7.函数 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案）

7.1
函数概念、函数定义域
【知识点】
1.函数的基本概念
⑴函数定义
设A，B是
的
集，如果按照某种确定的对应关系(对应法则)f,使对于集合A中的
一个数x,在集合B中都有
的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A。其中x叫做
,x的取值范围A
叫做函数的
；与x的值相对应的y值叫做
，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的
。显然，{f(x)|x∈A}
B。
⑵函数的三要素：
、
和
。
⑶相等函数：如果两个函数的
相同，且
完全一致，则称这两个函数相等。
2.函数的表示法
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
图像法：肜图像表示表示两个变量之间的对应关系；
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
3.映射的概念
设A、B是两个
集合，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的
一个元素x,在集合B中都有
确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
由映射的定义可看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射。
4．求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①f(x)是由解析式给出的，则函数的定义域是使数学式有意义的实数集合。
通常从下列角度找出使函数式有意义的条件：
出现分式，则分母
0；
出现偶次根式，则根号内的式子
0；
出现对数式，则真数
0，底数
0且
1；等等。
②f(x)是实际问题产生的函数，则函数的定义域应由实际条件确定。
③f(x)是复合函数形式给出的，已知函数y=f(x)的定义域为[a,b]，则函数y=f
[g(x)]的定义域＝“
”的x的取值域范围；已知y=f
[g(x)]的定义域是[a,b]，则y=f(x)的定义域＝函数
，x∈[a,b]的值域。
【应用点】
1.⑴设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面
的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（
）
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
⑵给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)=＋是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；④f(x)=
与g(x)=x＋1是同一个函数。其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
⑶下列各组函数是同一函数的是（
）
A．y=与y=x2＋|x－1|(x≠1)
B．y=x－1与y=
C．y=4lgx与y=2lgx2
D．y=与y=x2＋1
⑷存在函数f(x)满足对任意xR都有（
）
A.f(|x|)＝x
B..f(|x|)＝x2+2x
C.f(|x+1|)＝x
D..f(|x+1|)＝x2+2x
⑸函数f：{1，2，3|{1，2，3|
满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有（
）
A.1个
B.4个
C.8个
D.10个
2．求下列函数的定义域：
⑴
y＝
⑵y＝
⑶y=
⑷y=
⑸
3．⑴设全集U＝R，已知的定义域为F，函数的定义域为G，那么GU等于（
）
A．(2，＋∞)　　B．(－∞，2)　　C．[1，＋
∞)　D．[1，2)U(2，＋∞)
⑵函数的定义域为（
）
A.
B.
C.
　　D.
⑶设，则的定义域为
(
)
A．
B．
C．
D．
⑷已知函数f(x2－x－3)的定义域为(0，5]，则f(x)的定义域为（
）
A．(0，5]　　B．[－3，5]　　C．[－3，17]　
D．前三个选项都不对
4.如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的一边长为2,求此框架围成的封闭图形的面积与的函数关系。
【核心点】
1.函数概念，构成函数的三个要素；
2.相等函数与函数定义域
7.2
函数解析式
【知识点】
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式－待定系数法；
（2）已知f(g(x))求f(x)－换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某些条件，但却确定不了其解析式类型；
（5）实际问题中的函数解析式。
【应用点】
1．⑴图中的图象所表示的函数的解析式为
(
)
A.
(0≤x≤2)
B.
(0≤x≤2)
C.
(0≤x≤2)
D.
