苏教版必修一第二章函数概念与基本初等函数I（课件+同步练习+教案等，计59份）

(共22张PPT)
2.6函数模型及其应用
例题：
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
投资方案选择原则：
投入资金相同，回报量多者为优
比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元； y=40 (x∈N*)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*)
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
x/天 方案一 方案二 方案三
y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元
1 40 0 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4
图112-1
从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；
有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？
画
图
累积回报表
天数
方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
结论
投资1~6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读懂问题
抽象概括
数学问题
演算
推理
数学问题的解
还原说明
实际问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金不超过5万元的要求。
模型y=log7x+1
(2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈ [10,1000]时，是否有
成立。
令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此
f(x)即 log7x+1<0.25x
所以，当x∈ [10,1000]，
例3.探究函数
的增长情况并分析差异
1.列表：
几何画板演示
2.作图：
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
结论2：
一般地，对于指数函数y=logax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现：
在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内， logax可能会小xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述：
(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。
(2)、随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。
(3)、随着x的增大， y=logax (a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。
总存在一个x0，当x>x0时，就有
logax练习：
实际
问题
读懂问题
将问题
抽象化
数学
模型
解决
问题
基础
过程
关键
目的
几种常见函数的增长情况：
常数函数 一次函数 指数函数
没有增长 直线上升 指数爆炸
作业:登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.6函数模型及其应用（2）
一、选择题
1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x　　　　　　 B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
[答案]　C
[解析]　当x＝1时，否定B，当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A，故选C.
2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20%，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是(　　)
A．不亏不盈 B．赚23.68元
C．赚47.32元 D．亏23.68元
[答案]　D
[解析]　设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1＋20%)2＝92.16，y(1－20%)2＝92.16，∴x＝64，y＝144,64＋144－92.16×2＝23.68.
3．甲、乙两人沿着同一方向去B地．甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程v1[答案]　A
[解析]　∵v14．已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是(　　)
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
[答案]　D
[解析]　从A地到B地的来回时间分别为：
＝2.5，＝3，
x＝　故选D.
5．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入－800元，税率见下表：
级数 全月纳税所得额 税率
1 不超过500元部分 5%
2 超过500元至2000元部分 10%
3 超过2000元至5000元部分 15%
… … …
9 超过10 000元部分 45%
某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于(　　)
A．800～900元 B．900～1200元
C．1200～1500元 D．1500～2600元
[答案]　C
[解析]　解法1：(估算法)由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人当月工资应在1 300～1 400元之间，故选C.
解法2：(逆推验证法)设某人当月工资为1 200元或1 500元，则其应纳税款分别为400×5%＝20元，500×5%＋200×10%＝45元．可排除A，B，D，故选C.
6．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为(　　)
A．180 B．160
C．140 D．120
[答案]　D
[解析]　设原来两筐椰子的总个数为x，成本价为a元/个，则，解得，故这两筐椰子原来共有120个．
7．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中正确的是(　　)
[答案]　C
[解析]　即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A、D；即时价格若一路上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A、D)，故选C.
8．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2007年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元)，预计该地区自2008年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2012年该地区农民人均收入介于(　　)
A．4200元～4400元 B．4400元～4600元
C．4600元～4800元 D．4800元～5000元
(注：当0[答案]　B
[解析]　根据题意可得，2012年该地区农民收入为
1800(1＋6%)5＋1350＋5×160
≈1800×(1＋5×6%)＋2150＝4490.
故选B.
二、填空题
9．长为4、宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x＝________，最大面积S＝________.
[答案]　1，
[解析]　S＝(4＋x)＝－＋x＋12
＝－(x－1)2，当x＝1时，Smax＝.
10．某养鱼场，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半，问经过四年鱼的重量是原来的________倍．
[答案]　
[解析]　设原来鱼重a，四年后鱼重为a(1＋200%)(1＋100%)(1＋50%)(1＋25%)＝a，＝.
11．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝()t－a(a为常数)其图象如图．根据图中提供的信息，回答问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系式为________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到0.25毫克以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过______小时，学生才能回到教室．
[解析]　(1)设0≤t≤时，y＝kt，
将(0.1,1)代入得k＝10，
又将(0.1,1)代入y＝()t－a中，得a＝，
(2)令()t－≤0.25得t≥0.6，∴t的最小值为0.6.
三、解答题
12．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解析]　(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，解得
所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为Q＝·1502－·150＋＝100 (元/102kg)．
13．某房地产公司在如图所示的五边形上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大值．
[分析]　当M取在AE，AB，BC上得到的长方形面积算法不同，故要分三种情况讨论．
[解析]　(1)当M在BC边上时，以BC和CD为邻边的长方形的面积最大．最大面积S1＝5600(m2)．
(2)当M在EA边上时，以AE、ED边邻边的长方形的面积最大，最大面积S2＝6000(m2)．
(3)当M在AB边上时，不妨设图中MQ＝x，
则x∈[0,20]，∴MP＝PQ－MQ＝80－x，
又OA＝20，OB＝30.由＝ QB＝x.
∴MN＝QC＝QB＋70＝x＋70.
∴SMNOP＝·(80－x)
＝－2＋.
综上所述：当长方形一端点在AB边上，且距BC的距离为m时，公寓占地面积最大．最大值为.
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1.3.2.1
一、选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数
②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象与y轴一定相交
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数
A．①②　　　　　　　 B．③④
C．①④ D．②③
[答案]　C
[解析]　f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．
2．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上(　　)
A．减函数
B．增函数
C．既可能是减函数也可能是增函数
D．不一定具有单调性
[答案]　B
3．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．－15 B．15
C．10 D．－10
[答案]　A
[解析]　解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，
∴f(3)＝－15.
解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.
4．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)A．f(－1)f(1)
C．f(2)>f(3) D．f(－3)[答案]　A
[解析]　∵f(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－1)5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于(　　)
A．－1 B．1
C. D．－
[答案]　A
[解析]　∵x>0时，f(x)＝2x－3，
∴f(2)＝22－3＝1，
又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.
6．设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上(　　)
A．为减函数，最大值为3
B．为减函数，最小值为－3
C．为增函数，最大值为－3
D．为增函数，最小值为3
[答案]　D
[解析]　∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f(－1)＝3，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)＝f(－1)＝3.
7．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1
C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
[答案]　C
[解析]　由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C.
8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. ` D.
[答案]　A
[解析]　由题意得|2x－1|< －<2x－1<
<2x< 9．若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．不存在
[答案]　B
[解析]　解法1：f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a为偶函数，
∴a＋1＝0，∴a＝－1.
解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，
∴f(－1)＝f(1)，
即0＝2(1＋a)，∴a＝－1.
10．奇函数f(x)当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－2x＋3，则f(1)与f(2)的大小关系为(　　)
A．f(1)C．f(1)>f(2) D．不能确定
[答案]　C
[解析]　由条件知，f(x)在(－∞，0)上为减函数，
∴f(－1)又f(x)为奇函数，∴f(1)>f(2)．
[点评]　也可以先求出f(x)在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．
二、填空题
11．【2012高考上海文9】已知是奇函数，若且，则
【答案】3
12．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性为________．
[答案]　奇函数
[解析]　由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，因此g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数．
13．偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．
[答案]　0
[解析]　由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.
三、解答题
14．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
[解析]　(1)f(－x)＝，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(－x)＝≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．
15．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析]　f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
16．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
[解析]　因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，
所以f(0)＝0，即b＝0.
又f＝，所以＝，
所以a＝1，所以f(x)＝.
17．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围．
[解析]　由f(1－a)＋f(1－a2)<0及f(x)为奇函数得，f(1－a)∵f(x)在(－1,1)上单调减，
∴　解得0故a的取值范围是{a|018．f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．
[解析]　设x≥0时，f(x)＝a(x－1)2＋2，
∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2.
即f(x)＝－2(x－1)2＋2.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2(x＋1)2－2，
即f(x)＝，
其图象如图所示．
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教材分析
目标分析
教学反思
教学法分析
重难点分析
学情分析
过程分析
一 教材中的地位与作用
1.方程的根与函数的零点是新课程中新增的内容，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。
2. 学生已经比较系统的学习了函数的概念，性质，图像及相关的初等函数模型，本节内容能把函数的图像与方程的根能更好的结合来,使数学中的数与形联系在一起。
3.为“二分法求方程的近似解”以及之后知识的学习做好一个铺垫作用。
桥梁和纽带作用 承前启后的作用
教学目标
1.知识与技能
(1) 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。
(2) 理解方程的根和函数零点的关系。
(3) 理解函数零点存在的判定条件。
2.过程与方法
(1) 观察能力：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义。以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。
(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。
3.情感态度与价值观
从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。
(2) 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。
教学重点与难点
重点：函数零点与方程根之间的联系。
难点 ：（1）理解函数的零点就是方程的根。
（2）理解函数零点存在的判定条件。
学情分析
本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生,刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
教法与学法
新课程中强调以学生为主体，教师起引导作用， “将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。通过引导学生积极思考，热情参与，独立自主地解决问题。同时对学生的回答进行一定的总结，把特殊的现象提升到理论的高度，让学生能更好的理解和掌握。
教学过程的设计
1.以旧带新，引入课题。
2.归纳推广，技能演练。
3.探索研究，归纳结论。
4.课堂小结，布置作业。
一 以旧带新 引入课题
引例1
求方程 的根。
求函数 与x轴交点的横坐标。
两者之间有何关系？
设计意图：从熟悉的二次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备 。
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
引例2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的 简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标。
设计意图： 1 比较全面的把一元二次方程的根与二次函数图像联系起来。
2 为进一步的推广和探究做好铺垫。
一 以旧带新 引入课题
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
推广： 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
设计意图：1 从特殊到一般的思想。2 培养学生的归纳能力。
二 归纳推广 技能演练
得出结论一：一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点的横坐标。
零点定义：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
结论二
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与X轴有交点
函数y=f(x)有零点
设计意图 1引导学生得出零点的三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形 结合”的数学思想。2强调求函数零点的方法。
思考：对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与方程是否也有上述的结论成立呢？
二 归纳推广 技能演练
变式: 求函数f(x)=Lnx+2x-6在［2，6］是否有零点？
设计意图：学生不能解的前提下，引发认知冲突，为了引出下面的新内容。
练习1 求下列函数的零点.
(1)f(x)=2x-3
(2)f(x)=Lnx-1
(3)f(x)= -9
教学估计：学生容易把函数的零点写成点的形式
设计意图：1 巩固函数零点的定义。
2 求函数的零点拓展到二次函数以外的其他基本函数中去。
二 归纳推广 技能演练
3 从错误中加深对零点定义的理解。
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
在[－2,1]上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零点x＝ _____,有f(－2)____0, f(1)____0得到f(－2)·f(1) ______0(<或>)。
在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点
x＝ ____，有f(2)____0,f(4) ___ 0得到
f(2)·f(4) ____ 0（<或>)。
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4
探索研究 归纳总结
探究1：
学生讨论形式
设计意图：从二次函数入手这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.
1 在区间(a,b)上____(有/无)零点；
f(a)·f(b) ____ <0（＜或＞）．
2 在区间(b,c)上____(有/无)零点；
f(b)· f(c)____ <0（＜或＞）．
3 在区间(c,d)上____(有/无)零点；
f(c ).f(d) ____ <0（＜或＞）．
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？
猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数
区间(a,b)上有零点。
结论三：
如果函数在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，且满足f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a、b）内有零点，即存在c∈(a、b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
设计意图：1 培养学生的观察及归纳能力。2.培养学生的数形结合思想。
观察函数f(x)的图像
探索研究 归纳总结
0
y
x
（1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点f(a)·f(b)<0。
（3） f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。
a
b
探索研究 归纳总结
设计意图：强调函数零点存在定理的三个注意点：
1 函数是连续的。
2 定理不可逆。
3 至少只存在一个零点。
定理辨析：判断正误
0
0
0
y
x
x
y
y
x
练习2:函数 的零点所在的区域（ ）
A （-1，0） B(0,1) C(1,2) D(2,3)
变式：函数 在区间（-1，0）的零点有几个？
设计意图：通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题。
设计意图：再一次引起学生认知冲突。
探索研究 归纳总结
观察如上三个函数图像
思考：函数要满足什么条件在区间［a，b］上至多只有一个有零点？
结论四.函数在区间［a，b］上是单调连续的，则函数在区间［a，b］至多只有一个零点。
探索研究 归纳总结
探究2：
0
0
0
a
b
y
x
y
x
y
x
设计意图：
1 巩固运用判定函数零点存在方法。
2 初步学会用函数单调性求零点个数。
（课后思考题）
板书设计
设计意图：画龙点睛的作用。
课堂小结：
1.知识点小结：一个定义和四个结论。
2.思想方法小结：数形结合（以数解形以形解数）。
四 课堂小结，布置作业。
布置作业：
1 必做题：
2 选做题：函数 在区间（0，2）内恰有一个零点，则a的取值范围。
设计意图：通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的知识. 进一步培养学生的归纳概括能力。
设计意图：分层教学，让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣。
七. 教学反思
二. 本节课涉及多种思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题.
一. 本节课的设计试图以教学大纲为依据，在教法设计上遵循以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线，能力发展为主攻的原则，采用启发引导探究发现法,重视数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力和创新意识.(共13张PPT)
学习目标:
1.能够收集图表数据信息,拟合函数解决实际问题;
2.体验收集图表数据信息、拟合数据的过程和方法,体会函数拟合的思想方法.
实际
问题
读懂问题
将问题
抽象化
数学
模型
解决
问题
基础
过程
关键
目的
现实生活中有些实际问题给出了图表数据信息,对这类问题就要求我们能够收集图表数据信息,建立适合的函数模型来解决问题.请看下面的例子:
复习回顾,提出课题
我要问
解决实际问题的一般步骤是什么
我要说
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
实例尝试,探求新知
1).你能看出表中的数据有什么变化规律吗？
我要问
销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶
我来说
2).假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日均销售量为多少？
我再问
480-40(x-1)=520-40x(桶).
我来说
3).假设日均销售利润为y元，你能写出y与x之间的函数关系式吗？
我又问
我来说
能,y与x的关系是:
我又问
你知道怎样去解决本题所提的问题了吗？
请阅读下面的解答过程.
解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元。
而此时,日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶)
又因为x>0,且520-40x>0,所以0结合函数的图象，容易知道当x=6.5时，y有最大值
所以，当单价定为6.5+5=11.5(元)时,
就可以获得最大利润.
6.5
13
0
x
y
例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
身高cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
我来说
要解决这个实际问题,我们先得来完成以下几项工作:
1).借助计算机,根据统计数据,画法它们相应的散点图.
2).观察所作散点图,你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近
答:它与函数 的图象较为接近.
3).怎样确定拟合函数中参数a，b的值？
答:任取其中的两组数据代入函数 中,就可求出参数a,b的值.
解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据
点的分布特征可考虑用 这一函数模型来近
似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数模型.
这样我们就得到一个函数模型:
将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
请写出问(1)的解答过程
我要问
请同学们再看看第2问,想一想第(2)问应该怎样处理
将x=175代入所得函数解析式中,求出y的值,再算出78与所得y值的商,根据条件作出判断.
我来说
请同学们自已完成第(2)问的解答
所以,这个男生偏胖.
