9.三角函数与解三角形 教案 2022届高三数学一轮复习备考（Word无答案）

9.1
角的概念与
【知识点】
1．任意角：一条射线绕着其
旋转形成角，
旋转形成的角称为零角，
旋转形成的角称为正角，
旋转形成的角称为负角。
2．角的度量
⑴角度制：圆周
，每一等分弧所对的
角的大小为1°。
⑵弧度制：
半径长的弧所对的
角的大小为1弧度，记为1rad。
⑶圆的弧长公式：
；扇形面积公式：
。
⑷角度制与弧度制的相互转化：
。
⑸填写表格
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
210°
225°
弧度
3．⑴与角终边相同的角的集合是
；
角与角终边相同－＝
。
⑵角的终边在x轴上＝
；
角的终边在y轴上＝
；
角的终边在坐标轴上＝
；
角的终边在第一象限＝
；
角的终边第二象限＝
；
角的终边第三象限＝
；
角的终边第四象限＝
。
【应用点】
1.⑴(多选题)下列命题正确的是（
）
A.第四象限有一些角是锐角
B.任何一个象限都有负角
C.钝角是第二象限角
D.终边在坐标轴上的角的集合是{β|β＝k·90°，kZ}
⑵(多选题)下列角的终边与角37°的终边在同一直线上的有（
）
A.－143°
B.－37°
C.379°
D.757°
⑶(多选题)下列结论正确的是（
）
A.－1485°＝－10
B.－150°＝－rad
C.rad＝67°30/
D.长度等于其所在圆的内接正方形的边长的一段圆弧所对的圆心角为rad
⑷(多选题)下列结论正确的是（
）
A.β＝k·360°+θ且α＝m·360°－θ(k、mZ)β与α的终边关于y轴对称
B.β与α的终边关于y轴对称β+α＝+2k(kZ)
C.β与α的终边相同β－α的终边在y轴的非负半轴上
D.α＝k+(－1)k·(kZ)，则α是第一象限或第二象限角
⑸集合{α|k+≤α≤k+，kZ}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（
）
A.
B.
C.
D.
2．⑴已知角的终边与的终边关于x轴对称，试在0～2内找出与终边相同的角。
⑵已知角、的终边关于y轴对称，角与角的终边关于直线y＝x对称，求的值。
⑶如果是第三象限的角，那么－、、2是第几象限的角？
3.已知一扇形的中心角是，所在圆的半径为R。
⑴若＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
⑵若扇形的周长是一定值C(C>0)，当为多少时，该扇形有最大面积。
【核心点】
1.终边相同的角、象限角、角的两种度量制及转换；
2.扇形的弧长、面积的计算
9.2
任意角的三角函数定义
【知识点】
1.点P(a，b)是角终边上异于原点的任意一点，则点P到原点的距离r＝
，
sin＝
，cos＝
，tan＝
。
角x的终边与圆>0)的交点为P，则点P的坐标是（
）。
2.三角函数值的符号
3．填写表格
0
sin
cos
tan
【应用点】
1.⑴已知角α的终边过点P(－2m，8)，且cosα＝，则tanα的值为（
）
A.
B.
C.－
D.前三个选项都不对
⑵已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ(0，2)，则θ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
⑶若α为第四象限角，则（
）
A.cos2α>0
B.
