8.导数 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案）

8.1
导数概念、求导法则与公式
【知识点】
1．导数概念：对于函数y=f(x)
⑴自变量值在x0处的增量：△x＝
，这时有x＝
＋△x；对应的函数值增量：△y＝
；在x0处的平均变化率：
.
⑵瞬时变化率(函数在x0处的导数)：f/(x0)＝＝
＝
.
⑶函数f(x)的导函数y′＝f/(x)＝
.
注：函数在x0处的导数是它的导函数在x0处的函数值！
2．基本初等函数的导数公式
=
（C为常数）；=
；=
；=
；
=
；=
（＞0，且≠1）；
=
；=
（＞0，且≠1）.
3．导数运算法则
⑴四则运算：＝
；
＝
；＝
（c为常数）；
＝
（≠0）.
⑵复合函数求导法则：y＝f(g())由y＝f()与＝g()复合而成，函数y＝f(g())称之为复合函数，则[f(g())]/＝
.
【应用点】
1.求下列函数的导数
⑴y＝5x5－4x4＋3x3－2x2＋x－1；
⑵y＝(x2＋1)(3x－1)(1－x2)；
⑶y＝；
⑷y＝；
⑸y＝ln(x＋)；
⑹y＝sin(1－2cos2)；
⑺y＝；
⑻y＝sinx2sin2x；
⑼y＝ln2(x5－2x3+5).
2.⑴函数y＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－2021)在x=5处的导数值是（
）
A.24×2016!
B.2016!
C.24
D.前三个选项都不对
⑵已知函数f(x)＝(x2－a)lnx，f/(x)为函数f(x)的导函数，若f/(1)＝－2，则a的值是（
）
A.1
B.2
C.3
D.前三个选项都不对
⑶已知函数f(x)的导函数为f/(x)，且满足f(x)＝2xf/(x)+lnx，则f/(e)＝（
）
A.e
B.－e
C.－1
D.－
⑷若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是（
）
A
B
C
D
⑸函数f(x)的导函数为f/(x)，且f(x)＝ex+e－x－xf/(1)·(ex－e－x)，则f/(2)+f/(－2)－f/(0)f/(1)＝（
）
A.4e2+4e－2
B.4e2－4e－2
C.0
D.4e2
【核心点】
1.导数的概念、求导法则、公式；
2.能正确求给出的函数的导数.
8.2
导数与曲线的切线
【知识点】
瞬时变化率(函数在x0处的导数)：f/(x0)＝＝
＝
.
几何意义：导数f/(x0)是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的
；因而点(x0，f(x0))为切点，y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为
.
【应用点】
1．⑴已知偶函数f(x)满足当x<0时f(x)＝ln(－x)+3x，求曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程；
⑵求过点A(2，8)且与曲线y＝x3相切的直线方程；
⑶已知曲线C1：，曲线C2：y=－(x－2)2，直线与C1、C2都相切，求直线的方程.
2．⑴设函数f(x)＝g(x)+x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x+1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为（
）
A.4
B.2
C.
D.－
⑵已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为(
)
A.1
B.2
C.－1
D.－2
⑶若点P是曲线y=x2-ln
x上一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（
）
A.1
B.
C.
D.
⑷若存在过点(1，0)的直线与曲线和都相切，则＝（
）
A．－1或－
B．－1或
C．－或－
D．－或7
⑸函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2+8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是（
）
A.y＝2x－1
B.y＝x
C.y＝3x－2
D.y＝－2x+3
⑹已知过点A(a，0)作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有2条，则实数a的取值范围是（
）
A．(－∞，－4)∪(0，+∞)
B．(0，+∞)
C．(－∞，－1)∪(1，+∞)
D．(－∞，－1)
⑺过点A(2，1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，最多有（
）
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
⑻设直线l1、l2分别是函数f(x)＝图像上点P1、P2处的切线，l1与l2垂直且相交于点P，l1、l2分别与y轴相交于点A、B，则|AB|＝（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
⑼已知函数f(x)＝aex(a>0)与g(x)＝x2-m(m>0)的图像在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围是（
）
A．(，+∞)
B．(，+∞)
C．(0，)
D．(0，)
⑽已知函数f(x)＝(k+)lnx+，k[4，+∞)，曲线y＝f(x)上总存在两点M(x1，y1)、N(x2，y2)，使曲线y＝f(x)在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围是（
）
A．(，+∞)
B．(，+∞)
C．[，+∞)
D．[，+∞)
⑾
已知动点P(a，a2+2a)与Q(b，b2+2b)(a）
A.1
B.2
C.