(0≤x≤2)
⑵某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为(
)
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
2.⑴已知，求；
⑵已知，求；
⑶已知是一次函数，且满足，求；
⑷已知满足，求。
3.⑴设，求；
⑵已知函数f(x)是R上的单调函数，且满足对任意xR都有f(f(x)－2x)＝3，求f(x)的解析式。
⑶函数f(x)满足对任意x、yR都有f(x+y)＝f(x)cosy+f(y)f(－x)，求f(x)的解析式。
4.已知，求。
5.如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点P到平面的距离PH＝0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB＝1.5（km），OA＝（km）．
⑴在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
⑵对于⑴中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
⑶在AB上是否存在两个不同的点D/，E/，使沿折线PD/E/O修建公路的总造价小于⑵中得到的最小总造价，证明你的结论．
【核心点】
函数解析式的求法
7.3
函数值与分段函数
【知识点】
1．分段函数：指在定义域的
部分，有
的解析式。
一个分段函数是
个函数，其定义域是各段定义域的
集，值域是各段值域的
集。
2．函数值求法
首先考虑自变量值是否在定义域内，不在定义域内，则对应的函数值
存在；在定义域内，若是分段函数，考虑自变量值在哪一范围内，利用对应的数学式求函数值。若是抽象函数，常通过取特定自变量值来解决。
【应用点】
1.⑴设函数则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
⑵函数则的所有可能值为（
）
A．1
B．
C．1，
D．1，
⑶已知函数=，若=4a，则实数a=（
）
A．
B．
C．2
D．9
⑷已知函数若互不相等，且则的取值范围是（
）
A．(1，10)
B．(5，6)
C．(10，12)
D．(20，24)
⑸已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足：f(x+y)＝f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，那么当x＜0时一定有（
）
A．f(x)＜－1
B．－1＜f(x)＜0
C．f(x)＞1
D．0＜f(x)＜1
⑹已知函数f(x)满足f(x+2)＝(xR)，f(2)＝，则f(2022)等于（
）
A．－2
B．－1
C．
D．2
⑺函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1、x2D，当x1＜x2时都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数。
设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0，②f()＝f(x)，③f(1－x)＝1－f(x)，则f()+f()等于（
）
A．
B．1
C．
D．
2．⑴函数对于任意实数满足条件，若则
；
⑵已知，则＋＋＋…＋的值等于
；
⑶已知函数若，则
；
⑷若函数
则不等式的解集为
；
⑸定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)＝f(x)+f(y)+2xy(x，yR)，f(1)＝2，则f(－3)等于
；
⑹函数f(x)＝，若f(f(t))[0，1]，则实数t的取值范围是
。
【核心点】
1.理解分段函数；
2.会求函数值。
7.4
函数单调性
【知识点】
1.对于函数f(x)，x∈区间I，
⑴f(x)是I上增函数（或称在I上单调递增）
在I上自变量值x越大，函数值f(x)
x1，x2∈I，且x1x1，x2∈I，且x1≠x2，
0
在I上图像特征如图
。
⑵f(x)是I上减函数（或称在I上单调递减）
在I上自变量值x越大，函数值f(x)
x1，x2∈I，且x1x1，x2∈I，且x1≠x2，
0
在I上图像特征如图
。
2．f(x)是I上增函数，或减函数，统称f(x)是I上单调函数，或者说f(x)在I上具有单调性，区间I称为f(x)的单调区间。
3.f(x)(x∈I)有导数.f/(x)，则
f(x)是I上增函数.f/(x)
0且.f/(x)
0；
f(x)是I上减函数.f/(x)
0且.f/(x)
0。
4．初等函数的单调性
(1)一次函数（直线）：y＝kx+b
函数为R上的增函数k
0；函数为R上的减函数k
0。
(2)反比例函数：
函数为(－∞，0）与(0，＋∞）上的减函数k
0；
函数为(－∞，0）与(0，＋∞）上的增函数k
0。
(3)二次函数（抛物线）：0
时，在
上为减函数，在
上为增函数；
时，在
上为增函数，在
上为减函数。
(4)是(0，＋∞）上减函数0
a
1；是(0，＋∞）上增函数a
1。
(5)是(0，＋∞）上减函数0
a
1；是(0，＋∞）上增函数a
1。
(6)：增区间为
，减区间为
。
(7)：增区间为
，减区间为
。
(8)y=tanx：增区间为
，
减区间。
5．复合函数y＝f(g(x))的单调性：
①若f与g的单调性
，则f(g(x))为增函数；
②若f与g的单调性
，则f(g(x))为减函数。
6．一些有用的结论：
①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性
；
②偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
；
③在公共定义域内：
增函数f(x)+增函数g(x)是
函数；减函数f(x)+减函数g(x)是
函数；
增函数f(x)－减函数g(x)是
函数；减函数f(x)－增函数g(x)是
函数。
④函数在上单调递增；
在上单调递减。
【应用点】
1.