cos2α<0
C.sin2α>0
D.sin2α<0
⑷“θ为第一象限或第四象限角”是“cosθ>0”的（
）
A.充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.充要条件
D.不充分不必要条件
⑸设是第三象限角，且是（　　　）
　A．第一象限
B．第二象限　　　Ｃ．第三象限　　Ｄ．第四象限
⑹如果是第一象限角，那么恒有（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知P(4t，－3t)(t≠0)是角的终边上一点，求2sin＋cos的值。
3．如果角的终边在直线5x＋12y＝0上，求sin、cos、tan的值。
4．借助于图形证明：若0<<，则sin<【核心点】
三角函数定义，三角函数值的符号与角的象限的关系
9.3
同角关系
【知识点】
同角关系
。
已知sin＝m，求cos，tan：
已知tan＝m，求sin，cos：
【应用点】
1.⑴（
）
A．第一象限
B．第二象限　　　Ｃ．第三象限　　Ｄ．第四象限
⑵已知，且是第二象限角，则应满足的条件是(
)
A．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
⑶若则=（
）
A．
B．2
C．
D．
⑷“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分不必要条件
2.若，求下列各式的值
⑴；
⑵。
3.若－<α<0，且，求tanα的值。
4.化简
⑴；
⑵cos4＋sin2＋sin2cos2－＋tan4；
⑶；
⑷sinα+cosα(α为第三象限角)。
【核心点】
1.同角关系式及其变式；
2.正余弦成双的数(±，±)、(±，±)、(±，±)、(±，±)等等
9.4
诱导公式
【知识点】
1．sin(－)＝
，cos(－)＝
，tan(－)＝
。
2．sin(－)＝
，cos(－)＝
，tan(－)＝
。
3．sin(＋)＝
，cos(＋)＝
，tan(＋)＝
。
4．sin(2－)＝
，cos(2－)＝
，tan(2－)＝
。
5．sin(2k＋)＝
，cos(2k＋)＝
，tan(2k＋)＝
。(k∈Z)
6．sin(－)＝
，cos(－)＝
，tan(－)＝
。
7．sin(＋)＝
，cos(＋)＝
，tan(＋)＝
。
8．sin(－)＝
，cos(－)＝
，tan(－)＝
。
9．sin(＋)＝
，cos(＋)＝
，tan(＋)＝
。
＋(k∈Z)的三角函数值与角的三角函数值的关系是“
”。
诱导公式的作用是：
。
【应用点】
1.⑴sin585°的值为（
）
A．
B．
C．
D．
⑵等于（
）
A．sin2－cos2
B．cos2－sin2
C．±（sin2－cos2）
D．sin2+cos2
⑶已知cos(+α)＝，且－<α<－，则cos(－α)等于（
）
A．
B．－
C．
D．－
⑷已知tan130°＝m，则sin50°的值为（
）
A．－
B．
C．
D．－
⑸已知cos(－α)＝－，且0<α<，则tan(+α)等于（
）
A．
B．±
C．±
D．前三个选项都不对
2.求下列三角函数的值
⑴；⑵sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)。
3.化简下列各式
⑴；
⑵tan(27°－)·tan(49°－)·tan(63°＋)·tan(139°－)。
【核心点】
1.熟悉诱导公式，可正确运用诱导公式将任意角三角函数转化为[0，]内角的三角函数；
2.三看：一看角，二看名称，三看运算
9.5
和、差角公式
【知识点】
1.sin(＋)＝
，cos(＋)＝
，
tan(＋)＝
。
2.sin(－)＝
，cos(－)＝
，tan(－)＝
。
变形：tan＋tan＝
；tan－tan＝
。
3．a·sin＋b·cos＝
（其中a2＋b2≠0）。
【应用点】
1.⑴sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（
）
A.－
B.
C.－
D.
⑵化简等于
（
）
A．
B．
C．
D．
⑶的值是（
）
A.
B.
C.
D.
⑷若3sinx－cosx＝2sin（x＋φ），φ∈（－π，π），则φ等于（
）
A．－
B．
C．
D．－
⑸函数的最大值是（
）
A．
B．
C．7
D．8
⑹（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
⑺已知x0是函数f(x)＝sinx+2cosx的最大值点，则sinx0＝（
）
A．
B．
C．
D．
2.⑴已知sin(－)sin(－＋)＋cos(－)sin(5－)＝－，是第四象限角，求cos(－＋)及tan(－)的值；
⑵已知cos(－)＝，sin(＋)＝－，∈(，)，∈(0，)，求sin(＋)的值；
⑶已知sin(＋)＋sin＝－，－<<0，求sin的值；
⑷设cos(－)＝－，sin(－β)＝，且＜＜π，0＜β＜，求cos(+β)。
【核心点】
1.两角和与差的三角函数公式及其变式；
2.三看：一看角，二看名称，三看运算
9.6
倍角公式
【知识点】
1．sin2＝
，cos2＝
＝
＝
，
tan2＝
。
2．变形：
⑴sin·cos＝
，sin·cos＝
。
⑵降幂：sin2＝
，cos2＝
；
sin2＝
，cos2＝
。
⑶升幂：1±sin＝
，1＋cos＝
，
1－cos＝
。
【应用点】
1.⑴若则θ是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
⑵下列各式中，值为的是
(
)
A.
