面朝上”51次，则“正面朝上”的频率为（　　）
A．49
B．51
C．0.49
D．0.51
3．正五边形的外角和为（　　）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
4．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（﹣3，4）
B．（3，4）
C．（﹣3，﹣4）
D．（4，﹣3）
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
6．如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，﹣2）
B．（﹣2，1）
C．（﹣1，﹣2）
D．（1，﹣1）
7．如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（　　）
A．8或
B．10或
C．10或
D．8或
8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（　　）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．函数的自变量x的取值范围是　
　．
10．王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码
S
M
L
XL
XXL
XXXL
频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有　
　个．
11．将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为
　
　．
12．已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、三象限，则k的值可以是
　
　.（写出满足条件的一个k值即可）
13．《九章算术》：“勾股”一章中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，户高，广各几何？”译文为：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门的宽为x尺，可列方程为
　
　．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为
　
　．
15．直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是
　
　．
16．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（﹣，0），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2021秒时，点P的坐标为
　
　．
三、解答题（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点，作CF∥BD，DF∥AC．求证：四边形DECF为菱形．
18．如图，已知，在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2）．
（1）△OAB绕O点旋转180°得到△OA1B1，请画出△OA1B1，并写出A1的坐标；
（2）判断以A，B，A1，B1为顶点的四边形的形状，请直接写出答案．
四、解答题（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．如图，在△ABC中，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求DC的长．
20．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．
（2）什么情况下你选择哪种套餐更省钱？
五、解答题（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．甲、乙两人在一次跨栏比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，回答下列问题：
（1）这次比赛的赛程是多少米？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）当时间为10秒时，甲、乙两人之间的距离是多少米？
22．2021年3月23日，中国台湾的超大型集装箱船“长赐号”在经过苏伊士运河时为发生搁浅事故，造成超过400多艘货船滞留，对埃及和全球贸易造成巨大损失．“长赐号”船身呈长方形，如图所示，长BC＝400米，宽CD＝60米，船身和河岸的夹角∠BCP＝30°．河岸MN∥PQ，求河岸MN与PQ之间的距离（结果保留根号）．
六、解答题（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　
　，b＝　
　；
（2）样本成绩的中位数落在　
　范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．
（1）证明：△CFD≌△ABC；
（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．
七、解答题（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
26．如图1，在矩形纸片ABCD的边AB上取一点E，使得AE＝AD，在边DC上取一点F，将矩形沿直线EF折叠，使得点C的对应点C′落在AD上，点B的对应点为点B'，B′C′交AE于点M，C′F交DE于点N，连接EC′．
（1）求证：△AEC′≌△B′C′E；
（2）在图1中，连接AB′、B′N和AN得到图2，若AC′＝C′N，试判断△AB′N的形状并证明．
参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意。）
1．《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．小明投掷一枚硬币100次，出现“正面朝上”51次，则“正面朝上”的频率为（　　）
A．49
B．51
C．0.49
D．0.51
解：“正面朝上”的频率＝＝0.51．
故选：D．
3．正五边形的外角和为（　　）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（﹣3，4）
B．（3，4）
C．（﹣3，﹣4）
D．（4，﹣3）
解：点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（﹣3，4），
故选：A．
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
解：A、矩形的对角线相等，但平行四边形的对角线不一定相等，故原命题错误，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，矩形对角线不垂直，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意，
故选：C．
6．如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，﹣2）
B．（﹣2，1）
C．（﹣1，﹣2）
D．（1，﹣1）
解：如图所示：点C的坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
7．如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（　　）
A．8或
B．10或
C．10或
D．8或
解：由题意可得：AB＝2，
∵∠C＝30°，
∴BC＝4，AC＝2，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD＝AD＝，CF＝BF＝2，DF＝1，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：1+1+2++＝4+2；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：2+2+2+2＝8，
故选：D．
8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（　　）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
解：当2x﹣1≥﹣x+2时，
解得：x≥1，
此时y＝2x﹣1，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
当x＝1时，y最小为1；
当2x﹣1＜﹣x+2时，
解得：x＜1，
此时y＝﹣x+2，
∵﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
综上，当x＝1时，y最小为1，
故选：B．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．函数的自变量x的取值范围是　x≠1　．
解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
10．王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码
S
M
L
XL
XXL
XXXL
频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有　8　个．
解：由表可知尺码L的频率为0.2，又因为班级总人数为40，
所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2＝8．
故答案是：8．
11．将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为
　y＝﹣2x+1　．
解：将直线y＝﹣2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝﹣2x+1．
故答案为y＝﹣2x+1．