解:
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价
住房率
20元
18元
16元
14元
65％
75％
85％
95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( )
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元
C
A
y=(90+x-80)(400-20x)
练习实践,巩固新知
你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的基本过程吗？
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
检验
用函数模型解释实际问题
Yes
No
我要问
作业:登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第二章 函数概念与基本初等函数I
2．1 函数的概念和图像
2.1.1函数的概念和图像
一、基本知识
1、 函数的定义
（1） 如何理解函数符合“y=f(x)”中的“f”
符号“y= f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看做一个“暗箱”。
（2） 符号y= f(x)的含义是什么？f(x)与f(a)有何区别？y= f(x)中式关于x的解析式，y=f(a)是x=a时所得的函数值。
（3） 对应是否为函数？
①这个对应所涉及到的两个集合是否都是非空数集；
②对应法则f：x→y是否满足对于任何一个x可取的值都有唯一的值y与之对应。如果同时满足这两条，那么这个对应就是函数，否则就不是函数。
(4)判定两个函数是否相同，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同。
（5）求函数的定义域：由于函数的定义域就是函数中所有的输入值x组成的集合，所以求函数的定义域一般要考虑使函数有意义的所有条件，不可有遗漏。
（6）求函数值域的方法：求函数的值域的方法往往因题而异，如果函数的自变量是有限个值，那么就可将函数值求出得到值域；如果函数的自变量是无数个值时，显然不能再采取上述方法求其值域，而可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，常用的方法有观察法，配方法，判别式法等。
2、函数的图像
（1）函数的图像都是连续的曲线吗？
不一定，一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图像四连续的，如一次函数，二次函数。但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图像就是一些孤立点。
（2）凡是图像都是函数的图像吗？
检查一个图形是否为某个函数的图像，只要用以条垂直x轴的直线沿x轴方向左右平移，观察图形与该直线交点的个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数的图像。因为一个x值对应了多个y值。
（3）函数的图像对于今后的解题的用途是非常大的，如某些函数图像较易画出来，就可以利用函数图像直接求出其值域。我们还可以利用函数的图像来比较某两个数值的大小等等。
二、经典例题
1、 试判断以下各组函数中，是否表示同一函数？
（1） f(x)= ；g(x)=
（2） f(x)=, g(x)= (n)
2、 求函数y=的定义域，并用区间把这个函数的定义域表示出来。
3、 已知f(x)= (xR且x-1),g(x)=+2(xR).
(1) 求f(2)，g(2)的值；
(2) 求f 的值；
(3) 求f 的解析式。
4、 函数y= 的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、根据所给的不同的定义域，画出函数y=的图像。
（1）xR； （2）x； （3）x且xZ
6、以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆总长为定值L,写出场地面积y关于一边长x的函数，并求出函数的定义域及面积的最大值。
7、函数y=的定义域是
A、{x|x∈R且x≠0} B、{x|x∈R且x≠1} C、{x|x∈R x≠0且x≠-1} D、R
8、函数y=的定义域是 。
9、函数y=的定义域是（-∞，1）∪[2,6),则其值域是 .
10、已知函数f(x)= 则f 等于
A、 B、 C、 D、
11、函数的值域是
A、 B、 C、R D
12、函数的定义域则的值域是 。
13、已知函数，若=0，且，则=
14、已知函数（-1≤x≤1）的最小值为
（1）求的表达式；
（2）若a∈[-2,0],求的值域。
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一、【回忆过去】
1、请问：我们在初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数。
2、初中学习的函数概念是什么？
3、请同学们考虑以下两个问题：
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。
二、通过实例引入函数概念
(1)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是：h=130t-5t2 (*)
(2) 近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况：
(3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
不同点
共同点
实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；
（1）都有两个非空数集
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系
三个实例有什么共同点和不同点？
问题：
归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为：
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有惟一确定的y和它对应，记作
f: A→B.
A
B
f
1，
-1，
2，
-2，
…
x
1，
2，
3，
4，
…
y
f: 平方
函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function).
记作：y=f(x) , x∈A.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)。
注意：
1. “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，“y=g(x)”；
4.集合B不一定是函数的值域，函数的值域是B的子集。
2.函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘x．
3.构成函数的三要素：定义域（集合A）、值域、对应法则（判断是否为同一函数只要看定义域、对应法则是否完全相同）。
回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定义域、值域分别是什么？
函数 对应法则 定义域 值域
正比例
函数
反比例
函数
一次函数
二次函数
R
R
R
R
R
判断正误，强化概念
1、函数的一个自变量可以对应两个以上函数值；
2、函数的定义域和值域一定是非空的数集；
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定;
4、函数中对于不同的自变量x , 函数值f(x) 也不同;
5、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量.
√
√
√
×
×
思考下面问题:
问题1: y = 1 (x∈R)是函数吗
问题2: y = x与y = 是同一个函数吗
问题3: 是函数吗
问题4: f (x)=x2与f (t)=t2是同一个函数吗
注意：
函数关系必定是一对一或多对一，一对多不是函数．
例1：已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求 的值；
（3）
1.定义域是使函数有意义的x的集合；
2.求f(a)的值，只需将a代入解析式即可。
首先观察定义域，然后再看函数值。
{x|x<0}
{x|x≠0,且x≠-1}
{x|-3≤x≤1}
练习2 在下列各组函数中 与 是否相等？为什么？
否
否
是
设a,b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x区间的概念
请阅读课本P1７关于区间的内容
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。
{x| x≥ a }= [a, +∞);
{x| x> a}= (a, +∞);
{x| x ≤b}=(-∞，b];
{x| x 试用区间表示下列实数集
（1）{x|2 ≤ x<3}
（2） {x|x ≥15}
（3） {x|x ≤ 0} ∩{x| -3 ≤ x<8}
（4） {x|x < -10}∪{x| 3< x<6}
注意：①区间表示实数集上的一段连续的数集；
②定义域、值域经常用区间表示；
③用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
2.函数的三要素
定义域
值域
对应法则f
定义域
对应法则
值域
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合 B的函数。
要点小结】
3.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式表示的数集转化为区间。
作业
2、试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2） {x|x ≥9}
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
1、习题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.1.3
一、选择题
1．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A．11,6 B．11,8
C．8,6 D．以上都不对
[答案]　A
[解析]　分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．
当1≤x≤2时，9≤2x＋7≤11，
当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝11.
故选A.
2．函数y＝x|x|的图象大致是(　　)
[答案]　A
[解析]　y＝，故选A.
3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
[答案]　C
[解析]　设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，
∴公司获得利润
L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30.
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
故选C.
[点评]　列函数关系式时，不要出现y＝－x2＋21x＋2x的错误．
4．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)
[答案]　A
[解析]　∵a＋b＞0 ∴a＞－b且b＞－a，又y＝f(x)是增函数
∴f(a)＞f(－b) 且f(b)＞f(－a)故选A.
5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1，
又∵g(x)＝在[1,2]上是减函数，
∴a>0，∴06．函数y＝(x≠2)的值域是(　　)
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．{y|y∈R且y≠2} D．{y|y∈R且y≠3}
[答案]　D
[解析]　y＝＝＝3＋，由于≠0，∴y≠3，故选D.
7．函数y＝f(x)的图象关于原点对称且函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上(　　)
A．为增函数，且最小值为－5
B．为增函数，且最大值为－5
C．为减函数，且最小值为－5
D．为减函数，且最大值为－5
[答案]　B
[解析]　由题意画出示意图，如下图，可以发现函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.
8．函数y＝|x－3|－|x＋1|有(　　)
A．最大值4，最小值0
B．最大值0，最小值－4
C．最大值4，最小值－4
D．最大值、最小值都不存在
[答案]　C
[解析]　y＝|x－3|－|x＋1|
＝，因此y∈[－4,4]，故选C.
9．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(1)[答案]　B
[解析]　因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．
又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，知f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)10．(08·重庆理)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为
(　　)
A.　 　 B.　 　
C.　 　 D.
[答案]　C
[解析]　∵y≥0，∴y＝＋
＝　(－3≤x≤1)，
∴当x＝－3或1时，ymin＝2，当x＝－1时，ymax＝2，即m＝2，M＝2，∴＝.
二、填空题
11．函数y＝－x2－10x＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．
[答案]　－13
[解析]　函数y＝－x2－10x＋11＝－(x＋5)2＋36在[－1,2]上为减函数，当x＝2时，ymin＝－13.
12．已知函数f(x)在R上单调递增，经过A(0，－1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f(x＋1)|<1成立的x的集合为________．
[答案]　{x|－1[解析]　由|f(x＋1)|<1得－1∴0∴使不等式成立的x的集合为{x|－113．如果函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为________．
[答案]　2
[解析]　∵f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当m≤x≤n时，－3≤y≤1，∴1∈[m，n]，
又令－x2＋2x＝－3得，x＝－1或x＝3，
∴－1∈[m，n]或3∈[m，n]，
要使|m－n|最小，应取[m，n]为[－1,1]或[1,3]，此时|m－n|＝2.
三、解答题
14．求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大、小值．
[解析]　由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．
①∵f(x)＝－x2＋|x|＝
即f(x)＝
作出其在[－1,2]上的图象如右图所示
由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－)和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋∞)．
②由图象知：当x＝－或时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝－2.
15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解析]　(1)设月产量为x台，则总成本为u(x)＝20000＋100x，从而f(x)＝R(x)－u(x)，
即f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＝20 000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
16．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，
(1)证明函数f(x)为增函数．
(2)求f(x)的最小值．
[解析]　将函数式化为：f(x)＝x＋＋2
①任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)．
∵x1＜x2，　∴x1－x2＜0，
又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
②当x＝2时，f(x)有最小值.
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章末归纳总结
一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算．
1．理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功．
[例1]　(1)集合A＝{y|y＝x}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝________.
(2)集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝________.
[解析]　(1)集合A是函数y＝x的值域，∴A＝R，集合B是函数y＝x2的值域，∴B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{y|y≥0}．故填{y|y≥0}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果．
[例2]　集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B?A，则实数p的取值范围是________．
[例3]　设全集U＝{a，b，c，d，e}，若A∩B＝{b}，( UA)∩B＝{d}，( UA)∩( UB)＝{a，e}，则下列结论中正确的为 (　　)
A．c∈A且c∈B　　　 B．c∈A且c B
C．c A且c∈B D．c A且c B
[答案]　B
[解析]　画出Venn图如图，依次据条件将元素填入，A∩B＝{b}，故b填在A与B公共部分，( UA)∩B＝{d}，故d填在A圈外，B圈内，又( UA)∩( UB)＝{a，e}，∴a，e填在A、B两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位置，故应填在A内B外，∴c∈A且c B，选B.
3．含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别注意集合元素的互异性．
4．空集是任何集合的子集，解题时要特别注意．
[例5]　集合A＝{x|x2＋x＋a＝0}，B＝{－2,1}，若A?B，则实数a的取值范围是________．
5．新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么．
[例6]　A、B都是非空集合，定义A*B＝{x|x＝a·b＋a＋b，a∈A，b∈B且b A∩B}，若A＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的和为________．
[解析]　由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素x＝ab＋a＋b，
∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.
6．熟练掌握A B A∩B＝A A∪B＝B及集合的运算是解决一些集合问题的基础．
[例7]　(1)如果全集U＝{x|x2－5x－6<0，x∈N＋}，A＝{2,3}，B＝{1,3,5}，则 U(A∪B)＝________，A∩ UB＝________.
(2)设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为 (　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1，－1或0
[解析]　(1)∵U＝{x|(x－b)(x＋1)<0，x∈N＋}＝{x|－1∴ U(A∪B)＝{4}，A∩ UB＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．
故依次填{4}，{2}．
(2)当a＝0时，B＝ ，A∩B＝B；
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值及应用
1．解决函数问题必须首先弄清函数的定义域
[解析]　由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为[0，＋∞)．
2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围”．
[点评]　注意上面的虚线箭头，(1)中前面的x与后面的2x－1取值范围相同，都是[0,1]，(2)中前面的x＋2与后面的x的取值范围相同，而x＋2中的“x”允许取值范围是[0,1]．
3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数和y＝
等的图象特征．熟练判断函数的单调性、奇偶性，了解常见对称特征和平移．
(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称；
(3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称；
(4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(6)将y＝f(x)的图象上各点向右(左)平移a(a>0)个单位，可以得到函数y＝f(x－a)(y＝f(x＋a))的图象．
将y＝f(x)的图象上各点向上(下)平移a(a>0)个单位，可以得到y＝f(x)＋a(或y＝f(x)－a)的图象．
(7)y＝|f(x)|的图象可由y＝f(x)的图象位于x轴及上方的部分不变，下方图象作关于x轴的对称翻折而得到．
y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x)图象相同，而y＝f(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图形即可．
[例3]　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[分析]　第(1)问，将a＝－1代入，根据二次函数的图象得出结论；第(2)问，根据二次函数的对称轴的位置确定单调性．
[解析]　(1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
∵f(x)的对称轴为x＝1.
∴x＝1时，f(x)取最小值1；
x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，∵f(x)在[－5,5]上是单调函数．
∴－a≤－5，或－a≥5，即a≤－5，或a≥5.
三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问题的思维习惯
1．数形结合的思想
[例1]　设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
[解析]　(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0，时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示
函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1，0)，[1,3]上为增函数．
(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2；
故函数f(x)的值域为[－2,2]．
[例2]　已知关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
[解析]　设y1＝x2－4|x|＋5，y2＝m，由于y1＝x2－4|x|＋5为偶函数，画出x≥0的图象，再由对称性可画出x<0时的图象，由图可见1[例3]　f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(4)＝0，则xf(x)>0的解集为 (　　)
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,4)
C．(－∞，－4)∪(0,4)
D．(－4,0)∪(4，＋∞)
[例4]　函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(1，＋∞)
B．(－1,1)
C．(－∞，－1]∪[1，∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析]　画出y＝a|x|与y＝x＋a的图象．
2．函数与方程的思想
函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题
要特别注意掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布
①方程(※)有两不等实根 Δ>0，方程(※)有两相等实根 Δ＝0，方程(※)无实根 Δ<0，方程(※)有实数解 Δ≥0.
②方程(※)有零根 c＝0.
一元二次方程根的分布比较复杂，以上仅列出了一些常见情形，只要抓住根的判别式、韦达定理、根的表达式和相应函数的图象，进行综合考察，总能顺利解决．
[例5]　若函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)－2f(－x)＝3x，则f(x)必为 (　　)
A．奇函数而不是偶函数
B．偶函数而不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析]　∵f(x)－2f(－x)＝3x对任意x∈R成立，
∴f(－x)－2f(x)＝－3x，解得f(x)＝x.
∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)必为奇函数．故选A.
[点评]　将关于函数f(x)的关系式f(x)－2f(－x)视作关于f(x)与f(－x)的“二元一次方程”，利用恒成立，再构造一个“二元一次方程”解方程组，足见转换看问题的角度的威力．
[例6]　已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k<－4
C．－40
[解析]　设f(x)＝2kx2－2x－3k－2，
由题意知kf(1)<0，∴k(k＋4)>0，
∴k>0或k<－4，故选D.
3．分类讨论的思想
在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论．
①涉及的数学概念是分类定义的；
②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
④由运算的限制条件引起的分类．
⑤由实际问题的实际意义引起的分类．
⑥数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果．
⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．
⑧由图形的不确定性引起分类
[例8]　若f(x)＝(m＋1)x2－(m＋1)x＋3(m－1)<0对一切实数x恒成立，则m的取值范围是 (　　)
A．(－1，＋∞)
B．(－∞，－1)
[解析]　当m＋1＝0时，显然成立
当m＋1<0时，Δ<0
[点评]　f(x)＝ax2＋bx＋c不一定是x的二次函数，只有a≠0时才是．故解决这类含参数系数的问题应注意分类讨论．
[例9]　设集合A＝{x－y，x＋y，xy}，B＝{x2＋y2，x2－y2,0}，且A＝B，求实数x和y的值及集合A、B.
[解析]　∵A＝B,0∈B，∴0∈A，
若x＋y＝0，或x－y＝0，则x2－y2＝0与集合元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0，∴xy＝0，
∴x＝0或y＝0，
若y＝0，则与集合元素的互异性矛盾，∴x＝0，
A＝{－y，y,0}，B＝{y2，－y2,0}，
[点评]　观察能力是学习数学必须培养的一种重要能力．审题时，注意观察分析，找出解决问题的关键所在，本题中A＝B,0∈B，即是解题的突破口．
4．转化与化归的思想
在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法．这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力．
[例10]　函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是 (　　)
A．a≤2 B．a≥－2
C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2
[解析]　∵f(x)为偶函数，
∴f(a)≤f(2) f(|a|)≤f(2)，
∵f(x)在(－∞，0]上单增，∴f(x)在[0，＋∞)上单减，∴|a|≥2，∴a≥2或a≤－2，选D.
[例11]　已知a>2，b>2，比较a＋b与ab的大小．
[解析]　令a＝2＋x，b＝2＋y，则x>0，y>0，
∴ab－(a＋b)＝(2＋x)(2＋y)－(4＋x＋y)＝x＋y＋xy>0，∴ab>a＋b.