D.
【核心点】
1．区别曲线y＝f(x)“在点(x0，f(x0))或x＝x0处的切线”与“过点(x0，f(x0))的切线”；
2．求曲线y＝f(x)的切线方程的关键是解决
.
8.3
导数与单调性
【知识点】
对于函数y＝f(x)，f(x)在区间I上存在导函数f/(x)
f(x)在I上单调递增f/(x)
0且f/(x)
0；
f(x)在I上单调递减f/(x)
0且f/(x)
0.
【应用点】
1.⑴求函数f(x)＝ln(1+x)-x+kx2
(k≥0)的单调区间；
⑵求函数f(x)＝xekx(k≠0)的单调区间；
⑶讨论函数f(x)＝－x+alnx的单调性.
2.⑴若f(x)＝－x2+bln(x+2)在(－1，+∞)上是减函数，则b的取值范围是（
）
A.[－1，+∞)
B.
(－1，+∞)
C.
(－∞，－1]
D.
(－∞，－1)
⑵已知函数f(x)＝x3+(1－a)x2－a(a+2）x+b(a、bR)在区间(－1
，1)上不单调，则的取值范围是（
）
A.[－5，1)
B.
(－5，1)
C.
(－5，－)∪(－，1)
D.
前三个选项都不对
⑶若函数f(x)＝(a∈R)在[3，＋∞)上为减函数，则a的取值范围是（
）
A.(－，+∞)
B.
(－5，+∞)
C.
[－，+∞)
D.
前三个选项都不对
3．⑴函数f(x)在定义域(0，+∞)内恒满足：①f(x)>0，②2f(x)）
A.(，)
B.
(，)
C.
(，)
D.
(，)
⑵定义在R上的偶函数f(x)的导数为f/(x)，若f/(x)）
A.(1，+∞)
B.
(e，+∞)
C.
(－∞，0)
D.
(－∞，)
⑶若函数f(x)满足f(x)＝x(f/(x)－lnx)，且f()＝，则ef(ex)）
A.(－∞，－1)
B.
(－1，+∞)
C.
(0，)
D.
(，+∞)
【核心点】
1.运用导数探究单调性的步骤：定义域→求f/(x)→f/(x)＝0的根→列表；
2.判断f/(x)的符号：不等式法，函数法
8.4
导数与极值
【知识点】
函数y＝f(x)的极值
函数y＝f(x)有导数f/(x)，
f/(a)
0，且在x=a的左侧附近f/(x)
0，在x=a的右侧附近f/(x)
0f(x)在x=a处取得极小值，x=a称为函数的极小值点.
f/(a)
0，且在x=a的左侧附近f/(x)
0，在x=a的右侧附近f/(x)
0f(x)在x=a处取得极大值，x=a称为函数的极大值点.
极大值点、极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值.
注：f/(a)＝0是函数y＝f(x)在x=a处取得极大（或极小）值的
条件.
【应用点】
1.⑴已知函数f(x)＝nx－xn，x∈R，其中n∈N
，且n≥2，求f(x)的极值.
⑵已知，求f(x)的极值.
2.讨论函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)(a∈R)极值点的个数，并说明理由.
3.已知a>0，函数f(x)＝eaxsin
x(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N
)个极值点．证明：
数列{f(xn)}是等比数列.