考察下列函数的单调性，写出单调区间
　⑴；
⑵；　　
⑶；
⑷
2.讨论的单调性。
3.(1)，则a的范围为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)函数)是单调函数的充要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
(3)若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（
）
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(0，2)
D．[2，+∞)
⑷已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减，则a的取值范围是（
）
A．[，1)
B．(0，]
C．[，]
D．(0，]
⑸函数f(x)＝(a∈R)在[3，＋∞)上为减函数，则a的取值范围是
．
4.(1)设函数，对任意实数t都有成立，则在函数值f(－1)、f(1)、f(2)、f(5)中最小的一个不可能是（
）
A．
f(－1)
B．、f(1)
C．f(2)
D．f(5)
(2)已知为R上的减函数，则满足<的实数x的取值范围是（
）
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
(3)函数若则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5.⑴设是定义在R上的函数，对m、nR恒有，且当时，，若·＞1，求的范围。
⑵设f(x)是定义在R上的减函数，对m、nR恒有f(m+n)＝f(m)+f(n)－2，f(1)＝0，解不等式[f(x2－2x)]2+2f(x2－2x－1)－12<0。
【核心点】
函数值与自变量值的变化相同函数递增；函数值与自变量值的变化相反函数递减。
7.5
函数奇偶性
【知识点】
函数f(x)(x∈D)是奇函数x∈D有f(－x)+f(x)
0
f(x)的图像关于
对称。
2．函数f(x)(x∈D)是偶函数x∈D有f(－x)－f(x)
0
f(x)的图像关于
对称。
3．奇、偶函数的性质
(1)函数f(x)(x∈D)的定义域D关于原点对称是f(x)为奇函数或偶函数的
条件；
f(x)(x∈D)是偶函数
f(|x|)
f(x)(填＝、≠)；
f(x)的定义域为D，0D，则f(0)＝0是
f(x)为奇函数的
条件。
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是
函数。两个奇函数的积是
函数；
②两个偶函数的和、积是
函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积是
函数。
4．判断函数的奇偶性
对于选择题或填空题可运用图像或特例法解决，而对于解答题通常按照定义严格进行，其一般步骤是:
考查定义域是否关于
对称→考查f(－x)与f(x)的关系→若f(－x)+f(x)
0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)
0，则f(x)为偶函数：若f(－x)+f(x)
0且f(－x)－f(x)
0,则f(x)既是奇函数又是偶函数；若存在x0，使f(－x0)
－f(x0)且f(－x0)
f(x0)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶函数。
【应用点】
1.判断下列各函数的奇偶性
⑴；
⑵；
⑶
2.⑴已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当时，，求f(x)的解析式;
⑵已知f(x)＝ax2+bx－3b+5是定义在[a-1，2a]上的偶函数，求f(x)的解析式。
3.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数。
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围。
4.已知函数f(x)＝ln(e3x+1)+ax是偶函数。
(1)求a的值；
(2)解不等式f(x－5)>f(2x－1)。
5.函数f(x)＝ln(－x)+3－x－3x，若f(a)+f(x2+5)≤0对xR成立，求a的取值范围。
【核心点】
图像对称性与数学式的联系
7.6
函数的对称性
【知识点】
1.函数f(x)的图像关于直线x＝m对称f(m+x)－f(m－x)＝
f(x)－f(2m－x)＝
.
2.函数f(x)的图像关于点(m，n)对称f(m+x)+f(m－x)＝
f(x)+f(2m－x)＝
.
