6.向量 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案）

6.1
平面向量基本概念
【知识点】?
1．向量：具有下列两个要素的量“
”和“
”。
2．向量的表示
　⑴几何表示
；
　⑵字母表示
；
　⑶坐标表示
＝ｘ＋ｙ＝
（||＝||＝
，、分别与x、y轴方向相同）
3．向量的长度（或称模）：向量的
，记作
。?
4．特殊向量
　⑴零向量：＝｜｜＝
；
　⑵单位向量：为单位向量｜｜＝
。
　表示与
的
向量。
5．相等向量
　⑴≠，≠，＝　　　　　　　　　　；
　⑵任意的两个零向量　　　　。
6．相反向量
⑴≠，≠，、互为相反向量　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
　⑵任意的两个零向量　　　　。
7．平行向量(也称共线向量)
　⑴≠，≠，、互为共线向量与　　　　　　　，记作　　　。　　　　　　　　　　　　　　　　
　⑵，有
。
【应用点】
1.⑴已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为（　　）
A.(，－)　　　B.(，－)　　　C.(－，)
D.(－，)
⑵设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）
　　A.
B.
C.
D.
⑶已知正方形ABCD的边长为，，则（　　）
A.
B.
C.
D.
　⑷设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（
）
　　A.
B.
C.
D.且
⑸已知,则的取值范围是
。
2.已知向量，求的最大值。
3.平面内给定三个向量＝(3，2)，＝(－1，2)，＝(4，1)，回答下列问题：
⑴求满足＝m＋n的实数m，n；
⑵若(＋k)∥(2－)，求实数k；
⑶若向量满足(－)∥(＋)，且|－|＝，求。
【核心点】
平面向量基本概念的理解。
6.2
平面向量线性运算
【知识点】
1.向量的运算?
运算类型
几何算法
字母算法
坐标算法
运算律
加法
减法
数乘
向量
2．一些常用结论
△ABC三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c
⑴D为线段BC的中点＝
；
⑵P为△ABC的外心||　||　||；
⑶P为△ABC的内心a+b+c＝　　；
⑷P为△ABC的重心++＝　　；
　⑸P为△ABC的垂心·　　·　　·；
【应用点】
1.⑴设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　)
　　A．＝－
B．＝－
　　C．＝－
D．＝－
⑵在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－
B.－
C.＋
D.＋
　⑶如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
　⑷在△ABC中，＝2，＝3，连接BF，CE，且BF∩CE＝M，＝x＋y，则x－y等于(　　)
A．－
B.
C．－
D.
⑸直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)
A．1　　　B．2
C．3
D．4
2.⑴已知点P是△ABC内一点，且＋＝6，则
＝(　　)
A.
B.
C.
D.
⑵已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
　　A.[，1]　　　　B.[，2]　　　　C.[，1]
　　　　D．(2
，3)
⑶已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（
）
A.6
B.7
C.8
D.9
　⑷平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为_____．
⑸ABC中，点M、N满足，．若，则　；
．
3.在ABC中，＝2，＝3，设P为ABC内部及边界上任意一点，若＝+，求的最大值。
4.⑴在ABC中，AB＝2，AC＝3，A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x+y(x、yR)，求x+y的值。
⑵如图，两块分斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x+y(x、yR)，求x和y的值。
　
【核心点】
1.平面向量线性运算的理解与掌握；
2.平面向量问题的求解方法
　⑴几何法——利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析；
　⑵建系法——建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算解题；
　⑶基底法——适当选取一组基底，，将原问题转化为关于，的代数运算问题。
6.3
平面向量基本定理
【知识点】
1．平面向量基本定理
　　若、是同一平面上两个
向量，则对于该平面上的任意向量，
唯一实数对（
，
），使＝
；其中、称为表示这一平面内所有向量的一组
；这时、平面内的所有向量构成的集合是
。
2．平面向量的坐标表示
　⑴在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个
向量、作为基底，则对于该平面上任意向量，
实数对（
，
　），使＝
，把这一实数对（
，　
）叫做的坐标，记为＝
，其中
称为在x轴上的坐标，
称为在y轴上的坐标。这时||＝
。
　⑵若＝x＋y＝(x，y)（其中Ｏ是坐标原点，向量、是分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量）P(　，　)
　⑶在直角坐标平面内，若点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则＝
，||＝
。
【应用点】
1.已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝，延长AP交BC于点D，若＝，＝，用、表示向量、。
2.在△ABC中，＝，＝，BQ与CR交于点O，AO的延长线与边BC交于点P。
⑴用和表示，；⑵如果＋＝＋，求实数和的值。
3.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设＝，＝，＝，且＝3，＝－2。
⑴求3＋－3；
⑵求满足＝m＋n的实数m，n；
⑶求M、N的坐标及向量的坐标。
4.⑴向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若=λ+μ
(λ,μ∈R),则=_________.