[点评]　将a>2，b>2的条件量化，化不等关系为相等关系，转化为数的正负判断，促成了问题的解决．
[例12]　定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是 (　　)
① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
② f(b)－f(－a)③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④ f(a)－f(－b)A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
[解析]　本题中的函数比较抽象，直接根据已知条件来选正确结论有困难，不妨将满足条件的函数具体化．
令f(x)＝x，g(x)＝|x|，并设a＝2，b＝1
则f(a)＝g(±a)＝2，f(b)＝g(±b)＝1，f(－2)＝－2，f(－1)＝－1.代入检验易知①③正确．故选C.
[例14]　设函数f(x)的定义域为R，若对于任意实数m、n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)证明：f(0)＝1且x<0时f(x)>1；
(2)证明：f(x)在R上单调递减．
[分析]　解决这类问题应去掉抽象函数符号，利用等价转化思想，化为普通函数．
[解析]　(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
取m>0，n＝0，有f(m)＝f(m)·f(0)．
∵x>0时，0又设m＝x<0，n＝－x>0，则0∴f(m＋n)＝f(0)＝f(x)·f(－x)，
(2)设x10.
00.
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上单调递减．
[点评]　1.赋值法是讨论抽象函数问题中的常用方法，利用单调性化去函数符号“f”是解决函数不等式的主要方法．
2．性质f(m＋n)＝f(m)·f(n)类似指数函数f(x)＝ax　(a>0且a≠1)的性质，可类比指数函数f(x)＝ax，结合已知条件进行讨论．
5．换元法
总结评述：此题解法称为“换元法”，通过换元法把函数变为关于t的二次函数，然后求出二次函数在t≥0时的值域即得原函数的值域，用换元法解题，换元后一定要先确定新元的取值范围．
此题也可利用函数的单调性来解．
[例16]　已知f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)．
[解析]　令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
∴f(x)＝x2－4x＋3.
6．配凑法
[例18]　求f(x)＝2x2－4x＋1　(－1≤x≤1)的值域．
[解析]　f(x)＝2(x－1)2－1，此函数在[－1,1]上单减，∴最大值f(－1)＝7，最小值f(1)＝－1，
∴值域为[－1,7]．
7．待定系数法
[例19]　一次函数y＝f(x)满足：当x＝1时，y＝2，当x＝2时，y＝4，则f(5)＝________.
[解析]　设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
[例20]　设二次函数f(x)二次项系数为－1，满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
[解析]　设f(x)＝－x2＋px＋q，
∵f(1)＝f(2)＝0，
8．关于对称与平移
[例21]　已知f(x)是偶函数，且其图象与x轴有n(n∈N)个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为 (　　)
A．4　　　　 B．2　　　　
C．1　　　　 D．0
[解析]　由f(x)是偶函数可知，f(x)与x轴的n个交点的横坐标，即f(x)＝0的n个根x1，x2，x3…xn中，若有一根在x轴右侧，则必有关于y轴对称的另一根在左侧，∴x1＋x2＋…＋xn＝0.∴选D.
[例22]　设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于 (　　)
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
[解析]　应用复合函数知识，令x－1＝u，则y＝f(x－1)＝f(u)，y＝f(1－x)＝f(－u)．
显然f(u)与f(－u)关于直线u＝0对称，即关于x－1＝0对称．所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)关于直线x＝1对称．∴选D.
四、函数的实际应用
[例1]　某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个多订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价—成本)
[解析]　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
(2)当0＜x≤100时，P＝60；
当100＜x＜550时，
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．(共20张PPT)
2.1.3 函数的奇偶性
说课程序
教材分析
教材处理
教学程序
教学手段
教学方法
一、教材分析
教材地位、作用
教学目标
教学重点、难点
教材地位与作用
学生已经学习了函数的定义，一次函数，二次函数，函数的单调性。
在这个基础上学习函数的图象对称性，即函数的奇偶性。
它是初等函数的一个重要性质，它是学习初等函数的基础，在高中数学中有着极其重要的地位。
教学目标
知识与技能目标：
使学生了解函数奇偶性的概念，会应用定义判断证明函数的奇偶性。
过程与方法目标：
通过对函数图象对称性的探究，形成函数奇偶性的定义；通过对函数奇偶性的证明，体现数学思考的基本方法。
情感、态度与价值观目标：
通过学生探究概念的形成过程，激发学生学习数学的兴趣。通过函数奇偶性的证明过程，培养学生严谨求实的治学态度。
教学重点、难点
根据教材地位，学习目标，将形成函数奇偶性的定义的过程做为本节课的重点。
因为学生自身建构知识能力较弱，所以在概念形成的过程中，从图形的直观认识到数学符号的语言描述将成为本节课的难点，而类比函数的单调性定义的形成过程可以突破此难点 。
二、教材处理
内容组织安排
学生情况分析
内容组织安排
首先通过具体实例引出第一个知识点奇偶函数的定义。而后通过例题学习第二个知识点，判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法。最后通过练习反馈学生掌握情况。
学法指导
对学生情况进行分析：
（1）学生以往对于图象的对称性已经有所了解。
（2）学生对于数形结合已经有了初步的领悟。
实现目标的途径
（1）通过让学生探究函数奇偶性的定义，培养学生观察归纳抽象概括能力。
（2）通过对函数奇偶性定义的分析，达到数与形的完美结合。
因为本节反映了从特殊到一般的认知规律，所以采用启发式教学，通过图形直观提出问题，通过数学表格分析问题，通过数学符号解决问题。以独立思考发现为前提，在教师的指导下，分析解决问题。
三、教学方法
四：教学手段
对教学手段的选择和利用
（1）利用辅助小黑板，展示引入函数的图象，以利节约时间.
（2）利用彩色粉笔，引导学生发现图象的规律。
三、教学过程
图形引入 激发兴趣
及时练习 反馈调控
梳理总结 内化提高
布置作业 以图创新
数形结合 形成概念
剖析例题 巩固新知
图形引入 激发兴趣
对称是大自然的一种美，
通过观察图象的共同特征，
引出课题。
数形结合 形成概念
观察图象的对称特征，完成课本表格，引导学生观察当自变量互为相反数时，函数值的变化情况。即 f(x)=f(-x) ，进而引导学生归纳概括出偶函数的定义。
类比得出奇函数的定义。
剖析例题 巩固新知
通过对定义的分析，得出判断函数奇偶性的方法，通过例题1，得出判断函数奇偶性的一般步骤。
及时练习 反馈调控
让学生及时练习习题一，通过习题一，反馈学生对于奇偶函数图象特征的掌握情况。
通过学生练习习题二，反馈学生对于判断证明函数奇偶性的方法，即奇偶函数数的特征掌握情况。
梳理总结 内化提高
通过练习引导学生总结本节知识，即从“数” “形”两个特征来认识函数的奇偶性，
从而达到数与形的完美结合。
布置作业 以图创新
板书设计
图象引入
表格分析
函数的奇偶性
偶函数定义
奇函数定义
例一
练习(共12张PPT)
一、整数指数幂的运算性质
二、根式的概念
如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*), 那么这个数叫
做 a 的 n 次方根. 即: 若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n>1
且 n∈N*.
式子 a 叫做根式, 这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.
n
(1)am·an=am+n (m, n∈Z);
(2)am÷an=am-n (a 0, m, n∈Z);
(3)(am)n=amn (m, n∈Z);
(4)(ab)n=anbn (n∈Z).
三、根式的性质
5.负数没有偶次方根.
6.零的任何次方根都是零.
1.当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数, a 的 n 次方根用符号 a 表示.
n
2.当 n 为偶数时, 正数的 n 次方根有两个, 它们互为相反数, 这时, 正数的正的 n 次方根用符号 a 表示, 负的 n 次方根用符号 - a 表示. 正负两个 n 次方根可以合写为 a (a>0).
n
n
n
3.( a )n=a.
n
4.当 n 为奇数时, an =a;
n
当 n 为偶数时, an =|a|=
n
a (a≥0),
-a (a<0).
五、有理数指数幂的运算性质
四、分数指数幂的意义
注: 0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义.
函数 y=ax(a>0, 且a 1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R.
六、指数函数
a = am , a- = (a>0, m, n∈N*, 且 n>1).
n
m
n
n
m
n
m
a
1
(1)ar·as=ar+s (a>0, r, s∈Q);
(2)ar÷as=ar-s (a>0, r, s∈Q);
(3)(ar)s=ars (a>0, r, s∈Q);
(4)(ab)r=arbr (a>0, b>0, r∈Q).
图
象
性
质
y
o
x
(0, 1)
y=1
y=ax
(a>1)
a>1
y
o
x
(0, 1)
y=1
y=ax
(00(1) 定义域: R
(2) 值 域: (0, +∞)
(3) 过点(0, 1), 即 x=0 时, y=1.
(4) 在 R 上是增函数.
(4) 在 R 上是减函数.
七、指数函数的图象和性质
课堂练习
1.若函数y=ax+b-1 (a>0, a 1) 图象经过第二、三、四象限, 则一定有( )
A. 00 B. a>1, b>0 C. 01, b<0
2.若 0A.第一象限 B.第二象限　 C.第三象限 D.第四象限
3.设 a=40.9, b=80.48, c=( )-1.5, 则( )
A. c>a>b B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b
1
2
4.若 0(1-a) >(1-a)b B. (1+a)a>(1+b)b
C. (1-a)b>(1-a) D. (1-a)a>(1-b)b
b
1
2
b
C
A
D
D
C
5.设 a=60.7, b=0.76, c=log0.76, 则( )
A. c>a>b B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b
典型例题
1.化简下列各式:　
(1) (1-a) ;
(a-1)3
1
4
(2) xy2· xy-1 · xy ;
3
4
=- a-1 .
=xy.
解: (1)原式=(1-a)(a-1)-
4
3
=-(a-1)(a-1)-
4
3
=-(a-1)
4
1
(2)原式=[xy2(xy-1) ] (xy)
2
1
3
1
2
1
=(xy2x y- ) x y
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=(x y ) x y
2
3
2
3
3
1
2
1
2
1
=x y x y
2
1
2
1
2
1
2
1
(3) (1-a)[(a-1)-2(-a) ] .
2
1
2
1
∴a-1<0.
(3)由(-a) 知 -a≥0,
2
1
∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a)
4
1
=(-a) .
4
1
2.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x.
解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-2 2x · 2-x
(2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-3 2x · 2-x(2x+2-x)
=25-2=23;
=125-15=110.
3.已知 2a · 5b=2c · 5d=10, 求证: (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).
证: 由已知 2a · 5b=10=2 · 5, 2c · 5d=10=2 · 5,
∴ 2a-1 · 5b-1=1, 2c-1 · 5d-1=1.
∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =1, 2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1) =1.
∴ 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1).
∴ (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).
∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1).
4.若关于 x 的方程 2a2x-2-7ax-1+3=0 有一个根是 x=2, 求 a 的值并求方程其余的根.
a= 时, 方程的另一根为 x=1-log23; a=3时, x=1-log32 .
1
2
5.已知 2x= a + (a>1), 求 的值.
a
1
x- x2-1
x2-1
解: 以 x+ x2-1、 x- x2-1 为根构造方程:
t2-2xt+1=0,
即: t2-( a + )t+ a · =0, 　
a
1
a
1
a
1
∴t= a 或 .
∵ x+ x2-1 >x- x2-1 , a>1,
x- x2-1 = .
∴ x+ x2-1 = a ,
a
1
∴ x2-1 = ( a - ),
1
2
a
1
∴原式=　
( a - )
1
2
a
1
a
1
= (a-1).
1
2
解法二: 将已知式整理得:
( a )2-2x a +1=0
或 ( )2-2x( )+1=0.
a
1
a
1
∵ a > ,
a
1
∴ a =x+ x2-1 , =x- x2-1 ,
a
1
以下同上.　
6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.
∴f(a+2)=3a+2=18.
解: (1)∵f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2,
∴3a=2.
∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.
即 g(x)=2x-4x.
(2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得.
由已知 x [0, 1], 则 t [1, 2],
∵t=2x 在 [0, 1] 上单调递增, y=t-t2 在 [1, 2] 上单调递减,
g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, 证明如下:
∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间.　
对于任意的 x1, x2 [0, 1], 且 x1g(x1)-g(x2)
∵0≤x1∴2x1-2x2<0 且 1-2x1-2x2<0.
∴ g(x1)-g(x2)
∴ g(x1)>g(x2).
故函数 g(x) 在 [0, 1] 上单调递减.
=(2x1-4x1)-(2x2-4x2)
=(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2)
=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)
=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)>0.
∴ x [0, 1] 时有:
解: (3)∵g(x) 在 [0, 1] 上单调递减,
g(1)≤g(x)≤g(0).
∵g(1)=21-41=-2, g(0)=20-40=0,
∴ -2≤g(x)≤0 .
故函数 g(x) 的值域为 [-2, 0].
6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.
7.设 a>0, f(x)= - 是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)试判断 f(x) 的反函数 f-1(x) 的奇偶性与单调性.
a
ex
a
ex
解: (1)∵ f(x) 是 R 上的奇函数,
∴f(0)=0,
即　-a=0.
1
a
∴a2=1.
∵a>0,
∴a=1.
(2)由 (1) 知 f(x)=ex-e-x, x R, f(x) R.
∵ f(x) 是奇函数,
∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是奇函数.
∵ y=e-x 是 R 上的减函数,
∴ y=-e-x 是 R 上的增函数.
又∵ y=ex 是 R 上的增函数,
∴ y=ex -e-x 是 R 上的增函数.
∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数.
综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数.　
此时, f(x)=ex-e-x是 R 上的奇函数.
