1.1
集合与充要条件、量词
一、整合教材知识，落实基本能力
1．集合的基本概念
(1)元素的特性：①确定性；②互异性；③无序性．
(2)集合与元素的关系：①a属于A，记为a∈A；②a不属于A，记为a?A．
(3)常见集合的符号：
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N
N
或N＋
Z
Q
R
(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图法．
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A?B或B?A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A
(2)如果A?B，且B?C，那么A?C
3．集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x?A}
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A(A?U)的补集为?UA
4．充分条件与必要条件
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p?q且q
p
p是q的充分不必要条件
p
q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q
p是q的充要条件
p
q且q
p
p是q的既不充分也不必要条件
5．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
?
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
?
6．全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
否定
?x0∈M，?p(x0)
?x∈M，?p(x)
含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
二、精研高考题点，提升备考智能
考点一
集合的基本运算
集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
1．（2018·全国Ⅰ卷）已知集合，，则( )
A．
B．
C．
D．
2．(2019·浙江)全集U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(?UA)∩B＝( )
A．{－1}
B．{0，1}
C．{－1，2，3}
D．{－1，0，1，3}
3．(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩?UB＝( )
A．{3}
B．{2,5} C．{1,4,6}
D．{2,3,5}
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5
B．4
C．3
D．2
5．(2021·全国卷Ⅰ)设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．(2018·石家庄质检(二))设U＝R，A＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?UB)＝( )
A．{1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－3，－2，－1,0} D．{2}
7．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1
A．(－1,3)
B．(－1,0)
C．(0,2)
D．(2,3)
8．（2017北京高考文1）已知全集，集合，则( )
A．
B．
C．
D．
9．（2018年天津卷理）设全集为R，集合，，则( )
A．
B．
C．
D．
10．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合，则( )
A．
B．
C．
D．
11．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3}
B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
12．(2015·山东)已知集合A＝{x|2A．(1,3)
B．(1,4)
C．(2,3)
D．(2,4)
13．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1)
D．(3，＋∞)
14．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
15．(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝( )
A．?
B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
16．设集合，，若，则(
)
A．
B．
C．
D．
17．(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg
x≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．[0,1)
D．(－∞，1]
18．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则( )
A．A∩B＝{x|x＜0}
B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}
D．A∩B＝?
19．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(2,5]
D．[2,5]
20．[多选]设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则( )
A．A∩B＝(－1，1)
B．A∩B＝(0，1)
C．A∪B＝(－1，＋∞)
D．A∪B＝(0，＋∞)
21．(多选题)(2020·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )
A．A∩B＝?
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪?RB＝{x|x≤－1或x＞2}
D．A∩?RB＝{x|2＜x≤3}
22．若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1}
B.{－1，0}
C.{－1，1}
D.{0}
23．(2019·洛阳模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x＜4}
B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
24．(2016·开封模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}
25．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是( )
A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
考点二
集合的基本概念
集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及元素与集合之间的关系及根据集合中元素的特性（特别是集合中元素的互异性），来确定集合元素的个数或求参数值，属于基础题．
与集合中的元素有关的问题的求解思路
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
1．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
2．(2018·南昌模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
4．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．
B．
C．0
D．0或
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1
D．0
6．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
7．(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )A．2
B．3
C．4
D．6
8．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2
020＋b2
020＝________．
9．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1 C．2
D．－2
考点三
集合间的基本关系
判断集合间关系的3种方法
列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．
结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．
数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，确定集合与集合之间的关系．
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B?A B．A＝B
C．AB
D．BA
2．(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则( )
A．AB
B．BA
C．A?B
D．B＝A
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )A．1
B．2
C．3
D．4
4．(2018·云南)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与B的关系是( )
A．B?A
B．B?A
C．B∈A
D．A∈B
5．(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1
B．a＜1
C．a≥2
D．a＞2
6．(2021·河南部分重点中学联考)已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝( )
A．4
B．－4
C．8
D．－8
7．已知集合A＝{x|log2
x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是( )
A．(0，1]
B．[1，＋∞)
C．(0，2]
D．[2，＋∞)
8．(2016·云南名校联考)集合A＝{x|x－2＜0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
9．已知集合A＝{x|1≤x<5}，B＝{x|－a10．(2020·南阳一模)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，则实数m的取值范围为________．
考点四
充分必要条件的判定
充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的热点.高考主要考查充分条件、必要条件的判断，常以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题.充分条件、必要条件作为一个重要载体，考查的数学知识面较广，几乎涉及数学知识各个方面.