4.⑴设，若函数，有大于零的极值点，则（
）
A．
B．
C．
D．
⑵若函数f(x)＝ex－(m+1)lnx+2(m+1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（
）
A．(－e2，－e)
B．(－∞，－)
C．(－∞，－)
D．(－∞，－e－1)
⑶函数f(x)＝+2klnx－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围为（
）
A．(－∞，]
B．(－∞，]
C．(0，2]
D．[2，+∞)
⑷设函数f(x)＝x2－2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，且x1）
A．(0，)
B．(，0)
C．(，+∞)
D．(－∞，)
5.若函数f(x)＝－x+alnx存在两个极值点x1、x2，证明：【核心点】
1.极值的求法：求f/(x)→f/(x)＝0的根→列表；
2.取得极值的条件.
8.5
导数与最值
【知识点】
1．⑴函数f(x)(xD)值域中最大的数或者说函数值中最大的数，称为函数y=f(x)的最大值；
即xD，x0D，都有f(x)
f(x0)f(x0)为f(x)的最大值,x0称为最大值点；
最大值对应曲线y＝f(x)(xD)的最
点.
⑵函数f(x)(xD)值域中最小的数或者说函数值中最小的数，称为函数y=f(x)的最小值；
即xD，x0D，都有f(x)
f(x0)f(x0)为f(x)的最小值,x0称为最小值点；
最小值对应曲线y＝f(x)(xD)的最
点.
2．函数最值的求法：
⑴经典不等式求（均值不等式，柯西不等式，排序不等式）；
⑵判别式法求（适合二次或能化为二次形式，可转化为图形中两点间的距离；等等）；
⑶配方法（使数学式向完全平方形式转化，利用平方≥0求之）；
⑷数向形转化求（将数学式类比某些特定结论，使之几何化，比如说类似斜率公式，则转化为两点连线的斜率结合图形求之）；
⑸导数法求（求导→导数=0的解→解将x的范围分成几段→按段判断导数的正负→确定单调性与极值→确定最值）；
⑹换元法（通过换元，使数学式向熟知的转化，即实现陌生熟悉化）；
⑺方程法（把函数式当作关于自变量的方程，用y的数学式表示出x，然后求解）.
3．基本初等函数的值域：
⑴f(x)＝c（常数）的值域是
.
⑵f(x)＝ax＋b(a≠0)的值域是
.
⑶f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是
.
⑷f(x)＝的值域是
.
⑸f(x)＝ax＋(a，b>0)的值域是
.
⑹f(x)＝ax的值域是
.
⑺f(x)＝logax的值域是
.
⑻f(x)＝x3的值域是
；f(x)＝的值域是
.
⑼f(x)＝sinx、f(x)＝cosx的值域是
；f(x)＝tanx的值域是
；
f(x)＝asinx＋bcosx的值域是
.
【应用点】
1.求下列函数的最值
⑴y＝x＋4；
⑵y＝＋，x∈(0，1)；
⑶y＝；
⑷y＝x2－x－1+lnx，x∈[1，3]；
⑸y＝|x2－2x－2|，x∈[0，3]；
⑹y＝；
⑺y＝2cosx+cos2x；
⑻y＝ex－exsinx，x∈[0，].
2.⑴设，求f(x)在[0，+∞)上的最值；
⑵已知函数f(x)＝x3+ax2+x+1（a>0），求函数f（x）在区间（－∞，－1）上的最值；
⑶当
时，函数
的最小值为，求函数
的值域.
3.⑴已知函数y=的最大值为M，最小值为m，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
⑵已知函数f(x)＝e2x，g(x)＝+lnx的图像分别与直线y＝b交于A、B两点，则|AB|的最小值为（
）
A.1
B.
C.
D.e－
⑶已知函数f(x)＝+ln，g(x)＝ex－2，若g(m)＝f(n)成立，则n－m的最小值是（
）
A.1－ln2
B.ln2
C.2－3
D.e2－3
【核心点】
1.导数法求最值：求f/(x)→f/(x)＝0的根→列表→确定单调性与极值→确定最值；
2.最值常常与全称量词、存在量词相联系构成恒成立或存在性条件问题.
