正、余弦定理及其应用
一、知识导图
二、知识导入
在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°.
问题1：△ABC的高AD为多少？
提示：AD＝AC·sin
C＝3×sin
60°＝.
问题2：△ABC的面积为多少？
提示：S△ABC＝BC·AD＝×4×＝3.
问题3：若AC＝b，BC＝a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？
提示：能．S＝absin
C.
三、知识讲解
知识点1
解三角形的常用公式
1、同角三角函数之间的关系
（1）平方关系:
（2）商的关系：，
（3）倒数关系：
2、诱导公式
“奇变偶不变、符号看象限”：
奇变偶不变是指：先将公式中的角化为（）的形式，其中的奇、偶是指的奇偶性，变与不变是指三角函数名称的变化，若为奇数，则与互变，与互变；若为偶数，则三角函数名称不变。符号看象限是指：把看成锐角后，所在象限的原三角函数值的符号即为诱导公式中新三角函数的符号。
3、两角和差公式
（1）
（2）
（3）
4、倍角公式
5、辅助角公式
形如（其中不全为零）的式子称为辅助角公式,，其中的系数符号为正。
6、三角形内角关系
在中，;;
；
7、三角形面积公式
知识点2
正余弦定理级其变形
1、正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：
(解三角形的重要工具)
形式二：
(边角转化的重要工具)
形式三：
形式四：
2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
形式一：
(解三角形的重要工具)
形式二：
知识点3
仰角、俯角、方位角概念
1、仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1?2?1所示)．
图1?2?1
2、方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
(如图1?2?2所示)
图1?2?2
四、例题解析
例1：在△ABC中，，则这个三角形的形状为
．
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】由，得，
结合正弦定理得，
即sin
2A＝sin
2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形
例2：在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为
．
【答案】2
【解析】∵＝，∴sin
B＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
例3：[如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________
m.
【答案】
50
【解析】由正弦定理得＝，又B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．
例4：在锐角中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求的值．
【答案】（1）A＝60°
（2）
【解析】（1）∵
，
∴．∴
．
∴，或 ∵为锐角三角形
，∴
A＝60°．
（2）∵
，由（1）可得.
由余弦定理可得，即。
在中，由正弦定理，化简可得.
例5：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cos
C＋ccos
A＝0.
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC周长的最大值．
【答案】（1）C＝.
（2）
【解析】(1)根据正弦定理，由已知得(sin
A－2sin
B)cos
C＋sin
Ccos
A＝0，
即sin
Acos
C＋sin
Ccos
A＝2sin
Bcos
C，所以sin(A＋C)＝2sin
Bcos
C，
因为A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin
B>0，
所以sin
B＝2sin
Bcos
C，所以cos
C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由(1)及余弦定理得cos
C＝＝，
又c＝2，所以a2＋b2－12＝ab，所以(a＋b)2－12＝3ab≤3，
即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝2时等号成立)．
所以△ABC周长的最大值为6.
五、课堂运用
A级
1.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos
2A＝sin
A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A.
B.
C．1
D．2
【答案】
【解析】 由cos
2A＝sin
A，得1－2sin2A＝sin
A，解得sin
A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin
A＝×2×＝.
2.在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．非钝角三角形
【答案】B
【解析】
因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cos
C＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B.
3.
如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1
000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______米．
【答案】 1
000
【解析】 由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，
∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，
∴AB＝1
000，∴BC＝＝1
000.
B级
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知bsin
A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b.
【答案】见解析
【解析】 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin
A＝asin
B，又由bsin
A＝acos，得asin
B＝acos，即sin
B＝cos，可得tan
B＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accos
B＝7，故b＝.
5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3acos
B＝bcos
C＋ccos
B，△ABC的面积S＝2.
(1)求cos
B；
(2)若b＝3，且a>c，求a和c.
【答案】见解析
【解析】(1)由正弦定理，得3sin
Acos
B＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝sin(B＋C)＝sin
A．因为△ABC中A≠0且A≠π，所以sin
A≠0，所以cos
B＝.
(2)由(1)可知sin
B＝.
因为S△ABC＝acsin
B＝2，所以ac＝6.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
B＝(a＋c)2－2ac－2accos
B，
所以9＝(a＋c)2－16，所以a＋c＝5.