3.函数y＝f(m+x)的图像与函数y＝f(m－x)的图像关于直线
对称。
4.函数y＝f(x)的图像与函数y＝－f(x)的图像关于直线
对称。
5.函数y＝f(m+x)的图像与函数y＝－f(m－x)的图像关于点
对称。
【应用点】
1.⑴函数f(x)＝图像的对称中心是
。
⑵函数f(x)＝的对称轴是
。
2.⑴已知函数y＝f(x+1)是定义于R上的奇函数，当x>1时，f(x)＝x2－4x，则函数f(x)＝
。
⑵把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题
若函数f(x)＝3+log2x的图像与g(x)的图像关于对称，则g(x)＝
。
3.⑴函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式（
）
A．　　　　B．
C．　　　　D．
⑵设函数的图象关于直线对称，则的值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．
⑶函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是（
）
A．{1，2}
B．{1，4}
C．{1，2，3，4}
D．{1，4，16，64}
⑷已知定义域为R的函数f(x)在(8，+∞)上为减函数，且函数y＝f(x+8)为偶函数，则（　　）
A．f(6)>f(7)
B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9)
D．f(7)>f(10)
⑸设函数f(x)定义在R上，它的图像关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有（　　）
A．
B．
C．
D．
⑹在上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)（　　）
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
⑺已知函数f(x)(xR)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数与y＝f(x)图像的交点为
则（
）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
⑻设，是公差为的等差数列，，则（
）
⑼已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【核心点】
图像对称性与数学式的联系
7.7
函数的周期性
【知识点】
1.周期函数
对于函数f(x)，若常数T
0，使得当x取定义域内的
值时，都有
成立，则函数y=f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的一个
。
2.最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的
。
3.结论
⑴若T是周期函数f(x)的一个周期，则n·T(n∈Z且n≠0)是f(x)的
。
⑵周期函数的图像每相隔|T|个单位
出现。
⑶最小正周期为T的函数在长度为一个周期的区间上的递减区间为(a,b),则它的所有递减区间是
。
4.对于函数f(x)，一些可判断f(x)为周期函数的结论
⑴对函数f(x)定义域内一切x值，f(x+a)＝－f(x)，f(x+a)＝±(a≠0)，则f(x)是一个周期为
的周期函数；
⑵若函数f(x)有两条对称轴分别为x＝a、x＝b，则f(x)是一个周期为
的周期函数；
⑶若函数f(x)有两个对称中心分别为(a，0)、(b，0)，则f(x)是一个周期为
的周期函数；
⑷若函数f(x)有一个对称中心(a，0)、一条对称轴x＝b，则f(x)是一个周期为
的周期函数；
【应用点】
1.⑴(多选题)下列函数是周期函数的有（
）
A.f(x)＝5
B.D(x)＝
C.f(x)＝sin(x2)
D.f(x)＝(x－2k)2，x[2k－1，2k+1)(kZ)
⑵(多选题)下列函数中，5是函数的周期的有（
）
A.f(x)＝tan(－x+5)
B.D(x)＝
C.f(x)＝sin(－5x)
D.f(x)＝|x－2k－1|，x[2k－，2k+)(kZ)
⑶(多选题){x}表示不超过x的最大整数，如{5.3}＝5，{－5.3}＝－6，下列关于函数f(x)＝x－{x}的结论中正确的有（
）
A.f(x)的图像是一条直线
B.f(x)是最小正周期为1的周期函数
C.f(x)的单调递增区间为[n，n+1)(nZ)
D.f(x)有最大值
⑷(多选题)定义在R上的偶函数f(x)满足对xR恒有f(x+4)＝f(x)+f(2)，且在区间[0，2]是增函数，则下列命题中正确的是（
）
f(x)是一个周期为4的周期函数
直线x＝－4是f(x)图像的一条对称轴
f(x)在[－5，－4]上递减，在[－6，－5]上递增
D．f(x)在[0，100]内有25个零点
⑸定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当时，f(x)＝sinx，则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
⑹定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为，则可能为（
）
A．0
B．1
C．3
D．5
⑺定义在R上的函数f(x)是周期为2的周期函数，且对xR恒有f(x)－f(－x)＝0.当x[－1，0]时，f(x)＝x2e－(x+1).若g(x)＝f(x)－logax在x(0，+∞)有且仅有3个零点，则a的取值范围是（
）
A.(3，+∞)
B.(－∞，5)
C.(5，+∞)
D.前三个选项都不对
2.已知f(x)是定义在R上的周期函数，其最小正周期是2，又f(x)是偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)＝－2(x－3)2＋4，求当x∈[1，2]时的解析式.
