2022届高三数学总复习讲义1.2 不等式（Word含答案解析）

1.2
不等式
一、整合教材知识，落实基本能力
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc.
3．不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；
(5)乘方法则：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；
a>b，c<0?ac(6)开方法则：a>b>0?>(n≥2，n∈N)；
a>b>0，c>d>0?ac>bd；
(7)倒数性质：设ab>0，则a.
4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
在不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)中，如果二次项系数a＜0，则可根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解．
5．(1)＞0(＜0)?f(x)·g(x)＞0(＜0)．
(2)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
6．重要不等式：(当且仅当a＝b时等号成立)．
7．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
8．常用的几个重要不等式
(1)
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
(2)
a＋b≥2(a＞0，b＞0)．
(3)
ab≤2(a，b∈R)．
(4)
2≤(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
9．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)
1．ab≤≤.
2．≤≤≤
(a＞0，b＞0).
1．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．
2．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．
3．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
不等式的性质及应用
不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，一般涉及函数、数列等知识.多以选择题形式考查，难度较小.
　比较大小的5种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).
(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．
(4)不等式的性质法．
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
1．若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(　　)
A．若>，则a>b
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则＜
D．若a＜b＜0，则＞
解析：选B　因为c的符号不能确定，所以排除A；若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，B正确；若a＝－2＜b＝－1＜0，则－＞－1，排除C；若a＝－2＜b＝－1＜0，则＝＜＝2，排除D.
2．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则(　　)
A．ln
(a－b)＞0
B．3a＜3b
C．a3－b3＞0
D．|a|＞|b|
解析：C　[法一：由函数y＝ln
x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln
(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln
(a－b)＜0，3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.]
3．(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)
A．xy＞yz
B．xy＞xz
C．xz＞yz
D．x|y|＞|y|z
答案　ACD
解析　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，对于A，因为x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不正确；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正确；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确.
4．(多选题)(2021·长沙调研)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.＜
B.|a|＋b＞0
C.a－＞b－
D.ln
a2＞ln
b2
答案　AC
解析　由＜＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即A正确；
B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；
C中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；
D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln
x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln
b2＞ln
a2，故D错误.由以上分析，知A，C正确.
感悟升华　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证；
(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考点二
一元二次不等式的解法
一元二次不等式及分式不等式的解法，主要以选择、填空题的形式出现，常与集合的交、并、补结合，难度不大.含参数的一元二次不等式的解法是难点，应注意对参数的讨论.
　解一元二次不等式的一般步骤
1．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．(用区间表示)
解析：由－x2－3x＋4＞0得x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1.答案：(－4,1)
2．已知集合，则(　　)
A．[-2，-1]
B．[-1，2)
C．[-1，1]
D．[1，2)
【解析】集合或，，
所以，故选A.
3．已知集合，，则＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意得，
∴．故选C．
4．不等式≥0的解集为(　　)
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
答案　B
解析　原不等式化为即解得－25．不等式≥－1的解集为________．
解析：将原不等式移项通分得≥0，等价于解得x≤或x＞5.
∴原不等式的解集为.
考点三
一元二次方程与一元二次不等式
　1.一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数．
1．(教材改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________.
解析：－14　由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
则解得(经检验知满足题意)．∴a＋b＝－14.
2．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＞0的解集为(　　)
A．
B．
C．{x|－2＜x＜1}
D．{x|x＜－2或x＞1}
解析：A　[由题意知即解得
则不等式2x2＋bx＋a＞0，即为2x2＋x－1＞0，解得x＞或x＜－1，故选A.]
　本例的求解充分体现了转化与化归思想，即不等式的解集与相应方程根的关系，另外，求解时务必把握相应二次函数的开口方向．
3．若关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1，3)
C．(－1，3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：C　[由关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，可知a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3.所以不等式的解集是(－1，3).]
考点四
一元二次不等式恒成立问题（
）
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.
角度1　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)求参数的范围【在R上恒成立，求参数的范围】
1．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
A．(－∞，2]　　　B．[－2,2]　　　C．(－2,2]
　　　
D．(－∞，－2)
解析：选C　当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有即∴－2综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．
　本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．
2．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－3,0)　　　B．[－3,0)　　　
C．[－3,0]　
D．(－3,0]
解析：选D　当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．
考点四
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值是高考的基本考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值.
角度1
拼凑法求最值
　配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
1．[一题两空]已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________．
解析：∵x>，∴4x－5>0.
y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.
当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．即x＝时，ymin＝7.
2．已知x＜1，则f(x)＝x＋的最大值为________．
解析：因为x＜1，所以1－x＞0，
则f(x)＝x＋＝－＋1≤－2＋1＝－2＋1＝－1.
当且仅当1－x＝，即x＝0时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.
3．(2021·乐山模拟)设0解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝”时，等号成立．∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.答案：
4．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥2＝4，
当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．
∴≤，∴ab≤.∴ab的最大值为.
法二：∵4a＋b＝1，∴ab＝·4a·b≤＝，
当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝(满足a＞0，b＞0)时，等号成立，∴ab的最大值为.
5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，当且仅当x＝y且xy＝1时等号成立．所以x2＋2y2的最小值为2.答案：2
角度2
常数代换法求最值
　常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
1．已知x，y＞0且x＋4y＝1，则＋的最小值为(　　)
A．8
B．9
C．10
D．11
解析：B　∵x＋4y＝1(x，y＞0)，∴＋＝＋＝5＋≥5＋2＝5＋4＝9.
　常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．
2．若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　)
A．2　　　B．6　　　　C．12
D．3＋2
解析：选D　因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，
所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，
所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当“＝，即n＝m”时取等号，
所以＋的最小值为3＋2，故选D.
3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.
解析：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5(当且仅当＝，
即x＝1，y＝时，等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.
4．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为(　　)
A.4
B.4
C.2
D.2
答案　A
解析　因为3x＋2y＝2，所以8x＋4y≥2＝2＝4，
当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立.故选A.
5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
答案　
解析　由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
6．已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)
A.3
B.5
C.7
D.9
答案　C
解析　∵x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.
7．(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________.
答案　4
解析　因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立.故＋＋的最小值为4.
8．(2020·山东名校联考)正实数a，b满足a＋3b－6＝0，则＋的最小值为(　　)
A.
B.1
C.2
D.
答案　B
解析　由题意可得a＋3b＝6，
所以＋＝[(a＋1)＋(3b＋2)]＝≥1，
当且仅当即a＝2，b＝时等号成立.故＋的最小值为1，选B.
9．(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A．＋　　　
B．＋
C．3＋2
D．＋
解析　A　[已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]＝1＋＋＋≥＋2＝＋.
当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．则＋的最小值为＋.故选A.]
10．(2021·天津)若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】，，
当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
考点五
利用基本不等式求参数的取值范围
1．(2013·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.
答案：36
2．(2021·滨州三校联考)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A.1＋
B.1＋
C.3
D.4
答案　C
解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
3．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞)
B．(－∞，3]
C．(－∞，6]
D．[6，＋∞)
解析：D　因为a＞0，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
4．(2017·河南平顶山一模)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．a≥
B．a＞
C．a＜
D．a≤
解析：∵对任意x＞0，≤a恒成立，∴对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.