5.不等式 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案）

5.1
不等式基本性质
【知识点】
1.实数基本性质：a－b＞0
；a－b＝0
；a－b＜0
．
　　　　　　　　a＞0，b＞0，则＞1
；＝1
；＜1
．
　　　　　　　　注：不全是实数的两个复数
大小．
2.不等式基本性质：
①（反身性）a＞b
；
②（传递性）a＞b，b＞c
；
③（可加性）a＞b，c＞d
；
④（可乘性）a＞b，c＞0
；a＞b，c＜0
；
　　　　　　　　　a＞b＞0，c＞d＞0
；
　　　⑤（求幂性）n＞0，a＞b＞0
；
　　　⑥（倒数性）ab＞0，则a＞b
．
【应用点】
1．设a、b、c是实数，且a>b，则下列不等式中一定成立的是（
）
　　A.
a+c≥b－c
B.
(a－b)·c2≥0
C．ac≥bc
D.≤
2．已知a、b、c、d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a－c＞b－d”的
　　A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C．充要条件
D.
不充分不必要条件
3．若a＞b＞0，c　　A.
－＞0
B.
－＜0
C．＞
D.＜
4．若0＞a＞b，则下列结论不正确的是（　　）
　　A.
＜
B.ab＞a2
C．＞
D.|a|+|b|＞|a+b|
5．若，则下列不等式：①
；②；③；④
中，正确的不等式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．(多选题)设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的是（
）
　A．|a－b|≤|a－c|+|b－c|
B．a2+≥a+
　C．
D．|a－b|+≥2
7.(多选题)设a、b、c是正数，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（
）
　A．a－＞b－
B．a－＞b－　　　C．ln(a－b)＞0
　　D．a(c2+1)＞b(c2+1)
8.(多选题)若，则下列不等式正确的是（　　）
A．a－＞b－
B．+＞－1　　　C．lna2
＞lnb2
　　D．＜
9.已知－≤α<β≤，则的取值范围是　　　　　　，的取值范围是　　　　　　　.
【核心点】
1.实数的大小性质；
2.不等式基本性质——解、证不等式的法律依据.
5.2
比较大小
【知识点】
比较大小的常用方法：
　　　①比较法：两数大小→作两者之差或商→变形（
）→定号或判断与1的大小→结论；
　　　②媒介法：寻找中间量→建立中间量与两者的大小关系；
　　　③函数法：构建函数→考察函数　　　　或　　　→结论；
　　　④放缩法：利用一些常见结论适当放大或缩小；
　　　　　　　　ex
x+1；　lnx
x－1；　若0＜x＜，则sinx
x
tanx
　　　⑤归纳法：从特例出发得出一般性结论（特殊到一般）；
　　　⑥构造法：构造图形、函数等
【应用点】
1．⑴a＝log32，b＝ln2，c＝，则（
）
A．
　
B．
　
C．
　D．
⑵、为锐角a＝sin()，b＝，则a、b之间关系为（
）
　　　　A．a＞b
　
B．b＞a　　　　C．a＝b
D．不确定
⑶已知a,
b∈R,
m＝,
n＝b2-b+，则下列结论正确的是（
）
A.m≤n
B.m≥n
C.m＞n
D.m＜n
2．⑴设x、y＞0，比较(x＋y)2＋(x＋y)与x＋y的大小．
⑵设n∈N+，判断2(－1)、1＋＋＋…＋、2三者的大小．
⑶已知a＞b＞c，判断与的大小．
⑷已知a、b＞0，a＞b，ab－a＋b＝2，比较、a、b的大小．
9．判断大小
⑴、；　　　　　　⑵e、(nN
)；
⑶a＝ln，b＝ln，c＝，d＝0.42.1
；
⑷20202020、、．
【核心点】
判断大小的方法
5.3
一元二次方程
【知识点】
1.关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a、b、cR)的实根：
ax2+bx+c＝a(x+　　)2+
，记△＝b2－4ac
⑴△＜0，方程无实根；
⑵△＝0，方程有　　
　实根；
⑶△＞0，方程有　　
　实根.