3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且函数f(x＋2)也是偶函数，已知当x∈[－2，2]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[－6，－2]时f(x)的解析式.
【核心点】
图像的重复性与数学式的联系
7.8
函数的零点
【知识点】
1．“函数y=f(x)的零点”＝“方程
的实根”。
2．函数y=f(x)有n个零点方程
有
个实根函数y=f(x)的图像与
有
个交点。
3．零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条
的曲线，并且
，则函数y=f(x)在区间(a，b)内
一个零点，即
一个x0∈(a，b)，使得
。
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条
的曲线，且在区间[a，b]上是
，并且
，则函数y=f(x)在区间(a，b)内
一个零点，即
一个x0∈(a，b)，使得
，也就是方程
有
实根x0。
4．用二分法求函数f(x)的零点或者方程的实根的近似值的步骤：
第一步，确定区间[a，b]，验证
；给定精确度。
第二步，求区间(a，b)的中点c1；
第三步，计算
：
⑴若
，则c1就是函数的零点；
⑵若
，则令b=
c1
(此时零点x0∈(a，c1))；
⑶若
，则令a=
c1
(此时零点x0∈(c1，b))；
第四步，判断是否达到精确度：即若|a－b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步。
【应用点】
1．⑴函数的零点个数为
(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
⑵函数f(x)＝，则方程f(f(x))＝3的实数根的个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
⑶定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(4－x),且当x∈(－1，3]时，f(x)＝，则g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数是（
）
A．9
B．10
C．18
D．20
⑷函数f(x)＝，则下列关于函数y＝f(f(x))+1的零点个数判断正确的是（
）
当k>0时有3个零点，当k<0时有2个零点
当k>0时有4个零点，当k<0时有1个零点
C．无论k为何值，均有2个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
2．⑴若满足2x+=5,
满足2x+2(x－1)=5,
+＝（
）
A．
B．3
C．
D．4
⑵已知是函数f(x)=2x＋的一个零点，若∈（1，），∈（，+），则（
）
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
⑶设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则函数y＝的所有零点之和为（
）
A．－3
B．3
C．－8
D．8
⑷f(x)=2－｜x－1|＋2cosx(－4≤x≤6)的所有零点之和为（
）
A．12
B．10
C．8
D．6
3．⑴设函数则（
）
A．在区间(e－1，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(e－1，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(e－1，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(e－1，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
⑵若函数f(x)的零点与g(x)＝4x+2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，
则f(x)可以是（
）
A.f(x)＝4x－1
B.f(x)＝(x－1)2
C.
f(x)＝ex－1
D.