∴a=1 即为所求.(共13张PPT)
函数模型及其应用
3.2.1　几类不同增长的函数模型二
　　我们知道，对数函数　　　　　　　　　，指数函数　　　　　　　　与幂函数　　　　　　　在区间　　　上都是增函数。从上述两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？　
　　下面，我们不妨先以
函数为例进行探究。
　　利用计算器或计算机，以一定的步长列出自变量与函数值的对应表（表3-5）
，并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（图3.2-4）。可以看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。
表3-5
　从图可以看到，　　　和　　　的图象有两个交点，这表明　与　在自变量不同的区间有不同的大小关系，有时　　　　，有时　　　。
　　下面我们在更大的范围内，观察　　　和　　　的增长情况
　
　但是,当自变量　要越来越大时，可以看到，　　　的图象就像与　轴垂直一样，　的值快速增长，　比起　来，几乎有些微不足道，如图3.2-6和表3-7所示。
探究
你能借助图象，对　　　和　　　　　的增长情况进行比较吗？
请在图象上分别标出使不等式
成立的自变量　的取值范围
结论
　　一般地，对于指数函数　　　　　　　 和幂函数　　　　　　　　，通过探索可以发现，在区间　　　　上，无论　比　大多少，尽管在　的一定变化范围内，　会小于　，由于　的增长快于　的增长，因此总存在一个　，当　　 时，就会有　　　 。
　　
同样地，对于对数函数　　　　　 和幂函数　　　 , 在区间　　　 上，随着　的增大，　　 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与　轴平行一样，尽管在　的一定变化范围内，　　 可能会大于　　 ，但由于　　 的增长慢于　　的增长，因此总存在一个　，当　　 时，就会有 。
　　综上所述，在区间　　　上，尽 管 函 数　　　　 、　　　　、 和　　　 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着　的增大，　 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度，
而　　　　　 的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个　 ，　当　　　 时，就有
。
探究
　　你能用同样的方法，讨论一下函数：
　　　　　　　　　、　　　　　　　　、
　　　　　　　　　　在区间　　　上的衰减情况吗？　　　
练习
在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：(共19张PPT)
对数函数
学习目标：
1、理解对数函数的概念；
2、掌握对数函数的图象和性质；
3、数形结合意识的继续加强。
重点、难点：
重点是对数函数的图象和性质；
难点是对数函数与指数函数的联系。
一、前提诊测：
1、对数的定义：
2、求函数y=2x+1的反函数。
3、互为反函数的两个函数的图象有什么关系？
关于直线y=x对称
一般地，若ab=N(a>0,a≠1),则数b就叫做以a为底N的对数，记做logaN=b
二、对数函数的引入：
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数设为y,则y与x的函数关系式为：
Y=2x
问题2：某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数。由对数的定义，这个函数可以写成：
X=log2y
变化过程：
Y=2x
X=log2y
Y=log2x
结论：函数y=log2x和指数函数y=2x互为反函数
三、对数函数的定义：
函数y=logax（a>0,a≠1）叫做对数函数
需注意的几点：
①对数函数y=logax和指数函数y=ax互为反函数
②对数函数的解析式可由指数函数求反函数得到
③对数函数的定义域、值域也就是指数函数的 值域、定义域
想一想：对数函数的定义域和值域分别是什么？
因为指数函数的定义域是R 值域是（0，+∞）
所以对数函数的定义域是（0，+∞） 值域是R
四、对数函数的图象和性质
对数函数y=log2x的图象
x
y
y=x
先画y=2x的图象
对数函数y=log2x的图象
x
y
y=x
x
y
四、对数函数的图象和性质
对数函数y=log x的图象
y=x
y=log x
先画 的图象
x
y
对数函数y=log x的图象
y=x
y=log x
y=logax（a>1）的图象
y=logax（0一般地，对数函数y=logax在a>1及0
a＞1 0＜a＜1
图
象
性
质 ⑴定义域：
⑵值域：
⑶过特殊点：
⑷单调性 ： ⑷单调性：
（0，+∞）
R
过点（1，0），即x=1时y=0
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y＜0
当x=1时，y=0
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0
当x=1时，y=0
当x＞1时，y＜0
五、应用举例：
例1：求下列函数的定义域：
①y=logax2 ②y=loga(4-x) ③y=loga(9-x2)
分析：此题主要利用对数函数y=logax的定义域为（0，+∞）求解。
①因为x2 >0,即x≠0，
所以函数y=logax2 的定义域是{x│x≠0}
②因为4-x>0,即x<4,
所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4}
③因为9-x2>0,即-3所以函数y=loga(9-x2)的定义域是{x│-3解：
六、课堂练习：
y=log3x
y=log x
1、画出函数y=log3x及y=log x的图象，并且
说明这两个函数的相同性质和不同性质。
y=log x
y=log3x
六、课堂练习：
1、画出函数y=log3x及y=log x的图象，并且
说明这两个函数的相同性质和不同性质。
相同性质：都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明这两个函数的定义域都是（0，+∞），且x=1时y=0
不同性质：y=log3x的图象是上升的曲线，y=log x的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）是增函数，后者在（0，+∞）是减函数。
⑴
⑵
⑶
⑷
⑴因为1－x＞0，即x＜1，
所以函数 的定义域为{x∣x＜1}
⑵因为x＞0且 ≠0
所以函数 的定义域为{x∣0＜x＜1，或x＞1}
⑶因为 ＞0，即x＜
所以函数 的定义域为{x∣x＜ }
⑷因为x＞0且 ≥0
所以函数 的定义域为{x∣x≥1}
2、求下列函数的定义域：
解：
通过本节课的学习，大家应逐步掌握对数函数的图象和性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题。
1预习内容： 预习提纲：①同底数的两个对数如何比较大小？
②不同底数的两个对数如何比较大小？
2挑战自己：
你能否尽可能完整地总结出指数函数和对数函数的区别和联系？请试一试。(共20张PPT)
1. 已知函数f (x)=
2x+3, x＜－1,
x2, －1≤x＜1,
x－1, x≥1 .
求f{f[f(－2)]} ;
(2) 当f (x)=－7时,求x ;
解: (1) f{f[f(－2)]} = f{f[-1]}
= f(1)
= 0
(2)当x＜－1 时, 2x+3 ＜1，与
f (x)=－7相符，由
2x+3 =－7得x=-5
易知其他二段均不符合f (x)=－7.
故x=-5
2. 已知函数f (x)=
x+2, (x≤－1)
x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( )
A. 1
B. 1或
C. 1, ,
D.
D
2.1.4 映射的概念
函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.
问题提出
1.设集合A={x|x是正方形}，B={y|y>0},对应关系f：正方形→正方形的面积，
那么从集合A到集合B的对应是否是函数？为什么？
知识探究（一）
考察下列两个对应：
A
B
图1
图2
A
B
思考1:上述两个对应有何共同特点？
集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.
思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映射，那么如何定义映射？
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
其中集合A中的元素x称为原象，在集合B中与x对应的元素y称为象.
思考3:下图中的对应是不是映射？为什么？
A
B
图1
A
B
图2
思考4:在我们的生活中处处有映射，你能举一个实例吗？
判断下列对应关系是不是映射？
3
－3
2
－2
1
－1
9
4
1
9
4
1
3
－3
2
－2
1
－1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
练习：
知识探究（二）
思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？
思考2:设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.
例1 试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合B的映射？
(1)集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，
对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，
对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）集合A={x|x是临沂一中的班级}，集合B={x|x是临沂一中的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生;
（5）集合A={1,2,3,4}, B={3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f：x→2x+1
例2 已知集合A={a,b}，集合B={c,d,e}.
（1）试建立一个从集合A到集合B的映射？
（2）一共可建立多少个从集合A到集合B的映射？
映射f:A→B，可理解为以下几点：
2、A中每个元素在B中必有惟一的元素和它对应；
3、A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多；
1、映射有三个要素：两个集合、一个对应法则，三者缺一不可；
4、函数是一种特殊的映射。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第二章 函数概念与基本初等函数I
2．2 指数函数
2.2.1分数指数函数
一、基本知识
1、a的n次方根的概念和性质
（1）若n是正奇数，a的n次方根只有一个，则n的次方根记作；若a>0, 则>0,若a<0，若a<0,则<0；
（2）若n是正偶数，正数a的n次方根有两个且互为相反数，则a的正的n次方根记作，a的负的n次方根记作(例如：8的平方根，16的4次方根)；
（3）若n是正偶数，且a<0,则没有意义，即负数没有偶次方根；
（4）由于（n>1,n∈N*）,故=0；
（5）式子叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。所以=a.
（6）由n次方程的意义可以得到根式的两个性质：
①=a ②=
2、分数指数幂和整数指数幂的概念、性质比较
(1)整数指数幂的概念
（2）整数指数幂的运算性质
①
②
③
其中
（3）当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的规定：
①正数的正分数指数幂的意义是；
②正数的负分数的指数幂的意义是
（4）分数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，
①
②
③
注意：①有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
②0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
；a>0,等等。
二、经典例题
1、已知a1,n∈N*,化简
2、求值：（1）；（2）
3、已知+=3，求的值。
4、求下列各式的值：
的值。
已知a>0,求的值。
5、(1)已知且，求的值。
（2）设，求（的值。
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2.1
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是(　　)
A．y＝2－x2　　 B．y＝x2＋x
C．y＝－ D．y＝
[答案]　D
[解析]　y＝2－x2在(－∞，0)上为增函数，y＝x2＋x在(－∞，0)上不单调，y＝－在(－∞，0)上为增函数，故选D.
2．已知f(x)是R上的减函数，则满足f>f(1)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　∵f(x)在R上单调递减且f()>f(1)，
∴<1，∴x<0或x>1.
3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
[答案]　B
[解析]　y＝3－x，y＝，y＝－|x|在(0,2)上都是减函数，y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．
4．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则(　　)
A．f(－x1)＞f(－x2)
B．f(－x1)＜f(－x2)
C．f(－x1)＝f(－x2)
D．无法确定
[答案]　B
[解析]　由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y＝f(x)是R上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.
5．函数f(x)＝的单调增区间为(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．[3,7]
[答案]　C
[解析]　方程－x2＋6x＋7＝0的两根为x1＝－1，x2＝7，又y＝－x2＋6x＋7对称轴为x＝3，如图知选C.
6．函数y＝1－(　　)
A．在(－1，＋∞)内单调递增
B．在(－1，＋∞)内单调递减
C．在(1，＋∞)内单调递增
D．在(1，＋∞)内单调递减
[答案]　C
[解析]　因为函数y＝1－可视作函数y＝－的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，所以y＝1－在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选C.
7．已知函数y＝f(x)的定义域是数集A，若对于任意a，b∈A，当aA．有且只有一个
B．一个都没有
C．至多有一个
D．可能会有两个或两个以上
[答案]　C
[解析]　由条件知f(x)在A上单调增，故f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故选C.
8．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，则(　　)
A．f(2)B．f(1)C．f(2)D．f(4)[答案]　A
[解析]　由条件知，二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，其图象开口向上，
∵2－1<4－2，∴f(4)>f(1)>f(2)．
[点评]　当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．
9．设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
[答案]　A
[解析]　∵f(1)＝3，∴当x≥0时，由f(x)＞f(1)
得x2－4x＋6>3，
∴x＞3或x＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．
当x＜0时，由f(x)＞f(1)得x＋6＞3∴x＞－3，
∴x∈(－3,0)．
综上可得x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.
10．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案]　D
[解析]　函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E上不一定单调减(或增)．
如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．
二、填空题
11．【2012高考安徽文13】若函数的单调递增区间是，则=________。
【答案】
12．若f(x)＝，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．
[答案]　增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1]
[解析]　画出f(x)＝的图象如图，可知f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.
13．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝________.
[答案]　21
[解析]　由已知得－＝－2，解得m＝－16
∴f(x)＝4x2＋16x＋1，则f(1)＝21.
三、解答题
14．设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性
(1)y＝f(x)＋a
(2)y＝a－f(x)
(3)y＝[f(x)]2.
[解析]　(1)y＝f(x)＋a是减函数，(2)y＝a－f(x)是增函数．证明从略．
(3)设x2＞x1，f 2(x2)－f 2(x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]＜0，∴y＝f 2(x)是减函数．
15．画出函数y＝|x2－x－6|的图象，指出其单调区间．
[解析]　函数解析式变形为
y＝
画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[，3]．
16．讨论函数y＝在[－1,1]上的单调性．
[解析]　设x1、x2∈[－1,1]且x1＝
当1>x1≥0,1≥x2>0，x1f(x2)，
∴f(x)在[0,1]上为减函数，
当－1≤x1<0，－117．求证：函数f(x)＝x＋(a＞0)，在区间(0，a]上是减函数．
[解析]　设0＜x1＜x2≤a，f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)
＝(x2－x1)＋＝.
∵0＜x1＜x2≤a，∴0＜x1x2＜a2，
∴＜0，∴f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)＝x＋(a>0)在(0，a]上是减函数．
18．已知f(x)在R上是增函数，且f(2)＝0，求使f(|x－2|)>0成立的x的取值范围．
[解析]　不等式f(|x－2|)>0化为
f(|x－2|)>f(2)，∵f(x)在R上是增函数，
∴|x－2|>2，∴x>4或x<0.
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第二章 函数概念与基本初等函数I
2．1 函数的概念和图像
2.1.3函数的简单性质
一、基本知识
1、判断或证明函数在某区间上的单调性
一般来说，证明或判断函数的单调性，严格的说必须用增、减函数定义，其步骤是设出指定区间的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论。要注意，如果一个函数有两个单调递增区间，应写成（—∞，—1），[1，+∞）或（—∞，—1）和[1，+∞）等形式，但不能写成（—∞，—1）∪ [1，+∞）的形式。
2、求函数在某闭区间上的最值
当f(x)在[a,b]上递增时， f(b), f(a);
当f(x)在[a,b]上递减时， f(a), f(b);
3、函数的定义域关于原点对称与函数的奇偶性的关系
一般来说，若函数f(x)具有奇偶性，则当f(x)有意义时，f(-x)必有意义。因此，具有奇偶性的函数的定义域一定是关于原点对称的区间。但定义域关于原点对称的函数不一定是奇、偶函数。
4、既是奇函数又是偶函数的函数
根据奇偶函数的定义不难知道，函数f(x)=0（x∈R）既是奇函数又是偶函数。但是要注意：函数f(x)=0（x∈[-2，2]）、f(x)=0（x∈[-1，1]）等也都既是奇函数又是偶函数。虽然它们的解析式都是f(x)=0，但是它们的定义域并不相同，所以应视为不同的函数。可见，既是奇函数又是偶函数的函数应该有无数个。
二、经典例题
1、求证：函数f(x)=ax +bx+c(a＜0)在区间（－∞，]上是增函数。
2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R的偶函数，
且f(x)- g(x)=1- x -x ，则g(x)的解析式为 。
3、已知函数f(x)= x +2（a-1）x+2在区间（﹣∞，4 ]上是减函数，求实数a的取值范围。
4、已知奇函数f(x)的定义域是x≠0的实数，且f(x)在（0，﹢∞）内单调递增，则
f(-2)，f(1)，f(-1)的大小关系是
A、f(1) ＜f(-2) ＜f(-1) B、f(-2) ＜f(-1) ＜f(1)
C、f(-2) ＞f(-1) ＞f(1) D、大小关系不同以上的结论
5、函数f(x)当x＞0时有意义，且满足f(2)=1，f(xy)= f(x)+ f(y), f(x)在（0，+∞）上是增函数。
求：f(1)=0，f(4)=
6、若f(x)是二次函数，且f(2-x)= f(2+x)对任意实数x都成立，又知f(3)＜f(π)，试比较f(-3)与f(3)的大小。
7、若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)与g(x)的定义域都是R，
则F（x）= f(x)+ g(x)是
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、其奇偶性无法判断
8、f(x)= x -4x-4,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。
9、已知函数f(x)= ，且f(-2)=10，则f(2)=的值是 。
10、如果f(x)是奇函数，而且在区间（－∞，0）上是增函数，又f(2)=0，那么
xf(x) ＜0的解集为 。
11、函数的递增区间是 。
12、求函数，x∈﹙0,1]的最小值。
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2.6函数模型及其应用
一、选择题
1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为(　　)
A．45元　　　　　　　 B．55元
C．65元 D．70元
[答案]　D
[解析]　设每件商品定价为x元，则一个月的销量为500－(x－50)×10＝1000－10x件，
故月利润为y＝(x－40)·(1000－10x)
＝－10(x－40)(x－100)，
∵，∴40∴当x＝70时，y取最大值，故选D.
2．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为(　　)
A．B，A，C B．A，C，B
C．A，B，C D．C，A，B
[答案]　B
[解析]　A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为，所以100元一年到期的本息和为100(1＋)≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100(1＋)≈103.09(元)，收益为3.09元．
3．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则(　　)
A．a＝b B．a>b
C．a[答案]　B
[解析]　一月份产量为a(1＋10%)，二月份产量b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)，
∴b4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
[答案]　D
[解析]　从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是(　　)
A．3.5m B．3m
C．2.5m D．2m
[答案]　C
[解析]　建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.
∵抛物线过点A(0,1)
∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.
令y＝0，得x＝1＋，x＝1－(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.
6．某市原来民用电价为0.52元/kw·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量(　　)
A．至少为82kw·h
B．至少为118kw·h
C．至多为198kw·h
D．至多为118kw·h
[答案]　D
[解析]　①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．
②设峰时段用电为xkw·h，电费为y，
则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x＋70，由题意知0.2x＋70≤(1－10%)y1，
∴x≤118.
答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.
二、填空题
7．某老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率3.5%.试计算五年后本金和利息共有________元．
[答案]　5514.99
[解析]　根据题意，五年后的本息共5000(1＋3.5%)5＝5938.43 (元)．
8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数：T(t)＝at2＋bt＋c(a≠0)，其中温度的单位是°C，时间的单位是小时，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C，则T(t)＝________.
[答案]　－3t2＋t＋60
[解析]　将t＝－4，T＝8；t＝0，T＝60；t＝1，T＝58分别代入函数表达式中即可解出a＝－3，b＝1，c＝60.
三、解答题
9．某物品的价格从1966年的100元增加到2006年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2012年该物品的价格是多少？(精确到元)
[解析]　从1966年开始，设经过x年后物价为y，物价增长率为a%，则y＝100(1＋a%)x，将x＝40，y＝500代入得500＝100(1＋a%)40，解得a＝4.1，故物价增长模型为y＝100(1＋4.1%)x.
