2022届高三数学总复习讲义10.3 离散型随机变量的均值与方差、二项分布、正态分布(Word含答案解析)

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名称 2022届高三数学总复习讲义10.3 离散型随机变量的均值与方差、二项分布、正态分布(Word含答案解析)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2021-09-25 19:41:08

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10.3
离散型随机变量的均值与方差、二项分布、正态分布
一、整合教材知识,落实基本能力
1.随机变量的有关概念
(1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.
(2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量.
2.离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:
X
x1
x2

xi

xn
P
p1
p2

pi

pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)分布列的性质:
①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②pi=1.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,则其分布列为,其中p=P(X=1)称为成功概率.
(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N
,称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1

m
P

4.条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1,(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
5.事件的相互独立性
设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.
如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立,P(B|A)=P(B).
6.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验:在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布:在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
7.均值(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为:
X
x1
x2

xi

xn
P
p1
p2

pi

pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+b.
(3)①若X服从两点分布,则E(X)=;②若X~B(n,p),则E(X)=.
8.方差(1)设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2

xi

xn
P
p1
p2

pi

pn
则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)=
(xi-E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差,并称其算术平方根为随机变量X的标准差.
(2)D(aX+b)=a2D(X).(3)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
(4)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).
9.正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值;
④曲线与x轴之间的面积为;
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682
7;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954
5;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997
3.
二、精研高考题点,提升备考知能
考点一
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列是每年高考的热点,属必考内容,但很少单独考查,均与离散型随机变量的均值或方差综合考查,但求分布列是解决此类问题的关键,难度中等偏上,题型为解答题.
 离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义.
(2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.
(3)画表格:按规范要求形式写出分布列.
(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.
1.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(2A.
B.
C.
D.
解析:选B 由分布列的性质,+++=1,得a=5.
∴P(22.随机变量X的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.
解析: [由题意知所以2b+b=1,则b=,因此a+c=.
所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.]
3.(2016·临汾联考)口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任意取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的分布列为________.
解析:X的取值为3,4,5.又P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==.
∴随机变量X的分布列为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
考点二
超几何分布
超几何分布是高考的常考内容,多与离散型随机变量的均值或方差综合出现在解答题中,难度适中.
 求超几何分布的分布列的步骤
1.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是(  )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P==.故选C.
2.(多选题)(2020·烟台期中)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是(  )
A.答对0题和答对3题的概率相同,都为
B.答对1题的概率为
C.答对2题的概率为
D.合格的概率为
答案 CD
解析 设此人答对题目的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
则答对0题和答对3题的概率相同,都为,故A错误;答对1题的概率为,故B错误;答对2题的概率为,故C正确;合格的概率p=P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=,故D正确.故选CD.
3.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列.
[解] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则P(A)==.
(2)X的所有可能值为0,1,2,且
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
综上知,X的分布列为
X
1
2
3
P
4.某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示:
中学
A
B
C
D
人数
30
40
20
10
为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.
(1)问A,B,C,D四所中学各抽取多少名学生?
(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生,求这2名学生来自同一所中学的概率;
(3)在参加问卷调查的50名学生中,从来自A,C两所中学的学生当中随机抽取2名学生,用X表示抽得A中学的学生人数,求X的分布列.
[解] (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100,抽取的样本容量与总体个数的比值为=.
∴应从A,B,C,D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5.
(2)设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生,这2名学生来自同一所中学”为事件M,
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生的取法共有C=1
225(种),