sin15°cos15°
B.
C.
D.
⑶若270°＜α＜360°,化简的结果是（
）
A．sin
B．－sin
C．cos
D．－cos
⑷已知－<α<，且sin(α+)＝，则cos(2α+)＝（
）
A．－
B．
C．±
D．前三个选项都不对
⑸已知cos(α－)＝－，则sin(2α－3)＝（
）
A．－
B．
C．±
D．前三个选项都不对
2.⑴已知sin＝－，180°<<270°，求sin2、cos的值；
⑵已知sin(－x)＝，0＜x＜，求的值；
⑶求的值；
⑷已知，且、，求
的值。
3.化简⑴sin2＋cos2(＋)＋sincos(＋)；
⑵。
【核心点】
1.二倍角公式及其变式；
2.三看：一看角，二看名称，三看运算
9.7
化简
【知识点】
三角式化简与求值常用思路
⑴角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，寻找已知角与未知角的联系，化异角为同角，化未知为已知，化非特殊角为特殊角。
⑵函数名称变换：观察条件与结论、数学式各函数名称之间的差异，化异名为同名，化切割为正余弦，化复杂为简单。
⑶运算结构变化：观察运算特点，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差和等，实现数学式向有关公式的运算形式转化。
⑷次数变化：升幂与降次，常用倍角公式：sin·cos＝sin2，sin·cos＝sin2，sin2＝(1－cos2)，cos2＝(1＋cos2)，sin2＝(1－cos)，cos2＝(1＋cos)。1±sin＝(sin±cos)2，1＋cos＝2
cos2，1－cos＝2sin2。
⑸常数代换：1＝sin2＋cos2＝cos0＝sin＝tan＝－tan2。
三看原则：一看角，二看名称，三看运算
【应用点】
1.化简
⑴；
⑵cos8x－sin8x＋sin2x·sin4x。
⑶tan＋tan(＋)＋。
2.化简
⑴(tan10°－)·；
⑵－－64cos210°；
⑶－4cos10°。
9.8
求值
【知识点】
三看：一看角，二看名称，三看运算
【应用点】
1.求下列各式的值
⑴；
⑵＋4sin210°。
2.已知sin(＋)＝，sin(－)＝，求的值。
3.、为锐角，且3sin2＋2sin2＝1，3sin2－2sin2＝0，求＋2的值。
4．已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<,求tan2α的值以及β的值。
9.9
证明
【知识点】
三看：一看角，二看名称，三看运算
【应用点】
1.
⑴证明－2cos(－)＝－；
⑵已知＋＝1，求证tan2＝tan·tan。
2．已知sin＝m·sin(2＋)，其中m≠0，2＋≠k，求证tan(＋)＝tan。
9.10
三角恒等变换综合
【知识点】
三看：一看角，二看名称，三看运算
【应用点】
1.⑴αR，sinα+cosα＝，则tanα＝（
）
A．
B．－
C．
D．前三个选项都不对
⑵若x(0，)，且+＝2，则sin(2x+)＝（
）
A．
B．－
C．
D．－
⑶若tanα＝2tan，则＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.⑴△ABC中，B＝60°，AC=，则AB+2BC的最大值是
。
⑵α、β(0，)，且sinβ＝2cos(α+β)sinα，若tan(α+β)＝3，则tanα＝
。
⑶已知tan(α+β)＝4，tan(α－β)＝2，则sin4α＝
。
⑷已知α、β(0，)，tan(α+β)＝2tanα，则tanβ的最大值是
。
9.11
正弦定理
【知识点】
1．三角形中角的关系：A＋B＋C＝
。
sin(A＋B)＝
，cos(A＋B)＝
，
sin＝
，cos＝
，
sin2(A＋B)＝
，cos2(A＋B)＝
。
2．正弦定理：
。
变式：
。
3．三角形的面积公式
⑴
；
⑵
。
【应用点】
1.⑴在△ABC中，A:B:C＝4:1:1，则a:b:c等于（
）
A．4:1:1
B．3:1:1
C．2:1:1
D．:1:1
⑵在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（
）
A.