又因为ac＝6，a>c，所以a＝3，c＝2.
6.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin
B＋bcos
A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．
【答案】见解析
【解析】(1)因为asin
B＋bcos
A＝0，所以sin
Asin
B＋sin
Bcos
A＝0，
即sin
B(sin
A＋cos
A)＝0，由于B为三角形的内角，所以sin
A＋cos
A＝0，
所以sin＝0，而A为三角形的内角，所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos
A，
即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.
C级
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，求的最大值
【答案】（1）（2）
【解析】（1）
即，可得.
（2）由，得
即，其中
由，得，所以最大值为1.
所以的最大值为.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos
B＝2a＋b.
(1)求角C;
(2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值．
【答案】见解析
【解析】
(1)法一：由2ccos
B＝2a＋b及余弦定理，得2c·＝2a＋b，得a2＋c2－b2＝2a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos
C＝＝＝－，
又0
法二：因为＝＝，
所以由已知可得2sin
Ccos
B＝2sin
A＋sin
B，
则有2sin
Ccos
B＝2sin(B＋C)＋sin
B，
所以2sin
Bcos
C＋sin
B＝0，因为B为三角形的内角，所以sin
B≠0，所以cos
C＝－.
因为C为三角形的内角，所以C＝.
(2)因为S＝absin
C＝c，所以c＝ab.
又c2＝a2＋b2－2abcos
C＝a2＋b2＋ab，
所以＝a2＋b2＋ab≥3ab，ab≥12，当且仅当a＝b时取等号．
故ab的最小值为12.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin
A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
【答案】见解析
【解析】：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin
A＝asin
B，又由bsin
A＝acos，得asin
B＝acos，即sin
B＝cos，可得tan
B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos
B＝7，故b＝.
由bsin
A＝acos，可得sin
A＝.因为aA＝.因此sin
2A＝2sin
Acos
A＝，cos
2A＝2cos2A－1＝，
所以，sin(2A－B)＝sin
2Acos
B－cos
2Asin
B＝×－×＝.
课后作业
A级
1．的内角的对边分别为，，,
则=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为，所以
由余弦定理，所以.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为( )
A．1∶1∶3
B．1∶2∶3
C．1∶3∶2
D．1∶4∶1
【答案】B.
【解析】由正弦定理＝，得sin
B＝＝.
因为B为锐角，所以B＝60°，则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B.
3.
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．
【答案】 50
【解析】 如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos
60°＝17
500，解得OC＝50.
B级
4.某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别问700m，300m，800m,这个区域的面积是
.
【答案】 60000
【解析】 由三角形三边可知该三角形为钝角三角形，以300为底，做高，求得高为400解得三角形面积为60000
5.
在△ABC中，a＝7，b＝8，cos
B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
【答案】见解析.
【解析】(1)在△ABC中，因为cos
B＝－，
所以sin
B＝＝.
由正弦定理得sin
A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<，所以∠A＝.
(2)在△ABC中，因为sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以AC边上的高为asin
C＝7×＝.
6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan
A.
(1)证明：sin
B＝cos
A；
(2)若sin
C－sin
Acos
B＝，且B为钝角，求A，B，C.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明 由正弦定理知＝＝＝2R，∴a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，
代入a＝btan
A得sin
A＝sin
B·，
又∵A∈(0，π)，∴sin
A>0，∴1＝，即sin
B＝cos
A.
(2)解 由sin
C－sin
Acos
B＝知，sin(A＋B)－sin
Acos
B＝，∴cos
Asin
B＝.
由(1)知，sin
B＝cos
A，∴cos2A＝，由于B是钝角，
故A∈，∴cos
A＝，A＝.
sin
B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
C级
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin
B＝bcos
A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．
【答案】12
【解析】由正弦定理＝，
可将asin
B＝bcos
A转化为sin
Asin
B＝sin
Bcos
A.
又在△ABC中，sin
B>0，∴sin
A＝cos
A，
即tan
A＝.
∵0由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccos
A＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－32，
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC的周长l＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，
即最大值为12.
8.在中，角、、所对的边分别为、、．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围
【答案】见解析
【解析】（1），
，可得：
，
，，，
，且，解得：.
（2）由（1）可求，又，可得：，
由余弦定理可得：
，
，解得：
9.