这2名学生来自同一所中学的取法共有C+C+C+C=350(种).∴P(M)==.
故从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生,这2名学生来自同一所中学的概率为.
(3)由(1)知,在参加问卷调查的50名学生中,来自A,C两所中学的学生人数分别为15,10.
依题意得,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
考点三
条件概率
条件概率是每年高考的重点,题型多为选择题、填空题,有时也出现在解答题中,难度适中.
 求条件概率的2种方法
(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,这是求条件概率的通法.
(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.
1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:D [根据题意,在第1次抽到文科题后,还剩4道题,其中有3道理科题;则第2次抽到理科题的概率P=,故选D.]
2.(2018·西宁检测(一))某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:选B 第一次摸出新球记为事件A,则P(A)=,
第二次取到新球记为事件B,则P(AB)==,
∴P(B|A)===.
3.(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则由题意可得P(A)=,P(AB)=,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)===.故选C.
考点四
相互独立事件同时发生的概率
 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式:
事件A,B相互独立
概率计算公式
A,B同时发生
P(AB)=P(A)P(B)
A,B同时不发生
P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
A,B至少有一个不发生
P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
A,B至少有一个发生
P=1-P()=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
A,B恰有一个发生
P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)
1.(2019·咸阳二模)已知甲,乙,丙三人去参加某公司面试,他们被该公司录取的概率分别是,,,且三人录取结果相互之间没有影响,则他们三人中至少有一人被录取的概率为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:B [甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1=(1-)×(1-)×(1-)=,所以三人中至少有一人被录取的概率为P=1-P1=,故选B.]
2.[多选]甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次,则下列说法正确的有(  )
A.目标恰好被命中一次的概率为+
B.目标恰好被命中两次的概率为×
C.目标被命中的概率为×+×
D.目标被命中的概率为1-×
解析:BD [对于A,目标恰好被命中一次的概率为×+×=,所以A错误;目标被命中两次的概率P=×=,故B正确;对于C,目标被命中的概率为×+×+×,所以C错误.目标被命中的概率P=1-×,故D正确.故选BD.]
3.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为(  )
A.
B.×
C.×
D.C××
解析:B [由题意知,第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球,第四次取的球是白球的情况,此事件发生的概率为×.]
4.(2021·天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局,已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为和,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为____________,3次活动中,甲至少获胜2次的概率为______________.
【答案】
【详解】由题可得一次活动中,甲获胜的概率为;
则在3次活动中,甲至少获胜2次的概率为.
故答案为:;.
5.甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响.(1)求3人同时被选中的概率;(2)求3人中至少有1人被选中的概率.
[解] 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)3人同时被选中的概率P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)法一:(直接法)3人中有2人被选中的概率
P2=P(AB∪AC∪BC)=××+××+××=.
3人中只有1
人被选中的概率P3=P(A∪B∪C)
=××+××+××=.
故3人中至少有1人被选中的概率为++=.
法二:(间接法)3人都没有被选中的概率
P1=P()=P()P()P()==,
故3人中至少有1个被选中的概率为1-P1=.
考点五
独立重复试验与二项分布
 独立重复试验概率求解的策略
(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
1.如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率是(  )
A.   B.   C.   D.
解析:A [用X表示发芽的粒数,则X~B(5,),则P(X=3)=C×()3×(1-)2=,故播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率为.]
2.设随机变量X~B,则P(X=3)的值是(  )
A.
B.
C.
D.
解析:选B P(X=3)=C33=.
3.(2021·郑州模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,5局3胜制,每局甲赢的概率是,乙赢的概率是,则甲以3∶1获胜的概率是(  )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负,第4局比赛甲胜,∴甲以3∶1获胜的概率是P=C×××=.故选A.
4.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求随机变量X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
解:(1)X的可能取值有-200,10,20,100.根据题意,有P(X=-200)=C03=,
P(X=10)=C12=,P(X=20)=C21=,P(X=100)=C30=.
所以随机变量X的分布列为
X
-200
10
20
100
P
(2)由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是p=++=.
则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是P=1-C03=.
考点六
离散型随机变量的均值、方差
离散型随机变量的均值是每年高考的热点,多以实际问题为背景出现在解答题中,难度中等及以上.
 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.(2)求X取每个值时的概率.
(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
1.(教材改编)已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为(  )
A.
B.4
C.-1
D.1
解析:A [E(X)=-1×+0×+1×=-,则E(Y)=2E(X)+3=3-=.]
2.(2018·合肥一模)已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中每个白球计1分,每个红球计2分,记X为取出3个球的总分值,则E(X)=(  )
A.
B.
C.4
D.
解析:选B 由题意知,X的所有可能取值为3,4,5,且P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,所以E(X)=3×+4×+5×=.
3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=2,4,6,8,10),则D(ξ)等于(  )
A.8
B.5
C.10
D.12
解析:A [∵E(ξ)=(2+4+6+8+10)=6,∴D(ξ)=[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.]
4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=________.
解析:∵X~B
,∴D(X)=3××=.
答案:
5.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________.
