4.1 等式与方程课件(共65张PPT)

(共65张PPT)
第四章
一元一次方程
1
等式与方程
知识点一
方程及一元一次方程的定义
1.方程的定义
2.一元一次方程的定义
?
内容
示例
一元一次方程的定义
条件
一般形式
重要提示
2.一元一次方程的定义
?
内容
示例
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程
2x-3＝0；
5y＋2＝9
条件
一般形式
重要提示
2.一元一次方程的定义
?
内容
示例
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程
2x-3＝0；
5y＋2＝9
条件
（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1；（3）未知数的系数不是0；（4）方程左右两边都是整式
一般形式
重要提示
2.一元一次方程的定义
?
内容
示例
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程
2x-3＝0；
5y＋2＝9
条件
（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1；（3）未知数的系数不是0；（4）方程左右两边都是整式
一般形式
ax＋b＝0（a≠0）或ax＝b（a≠0）
重要提示
2.一元一次方程的定义
?
内容
示例
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程
2x-3＝0；
5y＋2＝9
条件
（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1；（3）未知数的系数不是0；（4）方程左右两边都是整式
一般形式
ax＋b＝0（a≠0）或ax＝b（a≠0）
重要提示
（1）任何一个一元一次方程经过化简整理都可以化为ax＋b＝0或ax＝b的形式，其中a，b为常数，且a≠0.
（2）判断一个方程是不是一元一次方程，首先应将原方程化简，整理成一般形式，然后作判断，如3x-3＝3x＋5（化简后为-8＝0）就不是一元一次方程，因此要特别注意“a≠0”这个条件
例1
已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③＝4x＋x-1；④x2＋2x-5＝0；⑤3x＝1；⑥-2＝2，其中一元一次方程的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
例1
已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③＝4x＋x-1；④x2＋2x-5＝0；⑤3x＝1；⑥-2＝2，其中一元一次方程的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
解析
方程①中含有两个未知数，所以不是一元一次方程；方程④中未知数的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程⑥中不是整式，所以不是一元一次方程。方程②③⑤是一元一次方程。故选B.
例1
已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③＝4x＋x-1；④x2＋2x-5＝0；⑤3x＝1；⑥-2＝2，其中一元一次方程的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
解析
方程①中含有两个未知数，所以不是一元一次方程；方程④中未知数的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程⑥中不是整式，所以不是一元一次方程。方程②③⑤是一元一次方程。故选B.
特别提示
判断一个方程是不是一元一次方程，依据为一元一次方程的定义.
知识点二
方程的解与解方程
名称
内容
实质
知识点二
方程的解与解方程
名称
内容
实质
解方程
求方程的解的过程叫做解方程
变形
知识点二
方程的解与解方程
名称
内容
实质
解方程
求方程的解的过程叫做解方程
变形
方程的解
使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
数值
例2
检验下面方程后面括号里的数是不是方程的解.
（1）3x-1＝2（x＋1）-4（x＝-1）；（2）
.
例2
检验下面方程后面括号里的数是不是方程的解.
（1）3x-1＝2（x＋1）-4（x＝-1）；（2）
.
解析
（1）当x＝-1时，3x-1＝3×（-1）-1＝-4，
2（x＋1）-4＝2×［（-1）＋1］-4＝-4，
这时方程等号左右两边相等，故x＝-1是方程3x-1＝2（x＋1）-4的解.
（2）当x＝
时，
＝-2，3（x-2）＝-5，
这时方程等号左右两边不相等，故x＝
不是方程的解.
知识点三
列简单的一元一次方程
根据实际问题列方程的步骤：
（1）设未知数：一般问什么设什么，有时也可根据题意间接设未知数；
（2）找关系：用含有未知数的代数式表示题中有关的量；
（3）列方程：根据题目中的相等关系、倍数关系等列方程.
知识点三
列简单的一元一次方程
根据实际问题列方程的步骤：
（1）设未知数：一般问什么设什么，有时也可根据题意间接设未知数；
（2）找关系：用含有未知数的代数式表示题中有关的量；
（3）列方程：根据题目中的相等关系、倍数关系等列方程.
注意
设未知数时，有单位的要带单位.
例3
在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍.问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）
例3
在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍.问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）
分析
首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20-x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草的人数＋支援拔草的人数＝2×（原来植树的人数＋支援植树的人数）.
例3
在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍.问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）
分析
首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20-x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草的人数＋支援拔草的人数＝2×（原来植树的人数＋支援植树的人数）.
解析
设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20-x）人，
根据题意，得31＋x＝2×［18＋（20-x）］.
知识点四
等式的基本性质
?