A.1
B.2
C.3
D.4
⑵非零向量＝，＝，若点B关于向量所在直线的对称点为B1，则向量＝（　　）
　　　A.－
B.2－
C.
D.
⑶在锐角三角形ABC中，已知∠A＝60°，若O是△ABC的外接圆的圆心，且+＝m，则m＝　　　。　
⑷已知点O在△ABC的内部，且+2+4＝，则△OAB与△OBC的面积之比是　　　。
⑸若点O为△ABC内一点，满足S△AOB:S△BOC:S△AOC＝4:3:2，设＝x+y，则x＝　，y＝　。
⑹给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是
。
【核心点】
1．平面上的任意向量都可用该平面上两个不共线向量表示；
2．基底法——适当选取一组基底，，可以将其它向量统一用，表示，从而将问题转化为关于，的代数运算问题；
3.一般向特殊转化的特殊化思想。
6.4
共线向量定理
【知识点】
1.共线向量定理
≠，则∥
的实数，满足＝　　。
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥
。
2．推论
　A、B、C三点共线∥
　　　　　　　　　＝
　　　　　　　　　＝x+y，且x+y＝　　。
　
3．结合平面向量基本定理可得
　⑴若与不共线，则x1＋y1＝x2＋y2
；
　⑵若与不共线，则x＋y＝
。
【应用点】
1.⑴已知向量、不共线，R),,如果，那么（　　）
A．且与同向
B．且与反向
C．且与同向
D．且与反向
⑵已知点A，B，C的坐标分别是.若存在实数，使，则的值是（
）
A.
0
B.
1
C.
0或1
D.不确定
⑶已知向量、、中任意两个都不共线，并且＋与共线，＋与共线，那么＋＋等于（
）
A.
B.
C.
D.
2.设两个非零向量与不共线，
⑴若=＋，=2+8，=3（-），求证：A、B、D三点共线；
⑵试确定实数k，使k+和+k共线。
3.过△ABC的重心M的动直线与边AB、AC分别相交于D、E两点，若＝x，＝y，试推断＋是否为定值，并说明理由。
4.如图，在ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n(m、n>0)，求+的最小值。
5.⑴已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量＝(2sinB，－)，＝(cos2B，2cos2－1)，且，则锐角B的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
⑵设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2m，0)，m，nR，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则m+n的最大值为（
）
A.
－3
B.
－2
C.
2
D.3
⑶向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m+1，m－2)，若点A、B、C可构成三角形，则实数m可以是（
）
A.
－3
B.
－1
C.
D.1
⑷已知非零向量、，、满足＝2－，＝k+，则下列结论正确的有（
）
A.若、不共线，、共线，则k＝2
B.若、不共线，、共线，则k＝－2
C.存在实数k，使得、共线，、不共线
D.不存在实数k，使得、共线，、不共线
⑸若、不平行，向量+与+2平行，则实数＝
。
【核心点】
1.共线向量定理及其推论;
2.平面向量问题的求解方法
　⑴几何法——利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析；
　⑵建系法——建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算解题；
　⑶基底法——适当选取一组基底，，将原问题转化为关于，的代数运算问题。
6.5
向量数量积
【知识点】
1.两个非零向量、的夹角：
，记为：
，
结论：⑴两个非零向量夹角的范围是
；
⑵、方向
<，>＝0，
、方向
<，>＝，
<，>＝。
2．数量积运算
运算类型
几何算法
坐标算法
运算性质
向量的
数量积
结论：⑴点A、B，则|AB|＝
＝
。
⑵对于∠BAC，则cos∠BAC＝
＝
。
⑶⊥·＝
＝
。
【应用点】
1.⑴已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F分别在边AD、DC上，＝(+)，＝，则·＝
。
⑵已知△ABC的垂心为H，且AB＝3，AC＝5，M是BC的中点，则·＝
。
⑶已知O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是BC的中点，则·＝
。
⑷△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·＝
。
⑸在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·＝
。
⑹PA、PB是半径为1的圆O的两条切线，A、B为两切点，则·的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
⑺已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（
）
A．(－2，6)
B．(－6，2)
C．(－2，4)
D．(－4，6)
⑻平面向量、、满足||＝1，·＝1，·＝2，|－|＝2，则·的最小值为
。
2.⑴在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，若＝，动点D满足||＝1，则|++|的最小值是
。
⑵非零向量、的夹角为60°，且|－|＝1，则|+|的取值范围是
。
⑶平面向量、、满足||＝1，若与的夹角为60°，－4·+3＝0，则|－|的最小值是
。
⑷平面向量、、、均为单位向量，·＝0，(－)·(－)≤0，则|+－|的最大值为
。
3.已知<，>＝60°，||＝2，||＝1，若2t＋7与＋t的夹角为钝角，求实数t的取值范围。
4.已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120?。
⑴求证(－)⊥；
⑵若│k＋＋│>1(k∈R)，求k的取值范围。
5．⑴若，试求的夹角的余弦值。
⑵求与向量
=（1，2），
=（2，1）夹角相等的单位向量的坐标。
⑶若点O是△ABC的外心，且，则内角C的大小为
。
⑷若O是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为
。
【核心点】
1．理解并掌握数量积及运算性质；
2．数量积可用于解决与长度、角度相关的问题。
6.6
平面向量应用
【知识点】
1．向量是数与形集于一身的综合体，既可借助代数运算又可借助几何直观，因而具有广泛应用。
2．向量可以用复数表示，复数也可用向量表示。一个复数与一个以原点为起点、复数对应点为终点的向量一一对应。
3．利用向量求角的大小：
。
利用向量判断两条直线垂直：
。
4．利用向量判断两条直线平行：
。
利用向量判断A、B、C三点共线：
。
利用向量求线段AB的长：
。
【应用点】
1.⑴已知等差数列｛an｝的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200＝（
）
A．50
B.