到2012年，x＝46，代入上式得y＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．
10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有.
[解析]　由题意得ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝，设再过t分钟桶甲中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，所以()＝(e－5n)＝e－n(t＋5)＝＝()3，∴＝3，∴t＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有.
11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．
[解析]　在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：
(1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．
(2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.
所以由此可得：
(1)当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．
(2)当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于1 4000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是1 4000元，优惠较大．
(3)当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．
12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x<20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？
[解析]　只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木材量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x<14.87%时就考虑重栽，否则让它继续生长．
*13.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
[解析]　(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n＝kx＋b(k<0)，
∴，∴，
∴n＝－x＋300.
y＝－(x－300)·(x－100)＝－(x－200)2＋10000，x∈(100,300]
∴x＝200时，ymax＝10000
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，－(x－300)·(x－100)＝10000×75%
∴x2－400x＋30000＝－7500，
∴x2－400x＋37500＝0，
∴(x－250)(x－150)＝0
∴x1＝250，x2＝150
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.
14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？
[分析]　制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．
[解析]　设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，
∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)＝，
制作200把椅子所需时间为函数Q(x)＝，
完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值．
欲使完成任务最快，须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等)．
令P(x)＝Q(x)，即＝，
解得x＝12.5，∵人数x∈N，考察x＝12和13的情形有P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，
∵f(12)>f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．
[点评]　本题有几点需特别注意，人数x必须是自然数，故P(x)与Q(x)不相等，f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者，完成任务最快的时间是f(x)的最小值．
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2.3.2对数函数（1）
一、选择题
1.【2012高考山东文3】函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
2．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是(　　)
A．0.76C．log0.76<60.7<0.76 D．log0.76<0.76<60.7
[答案]　D
[解析]　60.7>1>0.76>0>log0.76，故选D.
3．设log(a－1)(2x－1)>log(a－1)(x－1)，则(　　)
A．x>1，a>2 B．x>1，a>1
C．x>0，a>2 D．x<0,1[答案]　A
[解析]　要使不等式有意义，应有x>1，否定C、D.
当x>1时，2x－1>x－1，因此a－1>1，∴a>2，故选A.
4．若函数y＝log(a2－1)x在区间(0,1)内的函数值恒为正数，则a的取值范围是(　　)
A．|a|>1 B．|a|>
C．|a|< D．1<|a|<
[答案]　D
[解析]　∵00，∴0∴15．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．{1}
[答案]　D
[解析]　 ∴，
∴x＝1∴定义域为{1}．
6．给出函数f(x)＝，则f(log23)＝(　　)
A．－ B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵3×22<24<3×23，
∴2＋log23<4<3＋log23
f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log26)＝f(log26＋1)
＝f(log212)＝f(log212＋1)＝f(log224)＝
＝，故选D.
7．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝()x，x>1}，则A∪B＝(　　)
A．{y|00}
C． D．R
[答案]　B
[解析]　A＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}
B＝{y|y＝()x，x>1}＝{y|0A∪B＝{y|y>0}，故选B.
8．函数y＝的定义域为(　　)
A. B.
C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　log0.5(4x－3)>0＝log0.51，∴0<4x－3<1，
∴9．函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么f(x)在(1，＋∞)上(　　)
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值
C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
[答案]　A
[解析]　∵当01，
∴当x>1时，f(x)＝loga(x－1)在(1，＋∞)上为增函数，且无最大值，故选A
10．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
[答案]　A
[解析]　a＝log3π>log33＝1，b＝log2＝＝＝log23>log22＝，
又log23c＝log3＝＝＝·log32∴a>b>c.
11．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
[答案]　B
[解析]　∵e>，∴lge>lg，∴a>c，
∵0∴b＝(lge)2∴a>c>b.
二、填空题
12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
[答案]　4
[解析]　由log2x≤2得0由A B知a>4，∴c＝4.
13．若log0.2x>0，则x的取值范围是________；若logx3<0，则x的取值范围是________．
[答案]　(0,1)，(0,1)
14．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上最大值与最小值之差为，则a＝________.
[答案]　4
[解析]　由题意知，loga(2a)－logaa＝，∴a＝4.
15．用“>”“<”填空：
(1)log3(x2＋4)________1；
(2)log(x2＋2)________0；
(3)log56________log65；
(4)log34________.
[答案]　(1)>　(2)<　(3)>　(4)<
[解析]　(1)∵x2≥0，∴x2＋4>3，
∴log3(x2＋4)>1.
(2)同(1)知log(x2＋2)<0.
(3)∵log56>log55＝1，
∴log65<1，∴log56>log65.
(4)∵43<34，∴4<3，因此log34<.
三、解答题
16．求函数y＝log2(x2－6x＋5)的定义域和值域．
[解析]　由x2－6x＋5>0得x>5或x<1
因此y＝log2(x2－6x＋5)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞)
设y＝log2t，t＝x2－6x＋5
∵x>5或x<1，∴t>0，∴y∈(－∞，＋∞)
因此y＝log2(x2－6x＋5)的值域为R.
17．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)x为何值时，函数值大于1.
[解析]　(1)f(x)＝loga(ax－1)有意义，应满足ax－1>0即ax>1
当a>1时，x>0，当0因此，当a>1时，函数f(x)的定义域为{x|x>0}；0(2)当a>1时y＝ax－1为增函数，因此y＝loga(ax－1)为增函数；当0综上所述，y＝loga(ax－1)为增函数．
(3)a>1时f(x)>1即ax－1>a
∴ax>a＋1∴x>loga(a＋1)
01即0∴1*18.已知函数y＝log(x2－ax－a)在区间(－∞，1－)内是增函数，求实数a的取值范围．
[解析]　∵0<<1，∴logt为减函数，∴要使y＝log(x2－ax－a)在(－∞，1－)上是增函数，应有t＝x2－ax－a在(－∞，1－)上为减函数且t＝x2－ax－a在(－∞，1－)上恒大于0，因此满足以下条件
，解得：a≥2－.
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2.4 幂 函 数
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = ______
w 元
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ____
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=__________
____是____的函数
a
a
V是a的函数
t km/s
v是t 的函数
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_________
a是S的函数
以上问题中的函数具有什么共同特征
P
w
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
____是____的函数
S
a
他们有以下共同特点：
(1)都是函数；
(3) 均是以自变量为底的幂；
(2) 指数为常数.
一般地，函数　　　 叫做幂函数(power function) ，
其中x为自变量，　为常数。
你能说出幂函数与指数函数的区别吗
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘＫ 的形式，　　　　　 　　　　其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．
指数函数：解析式 ，底数为常数a，a>0，a≠1，指数为自变量x；
幂函数：解析式 ，底数为自变量x，指数为常数α， α∈R；
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(3) y= -x2
(5) y=2x2
(6) y=x3+2
判一判
下面研究幂函数
在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.
结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究 y=x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -27 -8 -1 0 1 8 27 …
… \ \ \ 0 1 …
… -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
y=x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
x 0 1 2 4
0 1 2
x -3 -2 -1 1 2 3
-1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内，
当k>0时，图象随x增大而上升。
当k<0时，图象随x增大而下降
不管指数是多少,图象都经过哪个定点
在第一象限内，
当k>0时，图象随x增大而上升。
当k<0时，图象随x增大而下降。
图象都经过点（1，1）
K>0时,图象还都过点(0,0)点
y=x y=x2
y=x3
y=x y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
在R上增
在［0，+∞）上增，
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增，
在(0，+∞)上减
　(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);
　(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；
　(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数的性质
说一说
判断正误
1.函数f(x)=x+ 为奇函数.
2.函数f(x)=x2,x [-1,1)为偶函数.
3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(- ,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ )上也是递增的.
4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(- ,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ )上也是递减的.
例1
如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解:依题意,得
解方程,得 m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为
符合题意.当m=-1时,函数为
不合题意,舍去.所以m=2
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
　　　练习2
1）
2）
3）
4）
＜
＜
＞
≤
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
在Y轴与直线x =1之间正好相反。
C4
C2
C3
C1
1
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;
(2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ;
(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论.
例3
证明:任取
所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。
(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
即
所以
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
本节知识结构:
课堂小结：登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.3.2对数函数（3）
一、选择题
1.log612－log6等于(　　)
A．2　　　　　　　　 B．12
C. D．3
[答案]　C
[解析]　log612－log6＝log612－log62
＝log6＝log66＝，故选C.
2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是(　　)
A．y＝－log(－x) B．y＝2＋
C．y＝x2－1 D．y＝－(x＋1)2
[答案]　B
[解析]　y＝－log(－x)＝log2(－x)在(－∞，0)上为减函数，否定A；y＝x2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C；y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D，故选B.
3．设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为(　　)
A．[0,1) B．(0,1)
C．[0,1] D．(－1,0]
[答案]　A
[解析]　由题意知M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|－14．f(x)＝ax，g(x)＝－logbx且lga＋lgb＝0，a≠1，b≠1，则y＝f(x)与y＝g(x)的图象
(　　)
A．关于直线x＋y＝0对称
B．关于直线x－y＝0对称
C．关于y轴对称
D．关于原点对称
[答案]　B
[解析]　∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，
f(x)＝ax，g(x)＝－logbx＝－logx＝logax
∴f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线x－y＝0对称．
5．若集合A＝，则 RA＝(　　)
A．(－∞，0]∪
B.
C．(－∞，0]∪
D.
[答案]　A
[解析]　logx≥，∴0 RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)，故选A.
6．函数y＝(a>1)的图象的大致形状是(　　)
[答案]　C
[解析]　∵y＝＝，
∵a>1，∴当x>0时，y＝ax单增，排除B、D；当x<0时，y＝－x单减，排除A，故选C.
7．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则(　　)
A．aC．b[答案]　C
[解析]　∵x∈(e－1,1)，y＝lnx是增函数，
∴－10，∴c>a，∵lnx－2lnx＝－lnx>0，∴a>b，∴c>a>b.
8．设A＝{x∈Z|2≤22－x<8}，B＝{x∈R||log2x|>1}，则A∩( RB)中元素个数为(　　)
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
[答案]　C
[解析]　由2≤22－x<8得，－1∵x∈Z，∴x＝0,1，∴A＝{0,1}；
由|log2x|>1，得x>2或0∴ RB＝{x|x≤0或≤x≤2}，
∴A∩( RB)＝{0,1}．
9．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x>0)，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．4
[答案]　C
[解析]　∵g(1)＝1，f(x)与g(x)互为反函数，
∴f(1)＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.
10．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝，
则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
[答案]　C
[解析]　∵a*b＝而函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的大致图象如右图所示的实线部分，
∴f(x)的值域为(－∞，0]．
二、填空题
11.【2012高考天津文科4改编】已知a=21.2，b=-0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为______.
【答案】c12．若正整数m满足10m－1<2512<10m，则m＝______.(其中lg2＝0.3010)
[答案]　155
[解析]　将已知不等式两边取常用对数，则m－1<512lg2∵lg2＝0.3010，m∈Z＋，∴m＝155.
13．若a＝log3π、b＝log76、c＝log20.8，则a、b、c按从小到大顺序用“<”连接起来为________．
[答案]　c[解析]　a＝log3π>log33＝1，b＝log76log76>log71＝0，c＝log20.8∴c14．函数f(x)＝的定义域为________．
[答案]　[3，＋∞)
[解析]　要使函数有意义，须，
∴，∴x≥3.
15．已知loga<1，那么a的取值范围是__________．
[答案]　01
[解析]　当a>1时，loga<0成立，
当0a>0.
三、解答题
16．设A＝{x∈R|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax(a>0，a≠1)的最大值比最小值大1，求a的值．
[解析]　a>1时，y＝logax是增函数，logaπ－loga2＝1，即loga＝1，得a＝.
0综上可知a的值为或.
17．已知f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断y＝f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析]　(1)依题意有>0，即(1＋x)(1－x)>0，所以－1所以函数的定义域为(－1,1)．
(2)f(x)为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，
因此y＝f(x)为奇函数．
(3)由f(x)>0得，loga>0(a>0，a≠1)，①
当0解得－1当a>1时，由①知>1， ③
解此不等式得018．已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，判断△ABC的形状．
[解析]　∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝4－4lg＝0，
∴lg＝1，∴＝10
∴c2－b2＝a2即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
19．(1)计算：
(2)设a、b满足条件a>b>1,3logab＋3logba＝10，求式子logab－logba的值．
[分析]　(1)因9＝32,27＝33,8＝23,12＝22·3，故需将式中的项设法化为与lg2，lg3相关的项求解；
(2)题设条件与待求式均为x＋y＝c1，x－y＝c2的形式，注意到x·y＝logab·logba＝1，可从x·y入手构造方程求解．
[解析]　(1)lg0.3＝lg＝lg3－lg10＝lg3－1，
lg1.2＝lg＝lg12－1＝lg(22·3)－1＝2lg2＋lg3－1.
＝＝1－lg3，
lg＋lg8－lg＝(lg3＋2lg2－1)，
原式＝·＝－.
(2)解法1：∵logba·logab＝·＝1，
∴logba＝.
由logab＋logba＝，得：logab＋＝.
令t＝logab，∴t＋＝，化简得3t2－10t＋3＝0，由a>b>1，知0∴logab－logba＝logab－＝－3＝－.
解法2：logab·logba＝·＝1，
∵3logab＋3logba＝10，∴9(logab＋logba)2＝100，
∴logb＋loga＝－2＝
∴(logab－logba)2＝logb＋loga－2＝.
∵a>b>1，∴logab－logba<0，∴logab－logba＝－.
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问题1:什么是指数函数？
知识回顾
问题2:指数函数的图象与性质如何？
y
x
0
1
当x>0时y>1；
当x<0时0当x=0时y=1；
在R上是增函数
x
y
0
1
当x>0时0当x<0时y>1；
当x=0时y=1；
在R上是减函数
例1、求下列不等式中x的取值范围：
题型一：
例2、求下列等式中x的值：
题型二：
______________________.
作业：自主作业第21次作业
广21世纪数痘
27世纪数育
www.
思考题2、已知a>0且a≠1，
f)=-a,当x∈(1,1时均有f)<号
则实数a的取值范围是登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.4幂函数
一、选择题
1．幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－m－的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为
(　　)
A．2或－3　　　　　　 B．2
C．－3 D．0
[答案]　B
[解析]　由m2＋m－5＝1得m＝2或－3，∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶函数，∴m＝2.
2．函数y＝xn在第一象限内的图象如下图所示，已知：n取±2，±四个值，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
[答案]　B
[解析]　图中c1的指数n>1，c2的指数0由2－>2－2知B正确．
评述：幂函数在第一象限内当x>1时的图象及指对函数在第一象限内的图象，其分布规律与a(或α)值的大小关系是：幂指逆增、对数逆减．
3．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝－3|x| B．y＝x
C．y＝log3x2 D．y＝x－x2
[答案]　A
4．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象应是(　　)
[答案]　B
[解析]　首先若a>0，y＝ax＋，应为增函数，只能是A或C，应有纵截距>0因而排除A、C；故a<0，幂函数的图象应不过原点，排除D，故选B.
5．设a、b满足0A．aaC．aa[答案]　C
[解析]　∵y＝ax单调减，aab，排除A.
∵y＝bx单调减，abb，排除B.
∵y＝xa与y＝xb在(0,1)上都是增函数，a6．若a<0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是(　　)
A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a
C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a
[答案]　B
[解析]　5－a＝()a＝0.2a，
∵a<0，∴y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，
∵0.2<0.5<5，
∴0.2a>0.5a>5a即5－a>0.5a>5a.
7．设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[答案]　A
[解析]　对b和c，∵指数函数y＝()x单调递减．故() <()，即b对a和c，∵幂函数．y＝x在(0，＋∞)上单调递增，
∴()>()，即a>c，∴a>c>b，故选A.
8．当0A．(1－a)>(1－a)b B．(1＋a)a>(1＋b)b
C．(1－a)b>(1－a) D．(1－a)a>(1－b)b
[答案]　D
[解析]　∵0∴(1－a)a>(1－a)b ①
又∵1－a>1－b>0，∴(1－a)b>(1－b)b ②
由①②得(1－a)a>(1－b)b.∴选D.