B.
C.
D.
⑶在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a·sinBcosC+c·sinBcosA＝b，且a>b，则B等于（
）
A．
B．
C．
D．
⑷在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且A＝2B，a＝b，则cosB等于（
）
A．
B．
C．
D．
⑸在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，面积为S，若2S+a2＝(b+c)2，则sinB等于（
）
A．
B．
C．
D．
⑹在△ABC中，若，则△ABC是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
⑺在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，△ABC的面积为4，且2bcosA+a＝2c，a+c＝8，则其周长为（
）
A．10
B．12
C．8+
D．8+2
⑻△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若B＝2A，cosAcosBcosC>0，则的取值范围是（
）
A．(，)
B．(，)
C．(，)
D．(，)
2.在△ABC中，已知＝，求角A的值。
3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c。已知b·sinA＝a·cos(B－)。
⑴求角B的大小；
⑵设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值。
4.在△ABC中，求证＝。
5.在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2+b2＝6，cos(A－B)cosC＝，求△ABC的外接圆半径。
【核心点】
正弦定理实现三角形的边、内角的正弦、外接圆半径的转换
9.12
余弦定理
【知识点】
余弦定理：
；
；
；
变式：
；
；
；
△ABC中角C为锐角充要条件是：
；
△ABC中角C为直角充要条件是：
；
△ABC中角C为钝角充要条件是：
。
【应用点】
1.⑴△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）
A.
B.1+
C.
D.2+
⑵△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若a2+b2＝2c2，则cosC的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.－
⑶△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若cosC＝，b·cosA+a·cosB＝2，则△ABC的外接圆面积为（
）
A.4
B.8
C.9
D.36
⑷△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知－－＝1，△ABC的外接圆半径为3，则a＝（
）
A.2
B.3
C.3
D.2
⑸△ABC中，若AC＝BC，C＝，△ABC的面积S△ABC＝sin2A，则S△ABC＝（
）
A.
B.
C.
D.2
⑹△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，sinA+sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
⑺△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且＝，若a+b＝4，则c的取值范围是（
）
A.(0，4)
B.[2，4)
C.[1，4)
D.(2，4]
⑻△ABC中，D为边BC的中点，E为边BC上一点，且AE＝AC＝BE，DE＝1，若cosC＝，则△ABC的面积等于
。
2.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝，△ABC的面积为，且tanA+tanB＝tanA·tanB－．求a+b的值。
3.在△ABC中，AB＝，cosB＝，AC边上的中线BD＝，求sinA的值。
【核心点】
余弦定理实现三角形的边、内角的余弦的转换
9.13
解三角形综合
【应用点】
1.⑴△ABC内角A、B、C满足sin2A+sin2B）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
⑵在△ABC中，内角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，则△ABD的面积是（
）
A.
B.3
C.1
D.3
⑶在△ABC中，已知+cosC＝0，tanA＝，则tanB＝（
）
A.
B.2
C.
D.
⑷△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，＝cosB+cosC，＝8，则△ABC的周长的最小值是（
）
A.3
B.4
C.3+3
D.4+4
⑸锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积是S，若sin(A+C)＝，则tanC+的最小值为（
）
A.1
B.