内容
符号表示
知识点四
等式的基本性质
?
内容
符号表示
等式的基本性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式
如果a＝b，那么a±c＝b±C
知识点四
等式的基本性质
?
内容
符号表示
等式的基本性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式
如果a＝b，那么a±c＝b±C
等式的基本性质2
等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式
如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，那么（c≠0）
知识点四
等式的基本性质
?
内容
符号表示
等式的基本性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式
如果a＝b，那么a±c＝b±C
等式的基本性质2
等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式
如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，那么（c≠0）
重要提示
（1）等式变形时，等式两边的运算必须相同，等式才成立，否则会破坏相等关系.
（2）等式两边都除以同一个数时，这个数不能为0，因为0不能作除数
例4
用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式.
（1）如果a-3＝b＋2，那么a＋1＝________；
（2）如果3x＝2x＋5，那么3x-________＝5；
（3）如果＝5，那么x＝__________；
（4）如果5m＝2n，那么m＝___________.
知识点五
利用等式的基本性质解方程
?
内容
知识点五
利用等式的基本性质解方程
?
内容
目标
将方程化成x＝a（a是常数）的形式
知识点五
利用等式的基本性质解方程
?
内容
目标
将方程化成x＝a（a是常数）的形式
步骤
（1）方程两边同时加（或减）同一个数（或式子），使一元一次方程左边是含未知数的一项，右边是常数项；
（2）方程两边同时乘（或除以）同一个数（除数不为0），使未知数的系数化为1，从而得出方程的解
例5
利用等式的基本性质解下列方程：
（1）x＋5＝7；（2）-4x＝20；（3）4x-4＝8；（4）4x＝8x-12.
例5
利用等式的基本性质解下列方程：
（1）x＋5＝7；（2）-4x＝20；（3）4x-4＝8；（4）4x＝8x-12.
分析
利用等式的基本性质解方程，必须注意在加或减、乘或除以某个数时，方程两边要同时进行，否则会导致错误.
解析
（1）利用等式的基本性质1，两边都减去5得x＋5-5＝7-5，即x＝2.
（2）利用等式的基本性质2，两边都除以-4得，即x＝-5.
（3）利用等式的基本性质1，两边都加上4得4x-4＋4＝8＋4，即4x＝12.利用等式的基本性质2，两边都除以4得x＝3.
（4）利用等式的基本性质1，两边都减去8x得4x-8x＝8x-12-8x，即-4x＝-12.利用等式的基本性质2，两边都除以-4得x＝3.
特别提示
综合应用等式的基本性质，使复杂的一元一次方程转化为x＝a（a是常数）的形式，这就是解方程的基本思想.
经典例题
题型一
根据一元一次方程的定义求字母的值
题型一
根据一元一次方程的定义求字母的值
例1
已知（m＋1）x|m|＋2＝0是关于x的一元一次方程，求m的值.
题型一
根据一元一次方程的定义求字母的值
例1
已知（m＋1）x|m|＋2＝0是关于x的一元一次方程，求m的值.
解析
根据题意，得m＋1≠0，|m|＝1，所以m＝1.
题型一
根据一元一次方程的定义求字母的值
例1
已知（m＋1）x|m|＋2＝0是关于x的一元一次方程，求m的值.
解析
根据题意，得m＋1≠0，|m|＝1，所以m＝1.
点拨
在一元一次方程中，如果未知数的次数或系数中含有某个字母常数，根据一元一次方程中未知数的次数等于1与未知数的系数不等于0可以求得这个字母常数的值.
题型二
判断等式变形是否正确
题型二
判断等式变形是否正确
例2
判断下列说法是否正确.
（1）如果a＝b，那么ac＝bc；
（2）如果ac＝bc，那么a＝b；
（3）如果a＝b，那么-2a＋m＝-2b＋m；
（4）如果a＝b，那么a-n＝b-n.
解析
（l）从a＝b变形为ac＝bc，等式两边同时乘c，故说法正确.
（2）从ac＝bc变形为a＝b，等式两边同时除以c，但当c＝0时a与b不一定相等，故说法不正确.
（3）从a＝b变形为-2a＋m＝-2b＋m要分两步，第一步是两边同时乘-2，第二步是两边同时加m，故说法正确.
（4）从a＝b变形为a-n＝
b-n要分两步，第一步是两边同时乘，第二步是两边同时减n，故说法正确.
方法归纳
判断等式的变形是否正确，关键是确定利用等式的哪个性质变形。当对等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当对等式两边除以同三个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）是不是0，若确定该数（或式子）不为0，则该变形正确，否则错误.