f(x)＝ln(x－)
⑶函数f(x)＝，若方程f(x)＝x+a在区间[－2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（
）
A.(－2，0)
B.(－2，0]
C.(－2，0)∪(1，2)
D.(－2，0)∪{1}
⑷函数f(x)满足f(x)+1＝，当x[0，1]时，f(x)＝x，若在区间(－1，1]上g(x)＝f(x)－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是（
）
A.(0，)
B.(0，]
C.(，1)
D.(，1]
【核心点】
1．等价转化思想
2．数形结合思想
7.9
函数的性质综合
【应用点】
1.定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|+|x－2a2|－3a2).若对xR恒有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围是（
）
A.[－，]
B.[－，]
C.[－，]
D.[－，]
2.函数f(x)＝|sinx|(x[－，])，g(x)为[－4，4]上的奇函数，且g(x)＝，设方程f(f(x))＝0、f(g(x))＝0、g(g(x))＝0的实根的个数分别为m、n、t，则m+n+t＝（
）
A．9
B．13
C．17
D．21
3.函数f(x)＝，若方程f(x)＝a有四个不同的实根x1、x2、x3、x4，且x1）
A.(－1，+∞)
B.[－1，1)
C.(－∞，1)
D.(－1，1]
4.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，且f(x+2)＝f(x)；g(x)＝,则方程f(x)＝g(x)在区间[－5，1]上的所有实根之和是
。
5.已知函数f(x)＝x2+ex－(x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图像上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是
。
【核心点】
善于利用对称性与周期性思考问题
7.10
根式、指数
【知识点】
1．整数指数幂
=
（n∈N
）；=
（a≠0）；=
=
（n∈N
）。
2．根式：如果
，那么x叫做a的n次方根，其中n
1，且n∈N
。式子叫做根式，这里n叫做根指数，叫做被开方数。
当n为奇数时，x=
，这里可取任何实数；当n为偶数时，x=
，这里
0。
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0；()n＝
；=
。
3．分数指数幂
=
（
0，、∈N
，且
1）；=
（
0，、∈N
，且
1）；
0的正分数指数幂=0；0的负分数指数幂及00没有意义。
4．指数幂的运算性质
·=
；=
；=
；=
。(、>0，r、sR)
【应用点】
1.⑴(多选题)下列结论中不正确的是（
）
A.＝
B.＝
C.·＝(a>0)
D.＝
⑵化简a·的结果为（
）
A.
B.－
C.－
D.
⑶＝4，则x等于（
）
A.±8
B.±
C.
D.±2
⑷化简2－(2k+1)－2－(2k－1)+2－2k等于（
）
A.2－2k
B.2－(2k－1)
C.－2－(2k+1)
D.2
⑸等于（
）
A.·
B.·
C.－·
D.－·
⑹(多选题)下列命题中正确的是（
）
A.＝的充要条件是x≥5
B.＝(3－x)的充要条件是x<3
C.|a|<1是+＝4的充分条件
D.＝±3
2.化简：
⑴－(其中a>1)；
⑵.
3.⑴已知＋=3，求的值；
⑵设的整数部分为a，小数部分为b，求a2+(1+)ab的值；
⑶已知x＝，y＝，求3x2－10x2y2+3y2的值。
【核心点】
1.根式的意义，根式与指数式的联系
2.注意根式变为指数式的条件，遇到偶次根式要小心！
7.11
对数
【知识点】
1．对数概念
=N（>0，≠1）=（>0，≠1，N>0），数叫做以为底N的
，其中叫做对数的
，N叫做
。
以10为底的对数称为
，简记为
；
以无理数e为底的对数叫做
，简记为
(e＝
)。
2.对数的运算性质
⑴如果>0，≠1，M>0，N>0，则
loga(MN)=
；loga=
；loga=
。
⑵换底公式：
推论：
。
⑶常用结论：loga1=
；logaa=
；=
；logaan=
。
=
（>0，≠1）；
logax=
logay
（>0，≠1，x、y>0）。
【应用点】
1.⑴
＝，则x＝（
）
A.
B.
C.4
D.2
⑵设，且，则（
）
A.