C.2
D.2
⑹在平面四边形ABCD中，∠A＝60°，∠C＝∠B＝75°，BC＝，则AB的取值范围是
。
⑺锐角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，则中线AD长的取值范围是
。
⑻锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，+＝6cosC，则+＝
。
⑼锐角△ABC中，若sinA＝2sinB·sinC，则tanA·tanB·tanC的最小值是
。
2.在△ABC中，a·tanA＋b·tanB＝(a＋b)tan，判断△ABC的形状。
3.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为.
⑴求∠C；
⑵求△ABC面积的最大值。
4.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，c＝，B＝45°.
⑴求sinC的值；
⑵在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值。
5.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝4，ab·sinAsinC＝c·sinB.
⑴若bc=16,求b2+c2的值；
⑵若B=2A，求b.
【核心点】
找边角关系，边角互化
9.14
三角形中三角函数问题
【知识点】
1．△ABC是等腰三角形的充要条件是
。
△ABC是直角三角形的充要条件是
。
2．解三角形通常运用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及内角三角函数关系。
【应用点】
1.⑴在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是、、，且BC边上的高为，则的最大值为（
）
A．
B
C
2
D
4
⑵、、分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，则是A＝2B的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．不充分不必要条件
⑶在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于
，AC的取值范围为
。
⑷△ABC中，BC＝4，CA＝5，AB＝6,(将CA＝5变为C
A边上的中线长为呢)则sin6+cos6＝
。
3.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc
。
⑴求sinA的值；
⑵求的值。
4.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且cos(C+B)cos(C－B)＝cos2A－sinCsinB.
⑴求A；
⑵若a＝3，求b+2c的最大值。
5.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且＝，B为锐角。
⑴求A；
⑵若a＝3，c＝1，△ABC内有一点M，∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝，求MA+MB+MC的值。
【核心点】
寻找边角关系
9.15
正弦、余弦函数的图像与性质
【知识点】
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
图
像
定义域
值
域
最
值
周期性
奇偶性
单调性
对称轴
对称中心
【应用点】
1.⑴若，则下列命题中正确的是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
⑵函数f(x)＝sinx－cosx，x[－，0]的单调递增区间是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
⑶若0≤α≤2，sinα>cosα，则α的取值范围是(
)
Ａ．　　
Ｂ．　　
Ｃ．　　
Ｄ．
2.求定义域
⑴f(x)＝log(1－2cosx)(2sinx＋1)；
⑵f(x)＝．
3.设函数f(x)=sin(x＋)(k∈N﹡)，已知当x在任意两个整数间变化时（包括整数本身），至少存在一个x1和一个x2，使f(x1)＝1，且f(x2)＝－1，求k的最小值。
4.设函数f(x)＝a·sinx＋cosx，若存在x0∈(0，)，使f(x0)＝a成立，求实数a的取值范围。
5．已知函数f(x)＝2sin(x+)－2cosx，x[，]。
⑴若sinx0＝，求f(x0)的值；
⑵求函数f(x)的值域。
【核心点】
正弦、余弦函数的图像，注意限制图像的特征直线
9.16
正切函数的图像与性质
【知识点】
y=tanx
图
像
定义域
值
域
最
值
周期性
奇偶性
单调性
渐近线
对称中心
【应用点】
1.⑴函数f(x)＝tan(x+)的单调增区间为（
）
A．(k－，k+)
B．(k，(k+1))
C．(k－，k+)
D．(k－，k+)(k∈Z)
⑵设α、β(－，)，那么“α<β”是“tanαＡ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．不充分不必要条件