51
C.100
D.101
⑵点P0是△ABC的边AB上一定点，P0B＝AB，对于边AB上的任意一点P，恒有·≥·，则（
）
A．∠ABC＝90°
B.
∠BAC＝90°
C.AC＝AB
D.AC＝BC
⑶△ABC的面积为1，D、E分别是边BC、CA上的点，且BD＝BC，CE＝CA，AD和BE交于点P，则四边形PDCE的面积是（
）
A．
B.
C.
D.前三个选项都不对
⑷△ABC满足+＝，点D为线段AB上的一个动点，若·的最小值为－3，则△ABC的面积等于
。
2.已知边长为a的正三角形ABC，D、E分别在边AB、BC上，满足AD＝BE＝，连接AE、CD，求AE和CD的夹角。
3.△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m+(－m)(m为常数)，求CD的长度。
4.△ABC中，AB＝，cosB＝，点D在边AC上，BD＝，且＝(+
)(＞0)，求sinA的值。
5.在ABC中，，
，又E点在BC边上，且满足3，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点.求此双曲线的方程。
6.在平面内，定点A、B、C、D满足＝＝,==＝－2，动点P、M满足=1，=，求的最大值。
【核心点】
1．基底法
2．坐标法
6.7
空间向量有关概念、线性运算
【知识点】
1．空间向量：空间中具有下列两个要素的量“
”和“
”。
2．空间向量的表示
　⑴几何表示
；
　⑵字母表示
；
　⑶坐标表示
＝ｘ＋ｙ＋z＝
（||＝||＝||＝
，、、分别与x、y、z轴方向相同）
3．空间向量的长度（或称模）：向量的
，记作
。?
4．特殊向量
　⑴零向量：＝｜｜＝
；
　⑵单位向量：为单位向量｜｜＝
。
　表示与
的
向量。
5．相等向量
　⑴≠，≠，＝　　　　　　　　　　；
　⑵任意的两个零向量　　　　。
6．相反向量
⑴≠，≠，、互为相反向量　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
　⑵任意的两个零向量　　　　。
7．平行向量(也称共线向量)
　⑴≠，≠，、互为共线向量与　　　　　　　，记作　　　。　　　　　　　　　　　　　　　　
　⑵，有
。
8．共面向量：在
一个平面内，或
一个平面的向量。
结论：空间中任意两个向量一定共面，任意三个向量
共面。
9．空间向量的线性运算与平面向量的线性运算形式上一致
运算类型
几何算法
坐标算法
运算性质
加法
减法
数乘
向量
【应用点】
1．⑴已知向量=（0，－1，1），=（1，1，0），|＋|=，且＞0，求。
⑵已知A（3，1，6），B（－3，－1，2），求直线AB与坐标平面xOy的交点C的坐标。
2．三点共线,则＝
，＝
。
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
⑴化简：①++；
②－+；
⑵M为△A1BD的重心，判断A、M、C1三点是否共线？并说明理由。
【核心点】
1．空间向量有关概念；
2．空间向量的线性运算。
6.8
空间向量基本定理
【知识点】
1.空间向量基本定理
若、、是三个
向量，则对于任意向量，
唯一实数对（
，
，
），使＝
；其中、、称为表示空间向量的一组
。
2．空间向量的坐标表示
　⑴在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的
向量、、作为基底，则对于任意向量，
实数对（
，
，
　），使＝
，把这一实数对（
，
，　
）叫做的坐标，记为＝
，其中
称为在x轴上的坐标，
称为在y轴上的坐标，
称为在z轴上的坐标。这时||＝
。
　⑵若＝ｘ＋ｙ＋z＝(x，y，z)（其中Ｏ是坐标原点，向量、、是分别与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量）P(　，　，　)
　⑶在空间直角坐标系中，若点A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则＝
，
||＝
。
【应用点】
1．在四面体OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点P在线段MN上，且||＝3||，试用基底{，，}表示出。
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是所在棱的中点，是否存在实数x、y，使得＝x+y？若存在，试求出x、y的值；若不存在，试说明理由。