B.10
C.20
D.100
⑶若lg3.1415＝m，则lg0.031415＝（
）
A.m－2
B.2－m
C.0.01m
D.100m
⑷已知x2+y2－4x－2y+5＝0，则logxyx的值是（
）
A.1
B.0
C.x
D.y
⑸(多选题)下列结论中正确的是（
）
A.logax4＝4logax
B.loga(xy)＝loga|x|+loga|y|
C.loga(x－y)＝
D.logax－logay＝loga
2.化简下列各式
⑴2log510＋log50.25＋＋；
⑵；
⑶+；
⑷＋－·。
3.⑴已知=，=，试用、表示出的值。
⑵x、yR，且2x＝18y＝6xy，求x+y的值。
【核心点】
1.对数概念，对数式与指数式的关系；
2.对数运算性质、换底公式及推论，注意条件！
7.12
指数函数
【知识点】
1．指数函数
⑴定义：函数y=
(a>0，且a≠1)叫指数函数，其中x是自变量。
⑵指数函数的图象和性质
a>1
0图象
定义域
值域
性
质
定点
奇偶性
渐近线
单调性
其它
x<0y
x<0y
2.指数函数满足：f(x+y)＝f(x)·
，f(x－y)＝f(x)
。
【应用点】
1.⑴如图，指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a、b、c、d的大小关系是（
）
A.aC.1⑵已知函数f(x)＝|2x－1|，cf(a)>f(b)，m＝2a+2c，则（
）
A.m>2　　　　B.m<2
C.m≥2　　　　D.m≤2
⑶已知≤k<1，函数f(x)＝|2x－1|－k的零点分别为x1、x2(x1）
⑷记x2－x1为区间[x1，x2]的长度，已知函数y＝2|x|，x[－2，a](a≥0)的值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值为（
）
A.2　　　　B.3
C.5　　　　D.前三个选项都不对
⑸若函数f(x)＝a|x+b－5|(a>0，且a≠1，bR)是偶函数，m＝f(b－8)，n＝f(a+2)，则m、n的大小关系是（
）
A.m>n　　　　B.mC.m≤n　　　　D.m、n的大小无法确定
⑹已知x、y是实数，且3x+5y>3－y+5－x，则下列结论中正确的是（
）
A.x+y>0　　　　B.x+y<0
C.x－y<0　　　　D.x－y>0
⑺已知函数f(x)＝x2－2x+a(ex－1+e－x+1)有唯一零点，则a＝（
）
A.　　　　B.
C.－　　　　D.1
2.已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
⑴讨论f(x)的单调性；
⑵若f(x)≥0，求a的取值范围.
【核心点】
指数函数的图像、性质及应用
7.13
对数函数
【知识点】
1．对数函数
(1)定义：函数y＝
(a>0,a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量。
(2)对数函数的图象和性质
a>1
0图象
定义域
值域
性
质
定点
奇偶性
渐近线
单调性
其它
002.对数函数满足：f(xy)=f(x)＋
，f()=f(x)－
。
3．同底的指数函数与对数函数互为反函数。
【应用点】
1.⑴
若，则（
）
A．<<
B．<<
C．
<<
D．
<<
⑵若logx3>logy3>0,则下列不等式恒成立的是
(　　)
A.B.<3x–y
C.
<31–y
　D.
>31–y
⑶已知函数f(x)＝ln(x+)，若实数a、b满足f(a)+f(b－2)＝0，则a+b＝（
）
A.－2　　　　B.－1
C.0　　　　D.2
⑷已知函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于（
）
A.　　　　B.2
C.2+　　　　D.2
⑸已知函数f(x)＝loga(ax2－x+)在区间[1，]上恒正，则实数a的取值范围是（
）
A.(，+∞)
B.(，)
C.(，+∞)
D.(，)∪(，+∞)
⑹(多选题)已知函数f(x)＝lnx+ln(2－x)，则（
）
A.f(x)在区间(0，2)上单调递减　　　　B.f(x)在区间(0，1)上单调递增
C.f(x)的图像关于直线x＝1对称　　　
D.f(x)的值域为[0，+∞)
⑺若2a+log2a＝4b+2log4b，则（
）
A.a>2b　　　　B.a<2b
C.a>b2　　　　D.a⑻已知函数f(x)＝(x>2)，f(x1)+f(x2)＝，则f(x1x2)的最小值是
。
2.已知函数f(x)＝loga(ax2－x)，
是否存在实数a，使它在区间［2，4］上是增函数?如果存在，
说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。
3.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)，对于任意的m、n(0，+∞)，都有f(m·n)＝f(m)+f(n)成立，且当x>1
时，f(x)<0.若f(2)＝－，试解不等式f(x2－3x)>－1。
4.已知函数f(x)＝lnx+(a>0).
