2.1
函数的概念及其基本性质
一、整合教材知识，落实基本能力
1．函数的概念
函数
两集合A，B
设A，B是非空的数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．
4．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1
x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
当图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
5．奇函数、偶函数的定义
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.
(1)
f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)；
(2)
f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)．
6．奇、偶函数的性质
(1)定义域特征：奇函数，偶函数的定义域都关于原点对称．
(2)图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(3)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
(4)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)＝0.
7．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：
①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．周期不唯一：若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．
1．常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0．
(3)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．
(4)一次函数、二次函数的定义域为R.
(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin
x，y＝cos
x的定义域均为R.
2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.
3．函数单调性的结论
对?x1，x2∈D(x1≠x2)
(1)增函数：
①当x1②当x1－x2<0时，都有f(x1)－f(x2)<0；
③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0；
④；
⑤；
减函数：
①当x1f(x2)；
②当x1－x2<0时，都有f(x1)－f(x2)>0；
③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；
④；
⑤；
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
4．函数奇偶性的结论
常见的偶函数：常数C，，x2，x4，cos
x，|x|，，，，，
常见的奇函数：，x，x3，sin
x，，
常见的非奇非偶函数：，ex，e－x，，ln
x，|ln
x|，，
5．函数最值存在的2个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
6．函数奇偶性的三个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
7．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0).
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
函数的定义域问题
求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.
1．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln
x的定义域是__________.
2．(2015·德州期末)y＝
－log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2) C．(－2,0)∪[1,2)
D．[－2,0]∪[1,2]
3．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B. C．(－1,0)
D.
4．(2021·青岛检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.(－∞，－2)∪(－2，3]
B.(－8，－2)∪(－2，1]
C.∪(－2，0]
D.
考点二
分段函数
分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.常见的命题角度有：(1)求值问题；(2)求参数或自变量的值(或范围).
角度1 求函数值
解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．
1．(2015·陕西高考)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1
B.
C.
D.
2．(2021·长沙检测)设f(x)＝则f(5)的值为( )
A.10
B.11
C.12
D.13
3．已知f(x)＝，则f＋
f的值等于( )
A．－2
B．4
C．2
D．－4
角度2 求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
1．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于( )
A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
2．(2015·山东高考)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1
B.
C.
D.
角度3 分段函数与方程、不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
1．(2020·郑州调研)已知函数f(x)＝若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为( )
A.[－2，1]
B.[－3，3]
C.[－2，2]
D.[－2，3]
2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况．
考点三
求函数的解析式
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.
1．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A.
B．－
C.
D．－
2．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
3．已知＝x2＋，求f(x)的解析式；
4．已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
考点四
确定函数的单调性(区间)
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
确定函数单调性的4种方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
1．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝x
B.y＝2－x
C.
D.y＝
2．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝
B．y＝cos
x
C．y＝ln(x＋1)
D．y＝2－x
3．下列函数中，满足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x
D．f(x)＝ln(x＋1)
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
5．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1]
B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．[1，＋∞)
考点五
函数的值域(最值)
函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.
角度1
利用函数单调性求最大(小)值
1．函数y＝x＋的最小值为________；
角度2
分离常数法求函数的值域(最值)
1．函数y＝的值域为________．
角度3
基本不等式法
1．函数f(x)＝，x＞0的值域为________．
考点六
函数单调性的应用
函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.常见的命题角度有：(1)比较函数值的大小；(2)解函数不等式；(3)利用单调性求参数的取值范围（或值）.
角度1
利用函数单调性比较大小
比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题可用图象法求解．
1．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)B．f(0)>f(3)
C．f(－1)＝f(3)
D．f(0)＝f(3)
2．(2018·哈尔滨)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－，2，3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．
3．(2021·武汉模拟)已知函数f(x)＝－，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为( )
A.cB.aC.bD.a4．(2021·南昌四校联考)已知函数f(x)＝3x－2cos
x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是( )
A.aB.cC.bD.b角度2
利用函数单调性解不等式
求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x)).此时要特别注意函数的定义域．
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
2．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
3．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，2)
B．[0，2)
C．[0，1)
D．[－1，1)
本例在求解时，应注意隐含条件为a2－a∈[－2，2]，2a－2∈[－2，2].
4．已知函数f(x)＝ln
x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.