1．(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2020·长沙调研)已知λ∈R，向量a＝(3，λ)，b＝(λ－1,2)，则“λ＝3”是“a∥b”的( )
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件
4．(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的( )
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件
考点五
全称命题与特称命题
含有一个量词的命题的否定及真假判断是高考命题的热点，而全称命题、特称命题的真假判断常与不等式、方程等相结合，涉及知识面较广，难度不大，是中低档题.一般以选择题、填空题的形式出现.
角度1 全称命题、特称命题的否定
1．(2014·安徽高考)命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＋x2<0
B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x0
∈R，|x0|＋x<0
D．?x0
∈R，|x0|＋x≥0
2．命题“存在x0∈R，使得x≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2＜0
B．对任意x∈R，使得x2≥0
C．存在x0∈R，使得x≤0
D．存在x0∈R，使得x＜0
3．(2017·郑州三模)设命题p：?x>0，log2x<2x＋3，则p为( )
A．?x>0，log2x≥2x＋3
B．?x0>0，log2x0≥2x0＋3
C．?x0>0，log2x0<2x0＋3
D．?x>0，log2x>2x＋3
4．（2014湖北）命题“，”的否定是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
5．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：?n∈N，n2>2n，则p为( )
A．?n∈N，n2>2n
B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n
D．?n∈N，n2＝2n
角度2 全称命题、特称命题的真假判断
1．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，x2≥0
B．?x∈R，2x－1＞0
C．?x0∈R，lg
x0＜1
D．?x0∈R，sin
x0＋cos
x0＝2
2．下列命题中的假命题是( )
A．?x0∈R，lg
x0＝0
B．?x0∈R，tan
x0＝
C．?x∈R，x3＞0
D．?x∈R,2x＞01.1
集合与充要条件
一、整合教材知识，落实基本能力
1．集合的基本概念
(1)元素的特性：①确定性；②互异性；③无序性．
(2)集合与元素的关系：①a属于A，记为a∈A；②a不属于A，记为a?A．
(3)常见集合的符号：
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N
N
或N＋
Z
Q
R
(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图法．
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A?B或B?A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A
(2)如果A?B，且B?C，那么A?C
3．集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x?A}
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A(A?U)的补集为?UA
4．充分条件与必要条件
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p?q且q
p
p是q的充分不必要条件
p
q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q
p是q的充要条件
p
q且q
p
p是q的既不充分也不必要条件
5．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
?
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
?
6．全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
否定
?x0∈M，?p(x0)
?x∈M，?p(x)
含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
二、精研高考题点，提升备考智能
考点一
集合的基本运算
集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
1．（2018·全国Ⅰ卷）已知集合，，则( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 因为，故选A．
2．(2019·浙江)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(?UA)∩B＝( )
A．{－1}
B．{0，1}
C．{－1，2，3}
D．{－1，0，1，3}
解析：∵?UA＝{－1，3}，∴(?UA)∩B＝{－1}，故选A．
3．(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩?UB＝( )
A．{3}
B．{2,5} C．{1,4,6}
D．{2,3,5}
解析：选B ?UB＝{2,5}，A∩?UB＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：选D 集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14．故选D．
5．(2021·全国卷Ⅰ)设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
解：由题设有，故选：B
.