⑶若将函数y＝tan(x+)(>0)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(x+)的图像重合，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
⑷设，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
2.⑴若，则函数的最大值为
。
⑵若x∈(0,
)，则2tanx+tan(－x)的最小值为
。
⑶已知函数f(x)＝sinx+tanx，项数为27的等差数列{an}满足an∈(－，)，且公差d≠0，若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)＝0，则当k=
时，f(ak)＝0。
⑷函数f(x)＝tan(x＋)＋tan(x－)的奇偶性是
。
【核心点】
正切函数的图像，注意图像的特征直线
9.17
三角函数值域问题
【知识点】
1．y＝sinx，y＝cosx的值域是
；y＝a·sinx＋b·cosx的值域是
。
2．y＝tanx的值域是
。
3．y＝a·sinx＋b（或y＝a·cosx＋b）的值域是
。
4．y＝a·sin2x＋b·sinx＋c（或y＝a·cos2x＋b·cosx＋c）的值域转化为求
的值域。
【应用点】
1.求下列函数的最值
⑴y＝；
⑵；
⑶y＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)；
⑷y＝。
2.求下列函数的值域。
⑴f(x)＝；
⑵f(x)＝2cos(＋x)＋2cosx；
⑶f(x)＝，x[，]；
⑷f(x)＝，x[，]；
⑸f(x)＝，x[0，2]；
⑹f(x)＝2cosx+cos2x；
⑺f(x)＝3sin2x－2sin2x+2sinx－cosx，x[0，]。
3.△ABC中，sinA＝，求cosB+cosC的取值范围。
【核心点】
等价转化思想
9.18
三角函数的周期性
【知识点】
1.y＝sinx、y＝cosx的最小正周期是
，周期是
。
f(x)＝A·sin(x＋)＋B或f(x)＝A·cos(x＋)＋B(≠0)的最小正周期是
，周期是
。
f(x)＝A·|sin(x＋)|＋B或f(x)＝A·|cos(x＋)|＋B(≠0)的最小正周期是
，周期是
。
2.y＝tanx的最小正周期是
，周期是
。
f(x)＝A·tan(x＋)＋B(≠0)的最小正周期是
，周期是
。
f(x)＝A·|tan(x＋)|＋B(≠0)的最小正周期是
，周期是
。
3.一般地，若周期函数f(x)的周期为T，则函数a·f(x)＋b(ab≠O)的周期是
，函数f(x＋)(≠0)的周期是
。
【应用点】
1.求下列函数的最小正周期
⑴f(x)＝sin(2x－)+2sin2(x－)；
⑵f(x)＝2＋；
⑶；
⑷。
2.⑴已知函数f(x)＝sin(x－)cos(x－)(>0)的一个单调递减区间是[－，0]，则＝（
）
Ａ．1
Ｂ．2
Ｃ．4
Ｄ．6
⑵(多选题)已知函数f(x)＝sin(x+)(>0)在区间[0，2]上有且仅有5个零点，则下列结论正确的有（
）
Ａ．f(x)在区间(0，2)上有且仅有3个极大值点
Ｂ．f(x)在区间(0，2)上有且仅有2个极小值点
Ｃ．f(x)在区间(0，)上单调递增
Ｄ．的取值范围是[，)
⑶将函数f(x)＝2sin(x+)的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，则正数的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
⑷数列{an}的通项为an＝n2(cos2－sin2)，其前n项和为Sn，则S30＝（
）
A．470
B．490
C．495
D．510
⑸设函数f(x)＝sin2x+b·sinx+c，则f(x)的最小正周期（
）
与b有关且与c有关
B．与b有关且与c无关
C．与b无关且与c无关
D．与b无关且与c有关
【核心点】
周期性在图像上体现为隔相同距离图像重复
9.19
三角函数对称性
【知识点】
填写表格
y=sinx
y=cosx
y=A·sin(x＋)
y=tanx
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
【应用点】
1.⑴已知函数f(x)＝a·sinx－b·cosx的最大值在x＝处取到，则f(x+)是（
）
Ａ．奇函数且关于点(，0)中心对称
Ｂ．偶函数且关于点(，0)中心对称
Ｃ．奇函数且关于点(，0)中心对称
Ｄ．偶函数且关于点(，0)中心对称
⑵函数y＝3cos(2x+)的图像关于点(，0)对称，那么的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
⑶f(x)＝sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是（　　）
A．φ=2kπ－，k∈Z
B．φ=kπ－，k∈Z
C．φ=2kπ－，k∈Z
D．φ=kπ－，k∈Z
⑷函数y＝的图像与y＝1+2sinx(－4≤x≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于（
）
A．－1
B．－2
C．－4
D．－6
⑸实数x、y满足，则x+y＝（
）