⑴若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；
⑵证明：当a≥且b>1时，f(lnb)>。
【核心点】
对数函数的图像、性质及应用
7.14
幂函数
【知识点】
1．幂函数概念：形如
（其中n是常数）的函数。
2．幂函数在第一象限的图像特征与指数的关系：
⑴都经过点(
)；
⑵当n＞0时，在(0，+∞)上递增；
当n＜0时，在(0，+∞)上递减；
当n＝0时，不具有单调性。
⑶x＞1时，指数越大，图像越
。
【应用点】
1.⑴函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（　　）
　　Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
⑵给出函数①f(x)＝x，②f(x)＝x2，③f(x)＝x3，④f(x)＝，⑤f(x)＝，其中满足条件f()>(x1>x2>0)的函数的个数为（
）
Ａ．1
Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4
⑶已知函数f(x)＝，若方程f(x)＝kx+1有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A.(－，)
B.[－，)
C.(－，]
D.(－∞，－)∪(，+∞)
⑷若关于x的方程ax+＝3的正实数解有且仅有1个，则实数a的取值范围是（　　）
A.{a|a≤0}
B.{a|a≤0，或a＝2}
C.{a|a≥0}
D.{a|a≥0，或a＝－2}
⑸定义于R上的奇函数满足当x≥0时，f(x)＝x2，则f(f(x))+f(1－x)<0的解集是（
）
A.{x|x<}
B.{x|－C.{x|x>－}
D.前三个选项都不对
2.已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，求h(x)=f(x)＋g(x)的单调区间。
3．已知函数为偶函数，且f(3)【核心点】
幂函数的图像、性质与应用
7.15
函数的图像
【知识点】
1．基本初等函数的图像
⑴f(x)＝c(常数)的图像：
⑵f(x)＝ax＋b(a≠0)的图像：
⑶f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像：
⑷f(x)＝的图像：
⑸f(x)＝ax＋(a，b>0)的图像：
⑹f(x)＝x3、f(x)＝的图像：：
⑺f(x)＝sinx、f(x)＝cosx的图像：
f(x)＝tanx的图像：
2．同一个函数的图像性质
⑴f(－x)＝f(x)f(x)的图像关于
；⑵f(－x)＝－f(x)f(x)的图像关于
；
⑶f(a－x)＝f(a＋x)f(x)的图像关于
；
⑷f(a－x)＝－f(a＋x)f(x)的图像关于
。
3．两个函数图像之间的关系：
⑴y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于
；
⑵y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于
；
⑶y＝f(x)的图像→→→→→y＝|f(x)|的图像；
⑷y＝f(x)的图像→→→→→y＝f(x＋a)(a≠0)的图像；
⑸y＝f(x)的图像→→→→→y＝f(x)(
>0)的图像；
⑹y＝f(x)的图像→→→→→y＝A·f(x)(
A>0)的图像。
【应用点】
1.⑴函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是（
）
⑵函数的图像大致为（
）
⑶设＜b,函数的图像可能是（
）
⑷函数在区间内的图象是
（
）
2.⑴定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则（
）
A.f(－25)B.f(80)f(－25)
C.f(11)D.f(－25)f(11)
⑵为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（
）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
⑶把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
⑷设函数则不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
⑸已知函数两函数的图像的交点个数
为
(
）
A．1
B．2
C．3
D．4
⑹定义在R上的函数f(x)满足对一切xR都有f(x+1)＝－f(x)，当－1≤x<1时f(x)＝x3。若函数g(x)＝f(x)－loga|x|(a>0，且a≠1)至少有6个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A.(0，]∪(5，+∞)
B.(0，)∪(5，+∞)
C.(，]∪(5，7]
D.(，)∪[5，7)
⑺定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)＝f(x)，当0≤x≤时f(x)＝－|－2x|。则方程f(x)＝在区间[－4，4]上根的个数是（　　）
A.4
B.5
C.6
D.7
【核心点】
数学式图像化，即数向形转化编者：衡南县第五中学龙诗春95