12．已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、三象限，则k的值可以是
　2（答案不唯一）　.（写出满足条件的一个k值即可）
解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
∴k＝2符合题意．
故答案为：2（答案不唯一）．
13．《九章算术》：“勾股”一章中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，户高，广各几何？”译文为：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门的宽为x尺，可列方程为
　x2+（x+6.8）2＝102　．
解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
故答案是：x2+（x+6.8）2＝102．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为
　2　．
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵DC＝AD，AC＝6，
∴CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
故答案为：2．
15．直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是
　x≥2　．
解：由图象可得，
当x≥2时，y＝kx+b对应的函数值不大于0，
∴不等式kx+b≤0的解集是x≥2，
故答案是：x≥2．
16．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（﹣，0），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2021秒时，点P的坐标为
　（，﹣）　．
解：∵A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣，0），
∴AO＝1，OB＝，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，
∴点P每运动8秒回到点A位置，
∴2021÷8＝252…5，
∴点P移动到第2021秒时，落在CD的中点处，即点P（，﹣），
故答案为（，﹣）．
三、解答题（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点，作CF∥BD，DF∥AC．求证：四边形DECF为菱形．
【解答】证明：∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CE＝AC，DE＝BD，AC＝BD，
∴CE＝DE，
∴平行四边形DECF为菱形．
18．如图，已知，在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2）．
（1）△OAB绕O点旋转180°得到△OA1B1，请画出△OA1B1，并写出A1的坐标；
（2）判断以A，B，A1，B1为顶点的四边形的形状，请直接写出答案．
解：（1）如图，△OA1B1为所作，A1（3，﹣2）；
（2）如图，以A，B，A1，B1为顶点的四边形为平行四边形．
四、解答题（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．如图，在△ABC中，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求DC的长．
解：∵AB＝10，BD＝6，AD＝8，
∴AD2+BD2＝62+82＝100＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中：DC2＝AC2﹣AD2，
∴DC＝15．
20．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．
（2）什么情况下你选择哪种套餐更省钱？
解：（1）A套餐的收费方式：y1＝0.1x+15；
B套餐的收费方式：y2＝0.15x；
（2）由0.1x+15＝0.15x，得到x＝300，
由0.1x+15＜0.15x，得到x＞300，
由0.1x+15＞0.15x，得到x＜300，
答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；
当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．
当月通话时间小于300分钟时，B套餐更省钱．
五、解答题（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．甲、乙两人在一次跨栏比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，回答下列问题：
（1）这次比赛的赛程是多少米？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）当时间为10秒时，甲、乙两人之间的距离是多少米？
解：（1）由图象可得，这是一次110米赛跑；
（2）由图象可得，甲先到达终点；
（3）由图象可得，甲的速度为：110÷15＝（米/秒），
乙的速度为：110÷16＝（米/秒），
当时间为10秒时，甲、乙两人之间的距离是：10×﹣10×＝（米）．
22．2021年3月23日，中国台湾的超大型集装箱船“长赐号”在经过苏伊士运河时为发生搁浅事故，造成超过400多艘货船滞留，对埃及和全球贸易造成巨大损失．“长赐号”船身呈长方形，如图所示，长BC＝400米，宽CD＝60米，船身和河岸的夹角∠BCP＝30°．河岸MN∥PQ，求河岸MN与PQ之间的距离（结果保留根号）．
解：过点B作BF⊥PQ，垂足为F，交MN于点E，
∵MN∥PQ，
∴EF⊥MN，
在Rt△BCF中，∠BCP＝30°．
∴BF＝BC＝（米），
∵∠EBA＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
在Rt△EBA中，AB＝CD＝60，∠EBA＝30°，
∴EB＝cos∠EBA?AB＝＝30，
∴EF＝EB+FB＝30+200（米），
答：河岸MN与PQ之间的距离（30+200）米．
六、解答题（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　8　，b＝　20　；
（2）样本成绩的中位数落在　2.0≤x＜2.4　范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）1200×＝240（人），
答：估计该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．
（1）证明：△CFD≌△ABC；
（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，
∴CF＝AC，
∵∠BCA＝30°，
∴BA＝AC，
∴AB＝CF，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴CB＝CE，AC＝CD，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SSS）；
（2）延长BF交CE于点G，
由（1）得，FC＝BF，
∴∠BCF＝∠FBC＝30°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，
∵∠DEC＝∠ABC＝90°
∴∠BGE＝∠DEC，
∴BF∥ED，
∵，AB＝DE，
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
七、解答题（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），
∴，解得
∴直线AB的解析式为y＝x﹣5；
（2）由解得，
∴C（2，﹣3），
∴S△AOC＝＝；
（3）∵B（0，﹣5），
∴OB＝5，
∵△BCP的面积是△AOC面积的2倍，
∴△BCP的面积为15，
∵S△BOC＝5×2＝5，
∴S△BOP＝S△BCP﹣S△BOC或S△BOP＝S△BCP+S△BOC，
设P的坐标为（x，﹣x），
当P在C的上方时，则有×5×（﹣x）＝15﹣5＝10，
解得x＝﹣4；
当P在C的下方时，则有?x＝15+5＝20，
解得x＝8，
∴P（﹣4，6）或（8，﹣12）．
26．如图1，在矩形纸片ABCD的边AB上取一点E，使得AE＝AD，在边DC上取一点F，将矩形沿直线EF折叠，使得点C的对应点C′落在AD上，点B的对应点为点B'，B′C′交AE于点M，C′F交DE于点N，连接EC′．
（1）求证：△AEC′≌△B′C′E；
（2）在图1中，连接AB′、B′N和AN得到图2，若AC′＝C′N，试判断△AB′N的形状并证明．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
由折叠得，B′C′＝BC，∠B′＝∠B＝90°，
∴AD＝B′C′，∠A＝∠B′，
∵AE＝AD，
∴AE＝B′C′，
在Rt△AEC′和Rt△B′C′E中，
，
∴Rt△AEC′≌Rt△B′C′E（HL）．
（2）△AB′N是等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）得，△AEC′≌△B′C′E，
∴AC′＝B′E，
∵AC′＝C′N，
∴B′E＝C′N，
∵B′E∥C′N，
∴四边形EB′C′N是平行四边形，
∵∠B′C′N＝∠C＝90°，
∴四边形EB′C′N是矩形，
∴B′C′∥EN，
∵AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴∠B′ME＝∠AMC′＝∠AED＝45°，
∴∠AEB′＝∠AC′M＝45°，
∴∠DC′N＝45°＝∠C′DN，
∴ND＝C′N
∴B′E＝ND，
∵∠AEB′＝∠ADN＝45°，AE＝AD，
∴△AEB′≌△ADN（SAS），
∴AB′＝AN，∠B′AE＝∠NAD，
∴∠B′AN＝∠B′AE+∠EAN＝∠NAD+∠EAN＝∠EAD＝90°，
∴△AB′N是等腰直角三角形．