A．0
B．2
C．4
D．6
⑹若函数f(x)＝4cos(x+φ)对任意的xR都有f(－x)＝f(+x)，设函数g(x)＝sin(x+φ)－2，则g()的值是（
）
A．1
B．－2
C．
D．－5或3
⑺若函数f(x)＝a·sinx－cosx图像的一条对称轴为直线x＝，且f(x1)·f(x2)＝－4，则|x1+x2|的最小值为（
）
A．0
B．
C．
D．
⑻已知函数f(x)＝3sin(x－)(>0)和g(x)＝2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x[0，]，则f(x)的取值范围是
。
⑼设f(x)＝x3+3(x2+x+sinx)，则f(1－)+f(－3)＝
。
⑽已知函数f(x)＝+x+sinx，若正实数a、b满足f(4a)+f(b－9)＝0，则+的最小值为
。
2.已知函数，．若是函数图象的一条对称轴，求的值．
3．已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为，求f()的值.
【核心点】
对称性的图像特征与数学式的关系
9.20
三角函数单调性
【应用点】
1.⑴已知函数f(x)＝sinx+cosx(>0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
⑵设函数，若，则下列不等式一定成立的是（　）
A．
B．
C．
D．
⑶设是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
⑷若f(x)=cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
⑸设f/(x)是定义在(－，0)∪(0，)上的偶函数f(x)的导函数，且f/()＝0，当x(0，)时，不等式f/(x)·sinx－f(x)·cosx>0恒成立。若a＝－2f(－)，b＝2f(－)，c＝f()，则a、b、c的大小关系是（
）
A．cB．bC．aD．b⑹函数f(x)=2sinx(cosx－sinx)的单调递减区间是
。
⑺若函数f(x)＝a·sinx+cos2x在区间(，)上是减函数，则a的取值范围是
。
⑻若函数f(x)=4sin(－x)sinx+cos(2－2x)在区间[－，]上单调递增，则正数的最大值为
。
2.比较下列各组值的大小
⑴sin、cos5；
⑵、。
3．设函数f(x)＝sin(2x+φ)(－<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝。
⑴求函数y＝f(x)的单调增区间；
⑵证明直线5x－2y+c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切。
4.已知函数f(x)＝sin(x+φ)(>0，0≤φ≤)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和φ的值。
【核心点】
三角函数的单调性与周期性的关系
9.21
三角函数图像变换
【知识点】
1．y＝A·sin(x＋)的有关概念
y＝A·sin(x＋)(A>0，>0，x∈[0，＋∞)
)表示一个振动量时，振幅是
，周期是
，频率是
，相位是
，初相是
。
2．作y＝A·sin(x＋)的图像
⑴五点法作简图
x＋
x
y
⑵变换法作图：
振幅变换：y＝sinx→y=A·sinx：
。
相位变换：y＝A·sinx→y=A·sin(x＋)：
。
相位变换：y＝A·sinx→y=A·sin(x＋)：
。
周期变换：y＝A·sin(x＋)→y=A·sin(x＋)：
。
【应用点】
1.⑴(多选题)为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，只需把函数y＝sin(2x+)的图像（
）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移最小个长度单位
D．向右平移最小个长度单位
⑵将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（
）
A．y＝sin(2x－)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x－)
⑶(多选题)为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，只需把函数y＝cos2x的图像（
）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移最小个长度单位
D．向右平移最小个长度单位
⑷将函数f(x)＝2sinx·cosx－2cos2x+1的图像向左或向右平移a个单位后，得到函数g(x)的图像，若g(x)＝g(－x)，则实数a的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
⑸已知函数f(x)＝2cossin(－)+sin2+sincos(>0)在[0
，]上单调，且f(0)+f()＝0，若将函数f(x)的图像向左平移(>0)个单位长度后得到的函数是偶函数，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数f(x)＝sin2x＋sinx·cosx＋2cos2x,xR。