9．幂函数y＝xα　(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
[答案]　A
[解析]　由条件知，M、N，
∴＝α，＝β，
∴αβ＝α＝α＝，
∴αβ＝1.故选A.
10．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
[答案]　C
[解析]　由A，B图可知幂函数y＝xa在第一象限递减，∴a<0，所以直线y＝ax－的图象经过第二、四象限，且在y轴上的截距为正，故A、B都不对；由C、D图可知幂指数a>0，直线的图象过第一、三象限，且在y轴上的截距为负，故选C.
二、填空题
11．函数f(x)＝(x＋3)－2的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间为__________．
[答案]　{x|x∈R且x≠－3}；(－∞，－3)；(－3，＋∞)
[解析]　∵y＝(x＋3)－2＝，
∴x＋3≠0，即x≠－3，定义域为{x|x∈R且x≠－3}，
y＝x－2＝的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位得到的．
∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)，单调减区间为(－3，＋∞)．
12．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，那么这个幂函数的解析式为________．
[答案]　y＝x
13．若(a＋1)<(2a－2)，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(3，＋∞)
[解析]　∵y＝x在R上为增函数，(a＋1)<(2a－2).
∴a＋1<2a－2，∴a>3.
三、解答题
14．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
[解析]　(1)若f(x)为正比例函数，则
m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
15．已知函数y＝xn2－2n－3(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
[解析]　因为图象与y轴无公共点，所以n2－2n－3≤0，又图象关于y轴对称，则n2－2n－3为偶数，由n2－2n－3≤0得，－1≤n≤3，又n∈Z.∴n＝0，±1,2,3
当n＝0或n＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．
当n＝－1或n＝3时，有y＝x0，其图象如图A.
当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B.
∴n的取值集合为{－1,1,3}．
16．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有
①f(x)>g(x); ②f(x)＝g(x)；
③f(x)[解析]　设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象．如下图所示．
由图象可知：①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
③当－117．运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式(2x－1)－>(2x－1)2成立的x的取值范围．
[解析]　解法一：在同一坐标系中作出函数y＝x－与y＝x2的图象，观察图象可见，当0x2，
∴0<2x－1<1，∴解法二：由于底数相同，可看作指数函数运用单调性．∵2x－1>0且2x－1≠1，又y＝ax当a>1时为增函数，当0(2x－1)2.∴0<2x－1<1.∴21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第二章 函数概念与基本初等函数I
2．2 指数函数
2.2.2指数函数
一、基本知识
1、指数函数的概念、图像和性质
（1）函数叫指数函数，对底数a>0且的规定进行分析；
假设a=0,那么当无意义；
假设a<0，那么对某些值可能没有意义，例如：
假设a=1，那么对任意的x的都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且
（2）根据指数函数的定义，只有形如的函数才叫指数函数，如 都不是指数函数，它们的函数表达式含有指数式，应将它们看做复合函数。
（3）指数函数的定义域为R，因为底数a>0且a≠1，所以对任意的x，函数值y都是大于0的，故值域（0，﹢∞），所以指数函数的图像必在x轴的上方。
（4）除了通过图像直观地观察可以得到指数函数的分布情况，也可以通过对底数和单调性的分析得到，例如：当a>1时，函数是增函数，所以当
（5）观察指数函数的图像，既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以是非奇非偶函数。
（6）的图像关于y轴对称，分析指数函数的图像时，需找三个关键点：（1，a）,(0,1),(-1, );
(7)指数函数的图像永远在x轴的上方。当时时，图像越接近于y轴，底数a越大；当02、用指数函数的图像和性质解题
(1)指数函数的性质直接受底数a的取值范围的影响，因此常进行分类讨论。
(2)两类基本函数均为单调函数，在闭区间上存在最大值、最小值且均在区间端点处取得。
（3）比较几个数的大小时，若由函数的单调性来判断，一般可先看是否为同底或同指数；若不能直接用函数单调性，需引入中间变量（如与0，±1进行比较），综合运用多种函数的性质来解决。
（4）实际作指数函数的图像时，不可能完全用描点法，但要注意，一定要选取定点（0,1）和（1，a），对于复合函数如过定点，要令。
（5）在含有指数式的复合函数问题中，换元法是经常使用的通法，但是要注意令，不能遗漏指数函数的值域t>0，在考虑单调性时，要结合内函数和外函数的单调性综合考虑。
二、经典例题
1、比较下列各组数的大小
（1）和； （2）和；
（3）和； （4）和（a>0,a≠1）
2、求值：（1）；（2）；（3）y=.
3、若的方程，在区间上有解，求a的取值.
4、当x>0时，函数的值总大于1，求a的取值范围。
5、求函数的单调区间和值域。
6、设a是实数，
(1)试证明：对于任意a, 在R上为增函数；
（2）试确定a的值，使在R上为奇函数；
7、若函数在上的最大值为14，求实数a的值。
8、已知实数a,b满足等式=，下列五个关系式：
①09、求函数求的值域。
10、求函数是指数函数，则a= 。
11、（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的单调增区间。
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第二章 函数概念与基本初等函数I
2．1 函数的概念和图像
2.1.1函数的表示方法
一、基本知识
1、列表法
2、解析法
把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达，简称解析式。
解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。
（2）如何由实际问题写出函数表达式？
1、 阅读理解，即读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质。
2、 数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就是要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学式子表示出来。
（3）分段函数是一个函数还是几个函数？
分段函数仍是一个函数，只不过在自变量的不同范围内，函数的表达式不同而已。
3、图像法
图像法就是用函数图像表示两个变量之间的关系。
图像法的优点：能直观形象地表示出自变量变化时，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图像来研究函数的某些性质。图像法是用图像表示两个变量间的函数关系，其优点是直观形象，但对函数关系的表示显得较为粗略。
二、经典例题
1、已知f() = x+2,求f(x)的解析式。
2、已知f(x+1)=x -2x,则f()=
3、已知f(x)+2 f()=2x+1,求f(x)的表达式。
4、作出函数f(x)= | x -4x+3|的图像。
5、已知f(x +2)= +4，求f(x)的解析式。
6、已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1，f(x+1)- f(x)=2x，试求函数f(x)的表达式。
7、如图在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，P从B点开始沿折线BCDA向A点运动，设P点运动，设P点移动距离为x，ΔPAB的面积为y，求函数y= f(x)的解析式，并指出定义域。
8、已知函数f(x)=
(1)求作函数y= f(x)的图像；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)求f(a -1)的值。
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2.1
一、选择题
1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　　)
A．f?x→y＝x　　　　
B．f?x→y＝x
C．f?x→y＝x
D．f?x→y＝
[答案]　C
[解析]　对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.
2．某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t＝0表示12?00，其后t的取值为正，则上午8时的温度为(　　)
A．8℃ B．112℃
C．58℃ D．18℃
[答案]　A
[解析]　12?00时，t＝0,12?00以后的t为正，则12?00以前的时间负，上午8时对应的t＝－4，故
T(－4)＝(－4)3－3(－4)＋60＝8.
3．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．[0,1] D．{－1,1}
[答案]　D
[解析]　使函数y＝＋有意义应满足，∴x2＝1，∴x＝±1，故选D.
4．已知f(x)的定义域为[－2,2]，则f(x2－1)的定义域为(　　)
A．[－1，] B．[0，]
C．[－，] D．[－4,4]
[答案]　C
[解析]　∵－2≤x2－1≤2，∴－1≤x2≤3，即x2≤3，∴－≤x≤.
5．若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1,3]，则y＝f(x)的定义域是(　　)
A．[1,3] B．[2,4]
C．[2,8] D．[3,9]
[答案]　C
[解析]　由于y＝f(3x－1)的定义域为[1,3]，∴3x－1∈[2,8]，∴y＝f(x)的定义域为[2,8]，故选C.
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有(　　)
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
[答案]　C
[解析]　当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．
7．函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a∈R} B．{a|0≤a≤}
C．{a|a＞} D．{a|0≤a＜}
[答案]　D
[解析]　由已知得ax2＋4ax＋3＝0无解
当a＝0时3＝0，无解
当a≠0时，Δ＜0即16a2－12a＜0，∴0＜a＜，
综上得，0≤a＜，故选D.
*8.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过(　　)年．(　　)
A．4　　 　 B．5　　 　
C．6　　 　 D．7
[答案]　D
[解析]　由图得y＝－(x－6)2＋11，解y≥0得6－≤x≤6＋，∴营运利润时间为2.
又∵6＜2＜7，故选D.
9．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么f等于(　　)
A．15 B．1
C．3 D．30
[答案]　A
[解析]　令g(x)＝1－2x＝得，x＝，
∴f＝f＝＝15，故选A.
10．函数f(x)＝，x∈{1,2,3}，则f(x)的值域是(　　)
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．{1，，}
D．R
[答案]　C
二、填空题
11.【2012高考四川文13】函数的定义域是____________。（用区间表示）
【答案】.
12．函数y＝＋的定义域是(用区间表示)________．
[答案]　[－1,2)∪(2，＋∞)
[解析]　使函数有意义应满足：∴x≥－1且x≠2，用区间表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．
三、解答题
13．求一次函数f(x)，使f[f(x)]＝9x＋1.
[解析]　设f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋1，比较对应项系数得，
或
∴f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－.
14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？
[解析]　设销售单价定为10＋x元，则可售出100－10x个，销售额为(100－10x)(10＋x)元，本金为8(100－10x)元，所以利润y＝(100－10x)(10＋x)－8(100－10x)＝(100－10x)(2＋x)＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360所以当x＝4时，ymax＝360元．
答：销售单价定为14元时，获得利润最大．
15．求下列函数的定义域．
(1)y＝x＋；　(2)y＝；
(3)y＝＋(x－1)0.
[解析]　(1)要使函数y＝x＋有意义，应满足x2－4≠0，∴x≠±2，
∴定义域为{x∈R|x≠±2}．
(2)函数y＝有意义时，|x|－2>0，
∴x>2或x<－2.
∴定义域为{x∈R|x>2或x<－2}．
(3)∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，
∴要使此函数有意义，只须x－1≠0，∴x≠1，
∴定义域为{x∈R|x≠1}．
16．(1)已知f(x)＝2x－3，x∈{0,1,2,3}，求f(x)的值域．
(2)已知f(x)＝3x＋4的值域为{y|－2≤y≤4}，求此函数的定义域．
[解析]　(1)当x分别取0,1,2,3时，y值依次为－3，－1,1,3，
∴f(x)的值域为{－3，－1,1,3}．
(2)∵－2≤y≤4，∴－2≤3x＋4≤4，
即，∴，
∴－2≤x≤0，即函数的定义域为{x|－2≤x≤0}．
*17.已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(x－2)的定义域．
[解析]　由y＝f(x＋1)的定义域为[－2,3]知x＋1∈[－1,4]，∴y＝f(x－2)应满足－1≤x－2≤4
∴1≤x≤6，故y＝f(x－2)的定义域为[1,6]．
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问题提出
引例1:据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%. 设x年后我国的GDP为2000年的y倍，则y与x的函数关系是什么？
引例2.当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式为什么？
我们把形如 (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量.
知识探究（二）:指数函数的图象
作 和 的图象.
列表:
回顾:作函数图象的步骤
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y = 2x …… 1/4 1/2 1 2 4 ……
…… 4 2 1 1/2 1/4 ……
y
x
0
1
2
3
4
1
2
-1
-2
思考1:指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的值域是什么？
思考2:函数 与 的图象有
什么关系？
y
x
0
1
思考3:一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何
x
y
0
1
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质:
01
图象
定义域
值域
性质
知识归纳
y
x
0
1
x
y
0
1
R
R
当x>0时0当x<0时y>1；
当x=0时y=1；
在R上是减函数
当x>0时y>1；
当x<0时0当x=0时y=1；
在R上是增函数
理论迁移
例2 已知函数 的图象过点（3，），求 的值.
例1 比较下列各题中两个值的大小
(1) 1.72.5 与 1.73 ;
(2) 0.8-0.1 与 0.8-0.2 ;
(3) 1.70.3 与 0.93.1
例3 求下列函数的定义域和值域；
(1) ;(2) .
例4 若x1、x2为方程
的两个实数解，x1+x2=________.
理论迁移
例5 若指数函数y=（2a-1)x是减函数，求实数a的取值范围.
例6 已知函数
(1)确定f(x)的奇偶性；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)求f(x)的值域.
作业
P58练习：2，3.
P59习题2.1A组：5，6.
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质:
01
图象
定义域
值域
性质
复习回顾
y
x
0
1
x
y
0
1
R
R
当x>0时0当x<0时y>1；
当x=0时y=1；
在R上是减函数
当x>0时y>1；
当x<0时0当x=0时y=1；
在R上是增函数
y
x
0
1
若a>b>1，则函数 与 的图象的相对位置关系如何？
x
y
0
1
若0如图,指数函数
的图象,则a、b、c、d与1的关系是 （ ）
y
x
0
1
A、aB、bC、1D、a1
思考:
1、指数函数具有奇偶性吗？
2、指数函数存在最大值和最小值吗？
讨论：设a>0，a≠1，若am=an，则m与n的大小关系如何？若am>an ，则m与n的大小关系如何？
例3 求函数 的单调区间，
并指出其单调性.
作业登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.3.1对数（1）
一、选择题
1．log2的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　D
[解析]　log2＝log22＝.
2．下列式子中正确的个数是(　　)
①loga(b2－c2)＝2logab－2logac
②(loga3)2＝loga32
③loga(bc)＝(logab)·(logac)
④logax2＝2logax
A．0　 　 　B．1　 　 　C．2　 　 　D．3
[答案]　A
3．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于(　　)
A．a＋2b－3c　　　　　 B．a＋b2－c3
C. D.
[答案]　C
[解析]　lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lg，
∴x＝，故选C.
4．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案]　C
[解析]　2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
5．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为(　　)
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[答案]　A
[解析]　由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
6． 的值等于(　　)
A．2＋ B．2
C．2＋ D．1＋
[答案]　B
[解析]　据对数恒等式及指数幂的运算法则有：
7．与函数y＝10lg(x－1)的图象相同的函数是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝|x－1|
C．y＝ D．y＝()2
[答案]　D
[解析]　y＝10lg(x－1)＝x－1(x>1)，故选D.
8．已知f(log2x)＝x，则f()＝(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　D
[解析]　令log2x＝，∴x＝，∴f()＝.
9．如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为(　　)
A．lg2·lg3 B．lg2＋lg3
C．－6 D.
[答案]　D
[解析]　由题意知lgx1和lgx2是一元二次方程u2＋(lg2＋lg3)u＋lg2·lg3＝0的两根
∴lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)，
即lg(x1x2)＝lg，∴x1x2＝.
10．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
[答案]　C
[解析]　要使函数有意义，则需，
即，解得－1二、填空题
11．log6[log4(log381)]＝________.
[答案]　0
[解析]　log6[log4(log381)]＝log6(log44)＝log61＝0.
12．使对数式log(x－1)(3－x)有意义的x的取值范围是________．
[答案]　1[解析]　y＝log(x－1)(3－x)有意义应满足
，解得113．已知lg3＝0.4771，lgx＝－3.5229，则x＝________.
[答案]　0.0003
[解析]　∵lgx＝－3.5229＝－4＋0.4771
＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x＝0.0003.
14．已知5lgx＝25，则x＝________，已知logx8＝，则x＝________.
[答案]　100；4
[解析]　∵5lgx＝25＝52，∴lgx＝2，∴x＝102＝100，
∵logx8＝，∴x＝8，∴x＝8＝4.
15．计算：
(1)2log210＋log20.04＝________；
(2)＝________；
(3)＝________；
(4)log8＋2log＝________；
(5)log6－2log63＋log627＝________.
[答案]　2,1，lg，－1，－2
[解析]　(1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2
(2)＝＝＝1
(3)＝＝
＝1－lg3＝lg
(4)log8＋2log＝log2＋log3＝log6＝－1
(5)log6－2log63＋log627＝log6－log69＋log63
＝log6(××3)＝log6＝－2.