6．(2018·石家庄质检(二))设U＝R，A＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?UB)＝( )
A．{1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－3，－2，－1,0} D．{2}
解析：由题意得?UB＝{x|x＜1}，∴A∩(?UB)＝{－3，－2，－1,0}，故选C．
7．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1A．(－1,3)
B．(－1,0)
C．(0,2)
D．(2,3)
解析：选A 将集合A与B在数轴上画出(如图)．
由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A．
8．（2017北京高考文1）已知全集，集合，则( )
A．
B．
C．
D．
解析：因为或，所以，故选：C．
9．（2018年天津卷理）设全集为R，集合，，则( )
A．
B．
C．
D．
解：由题意可得：，．故选：B．
10．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合，则( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．
11．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3}
B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
解析：∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C．
12．(2015·山东)已知集合A＝{x|2A．(1,3)
B．(1,4)
C．(2,3)
D．(2,4)
解析：选C 由题意知B＝{x|113．(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1)
D．(3，＋∞)
解析：A [由题意得A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜1}．]
14．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
解析：A [集合B＝{x|－1≤x≤1}，又∵A＝{－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1}，故选A．]
15．(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝( )
A．?
B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
解析：选B 由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥}，所以?UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}．
16．设集合，，若，则(
)
A．
B．
C．
D．
解析∵
集合，
，
∴是方程的解，即∴
∴，故选C
17．(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg
x≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．[0,1)
D．(－∞，1]
解析：选A M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg
x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]，故选A．
18．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则( )
A．A∩B＝{x|x＜0}
B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}
D．A∩B＝?
解析：∵B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A．
19．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(2,5]
D．[2,5]
解析：选C 由x2－6x＋5≤0的解集为{x|1≤x≤5}，得A＝[1,5]．由x－2>0，解得x>2，故B＝(2，＋∞)．把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知A∩B＝(2,5]．
20．[多选]设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则( )
A．A∩B＝(－1，1)
B．A∩B＝(0，1)
C．A∪B＝(－1，＋∞)
D．A∪B＝(0，＋∞)
解析：∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∩B＝(0，1)
∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选BC．]
21．(多选题)(2020·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )
A．A∩B＝?
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪?RB＝{x|x≤－1或x＞2}
D．A∩?RB＝{x|2＜x≤3}
解析：∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，A不正确；
A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；
∵?RB＝{x|x＜－2或x＞2}，
∴A∪?RB＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，C不正确；
A∩?RB＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，D正确．
22．若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1}
B.{－1，0}
C.{－1，1}
D.{0}
答案 D
解析 B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为?U(A∪B).又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以?U(A∪B)＝{0}.
23．(2019·洛阳模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x＜4}
B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
解析：D [依题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D．]
24．(2016·开封模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}
解析：选B A＝{x|2x(x－2)＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|x＜1}，?RB＝{x|x≥1}，
阴影部分为A∩?RB＝{x|1≤x＜2}．故选B．
25．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是( )
A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
解析：由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(?UN)＝(－3，－1)．
考点二
集合的基本概念
集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及元素与集合之间的关系及根据集合中元素的特性（特别是集合中元素的互异性），来确定集合元素的个数或求参数值，属于基础题．
与集合中的元素有关的问题的求解思路
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
1．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4．
2．(2018·南昌模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析:因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7．
当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8．
由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8．即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．
3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4．答案：1或4
4．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．
B．
C．0
D．0或
解析:若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝，
所以a的取值为0或．
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1
D．0
解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2．
6．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
解析：A [由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤．又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为3
3＝9，故选A．]
7．(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