角度3
利用函数单调性求参数
1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
2．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是( )
A．(1，2)
B．
C．
D．
分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
3．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1)
B.
C.
D.
4．(2016·惠州)已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
5．(2021·衡水中学检测)已知函数f(x)＝对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有>0，则实数a的取值范围为________.
考点七
函数的奇偶性
函数的奇偶性问题是高考的热点，主要考查函数奇偶性的判断与函数奇偶性的应用，多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题.
角度1
利用奇偶性求参数的值
1．[多选]下列函数中不具有奇偶性函数的有( )
A．y＝x2sin
x
B．y＝x2cos
x
C．y＝|ln
x|
D．y＝2－x
2．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
判断函数奇偶性的3种方法
(1)定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．
(2)图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
f(x)g(x)
f(g(x))
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
3．[多选]设函数f(x)＝，则下列结论正确的有( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
角度2 利用奇偶性求参数的值
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B.
C.
D．－
2．(2021·全国Ⅰ卷)已知函数是偶函数，则______.
3．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
4．已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝3，则f(－a)的值为_______
5．若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．
已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．
角度3 利用函数的奇偶性求值
1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－
B．
C．2
D．－2
3．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________．
利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值．
角度4 求函数解析式
1．(2018·福建模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝( )
A．－2x
B．2－x
C．－2－x
D．2x
2．[一题两空]函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则f(0)＝________，函数f(x)的解析式为________．
不要忽视x＝0时的解析式．
考点八
函数的周期性
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，但仍不失为一个重点内容，多以选择题、填空题形式考查，属中低档题.
1．(2019·贵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2
019)＝( )
A．5
B．
C．2
D．－2
2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝，则f＝________.
3．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＝________.
4．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)的值为________．
考点九
函数性质的综合应用
单调性、奇偶性与周期性结合
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
角度1 单调性与奇偶性结合
1．(2016·洛阳)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( )
A．y＝x2
B．y＝2|x|
C．y＝log2
D．y＝sin
x
2．(2015·陕西)设f(x)＝x－sin
x，则f(x)( )
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
4．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
5．(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则( )
A.c>b>a
B.a>b>c
C.c>a>b
D.a>c>b
6．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f(log2
4.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )A．aB．bC．cD．c7．设是定义在上的奇函数，若在上是减函数，且，则满足的的取值范围是__________．
8．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
9．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.
10．已知函数，且，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
角度2 周期性与奇偶性结合
1．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
2．已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.则当x∈[2,4]时，f(x)的解析式为________________．
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50
B.0
C.2
D.50
角度3 单调性、奇偶性与周期性结合
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．0B．f(3)<0C．f(1)<0D．f(3)2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)函数
高考命题规律把握
1．考查形式
本章在高考中一般为2～3个客观题．
2．考查内容
高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握．主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图象，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图象与性质，分段函数求函数值等．
3．备考策略
(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用．
(2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理．
2.1
函数的概念及其基本性质
一、整合教材知识，落实基本能力
1．函数的概念
函数
两集合A，B
设A，B是非空的数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．
4．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
当图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
5．奇函数、偶函数的定义
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.
(1)
f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)；
(2)
f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)．
6．奇、偶函数的性质
(1)定义域特征：奇函数，偶函数的定义域都关于原点对称．
(2)图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(3)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
(4)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)＝0.
7．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：
①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．周期不唯一：若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．
1．常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0．
(3)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．
(4)一次函数、二次函数的定义域为R.
(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin
x，y＝cos
x的定义域均为R.
2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.
3．函数单调性的结论
对?x1，x2∈D(x1≠x2)
(1)增函数：
①当x1②当x1－x2<0时，都有f(x1)－f(x2)<0；
③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0；
④；
⑤；
减函数：
①当x1f(x2)；
②当x1－x2<0时，都有f(x1)－f(x2)>0；
③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；
④；
⑤；
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
4．函数奇偶性的结论
常见的偶函数：常数C，，x2，x4，cos
x，|x|，，，，，
常见的奇函数：，x，x3，sin
x，，
常见的非奇非偶函数：，ex，e－x，，ln
x，|ln
x|，，
5．函数最值存在的2个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
6．函数奇偶性的三个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
7．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0).
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
函数的定义域问题
求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.
1．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln
x的定义域是__________.