⑴求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
⑵函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
【核心点】
三角形式函数的图像左右平移与周期性的关系
9.22
与三角函数相关的零点问题
【知识点】
y=sinx
y=cosx
y=A·sin(x＋)
y=tanx
零点
【应用点】
1.函数f(x)＝cos(3x＋)在[0
，]内的零点个数为
。
2.定义在区间[0
，3]上的函数f(x)＝sin2x－cosx的零点个数为
。
3.定义在区间[0
，2]上的函数f(x)＝sin3x－sinx的所有零点之和为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
4.已知函数f(x)＝cos2＋sinx－(>0，xR)，若在区间(
，2)上没有零点，则的取值范围是（
）
A．(0，)
B．(0，]
C．(0，]
D．(0，]∪[，]
5.已知函数f(x)＝4sin(2x－)，x[0
，]，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x1、x2、x3、…、xn，且x1）
A．
B．445
C．455
D．
6.已知函数f(x)＝sin(x+)(>0，[0
，])的图像经过点(0，)，若关于x的方程f(x)＝－1在[
，]上恰有一个实数解，则的取值范围是（
）
A．[，)
B．[，8]
C．[，20]
D．[，20]
7.已知函数f(x)＝cosx，函数g(x)的图像可以由函数f(x)的图像先向右平移个单位长度，再将所得函数图像保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(>0)倍得到，若函数在(，)上没有零点，则的取值范围是（
）
A．(0，]
B．[，]
C．(，]
D．(0，]
8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x(－1，3]时f(x)＝，则g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数是（
）
A．9
B．10
C．18
D．20
9.已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x≥0，kR)有且只有3个零点，设此3个零点中的最大值为x0，则＝
。
【核心点】
对称性、周期性对零点的影响
9.23
三角型函数解析式
【知识点】
求y＝A·sin(x＋)＋B的解析式的步骤：求A、B：确定函数最大值M与最小值m，若A>0，则A＋B=M，－A＋B=m；若A<0，则－A＋B=M，A＋B=m→求：确定函数的最小正周期T，则=→求：由特定函数值确定。
【应用点】
1.如图，函数y＝2cos(x＋θ)(xR，0≤θ≤)的图象与y轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜率为－2。
（1）求θ和的值；
（2）已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0[，]时，求x0的值。
2.已知函数f(x)＝A·sin(x＋)（xR，A>0，>0，0<<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)。
⑴求f(x)的解析式；
⑵当x[，]，求f(x)的值域。
3.已知函数f(x)＝其中，。
⑴若coscos－sinsin=0，求的值；
⑵在⑴的条件下，若函数f(x)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数，使得函数f(x)的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。
4．已知函数的图象上有一个最低点(，1)，将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，然后将所得图象向左平移一个单位得到f(x)的图象，若方程f(x)＝3的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列，求f(x)的解析式。
5.函数f(x)＝其中，，f(x)在一个周期内的图像经过A(-,0)、B(-,-01)、C(,0)、D(,1)四个点中的三个点，求f(x)的解析式。
【核心点】
注意求解的顺序
9.24
三角函数与导数结合问题
【应用点】
1.已知函数f(x)＝ex－ax+sinx－1。
⑴当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
⑵当1≤a<2时，证明函数f(x)有2个零点。
2.已知函数f(x)＝sinx+aln(x+b)，g(x)是f(x)的导函数。
⑴若a>0，当b＝1时，函数g(x)在(，4)内有唯一的极小值，求a的取值范围；
⑵若a＝－1，13.已知函数f(x)＝ae－x+cosx(aR)。
⑴若函数f(x)在(－，0)上是单调函数，求a的取值范围；
⑵当时，x0为函数f(x)在(0，)上的零点，求证－x0<。
2021－2022编者－龙诗春76