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是所在棱的中点，是否存在实数x、y，使得＝x+y？若存在，试求出x、y的值；若不存在，试说明理由。
【核心点】
基底法——适当选取一组基底、、，将其它向量统一用、、表示，从而将问题转化为关于、、的代数运算问题；
6.9
共面向量定理
【知识点】
1．共面向量定理：
若、是空间两个
向量，则向量与、共面
实数对（
，
），使＝
。
推论：A、B、C、D四点中无三点共线，则A、B、C、D共面
实数对（
，
），使＝
+
实数对（x，y，z），对于空间中异于A、B、C、D的任意一点P，＝x
+y+z，且x+y+z＝
。
2．、、是不共面的向量，则x+y+z＝x＝y＝z＝
。
【应用点】
1．设、为空间两个不共线的向量，向量=＋，=2＋8，=3－3，试判断A、B、C、D四点是否共面？并说明理由。
2．在空间中，已知点A（－2，0，6）、B（3，1，12）、C（0，－3，7）、D（5，－2，13），试判断这四个点是否共面。
3．已知A(2，0，0)，B(1，－3，2)，C(8，－1，4)。
⑴若点D(2a+1，a+1，2)在平面ABC上，求a的值；
⑵是否存在点P，使PABC是平行四边形？若存在，试求出点P的坐标，并求平行四边形PABC的面积；若不存在，试说明理由；
⑶若点P是平面ABC上任意一点，试求点P的坐标所满足的方程；
⑷若点P是直线AB上任意一点，试求点P的坐标所满足的方程。
4．如图，在棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是所在棱上的动点，BM＝xBA1，CN＝yCB1。
⑴试找出x、y的关系使MN∥平面ACC1A1
⑵试求MN的最小值。
【核心点】
共面向量定理、推论及其应用
6.10
空间向量数量积
【知识点】
1.两个非零空间向量、的夹角：
，记为：
，
结论：⑴两个非零向量夹角的范围是
；
⑵、方向
<，>＝0，
、方向
<，>＝，
<，>＝。
2．数量积运算
运算类型
几何算法
坐标算法
运算性质
向量的
数量积
结论：⑴点A、B，则|AB|＝
＝
。
⑵对于∠BAC，则cos∠BAC＝
＝
。
⑶⊥·＝
＝
。
3.平面的法向量
。
【应用点】
1．⑴已知向量，，且与互相垂直，则的值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
⑵已知三个向量两两之间的夹角为，又，则
（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
⑶(多选题)在三棱锥M－ABC中，下列命题正确的是（
）
若＝+，则＝3
若G为△ABC的重心，则＝++
若·
＝0，·＝0，则·＝0
D．若三棱锥M－ABC的棱长都为2，P、Q分别为MA、BC的中点，则||＝2
2．已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量。
3．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中,E、F分别是线段BC、AD上的动点。
⑴若E、F分别是线段BC、AD的中点，求·的值；
⑵求·的取值范围；
⑶求线段EF的长的最小值，以及取得最小值时点E、F的位置；
⑷试用、、表示出平面BCD的法向量。
【核心点】
数量积可用于解决与长度、角度相关的问题
6.11
空间向量应用
【知识点】
1．空间中求线段的长度
|AB|2＝
2．空间中求角度
已知∠BAC，则cos∠BAC＝
＝
。
3．判断平行
⑴、分别是直线a和直线b的一个方向向量，则a∥b
；
⑵是直线a的一个方向向量，是平面的一个法向量，a，则a∥
；
⑶、分别是平面和平面的一个法向量，则∥
；
4.判断垂直
⑴、分别是直线a和直线b的一个方向向量，则a⊥b
；
⑵是直线a的一个方向向量，是平面的一个法向量，则a⊥
；
是直线a的一个方向向量，、是平面内的两个不共线向量，若
，
，则a⊥；
⑶、分别是平面和平面的一个法向量，则⊥
；
【应用点】
1．如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝5，AD＝6，∠DAB＝60°，E为AB的中点．
(1)证明：AC⊥PE；
(2)求二面角D?PA?B的余弦值．
2．如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝
.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【核心点】
1．基底法
2．坐标法2021-2022编者-龙诗春71