2.关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a、b、cR)的解法：
　　⑴十字相乘法
⑵配方法
⑶求根公式法
3.关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a、b、cR)的根与系数关系：
　　⑴若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0(a≠0，a、b、cR)的根，则　　　　　　；
⑵若，则x1、x2是方程　　　　　　　　　　的根.
4.任意一元二次方程的解法：
　　任意一元二次方程→标准的一元二次方程：　　　　　　　　　　　.
【应用点】
1.解下列方程或方程组
　　⑴x2－3|x|－2＝0；　　　　　　　　　　　　　⑵log3x3+log27(3x)＝－；
　　⑶；　　　　　　　　　
⑷.
　　
2.⑴方程+＝1的实根个数为（　　）
A．1
　
B．2　　　　C．3
D．前三个选项都不对
　⑵方程+＝4的实根个数为（　　）
A．1
　
B．2　　　　C．3
D．前三个选项都不对
3.⑴关于x的方程x2－4|x|+5＝k(kR)恰有四个不等的实根，则k的取值范围为　　　　　；
　⑵关于x的方程x2－2a|x－a|－2ax+１＝0恰有3个不等的实根，则实数a的取值范围为（　　）
　　　A．[1，+∞)
　
B．(－∞，－1]　　　C．[1，0)∪(0，1]
D．前三个选项都不对
4.⑴α[0，2)，存在整数a、b，使得cosα、sinα为x2+ax+2b2＝0的两个实根，则满足题意的α的个数为（　　）
A．1
　
B．4　　　　C．0
D．前三个选项都不对
⑵a、b、cR,关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根之差的绝对值为10，则方程ax2+2bx+3c＝0两根之差的绝对值可能等于（　　）
A．11
　
B．15　　　　C．19
D．前三个选项都不对
5.⑴aR，若关于x的方程x4－(4a－50)x2+a2＝0有四个实数解且成等差数列，则a＝　　；
⑵已知二次函数f(x)＝x2+ax+b(a、bR)有两个不同的零点，若f(x2+2x－1)＝0有四个不同的根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，x1、x2、x3、x4成等差数列，求a－b的取值范围.
【核心点】
1.如何解一元二次方程；
2.一元二次方程的根与系数的关系.
5.4
一元二次不等式的解法
【知识点】
1．三个二次之间的联系（二次函数、二次方程、二次不等式）
△＞0
△＝0
△＜0
f(x)=ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0的解集
ax2＋bx＋c＞0的解集
ax2＋bx＋c＜0的解集
2．一元二次不等式的解法
任意一元二次不等式→标准的一元二次不等式：　　　　　　　　　　　→ax2＋bx＋c＝0的解→结合对应的二次函数图像得标准的一元二次不等式的解→得原不等式的解集.
【应用点】
1.解下列不等式：
⑴x2－x＞x(2x－3)－3；
⑵2x(x－1)＞10－3x；
⑶0＜x2－6x＋5≤12；
⑷
()
2.⑴设a≠b，解关于x的不等式
a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2；
⑵解关于x的不等式mx2＋1＞(m＋1)x．
3.设p：实数x满足，其中，命题q：实数满足．
⑴若且为真，求实数的取值范围；
⑵若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
4.⑴函数，则不等式f(x)≥x2的解集是(　　)
A.[－1，1]
　
B.[－2，2]　
　C.[－2，1]　
　D.[－1，2]
⑵关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝（　　）
A.±
　
B.　
　C.　
　D.
⑶关于x的不等式ax2－2x+3a＜0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是（　　）
A.(－∞，)
　
B.(－∞，)　
　C.(，+∞)　
　D.(，+∞)
⑷0＜b＜1+a，关于x
的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中恰有3个整数，则（
）
A．－1＜a＜0
B．0＜a＜1
C．1＜a＜3
D．3＜a＜6
⑸若关于x的不等式的解集是(1，m)，则m＝
．
⑹不等式在R上的解集是，则实数的取值范围是
．
【核心点】
1.三个二次之间的联系；
2.二次不等式的求解——转化为方程与函数求解.