题型三
根据一元一次方程的解求值
例3
已知x＝-2是关于x的方程-3x＝-mx＋4的解，求（m2-19m＋17）99的值.
例3
已知x＝-2是关于x的方程-3x＝-mx＋4的解，求（m2-19m＋17）99的值.
分析
把x＝-2代入方程，即可得出一个关于m的方程，通过解这个方程求得m的值，然后代入求值.
例3
已知x＝-2是关于x的方程-3x＝-mx＋4的解，求（m2-19m＋17）99的值.
分析
把x＝-2代入方程，即可得出一个关于m的方程，通过解这个方程求得m的值，然后代入求值.
解析
把x＝-2代入方程-3x＝-mx＋4，得-3×（-2）＝-mx（-2）＋4，解得m＝1，所以原式＝（1-19＋17）99＝（-1）99＝-1.
例3
已知x＝-2是关于x的方程-3x＝-mx＋4的解，求（m2-19m＋17）99的值.
分析
把x＝-2代入方程，即可得出一个关于m的方程，通过解这个方程求得m的值，然后代入求值.
解析
把x＝-2代入方程-3x＝-mx＋4，得-3×（-2）＝-mx（-2）＋4，解得m＝1，所以原式＝（1-19＋17）99＝（-1）99＝-1.
特别提示
（1）把方程的解代入方程时，一定要“对号入座”，只把未知数用这个解来代替；
（2）当方程中含有多个字母时，一定要明确是关于哪个字母的方程.
题型四
利用等式的性质求解实际问题
例4
如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体质量相等的正方体的个数为（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
解析
设球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z，根据已知条件，得2x＝5y，2z＝2y，根据等式的基本性质2，等式2z＝2y的两边同时除以2，得z＝y，所以2x＝5z，即与2个球体质量相等的正方体的个数为5。故选D.
解析
设球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z，根据已知条件，得2x＝5y，2z＝2y，根据等式的基本性质2，等式2z＝2y的两边同时除以2，得z＝y，所以2x＝5z，即与2个球体质量相等的正方体的个数为5。故选D.
点拨
观察题图，把题图所表示的量之间的关系用数学式子表示出来是解题的关键.
易错易混
易错点一
对一元一次方程的概念理解有误，出现判断错误
易错点一
对一元一次方程的概念理解有误，出现判断错误
判断一个方程是不是一元一次方程，既要看原方程，又要看化简后的方程，看它们是否符合一元一次方程的概念。
例1
学完一元一次方程的概念后，小明认为2x-1＋4x＝6x不是一元一次方程.他的看法是否正确？说明理由.
例1
学完一元一次方程的概念后，小明认为2x-1＋4x＝6x不是一元一次方程.他的看法是否正确？说明理由.
解析
他的看法正确，
理由：由2x-1＋4x＝6x，得6x-1＝6x，
两边同时减去6x，得-1＝0.
故不是一元一次方程.
例1
学完一元一次方程的概念后，小明认为2x-1＋4x＝6x不是一元一次方程.他的看法是否正确？说明理由.
解析
他的看法正确，
理由：由2x-1＋4x＝6x，得6x-1＝6x，
两边同时减去6x，得-1＝0.
故不是一元一次方程.
易错警示
判断一个整式方程是不是一元一次方程，要先整理，再按定义判断.
易错点二
在等式的两边除以同一个数时，忽略了此数不能为零
易错点二
在等式的两边除以同一个数时，忽略了此数不能为零
在等式变形过程中，当含有未知数的项的系数为含有字母的单项式或多项式时，往往不考虑此代数式的值是不是零就除以此代数式，导致出错.
例2
能不能由（a＋3）x＝b-1得到？为什么？反之，能不能由得到（a＋3）x＝b-1？为什么？
例2
能不能由（a＋3）x＝b-1得到？为什么？反之，能不能由得到（a＋3）x＝b-1？为什么？
解析
当a＝-3时，由（a＋3）x＝b-1不能得到，因为0不能作除数。而由可以得到（a＋3）x＝b-1，依据是等式的基本性质2.由可知a＋3≠0，方程两边同时乘a＋3，得（a＋3）x＝b-1.
例2
能不能由（a＋3）x＝b-1得到？为什么？反之，能不能由得到（a＋3）x＝b-1？为什么？
解析
当a＝-3时，由（a＋3）x＝b-1不能得到，因为0不能作除数。而由可以得到（a＋3）x＝b-1，依据是等式的基本性质2.由可知a＋3≠0，方程两边同时乘a＋3，得（a＋3）x＝b-1.
易错警示
在利用等式的基本性质2时要注意等式的两边同时除以的数或式子不能为0.