2.复数的基本概念 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案）

2.1
复数基本概念
【知识点】
1.虚数单位：满足
　　　
的数　　称为虚数单位.
2.复数：可以写成　　　　　　　　　　　　　的数，此形式称为复数的代数表示，其中复数的实部为
，虚部为
；
复数z是实数虚部
　　　
，
复数z称为虚数虚部
　　　
，
复数z称为纯虚数实部　　　　　且虚部
　　　
；
由复数构成的集合称为复数集，记为　　＝{
|
}.
3.复数的分类
　
　　　复数
4.相关概念
　⑴z＝a＋bi(a、b∈R)的模（或称绝对值）记为|z|＝
.
⑵z与互为共轭复数z与的实部　　且虚部互为　　　　
　　　　　　　　　“z＝a＋bi(a、b∈R)＝　　　”.
　　结论：z·＝|z|2.
　⑶z1＝z2z1的实部　　z2的实部且z1的虚部　　z2的虚部；
结论：不全是实数的两个复数不能比较大小.
⑷z∈Rz
；　z≠0，则z是纯虚数z2
0z+＝　　　.
【应用点】
1.在表格中写出对应复数的实部与虚部、共轭复数
z
z的实部
z的虚部
z的共轭复数
－1+5i
0
－i
(1+i)(2－i)
2.在表格中写出对应复数的共轭复数、模
z
z的共轭复数
|z|
1+2i+i3
(1+i)2－2(1+i)
(3－2i)i
3.当m为何实数时，复数z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）实数？（2）纯虚数？
4.关于x的方程3x2－x－1=10i－ix－2ix2有实数根，求实数a的值.
5.复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，求z，
6.复数z1、z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2＝+i，求|z1－z2|.
7.复数z1＝sinθ+2i，z2＝1+icosθ，求的最小值.
【核心点】
1.理清复数有关概念,可正确求共轭复数、模；
2.复数相等实现虚数问题实数化（等价转化思想或转化化归）.
2.2
复数的运算
【知识点】
1．设，
　　z1+z2＝＝　　　　　　；z1－z2＝＝　　　　　　；
　　结论：＝　　　　　　　　.
　　z1·z2＝＝　　　　　　；＝＝　　　　　　.
　　
　　（n∈Z）.
2.复数加减乘除的共轭运算
　　设C、C，则：
　　＝　　　　；＝　　　　；＝　　　；＝　　　.
3.复数模（绝对值）的运算
　　z1C、z2C，则：|z1|－|z2|
|z1±z2|　|z1|+|z2|；
　　　　　　　　　　　|z1z2|＝　　；＝　　.
z1R、z2R，则＋＝0z1＝z2＝
；
　z1C、z2C，由＋＝0可否得到相同的结论？
【应用点】
1.计算：
　　　⑴；　　　　　　　　　　⑵；
　　　⑶；　　　　　　　⑷；　　　　　　　　　⑸.
2.在复数集C中解方程(i为虚数单位)
　⑴＝i
；　　　　　　　　　　　　　　⑵.
3.设z是虚数，ω＝z+是实数，且－1＜ω＜2，u＝.
　⑴求|z|的值及z的实部的取值范围；　　⑵求ω－u2的最小值.
4.⑴（多选题）z1C、z2C，zC，下列结论正确的是（　　）
A．若R，则zR
B．若z1×z2R，则z1＝
　
C．若z2R，则zR
D．若zR，则R
⑵（多选题）z1C、z2C，下列结论正确的是（　　）
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
　
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
D．|z1|＝|z2|，则z12＝z22
【核心点】
复数的四则运算、共轭运算、模运算.
2.3
复数的几何意义
【知识点】
1.复数的几何面孔
　　用来表示复数的坐标平面称为
，其中x轴称为
，其上的点表示的复数是
；y轴（除去原点）称为
，其上的点表示的复数是
.
复数z＝x＋yi(x、y∈R)点Z(x，y)向量＝(x，y)，因而复数的加减法向量的加减法.
一些点的轨迹方程的复数形式
　　⑴z0＝a＋bi，a、b、r是实常数，且r>0，zC，z在复平面上对应点P，则|z－z0|＝r点P的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
　　
　　⑵z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a、b、c、d是实常数，zC，z在复平面上对应点P，则|z－z1|＝|z－z2|点P的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
　　
　　⑶z1＝－c，z2＝c，c、a是大于0的实常数，a>c，zC，z在复平面上对应点P，则|z－z1|+|z－z2|＝2a点P的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
【应用点】
1.在复平面内，复数－1的共轭复数所对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.在复平面内，复数z＝5+m(i－1)(mR)对应的点不可能位于（　　）
A．第一象限
　　B．第二象限
　　C．第三象限
　　D．第四象限
3.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，－2)，则i·＝（　　）
　　A．1+2i
　　　B．－2+i
　　C．1－2i
　　
D．－2－i
4.若z是复数，|z
＋2－2i|=1,则|z－2－2i|的最小值是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
5.已知|z|=1，则|z＋|＋|z－6|最小值是（　　）
A．6
B．37
C．5
D．6
6.已知z是复数，z＋2i,均为实数（i是虚数单位），且复数（z＋ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
7.z+＝1，求|z+1|+|z－i|的取值范围.
【核心点】
1.复数的几何面孔；
2.通过复数的代数表示使复数问题转化为实数问题（转化化归思想）.2021-2022编者－龙诗春