5.5
其它形式不等式的求解
【知识点】
1.一元二次不等式的解法
任意一元二次不等式→标准的一元二次不等式：　　　　　　　　　　　→ax2＋bx＋c＝0的解→结合对应的二次函数图像得标准的一元二次不等式的解→得原不等式的解集.
　　基本思想：不等式→　　　　→　　　　　→　　　　　　.
2.任意不等式求解：任意不等式→　　　　→　　　　　→　　　　　　→　　　　　　.
【应用点】
1.解下列不等式：
⑴＞x；
⑵x2+1≥|x－1|－
|1－2x|；
⑶1≥.
2.解下列不等式：
⑴6log52x－5|log5x|+1＞0；
⑵logax－3≥；(a＞0，a≠1，a是常数).
【核心点】
任意不等式求解的基本思想——转化化归思想.
5.6
二次函数
【知识点】
1.二次函数
⑴二次函数的表达式：一般式：
；顶点式：
；
两根式（交点式）：
。
⑵二次函数的图像与性质
f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)
a＞0
a<0
△＞0时的图像
△＝0时的图像
△＜0时的图像
定义域
对称性
奇偶性
值域
单调性与单调区间
2.二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[α,]上的最值：
　　(1)对称轴x＝－在区间左边；(2)对称轴x＝－在区间之内；(3)对称轴x＝－在区间右边。
3.一元二次方程ax2＋bx＋c=0
的实根分布：
令f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)→
→
→
.
【应用点】
1.⑴f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过A(－3,5)、B(5，5)两点，则2a+b的值是（　　）
　　　A．1
B．5
C．3
D．前三个选项都不对
　　
⑵函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集不可能是(
)
A.{1，2}
B．{1，4}
C．{1，2，3，4}
D．{1，4，16，64}
⑶已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是(
)
A．
B．
C．
D．
⑷已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
⑸如果函数（m≥0，n≥0）在区间[，2]上单调递减，那么mn的最大值为（
）
A．
16
B．18
C．25
D．
⑹已知函数f(x)＝ax2+2ax+4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1+x2＝1－a，则（
）
f(x1)＞f(x2)
B．
f(x1)＜f(x2)
C．
f(x1)＝f(x2)
D．
f(x1)、f(x2)大小不能确定
⑺函数f(x)＝－x2－2x在[a，b]上的值域是[－3，1]，则a+b的取值集合为（
）
A．
[－4，0)
B．[－4，－2]
C．[－2，0]
D．[－4，0]
2．已知二次函数y＝f(x)图像的对称轴为x＝－2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式。
3.已知二次函数y＝f(x)的图像经过点(－1，0)，且对任意实数x都有x≤f(x))≤成立，求f(x)的解析式。
4.已知当x∈[－1，0]时，不等式―3＜x2＋mx－2m－1＜－2恒成立，求实数m的取值范围。
5.设二次函数f(x)＝
ax2＋bx＋c(a＞b＞c)，f(1)＝0，方程f(x)＋a＝0有实根。
⑴证明f(x)在[0，＋∞)上是单调函数；
⑵设x1、x2是方程f(x)＋bx＝0的两实根，求|x1－x2|的取值范围。
6．⑴已知关于x的方程mx2+(m3)x+1＝0至少有一个大于0的实根，求实数m的取值范围。
⑵f(x)＝(x－1)2+k2，若对a、b、c[0，1]，都存在以f(a)、f(b)、f(c)为边的三角形，求实数k的取值范围。
【核心点】
1.二次函数、二次函数的图像、性质；
2.二次函数的图像与性质的应用.