8.6
导数与函数图像
【知识点】
研究给定的函数图像特征常常从以下几个角度去把握
定义域→值域→对称性→周期性→单调性→极值→最值→图像
【应用点】
1.已知函数f(x)的部分图像如图，则f(x)的解析式可能是（
）
A．f(x)＝xcosx－sinx
B．f(x)＝xsinx
C．f(x)＝xcosx+sinx
D．f(x)＝xcosx
2.已知函数f(x)＝，关于x的方程f2(x)－mf(x)+1＝0恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（
）
A.(1，+∞)
B.
(2，+∞)
C.
(1，2)
D.
(2，4)
3.若关于x的方程lnx－x2+x－b＝0在区间[0，2]上恰有两个不相等的实数根，则实数b的取值范围是（
）
A.(0，+ln2)
B.
[－1+ln3，+ln2)
C.
(0，－1+ln3)
D.
(0，+ln2]
4.已知函数f(x)＝ex(2x－1)－ax+a(a<1)，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是（
）
A.[－，1)
B.
[－，)
C.
[，)
D.[，1)
5.已知函数f(x)＝xln(x－1)－a，下列说法正确的是（
）
A.当a>0时，f(x)有零点x0，且x0(1，2)
B.当a>0时，f(x)有零点x0，且x0(2，+∞)
C.当a<0时，f(x)有零点x0，且x0(2，+∞)
D.当a＝0时，f(x)没有零点
【核心点】
运用导数研究函数的单调性、极值、最值
8.7
导数与带量词的问题
【应用点】
1.
设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R，确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
2.函数f(x)＝alnx+x2－4x，g(x)＝(a－2)x，若x0[，e]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围.
3.已知函数，其中a≠0，若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
4.已知函数f(x)＝emx＋x2－mx，若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．
5.已知函数f(x)＝，，若f(x)≤1+，求实数的取值范围．
6.设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R，若?x＞0，f(x)≥0成立，求实数的取值范围．
7.若函数f(x)＝在(0，+∞)上单调递减，求实数的取值范围．
【核心点】
1.存在量词的问题可转化为全称量词的问题求解；
2.含有两个量词的问题也可转化为都是全称量词或一个全称量词一个存在量词问题.
8.8
导数与不等式
【应用点】
1.设，曲线与直线在(0，0)点相切.证明：当时，.
2.已知函数f(x)＝（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y=
f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行.设g(x)=(x2+x)f/(x)，其中f/(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，.
3.已知函数f(x)＝，证明对于任意的[1，2]成立.
4.若函数f(x)＝－lnx在x＝x1、x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8－8ln2。
5.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－
⑴证明：当x>0时，f(x)>0；
⑵证明：++…+【核心点】
考察函数的单调性、极值、最值帮助证明
8.9
导数与零点
【应用点】
1.已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln
x．用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，讨论h(x)零点的个数．
2.设函数(=2.71828是自然对数的底数,).讨论关于的方程根的个数.
3.若函数f(x)＝2xe－x－ex+k有两个零点，求整数k的最小值。
4.若函数f(x)＝ln
x－ax+－ln
2存在3个不同的零点，求实数的取值范围．
5.若函数f(x)＝ln
x－ax恰有两个不同的零点x1、x2，求实数的取值范围，并证明+>2．
【核心点】
函数的零点：函数的单调性→极值→最值→零点
8.10
导数综合问题
【应用点】
1.已知函数（），其中.
⑴若函数仅在处有极值，求的取值范围；
⑵若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
2.已知是函数的一个极值点.
⑴求函数的单调区间；
⑵若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.
3.已知函数其中n∈N
,a为常数.
⑴当n＝2时，求函数f(x)的极值；
⑵当a＝1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.
4.设函数曲线y＝f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴.
⑴用a分别表示b和c；
⑵当bc取得最小值时，求函数g(x)=－f(x)e-x的单调区间.
5.已知函数
⑴求函数的单调区间;
⑵若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.
【核心点】
1.定义域→求f/(x)→f/(x)＝0的根→列表→极值→最值→其它
2.分类讨论思想、转化化归思想、正难则反(补集思想)、数形结合思想、以退为进思想。2021-2022编者-龙诗春128