答案 C
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N
，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}．
8．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2
020＋b2
020＝________．
解析:1 [由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2
020＋b2
020＝(－1)2
020＋02
020＝1．]
9．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1 C．2
D．－2
解析：选C 因为{1，a＋b，a}＝，所以a≠0，a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1．所以b－a＝2．
考点三
集合间的基本关系
判断集合间关系的3种方法
列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．
结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．
数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，确定集合与集合之间的关系．
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B?A B．A＝B
C．AB
D．BA
解析：选C 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C．
2．(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则( )
A．AB
B．BA
C．A?B
D．B＝A
解析：由题意知A＝{x|y＝，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{y|0≤y≤1}，所以BA，故选B．
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
4．(2018·云南)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与B的关系是( )
A．B?A
B．B?A
C．B∈A
D．A∈B
解析：选A 因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝．
在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，可知，B?A．
5．(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1
B．a＜1
C．a≥2
D．a＞2
解析：B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B?A，则a≥2，故选C．]
6．(2021·河南部分重点中学联考)已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝( )
A．4
B．－4
C．8
D．－8
答案 B
解析 ∵A∩B＝{－2}，可知－2∈B，所以(－2)2－2m－12＝0，解得m＝－4．
7．已知集合A＝{x|log2
x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是( )
A．(0，1]
B．[1，＋∞)
C．(0，2]
D．[2，＋∞)
解析：D [∵A∪B＝B，∴A?B．又A＝{x|log2
x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜c}，∴c≥2，
即c的取值范围是[2，＋∞)．]
8．(2016·云南名校联考)集合A＝{x|x－2＜0}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：选D A＝{x|x＜2}，若A∩B＝A，则a≥2．故选D．
9．已知集合A＝{x|1≤x<5}，B＝{x|－a解析：因为B?A．
①当B＝?时，满足B?A，此时－a≥a＋3，即a≤－；
②当B≠?时，要使B?A，则解得－由①②可知，a的取值范围为(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
10．(2020·南阳一模)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，则实数m的取值范围为________．
解析：A＝{x|－1≤x≤6}．∵B?A，∴B＝?或B≠?．
当B＝?时，m－1>2m＋1，即m<－2．符合题意．
当B≠?时，解得0≤m≤．
得m<－2或0≤m≤．
考点四
充分必要条件的判定
充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的热点.高考主要考查充分条件、必要条件的判断，常以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题.充分条件、必要条件作为一个重要载体，考查的数学知识面较广，几乎涉及数学知识各个方面.
1．(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A解析 由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.
2．已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：[x2－5x－6＝0?x＝－1或x＝6，∵x＝－1?x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，
∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，选A.
3．(2020·长沙调研)已知λ∈R，向量a＝(3，λ)，b＝(λ－1,2)，则“λ＝3”是“a∥b”的( )
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件
解析：A [由题意得a∥b?3×2－λ(λ－1)＝0，解得λ＝－2或λ＝3，所以“λ＝3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.]
4．(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的( )
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件
解析：选B 由x2－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|0＜x＜2}，显然BA，∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.
考点五
全称命题与特称命题
含有一个量词的命题的否定及真假判断是高考命题的热点，而全称命题、特称命题的真假判断常与不等式、方程等相结合，涉及知识面较广，难度不大，是中低档题.一般以选择题、填空题的形式出现.
角度1 全称命题、特称命题的否定
1．(2014·安徽高考)命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＋x2<0
B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x0
∈R，|x0|＋x<0
D．?x0
∈R，|x0|＋x≥0
[解析] 全称命题的否定是特称命题，故选C.
[答案] C
2．命题“存在x0∈R，使得x≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2＜0
B．对任意x∈R，使得x2≥0
C．存在x0∈R，使得x≤0
D．存在x0∈R，使得x＜0
解析：选A 原命题为特称命题，其否定全称命题，故选A.
3．(2017·郑州三模)设命题p：?x>0，log2x<2x＋3，则p为( )
A．?x>0，log2x≥2x＋3
B．?x0>0，log2x0≥2x0＋3
C．?x0>0，log2x0<2x0＋3
D．?x>0，log2x>2x＋3
解析：选B 该命题含有量词“?”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故p为：?x0>0，log2x0≥2x0＋3.
4．（2014湖北）命题“，”的否定是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】C
5．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：?n∈N，n2>2n，则p为( )
A．?n∈N，n2>2n
B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n
D．?n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，p(x)”，所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故选C.
角度2 全称命题、特称命题的真假判断
1．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，x2≥0
B．?x∈R，2x－1＞0
C．?x0∈R，lg
x0＜1
D．?x0∈R，sin
x0＋cos
x0＝2
A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg
x＜1，所以C正确；因为sin
x＋cos
x＝sin
，所以－≤sin
x＋cos
x≤，所以D错误．
2．下列命题中的假命题是( )
A．?x0∈R，lg
x0＝0
B．?x0∈R，tan
x0＝
C．?x∈R，x3＞0
D．?x∈R,2x＞0
[解析] 当x＝1时，lg
x＝0，故命题“?x0∈R，lg
x0＝0”是真命题；当x＝时，tan
x＝，故命题“?x0∈R，tan
x0＝”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R，2x＞0，故命题“?x∈R，2x＞0”是真命题．]