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，求周长的取值范围．
【答案】见解析
【解析】在中，．
由正弦定理可得：，即，
，
由为三角形内角，．
由可知，
．
，，
，
，
周长的取值范围，．正、余弦定理及其应用
一、知识导图
二、知识导入
在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°.
问题1：△ABC的高AD为多少？
提示：AD＝AC·sin
C＝3×sin
60°＝.
问题2：△ABC的面积为多少？
提示：S△ABC＝BC·AD＝×4×＝3.
问题3：若AC＝b，BC＝a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？
提示：能．S＝absin
C.
三、知识讲解
知识点1
解三角形的常用公式
1、同角三角函数之间的关系
（1）平方关系:
（2）商的关系：，
（3）倒数关系：
2、诱导公式
“奇变偶不变、符号看象限”：
奇变偶不变是指：先将公式中的角化为（）的形式，其中的奇、偶是指的奇偶性，变与不变是指三角函数名称的变化，若为奇数，则与互变，与互变；若为偶数，则三角函数名称不变。符号看象限是指：把看成锐角后，所在象限的原三角函数值的符号即为诱导公式中新三角函数的符号。
3、两角和差公式
（1）
（2）
（3）
4、倍角公式
5、辅助角公式
形如（其中不全为零）的式子称为辅助角公式,，其中的系数符号为正。
6、三角形内角关系
在中，;;
；
7、三角形面积公式
知识点2
正余弦定理级其变形
1、正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：
(解三角形的重要工具)
形式二：
(边角转化的重要工具)
形式三：
形式四：
2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
形式一：
(解三角形的重要工具)
形式二：
知识点3
仰角、俯角、方位角概念
1、仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1?2?1所示)．
图1?2?1
2、方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
(如图1?2?2所示)
图1?2?2
四、例题解析
例1：在△ABC中，，则这个三角形的形状为
．
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】由，得，
结合正弦定理得，
即sin
2A＝sin
2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形
例2：在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为
．
【答案】2
【解析】∵＝，∴sin
B＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
例3：[如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________
m.
【答案】
50
【解析】由正弦定理得＝，又B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．
例4：在锐角中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求的值．
【答案】（1）A＝60°
（2）
【解析】（1）∵
，
∴．∴
．
∴，或 ∵为锐角三角形
，∴
A＝60°．
（2）∵
，由（1）可得.
由余弦定理可得，即。
在中，由正弦定理，化简可得.
例5：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cos
C＋ccos
A＝0.
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC周长的最大值．
【答案】（1）C＝.
（2）
【解析】(1)根据正弦定理，由已知得(sin
A－2sin
B)cos
C＋sin
Ccos
A＝0，
即sin
Acos
C＋sin
Ccos
A＝2sin
Bcos
C，所以sin(A＋C)＝2sin
Bcos
C，
因为A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin
B>0，
所以sin
B＝2sin
Bcos
C，所以cos
C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由(1)及余弦定理得cos
C＝＝，
又c＝2，所以a2＋b2－12＝ab，所以(a＋b)2－12＝3ab≤3，
即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝2时等号成立)．
所以△ABC周长的最大值为6.
五、课堂运用
A级
1.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos
2A＝sin
A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
A.
B.
C．1
D．2
2.在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．非钝角三角形
3.
如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1
000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______米．
B级
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知bsin
A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b.
5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3acos
B＝bcos
C＋ccos
B，△ABC的面积S＝2.
(1)求cos
B；
(2)若b＝3，且a>c，求a和c.
6.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin
B＋bcos
A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．
C级
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，求的最大值
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos
B＝2a＋b.
(1)求角C;
(2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值．
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin
A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
课后作业
A级
1．的内角的对边分别为，，,
则=（
）
A.
B.
C.
D.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为( )
A．1∶1∶3
B．1∶2∶3
C．1∶3∶2
D．1∶4∶1
3.
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．
B级
4.某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别问700m，300m，800m,这个区域的面积是
.
5.
在△ABC中，a＝7，b＝8，cos
B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan
A.
(1)证明：sin
B＝cos
A；
(2)若sin
C－sin
Acos
B＝，且B为钝角，求A，B，C.
C级
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin
B＝bcos
A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．
8.在中，角、、所对的边分别为、、．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围
9.
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，求周长的取值范围