答案 (0，＋∞)
解析 要使函数有意义，需满足所以函数的定义域为(0，＋∞).
2．(2015·德州期末)y＝
－log2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2) C．(－2,0)∪[1,2)
D．[－2,0]∪[1,2]
解析：选C 要使函数有意义，必须∴x∈(－2,0)∪[1,2)．
3．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B. C．(－1,0)
D.
解析：要使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－14．(2021·青岛检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.(－∞，－2)∪(－2，3]
B.(－8，－2)∪(－2，1]
C.∪(－2，0]
D.
答案 C
解析 ∵f(x)的定义域为[－8，1]，
∴解得－≤x≤0，且x≠－2.
∴g(x)的定义域为∪(－2，0].
考点二
分段函数
分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.常见的命题角度有：(1)求值问题；(2)求参数或自变量的值(或范围).
角度1 求函数值
解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．
1．(2015·陕西高考)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1
B.
C.
D.
解析：选C 因为－2＜0，所以f(－2)＝2－2＝＞0，所以f＝1－
＝1－＝.
2．(2021·长沙检测)设f(x)＝则f(5)的值为( )
A.10
B.11
C.12
D.13
答案 B
解析 ∵f(x)＝∴f(5)＝f[f(11)]＝f(9)＝f[f(15)]＝f(13)＝11.
3．已知f(x)＝，则f＋
f的值等于( )
A．－2
B．4
C．2
D．－4
解析：选B 由题意得f＝2×＝，f＝f＝f＝2×＝，所以f＋f＝4.
角度2 求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
1．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于( )
A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
解析：选D 当a≥0时，f(a)＝，由已知得＋1＝2，得a＝1；当a<0时，f(a)＝，由已知得＋1＝2，得a＝－1，综上a＝±1.故选D.
2．(2015·山东高考)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1
B.
C.
D.
解析：选D f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
角度3 分段函数与方程、不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
1．(2020·郑州调研)已知函数f(x)＝若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为( )
A.[－2，1]
B.[－3，3]
C.[－2，2]
D.[－2，3]
答案 D
解析 ∵f(x)＝f(－1)＝3，又∵f(－1)＝a－1＋1＝3，则a＝.
所以f(x)＝由f(x)≤5，
∴当x>0时，2x－1≤5，解得0综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].
2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
解析：D [当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象可知，要使f(x＋1)则需或所以x<0，故选D.]
本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况．
考点三
求函数的解析式
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.
1．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A 令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
2．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
3．已知＝x2＋，求f(x)的解析式；
解析：(1)由于＝x2＋＝2－2，令t＝x＋，当x＞0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号；当x＜0时，t＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，
∴f(t)＝t2－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
4．已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
解析：∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.联立方程组解得f(x)＝－(x≠0)．
考点四
确定函数的单调性(区间)
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
确定函数单调性的4种方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
1．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝x
B.y＝2－x
C.
D.y＝
答案 A
解析 由图象知，只有y＝x在(0，＋∞)上单调递增.故选A.
2．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝
B．y＝cos
x
C．y＝ln(x＋1)
D．y＝2－x
解析：选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；
选项B中，y＝cos
x在(－1,1)上先增后减；
选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；
选项D中，y＝2－x＝在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．故选D
3．下列函数中，满足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
解析：选D 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1]
B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．[1，＋∞)
解析：选B 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
考点五
函数的值域(最值)
函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.
角度1
利用函数单调性求最大(小)值
1．函数y＝x＋的最小值为________；
解析：当x≥1时，函数为增函数，∴当x＝1时，ymin＝1.
角度2
分离常数法求函数的值域(最值)
1．函数y＝的值域为________．
解析：y＝＝＝3＋，因为≠0，所以3＋≠3，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．答案：{y|y∈R且y≠3}
角度3
基本不等式法
1．函数f(x)＝，x＞0的值域为________．
解析：x＞0，f(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号；所以函数f(x)的值域为[4，＋∞).
考点六
函数单调性的应用
函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.常见的命题角度有：(1)比较函数值的大小；(2)解函数不等式；(3)利用单调性求参数的取值范围（或值）.
角度1
利用函数单调性比较大小
比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题可用图象法求解．
1．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)B．f(0)>f(3)
C．f(－1)＝f(3)
D．f(0)＝f(3)
解析：选A依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)2．(2018·哈尔滨)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
解析：选D 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<f>f(e)，∴b>a>c.