三、解答题lg
16．求满足logxy＝1的y与x的函数关系式，并画出其图象，指出是什么曲线．
[解析]　由logxy＝1得y＝x(x>0，且x≠1)
画图：一条射线y＝x(x>0)除去点(1,1)．
17．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值．
[解析]　由已知条件得
即，整理得
∴x－2y＝0，因此＝2.
18．已知函数y＝y1＋y2，其中y1与log3x成正比例，y2与log3x成反比例．且当x＝时，y1＝2；当x＝时，y2＝－3，试确定函数y的具体表达式．
[解析]　设y1＝klog3x，y2＝，
∴当x＝时，klog3＝2，∴k＝－1
当x＝时，＝－3，∴m＝9
∴y＝y1＋y2＝－log3x＋.
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学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。
由于周围环境的限制，其中一边的长度既不能超过10米，又不能少于2米。求花坛长与宽两边之和的最小值和最大值。
16平方米
设长方形受限制一边长为 x 米，
归结为数学问题：
x
16平方米
利用不等式可求最小值；
如何求最大值？
研究y随x的变化而变化的规律
2.1.3 单调性与最大(小)值
上海市年生产总值统计表
年份
生产总值
（亿元）
上海市高等学校
在校学生数统计表
年份
人数
（万人）
上海市日平均
出生人数统计表
年份
人数（人）
上海市耕地面积统计表
年份
面积
（万公顷）
O
x
y
oO
x
y
O
x
y
2
1
y
O
x
y
x
o
o
o
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
单调递增区间：
单调递减区间：
x
y
2
1
o
[引例]的继续：
如何判断函数
方法一
方法二
方法三
证明
[引例]的继续：
如何应用函数
课堂小结：
（1）函数单调性的概念；
（2）判断函数单调区间的常用方法；
（3）解决实际问题的数学思想方法。
（2）
（3）
作业
（1）
函数单调性的概念：
1. 如果对于属于这个区间的自变量的任意
称函数 f(x)在这个区间上是增函数。
2. 如果对于属于这个区间的自变量的任意
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。
一般地，对于给定区间上的函数f(x)：
方法一：分析函数值大小的变化。
方法二：分析函数的图象。
方法三：比较大小过程中的数值分析。
判断函数单调区间的常用方法：
方法一
方法二
方法三
解决实际问题的数学思想方法：
实际问题
数学问题
实际问题的解
数学问题的解
建立数学模型
实践验证
求解
有解吗？
作业：
同学们再见！
证明：
方法一：分析函数值大小的变化。
x
y
9
8
6
5
4
3
7
10
2
10. 8
10
8. 7
8. 2
8
8. 3
9. 3
11.6
10
单调递减区间：
单调递增区间：
猜测：
[2，4]
[4，10]
O
x
y
4
4
8
8
12
12
16
16
10
2
6
14
方法二：分析和函数的图象
猜测：
单调递减区间：
[2，4]
单调递增区间：
[4，10]
方法三：比较大小过程中的数值分析。
解：
证明：
（条件）
（论证结果）
（结论）(共24张PPT)
2. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数
是( ).
x
x
x
x
y
y
y
y
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
D
D
复习
（1）炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
（2）南极臭氧层空洞
（图象法）
（3）恩格尔系数
（列表法）
问题：在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如何选择适当的方式来表示问题中的函数关系呢？
知识探究（一）
例3 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用适当的方式表示函数y=f(x)．
思考1:该函数用解析法怎样表示？
思考2:该函数用列表法怎样表示？
笔记本数 x 1 2 3 4 5
钱数 y 5 10 15 20 25
思考3:该函数用图象法怎样表示？
思考4:上述三种表示法各有什么特点？
y
O
x
5
4
3
2
1
5
10
20
25
15
优点 缺点
解析法 函数关系清楚，可以用代
入法求函数值，便于用解
析式研究函数的性质； 函数值随自变量变化
的规律不直观。
图象法 是可以直观形象地表示出函数的变化情况 在读取函数值时不够精确。
列表法 可以直接从表中读出函
数值 经常不可能把所有的
对应值列入数表中，而
只能达到实际上大致够
用的程度。
函数图像既可以是连续曲线，又可以是直线、折线、离散的点等等。那么判断一个图像是否函数图像的依据是什么？
判断下列图像是否函数图像？
O
x
y
(1)
O
x
y
(2)
O
x
y
(3)
知识探究（二）
例4 下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
思考2:上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？
思考3:若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？
王伟
平均分
赵磊
张城
100
O
x
y
5
4
3
2
1
6
90
80
70
60
思考4:试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
王伟
平均分
赵磊
张城
100
O
x
y
5
4
3
2
1
6
90
80
70
60
练习1：课本第23页第2题
例5 画出函数y=|x|的图象.
x
o
y
知识探究（三）
解：由绝对值的概念，有
所以，函数的图像如图所示。
练习：画出函数y=|x-2|的图像.
x
o
y
今后，在画出一些简单函数如一次函数、反比例函数、二次函数的图像时，我们可以不再列表，直接描点作出即可。
知识探究（三）
例6 某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路上公交车“招手即停”，其票价如下：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）.
思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函数的自变量是什么？定义域是什么？
思考2:该函数用解析法怎样表示？
解：设里程为x公里，票价为y元，则
思考3:该函数用列表法怎样表示？
里程x（公里） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20]
票价y（元） 2 3 4 5
思考4:该函数用图象法怎样表示？
y
O
x
20
15
10
5
1
2
3
4
5
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部
分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点
基本认识：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几
个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
课堂练习
1. 画出下列函数图象:
2. 已知函数f (x)=
2x+3, x＜－1,
x2, －1≤x＜1,
x－1, x≥1 .
求f{f[f(－2)]} ;
(2) 当f (x)=－7时,求x ;
解: (1) f{f[f(－2)]} = f{f[-1]}
= f(1)
= 0
(2)当x＜－1 时, 2x+3 ＜1，与
f (x)=－7相符，由
2x+3 =－7得x=-5
易知其他二段均不符合f (x)=－7.
故x=-5
3. 已知函数f (x)=
x+2, (x≤－1)
x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( )
A. 1
B. 1或
C. 1, ,
D.
D
课堂小结
1. 本节主要学习了函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法的定义以及它们各自的优点.
2.分段函数的定义域为各段并集，值域为各段值域并集登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.3.2对数函数
一、选择题
1．若函数y＝loga(x＋b)(a>0，a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则(　　)
A．a＝2，b＝2　　　　　　　 B．a＝，b＝2
C．a＝2，b＝1 D．a＝，b＝
[答案]　A
[解析]　将两点(－1,0)和(0,1)代入y＝loga(x＋b)得loga(b－1)＝0且logab＝1，
则b－1＝1且a＝b，所以a＝b＝2.
2．已知偶函数f(x)在[0,2]上单调递减，若a＝f(－1)，b＝f(log)，c＝f，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．b>c>a
[答案]　C
[解析]　∵f(x)为偶函数，∴a＝f(－1)＝f(1)，b＝f(log)＝f(2)，c＝f，
∵1<<2，f(x)在[0,2]上单调递减，
∴f(1)>f>f(2)，∴a>c>b，故选C.
3．下列各函数中在(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝log(x＋1)　　　 B．y＝log2
C．y＝log3 D．y＝log(x2－4x＋5)
[答案]　D
4．设a＝log2，b＝log，c＝0.3，则(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
[答案]　B
[解析]　∵a＝log2＝－log32∈(－1,0)，
b＝log＝log23∈(1，＋∞)，
c＝()0.3∈(0,1)，∴b＞c＞a.故选B.
5．若m>n>1,0A．mxxn
C．logxm[答案]　C
[解析]　将mx与nx看作函数y＝Xx(x为常数，X为自变量)，当X＝m、n时的两个函数值，∵常数x>0，∴此函数在第一象限内为增函数，又m>n>1，∴mx>nx，故A错；同理将xm与xn看作指数函数y＝xX(x为常数，X为自变量)的两个函数值，∵0n，∴xmn>1，∴logxmlognx，故D错．
[点评]　可用特值检验，也可用单调性和图象法求解．
6．已知函数f(x)＝－(x－a)(x－b)的图象如图所示(其中a>b)，则g(x)＝ax－b的图象可能是(　　)
[答案]　A
[解析]　由f(x)的图象知a>1，－11，故选A.
7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
[答案]　B
[解析]　a>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，08．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，3)
C．[，3) D．(1,3)
[答案]　D
[解析]　由y＝(3－a)x－4a在(－∞，1)上单调递增知，3－a>0，∴a<3；
由y＝logax在[1，＋∞)上递增知a>1，∴1二、填空题
9．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
[答案]　1
[解析]　原式＝(lg5)2＋(1－lg5)(1＋lg5)
＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.
10．已知a>b>0，ab＝105，algb＝106，则＝________.
[答案]　10
[解析]　∵ab＝105∴lga＋lgb＝5
∵algb＝106∴lga·lgb＝6，又a>b∴lga＝3，lgb＝2
∴lg＝lga－lgb＝1，∴＝10.
11．lg5·lg8000＋(lg2)2＋lg0.06－lg6＝________.
[答案]　1
[解析]　原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6
＝3＋3lg2－3lg2－3lg22＋3lg22＋lg6－2－lg6＝1.
12．若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．
[答案]　[－3,1]
[解析]　f(x)的图像如图．
|f(x)|≥ f(x)≥
或f(x)≤－.
∴x≥或≤－
∴0≤x≤1或－3≤x<0
∴解集为{x|－3≤x≤1}．
三、解答题
13．将下列各数按从小到大顺序排列起来：
[分析]　从宏观考虑，宜先将各数分类，再逐类比较大小．一般先区分正、负数，再看哪些大于1，哪些小于1(负数看绝对值)，同底的幂用y＝ax的单调性，同指数的幂可借助图象、底数与指数都不同时，可转化为同底或同指数再比较．
[解析]　()0＝1，先将其余的数分成三类．
①负数：(－2)3
14．在同一坐标系中画出函数f(x)＝logx与g(x)＝－x＋1的图象，观察图象，分析指出，当x取何范围内的值时，有f(x)[解析]　画出函数f(x)与g(x)的图象如下图，易知当x＝1和x＝2时，都有f(x)＝g(x)．
当02时，都有f(x)>g(x)．
当115．解下列方程：
(1)()x82x＝4；
(2)log7(log3x)＝－1；
(3)2logx25－3log25x＝1.
[解析]　(1)化为25x＝22，∴5x＝2，∴x＝；
(2)log3x＝，∴x＝3；
(3)令log25x＝t，则原方程化为：－3t＝1.
即3t2＋t－2＝0，∴t＝－1或，∴x＝或5.
16．求函数f(x)＝loga(x2－2x)(a>0且a≠1)的定义域和单调增区间．
[解析]　由x2－2x>0得，x<0或x>2，∴定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
∵函数u＝x2－2x＝(x－1)2－1的对称轴为x＝1，
∴函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，
∴当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，
当017．已知幂函数f(x)＝xα的图象过(8，)点，试指出该函数的定义域、奇偶性、单调区间．
[解析]　∵f(x)＝xα过点，∴＝8α，即2－2＝23α，∴α＝－.∴f(x)＝x－，即f(x)＝ .
(1)欲使f(x)有意义，须x2>0，∴x≠0，
∴定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)对任意x∈R且x≠0，有f(－x)＝
＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)∵α<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，故单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．
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2.2.2指数函数（1）
一、选择题
1．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是(　　)
A．y＝2　　　　 　 　 B．y＝
C．y＝ D．y＝()2－x
[答案]　D
[解析]　在A中，∵≠0，∴2≠1，所以函数y＝2的值域是{y|y>0，且y≠1}．
在B中，∵2x－1≥0，∴≥0，所以函数y＝的值域是[0，＋∞)．
在C中，∵2x＋1>1，∴>1，所以函数y＝的值域是(1，＋∞)．
在D中，由于函数y＝()2－x的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2－x也就可以取一切实数，所以()2－x取一切正实数，即函数y＝()2－x的值域为(0，＋∞)，故选D.
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成(　　)
A．511个 B．512个
C．1 023个 D．1 024个
[答案]　B
[解析]　∵每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，∴29＝512，故选B.
3．如果函数y＝(ax－1)－的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．0C．a>1 D．a≥1
[答案]　C
[解析]　y＝(ax－1)－＝，因此ax－1>0
∴ax>1，又∵x>0，∴a>1，故选C.
4．函数y＝a|x|(0[答案]　C
[解析]　y＝，∵0[点评]　可取a＝画图判断．
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
[答案]　B
即a>c，∴b>a>c.
[点评]　指数函数的图象第一象限内底大图高，
6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于(　　)
A. B．2
C．4 D.
[答案]　B
[解析]　当a>1时，ymin＝a0＝1；ymax＝a1＝a，
由1＋a＝3，所以a＝2.
当0由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，综上所述，有a＝2.
7．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是(　　)
[答案]　B
[解析]　由指数函数的定义知a>0，故f(x)＝ax的图象经过一、三象限，∴A、D不正确．
若g(x)＝ax为增函数，则a>1，
与y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正确．
B中08．函数y＝()x2＋2x的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0,2]
C．(，2] D．(－∞，2]
[答案]　B
[解析]　∵u＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，
y＝()u在[－1，＋∞)上是减函数，
∴y≤－1＝2.∴y∈(0,2]．
二、填空题
9．指数函数y＝f(x)的图象过点(－1，)，则f[f(2)]＝________.
[答案]　16
[解析]　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∵f(x)图象过点(－1，)，∴a＝2，∴f(x)＝2x，
∴f[f(2)]＝f(22)＝f(4)＝24＝16.
10．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域为__________．
[答案]　{y|－≤y≤1}
[解析]　当－1≤x≤1时，≤3x≤3，∴y∈[－，1]，值域为{y|－≤y≤1}．
11．已知x>0时，函数y＝(a2－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．
[答案]　a>3或a<－3
[解析]　当x>0时(a2－8)x>1，∴a2－8>1，
∴a>3或a<－3.
12．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
[答案]　m[解析]　∵a＝，∴0∴函数f(x)＝ax在R上单调递减，
∵f(m)>f(n)，∴m13.【2012高考山东文15】若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
【答案】　
三、解答题
14．已知f(x)＝(ax－a－x)，g(x)＝(ax＋a－x)，
求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)．
[解析]　f 2(x)＋g2(x)
＝(ax－a－x)2＋(ax＋a－x)2
＝(2a2x＋2a－2x)＝(a2x＋a－2x)＝g(2x)成立．
15．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．
16．已知f(x)＝x＋1，g(x)＝2x，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个区间上，f(x)的值小于g(x)？哪个区间上，f(x)的值大于g(x)
[解析]　在同一坐标系中，画出函数f(x)＝2x与g(x)＝＋1的图象如图所示，两函数图象的交点为(0,1)和(3,8)，
显然当x∈(－∞，0)或x∈(3，＋∞)时，f(x)>g(x)，当x∈(0,3)时，f(x)17．判断函数f(x)＝＋的奇偶性．
[解析]　∵2x－1≠0，∴x≠0，定义域{x∈R|x≠0}
∵f(x)＝＋＝，
∴f(－x)＝＝
＝＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
17．求下列函数的定义域和值域
[解析]　(1)函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
(2)要使函数有意义，必须且只须3x－2≥0，
即x≥，∴函数的定义域为[，＋∞)
设t＝，则t≥0，y＝5t　∴y≥1
∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)要使函数有意义，必须且只须x＋1≠0，
即x≠－1.
∴函数的定义域为{x∈R|，x≠－1}
设t＝，则t∈R且t≠1，y＝()t，
∴y>0且y≠
∴函数的值域为(0，)∪(，＋∞)
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教学目标:
知识教学目标：
1.理解函数的奇偶性概念.
2.会判定函数的奇偶性.
3.会推断奇偶函数的性质.
能力训练目标：
1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力；
2.加强观察、化归、转化能力的训练.
德育渗透目标：
1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规律、归纳概括的能力；
2.培养学生辨证思维、求异思维等能力.
观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
①
②
③
④
⑤
⑥
y
x
O
9
4
1
-3
-2
3
1
-1
2
f(x)=x2
在表格中我们可以看出：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值相同.