解析:1.96 [由题意得X~B(100,0.02),∴D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96.]
6.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=________.
解析: [由于X~B(n,p),且E(X)=30,D(X)=20,
所以解之得p=.]
7.已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)=(  )
A.3
B.
C.
D.4
解析:B [ξ的可能取值为2,3,4,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,则E(ξ)=2×+3×+4×=,故选B.]
8.(2015·安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).
解:(1)记“每一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P(A)==.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X=200)==,P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
E(X)=200×+300×+400×=350.
9.随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者中有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店.
(1)若从10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名,设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求X的分布列和数学期望.
解:(1)设“随机抽取2名,其中男、女各一名,至少1名倾向于选择实体店”为事件A,则表示事件“随机抽取2名,其中男、女各一名,都倾向于选择网购”,
则P(A)=1-P()=1-=.
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3,
且P(X=k)=,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
考点七
正态分布
正态分布是每年高考的重点,既有以选择题、填空题形式的单独考查,难度较小.也有与其它概率知识综合的实际应用解答题,难度中等及以上.
 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ-σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等;②P(X1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=(  )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
解析:选C 由P(ξ<4)=0.8,得P(ξ≥4)=0.2,
由题意知正态曲线的对称轴直线x=2,P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2,
∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ≤0)-P(ξ≥4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=P(0<ξ<4)=0.3.
2.设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=p,则P(-1A.+p
B.1-p
C.1-2p
D.-p
解析:选D 因为随机变量X服从正态分布N(0,1),所以正态分布曲线关于直线x=0对称,
所以P(X>0)=P(X<0)=,P(X>1)=P(X<-1)=p,
所以P(-13.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,则P(1A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
解析:选C 由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(14.(2019·广西桂林市、崇左市二模)在某项测试中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若P(0<ξ<1)=0.4,则P(0<ξ<2)=(  )
A.0.4
B.0.8
C.0.6
D.0.2
B [由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.故选B.]
5.某校在一次月考中约有600人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.
解析:∵成绩服从正态分布X~N(90,a2),
∴其正态分布曲线关于直线x=90对称,
又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,
由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×=,∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×600=120(人).
答案:120
求解正态总体在某个区间内取值的概率的2个方法
(1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求;
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.
②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).
考点八
离散型随机变量的均值、方差的综合问题--在决策中的应用
离散型随机变量的方差在高考中出现的频率较低,且多与均值综合考查,题型为解答题,难度中等及以上.
 利用均值、方差进行决策的2个方略
(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断.
(2)若两随机变量均值相同或相差不大.则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.
1.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
[解] (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1
200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此E(Y)=2n×0.4+(1
200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
[规律方法] 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
1理解X的意义,写出X可能取的全部值.
2求X取每个值时的概率.
3写出X的分布列.
4由均值的定义求EX.
5由方差的定义求DX.
提醒 注意EaX+b=aEX+b,DaX+b=a2DX的应用.
2.(2019·合肥二模)某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:
方案一:交纳延保金7
000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2
000元;
方案二:交纳延保金10
000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1
000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
[解] (1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X=0)=×=,
P(X=1)=××2=,
P(X=2)=×+××2=,
P(X=3)=××2+××2=,
P(X=4)=×+××2=,
P(X=5)=××2=,
P(X=6)=×=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)选择延保方案一,所需费用Y1元的分布列为:
Y1
7
000
9
000
11
000
13
000
15
000
P
E(Y1)=×7
000+×9
000+×11
000+×13
000+×15
000=10
720(元).
选择延保方案二,所需费用Y2元的分布列为:
Y2
10
000
11
000
12
000
P
E(Y2)=×10
000+×11
000+×12
000
=10
420(元).
∵E(Y1)>E(Y2),∴该医院选择延保方案二较合算.
3.某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记为小明的累计得分,求的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解:(1)由题可知,的所有可能取值为,,.



所以的分布列为
(2)由(1)知,.
若小明先回答问题,记为小明的累计得分,则的所有可能取值为,,.



所以.
因为,所以小明应选择先回答类问题.
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