本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－，2，3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．
3．(2021·武汉模拟)已知函数f(x)＝－，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为( )
A.cB.aC.bD.a解析 (1)函数f(x)＝－是R上的减函数，
又log38<2<21.3<21.4＝40.7，∴f(40.7)4．(2021·南昌四校联考)已知函数f(x)＝3x－2cos
x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是( )
A.aB.cC.bD.b答案 D
解析 对f(x)＝3x－2cos
x求导得f′(x)＝3＋2sin
x，则有f′(x)＝3＋2sin
x>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数.又2＝log24角度2
利用函数单调性解不等式
求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x)).此时要特别注意函数的定义域．
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
2．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知可得解得－33，
所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
3．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，2)
B．[0，2)
C．[0，1)
D．[－1，1)
解析：C [因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2，2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]
本例在求解时，应注意隐含条件为a2－a∈[－2，2]，2a－2∈[－2，2].
4．已知函数f(x)＝ln
x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)＝ln
x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln
1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)角度3
利用函数单调性求参数
1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上所述得－≤a≤0.故选D.
2．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是( )
A．(1，2)
B．
C．
D．
解析：由已知条件得f(x)为增函数，所以解得≤a＜2，
所以a的取值范围是.故选C.]
分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
3．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1)
B.
C.
D.
解析：只需满足解得≤a<.故选C.
4．(2016·惠州)已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又f(x)＝ax－a(x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为15．(2021·衡水中学检测)已知函数f(x)＝对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有>0，则实数a的取值范围为________.
解析 依题设，函数f(x)＝在R上单调递增，∴解得0故实数a的取值范围是.
角度4
构造函数破解不等式(方程)问题（
）
对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.
1．若a＝，b＝，c＝，则( )
A.aB.cC.cD.b答案 B
解析 法一 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；
＝＝log6251
024>1，所以b>c.即c法二 构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
2．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A.a>2b
B.a<2b
C.a>b2
D.a答案 B
解析 由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，
∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)素养升华 1.破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a＋log2a＝4b＋2log4b”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.
2.(1)本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识；(2)逻辑推理是解决数学问题最常用、最重要的手段，将题目变形“22b＋log2b<22b＋log2(2b)”时要充分借助选项与提供的信息.
3．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A.ln(y－x＋1)>0
B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0
D.ln|x－y|<0
答案 A
解析 原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.
即f(x)0，所以A正确，B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.
考点七
函数的奇偶性
函数的奇偶性问题是高考的热点，主要考查函数奇偶性的判断与函数奇偶性的应用，多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题.
角度1
利用奇偶性求参数的值
1．[多选]下列函数中不具有奇偶性函数的有( )
A．y＝x2sin
x
B．y＝x2cos
x
C．y＝|ln
x|
D．y＝2－x
解析：CD [A为奇函数，B为偶函数，C，D为非奇非偶函数，故选CD.]
2．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
解析：D，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的3种方法
(1)定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．
(2)图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
f(x)g(x)
f(g(x))
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
3．[多选]设函数f(x)＝，则下列结论正确的有( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：ABC [∵f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x).
∴f(x)是奇函数，∴|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)|f(x)|为奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]
角度2 利用奇偶性求参数的值
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B.
C.
D．－
解析：选B 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝，则a＋b＝.
2．(2021·全国Ⅰ卷)已知函数是偶函数，则______.
解：因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：1
3．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，从而ln[()2－x2]＝0，即ln
a＝0，故a＝1.
答案：1
4．已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝3，则f(－a)的值为_______
解析：由，可得，即，又因为，故答案为：.
5．若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．
解析： [法一：(定义法)因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝.
法二：(特值法)因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数．]
已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．
角度3 利用函数的奇偶性求值
1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：12 [法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.
法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]
2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－
B．
C．2
D．－2
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－)＝f()，又当x＞0时，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f(－)＝.
3．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________．
解析：法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
则f(ln
2)＝e－a
ln
2＝8，∴－a
ln
2＝ln
8＝3ln
2，∴a＝－3.
法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln
2)＝－f＝－(－ea
ln
)＝8，∴a
ln
＝ln
8＝3ln
2，∴a＝－3.]