5.7
基本不等式——均值不等式
【知识点】
1.a、b∈R，则a2＋b2
2ab，
“＝”成立
．
2.基本不等式——均值不等式：，∈　，则
，“＝”成立
；
　　　变式：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
．
3.推广：、、…、∈R＋，则称为
，称为
，
，“＝”成立
；
变式：
．
注意：基本不等式可实现“和”与“积”的互化！
4.基本不等式的作用
①和定则积取得最大值，积定则和取得最小值；注意利用它求最值的条件：一正二定三相等；
②比较大小，或证明不等式．
【应用点】
1.已知、、∈R，求证：
⑴＋＋≥＋＋≥(＋＋)；
⑵＋＋≥(＋＋)．
2.⑴求函数y＝|x+|的最小值，以及取得最小值时x的值；
⑵求函数的最小值，并求出取得最小值时的值；
⑶求的最大值，以及取得最大值时x的值；
⑷若，且，求的最小值；
⑸求函数y＝(1－2x)x(0＜x＜)的最大值．
3.已知、＞0，且＋＋＝1，求和＋的最小值．
4．⑴函数y＝loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则的最小值为
．
⑵已知，，则的最小值
．
⑶若，，且恒成立，则的最大值是
．
【核心点】
1.基本不等式可实现“和”与“积”的互化！
2.利用基本不等式求最值时注意条件是否满足，尤其是等号成立的条件.
5.8
柯西不等式
【知识点】
柯西不等式：
　⑴二维形式：若、、、、都是实数，则
，
　　　　　　　“＝”成立
　
．
　⑵一般形式：、、、…、，、、、…、是实数，则
　　
，
　　　　　　　“＝”成立
　
．
　⑶向量表达式：设、是两个向量，则
，“＝”成立
　
．
【应用点】
1.若、、是互不相等的正数，求证＋＋＞．
2.⑴求y=3sinx＋4的最大值；
⑵设x、y、z∈R＋，x＋2y＋3z＝7，求u＝＋＋的最小值．
⑶设x、y、z∈R，求u＝的最大值．
⑷已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．
⑸不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(
)
A.2
b.4
C.6
D.8
【核心点】
1．柯西不等式的结构特点，一边是积之和，一边是两个和之积；
2.利用柯西不等式求最值注意等号成立的条件.
5.9
不等式证明1
【知识点】
1.比较法：
2.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．即由果索因，
其过程用图形表示是：结论←　　　　　　←　　　　　　←　　　　　　←　　　　　　.
3.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．即由因导果，
其过程用图形表示是：
→
→
→
.
　　通常情况下，两种方法共用，既有综合又有分析，常用分析法找思路、综合法叙述过程．
4．放缩法：
5．数学归纳法：
【应用点】
1.设、∈(0，)，且≠，求证：＞．
2.求证：－＜1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．
3.已知数列{}满足：0＜＜，＝－（n∈N＋)，证明：＜．
4.已知a、b、c均为正数，求证：．
【核心点】
1．逻辑推理能力；
2．转化化归思想.
5.10
不等式证明2
【知识点】
1．换元法：换元就是对某一部分数学式用一个字母或数学式代替，以使问题向熟悉的、简单的问题转化．
2．构造法：通过数学式的特点，构建适当的数学模型，如几何模型、函数模型、方程模型等，以使问题向有关方面转化．
3．反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确推理最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立．即否定结论→以题中条件、否定的结论以及定义、公理、定理等进行正确的推理→产生矛盾→肯定结论．
【应用点】
1.设a、b、c为三角形的三边长，求证：
⑴＋＋≥3；
⑵＋＞．
2.已知a、b、c∈（0，1），求证：（1－a）b、（1－b）c、（1－c）a
不能同时大于．
3.已知函数f(x)=x·lnx，0＜x1＜x2，求证：
　⑴f()＜；
　⑵(x+1)(1－x·f
/(x))＜(e2+1)ex－2.
【核心点】
1．逻辑推理能力；
2．转化化归思想.
5.11
恒成立不等式问题
【知识点】
1．变量分离
x∈I，f(x)≥g(a)恒成立
；其否定是：
．
x∈I，f(x)≤g(a)恒成立
；其否定是：
．
2．混合型
　x∈I，f(x，a)≥0恒成立
；
　
　x∈I，f(x，a)≤0恒成立
．
【应用点】
1.若函数的定义域为R，求实数的取值范围．
2.如果对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
3.定义在R上的奇函数是减函数，且当时，有+＞0恒成立，求实数m的取值范围．
4.已知函数．
⑴若，求的取值范围；
⑵证明：．
【核心点】
1．逻辑推理能力；
2．转化化归思想.2021－2022编者－龙诗春53