利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值．
角度4 求函数解析式
1．(2018·福建模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝( )
A．－2x
B．2－x
C．－2－x
D．2x
解析：选C 当x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
2．[一题两空]函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则f(0)＝________，函数f(x)的解析式为________．
解析：0 f(x)＝ [y＝f(x)的定义域为R且为奇函数，
∴f(0)＝0.又当x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，
∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝]
不要忽视x＝0时的解析式．
考点八
函数的周期性
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，但仍不失为一个重点内容，多以选择题、填空题形式考查，属中低档题.
1．(2019·贵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2
019)＝( )
A．5
B．
C．2
D．－2
解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2
019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝，则f＝________.
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且f(x)＝
∴f＝f＝－4×2＋2＝1.答案：1
3．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＝________.
解析：f(x)的周期为4，则f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝.
答案：
4．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)的值为________．
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝f(x)，∴函数y＝f(x)的周期T＝4.
又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1，f(4)＝－＝－.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)
＝504＋1＋3＝1
348.
答案：1
348
考点九
函数性质的综合应用
单调性、奇偶性与周期性结合
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
角度1 单调性与奇偶性结合
1．(2016·洛阳)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( )
A．y＝x2
B．y＝2|x|
C．y＝log2
D．y＝sin
x
解析：选C 函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log2＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin
x不是偶函数．综上所述，选C.
2．(2015·陕西)设f(x)＝x－sin
x，则f(x)( )
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
解析：选B 因为f′(x)＝1－cos
x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C；又因为f(0)＝0－sin
0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.
3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：选A 因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
4．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,4]
D．[1,3]
解：D ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D．
5．(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则( )
A.c>b>a
B.a>b>c
C.c>a>b
D.a>c>b
解析 由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函数，易知f(x)＝－2－x在[0，＋∞)上单调递增.
因为a＝f(－31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f＝f(－log35)＝f(log35)，且31.2>3，1＝log33log35>3－0.2>0，所以f(31.2)>f(log35)>f(3－0.2)，即a>c>b.
6．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f，b＝f(log2
4.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aB．bC．cD．c解析：选C．∵f(x)在R上是奇函数，∴a＝－f＝f＝f(log25)．
又f(x)在R上是增函数，且log25>log24.1>log24＝2>20.8，∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.
7．设是定义在上的奇函数，若在上是减函数，且，则满足的的取值范围是__________．
答案：.
解析：在上是减函数，，
故时，．时，．
同理时，，时，．
由上可知时，．
8．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m>m2－1，解得－2综合①②可知，－1≤m<1.即实数m的取值范围是[－1,1)．
9．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.
答案
解析 由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集为.
10．已知函数，且，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：因为，所以，为偶函数，因为当时，单调递增，所以等价于，即，或，选A.
11．已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：∵f（x）=﹣x3﹣7x+sinx，
∴f（﹣x）=x3+7x﹣sinx=﹣（﹣x3﹣7x+sinx）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，
函数的导数f′（x）=﹣3x2﹣7+cosx＜0，则函数f（x）是减函数，
则由f（a2）+f（a﹣2）＞0，得f（a2）＞﹣f（a﹣2）=f（2﹣a），
得a2＜2﹣a，即a2+a﹣2＜0，得﹣2＜a＜1，
即实数a的取值范围是（﹣2，1）.故答案为：A.
12．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－，得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．
又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，
所以f(x)在其定义域内单调递增．因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，
所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.
答案：
角度2 周期性与奇偶性结合
1．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析：6 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
2．已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
[解析] 由f(x－2)＝f(x＋2)，可知函数f(x)的最小正周期T＝4，又由于该函数是奇函数，故f＝f＝f＝－f＝－＝.
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
[解析] 由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．故函数f(x)的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.则当x∈[2,4]时，f(x)的解析式为________________．
解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．
∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
答案：f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50
B.0
C.2
D.50
答案 C
解析 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
6．(2021·贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝( )
A.
B.
C.－
D.－
解析 (1)依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.
又2所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)
＝－f(2－log25)＝－(22－log25－1)＝－＝.
角度3 单调性、奇偶性与周期性结合
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．0B．f(3)<0C．f(1)<0D．f(3)解析：选C 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，
所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<02．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)解析：选D ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．