-3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
O
x
y
结论：
当自变量x在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；
即：f(-x)=f(x)
x
P(x,f(x))
P/(-x,f(x))
-x
P/(-x,f(-x))
f(-x)=f(x)
偶函数定义:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
O
x
y
观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数.
a
如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它的定义域应该有什么特点？
定义域应该关于原点对称.
！注意：
1.偶函数指的是函数的整体性质，是在整个定义域内来说的.
2.偶函数的前提条件是定义域关于原点对称.
要注意关于原点对称的含义.
3.在前提条件下，
偶函数 f(x)=f(-x) f(x) -f(-x) =0
图象关于y轴对称.
继续观察剩下的3幅函数图象:
O
x
y
O
x
y
②
⑤
⑥
O
x
y
根据我们由图象推导偶函数的方法和步骤，同学们结合课本内容归纳一下奇函数的定义.
由此我们可以得到奇函数的定义：
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x, 都有____________,那么函数f（x）就叫做奇函数.
f(-x)= - f(x)
想一想
如果一个函数的图象关于原点对称，那么它的定义域应该有什么特点？
定义域也应该关于原点对称！
应用同样的方法给出奇函数的注意事项.
根据下列函数的图象，写出函数的定义域并判断函数的奇偶性。
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
①
②
③
④
⑤
⑥
填写右边表格
图象关于原点对称
对于定义域内的任意一个自变量x，都有f(-x)= -f(x)
请同学们讨论一下判断函数奇偶性的一般步骤
判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
练习：
1、根据定义判断下列函数的奇偶性：
2、根据定义判断下列函数的奇偶性：
3、已知函数的右半部分图象，根据下列条件把函数图象补充完整；
f(x)是偶函数; 2) f(x)是奇函数.
x
y
O
1
2
x
y
O
1
3
2
-1
B
A
观看下列两个偶函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何不同？可得出什么结论？
O
x
O
x
y
结论：偶函数在y轴两侧的图像的升降方向是相反的；
即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反
思考：奇函数是否具有相同的性质？
观看下列两个奇函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何特点？可得出什么结论？
O
x
y
O
x
y
结论：奇函数在y轴两侧的图像的升降方向是相同的；
即：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.
例 已知函数 是奇函数，其定义域为
，且在 上为增函数.若
试求 的取值范围.
分析：由于奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.所以在 上也是增函数.此时应用“穿衣脱衣法”来解决.
练习：
已知函数 是奇函数，其定义域为 ，且在 上为减函数.若
试求 的取值范围.
总结:
这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语言和符号刻画了相应的数量特征. 这是一个循序渐进的过程,这也是数学学习和研究中经常使用的方法, 结合上一节课研究函数的单调性的方法和思路,课下同学们之间参考下面流程图互相交流一下学习体会.
图象特征
数量特征
数学概念
数学性质登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.1函数的概念和图象
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)
A．{－1,0,3}　　　　　 B．{0,1,2,3}
C．[－1,3] D．[0,3]
[答案]　A
[解析]　f(0)＝0，f(1)＝－1，f(2)＝0，f(3)＝3.
2．下列函数中，在(－∞，0)上单调递减的函数为(　　)
A．y＝ B．y＝3－x2
C．y＝2x＋3 D．y＝x2＋2x
[答案]　A
[解析]　y＝3－x2，y＝2x＋3在(－∞，0)上为增函数，y＝x2＋2x在(－∞，0)上不单调，故选A.
3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，则f(1)＝(　　)
A．－3 B．7
C．13 D．不能确定
[答案]　C
[解析]　对称轴x＝，即x＝－2.
∴m＝－8，∴f(x)＝2x2＋8x＋3，
∴f(1)＝13.
4．函数y＝x－(1≤x≤2)的最大值与最小值的和为(　　)
A．0 B．－
C．－1 D．1
[答案]　A
[解析]　y＝x－在[1,2]上为增函数，当x＝1时ymin＝－1，当x＝2时，ymax＝1.故选A.
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x－2，那么不等式f(x)<的解集是(　　)
A．{x|0≤x<}
B．{x|－C．{x|－}
D．{x|x<－或0≤x<}
[答案]　D
[解析]　x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x－2，∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝x＋2，又当x＝0时，f(x)＝0，
∴f(x)＝，
故不等式f(x)<化为
或或，
∴0≤x<或x<－，故选D.
6．将一根长为12m的铁丝弯折成一个矩形框架，则矩形框架的最大面积是(　　)
A．9m2 B．36m2
C．45m2 D．不存在
[答案]　A
[解析]　设矩形框架一边长x(m)，则另一边长为＝6－x(m)
故面积S＝x(6－x)＝－(x－3)2＋9≤9(m2)．
7．已知f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝(1－x)x，则x<0时，f(x)＝(　　)
A．－x(1＋x) B．x(1＋x)
C．－x(1－x) D．x(1－x)
[答案]　B
[解析]　当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(1＋x)·(－x)，
∵f(x)为奇函数∴－f(x)＝－x(1＋x)，
∴f(x)＝x(1＋x)，选B.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c　(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，则直线y＝ax＋b不经过第______象限．(　　)
A．一 B．二
C．三 D．四
[答案]　B
[解析]　∵抛物线经过一、二、四象限，
∴a>0，－>0，∴a>0，b<0，
∴直线y＝ax＋b不经过第二象限．
9．已知min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
[答案]　D
[解析]　如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t＝1.
10．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的条件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
[答案]　A
[解析]　由题意知，－＝1，m＝－2.
二、填空题
11．若函数f(x)的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上是增函数，f(－3)＝0，不等式xf(x)<0的解集为__________．
[答案]　(－3,0)∪(0,3)
[解析]　画出示意图如图．
f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(x)的图象关于原点对称．故在(－∞，0)上也是增函数．∵f(－3)＝0，
∴f(3)＝0∴xf(x)<0的解集为(－3,0)∪(0,3)．也可根据题意构造特殊函数解决，
例如令f(x)＝.
12．函数y＝的增区间为________．
[答案]　[－3，－1]
[解析]　函数y＝的定义域为[－3,1]，因此增区间为[－3，－1]．
13．已知二次函数f(x)的图象顶点为A(2,3)，且经过点B(3,1)，则解析式为________．
[答案]　f(x)＝－2x2＋8x－5
[解析]　设f(x)＝a(x－2)2＋3，∵过点B(3,1)，
∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－2)2＋3，
即f(x)＝－2x2＋8x－5.
14．已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－2)＝f(4)，则比较f(1)、f(－1)与c的大小结果为(用“<”连接起来)______．
[答案]　f(1)[解析]　∵f(－2)＝f(4)，
∴对称轴为x＝＝1，
又开口向上，∴最小值为f(1)，
又f(0)＝c，在(－∞，1)上f(x)单调减，
∴f(－1)>f(0)，∴f(1)三、解答题
15．已知y＋5与3x＋4成正比例，当x＝1时，y＝2.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当x＝－1时的函数值；
(3)如果y的取值范围是[0,5]，求相应的x的取值范围．
[解析]　(1)设y＋5＝k(3x＋4)，∵x＝1时，y＝2，
∴2＋5＝k(3＋4)，∴k＝1.
∴所求函数关系式为y＝3x－1.
(2)当x＝－1时，y＝3×(－1)－1＝－4.
(3)令0≤3x－1≤5得，≤x≤2，
∴所求x的取值范围是[，2]．
16．已知函数f(x)＝x2－4x－4.
①若函数定义域为[3,4]，求函数值域．
②若函数定义域为[－3,4]，求函数值域．
③当x∈[a－1，a]时，y的取值范围是[1,8]，求a.
[解析]　①f(x)＝(x－2)2－8开口向上，对称轴x＝2，∴当x∈[3,4]时，f(x)为增函数，最小值f(3)＝－7，最大值f(4)＝－4.∴值域为[－7，－4]．
②f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，∴最小值为f(2)＝－8，
又f(－3)＝17，f(4)＝－4.
(也可以通过比较－3和4哪一个与对称轴x＝2的距离远则哪一个对应函数值较大，开口向下时同样可得出．)∴最大值为17，值域为[－8,17]．
③∵f(x)＝(x－2)2－8，当x∈[a－1，a]时y的取值范围是[1,8]，∴2 [a－1，a]．当a<2时，函数f(x)在[a－1，a]上是减函数．
∴∴a＝－1；
当a－1>2即a>3时，f(x)在[a－1，a]上是增函数，
则∴a＝6.综上得a＝－1或a＝6.
17．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c　(x∈R)，当x＝2时，函数取得最大值2，其图象在x轴上截得线段长为2，求其解析式．
[解析]　解法1：由条件知a<0，且顶点为(2,2)，
设f(x)＝a(x－2)2＋2，即y＝ax2－4ax＋4a＋2，
设它与x轴两交点为A(x1,0)，B(x2,0)，则
x1＋x2＝4，x1x2＝4＋，
由条件知，|x1－x2|＝
＝＝＝2，∴a＝－2，
∴解析式为f(x)＝－2x2＋8x－6.
解法2：由条件知f(x)的对称轴为x＝2，设它与x轴两交点为A(x1,0)，B(x2,0)且x1，∴，
故可设f(x)＝a(x－1)(x－3)，
∵过(2,2)点，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2x2＋8x－6.
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函数与方程
一．教材分析
二．教法学法分析
三．教学过程分析
四．评价分析
五．教学反思
教材分析
关于教材地位与作用的解析
1、第三章“函数与方程”是高中数学的新增内容，是近年来高考关注的热点.
2、本节课是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法;是培养学生“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”的优质载体.
3、本节课为下节“二分法求方程的近似解”和后续的 “算法学习”提供了基础，具有承前启后的作用.
教材分析
关于教学目标的解析
（一）知识目标：
1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践的能力．
（三）情感目标：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
教材分析
关于教学重点、难点的解析
教学重点：了解函数零点的概念，体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．
教学难点：探究发现函数零点的存在性.在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点 .
教法学法分析
关于教法的解析
关于学法的解析
“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.
采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会。
教学过程分析
1
设
问
激
疑
创
设
情
境
2
启
发
引
导
形
成
概
念
6
知
识
应
用
尝
试
练
习
3
初
步
运
用
示
例
练
习
4
讨
论
探
究
揭
示
定
理
5
观
察
感
知
例
题
学
习
7
反
思
小
结
培
养
能
力
8
课
后
作
业
自
主
学
习
（一）设问激疑，创设情景
设计意图:由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
（二）启发引导，形成概念
(1)y=x2+2x-3与x2+2x-3=0
(2)y=x2+2x+1与x2+2x+1=0
(3)y=x2+2x+3与x2+2x+3=0
问题2：下列二次函数的图象与x轴交点和
相应方程的根有何关系？
设计意图: 有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
判别式△ =b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
问题3:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系
结论:
二次函数图象与x轴交点的横坐标
就是相应方程的实数根。
（二）启发引导，形成概念
设计意图：把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
函数零点的定义：
等价关系
（二）启发引导，形成概念
设计意图：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.
引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“转化”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．
设计意图：巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．
（三）初步运用，示例练习
（四）讨论探究，揭示定理
探究:在什么情况下，函数f（x）在区间
（a，b）一定存在零点呢？
设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系.
将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。
由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。
1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？
3.A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？
用f（a）·f（b）<0来表示
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
[－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0
（－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根
[2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0
（2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
（0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根.
x
y
0
1
2
1
.
.
.
（四）讨论探究，揭示定理
问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定
有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定
有零点？
设计意图：通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.
设计意图：引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．
（四）讨论探究，揭示定理
（四）讨论探究，揭示定理
设计意图：通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“函数零点存在或所在区间”这一类问题．
引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的定理应用作好铺垫．
反馈练习:
练习1、观察下表，分析函数 在定义域内是否存在零点？
练习2、求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内。
变式：若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( )
A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于零
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)·f(b)<0。
总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
（1） f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
x －2 －1 0 1 2
f(x) -109 -10 -1 8 107
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
（五）观察感知，例题学习
设计意图:引导学生思考如何应用定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.
问题5：你能判断函数
的单调性，并给出相应的证明吗？判断方法：
（六）知识应用，尝试练习
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5；
（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；
（3）f(x)=ex－1+4x－4;
设计意图:对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.
（七）反思小结，培养能力
1．你能说说二次函数的零点与一元
二次方程的根的联系吗？
2．如果函数图象在区间[a,b]上是连
续不断的，那么在什么条件下，
函数在(a,b)内有零点？
设计意图：
通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
问题6：
内容小结：
1．函数零点的定义
2．等价关系
3．函数的零点或相应方程的根的存
在性以及个数的判断
作业：
（八）课后作业，自主学习
设计意图:巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．达到熟练使用零点定理的目的（没有图像的情况下），同时为下一节课作好铺垫。
板书设计
评价分析
本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进一步加深理解；这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
加强过程性评价，创设公平、平等、宽松、积极向上的课堂环境，这就要求对学生的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，充分暴露思维，及时矫正，调整思路。
教学反思
1. 逐层铺垫，降低难度
由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．
2. 恰当使用信息技术
恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.
3. 采用“启发—探究—讨论”教学模式
精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.
解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有
且只有一个零点。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
(1)f(x)= －x3－3x+5
.
.
.
.
.
解：作出函数的图象，如下：
.
.
.
.
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
-3
-2
4
(2)f(x)=2x · ln(x－2)－3
解：作出函数的图象，如下：
.
.
.
.
因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
(3)f(x)=ex－1+4x－4
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
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2.5函数与方程
一、选择题
1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是(　　)
A．f(x)＝3x2－4x＋5　　　 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案]　D
[解析]　对于函数f(x)＝ex＋3x－6来说
f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2>0
∴f(1)f(2)<0，故选D.
2．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
[答案]　D
[解析]　解法1：取m＝0有f(x)＝－3x＋1的根x＝>0，则m＝0应符合题设，所以排除A、B，当m＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2它的根是x＝1符合要求，排除C.∴选D.
解法2：直接法，∵f(0)＝1，∴(1)当m<0时必成立，排除A、B，
(2)当m>0时，要使与x轴交点至少有一个在原点右侧，则　∴0(3)当m＝0时根为x＝>0.∴选D.
3．函数y＝f(x)与函数y＝2x－3的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)与直线y＝x的一个交点位于区间(　　)
A．(－2，－1) B．(2,3)
C．(1,2) D．(－1,0)
[答案]　B
[解析]　y＝2x－3的反函数为y＝log2(x＋3)
由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选B.
4．函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
[答案]　D
[解析]　∵f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝1－>0，
∴f(9)·f(10)<0，
∴f(x)在(9,10)上有零点，故选D.
5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是函数f(x)的两个零点，则实数a、b、α、β的大小关系可能是(　　)
A．a<αC．α[答案]　C
[解析]　∵α、β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0，又f(x)＝(x－a)(x－b)－2，
∴f(a)＝f(b)＝－2<0.
结合二次函数f(x)的图象可知，a、b必在α、β之间．
6．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
[答案]　C
[解析]　由条件2a＋b＝0，∴b＝－2a
∴g(x)＝－ax(2x＋1)的零点为0和－.
7．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1
∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2
∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．
8．函数y＝x3与y＝x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]　C
[解析]　令f(x)＝x3－x，则f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，故选C.
9．有下列四个结论：
①函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞)
②若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数
③函数y＝5|x|的值域是(0，＋∞)
④函数f(x)＝x＋2x在(－1,0)有且只有一个零点．
其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　C
[解析]　由，得x>1，故①正确；∵f(x)＝xα过(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，
∴f(x)＝x2为偶函数，故②正确；∵|x|≥0，∴y＝5|x|≥1，∴函数y＝5|x|的值域是[1，＋∞)，故③错；∵f(－1)＝－1＋2－1＝－<0，f(0)＝0＋20＝1>0，∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内至少有一个零点，又f(x)＝x＋2x为增函数，∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内有且只有一个零点，∴④正确，故选C.
10．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和－
[答案]　B
[解析]　由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
二、填空题
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是______．
[答案]　(－∞，－2)∪(3，＋∞)
12．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪.则a＝________.
[答案]　－2
[解析]　<0 (ax－1)(x＋1)<0，
∵其解集为(－∞，－1)∪(－，＋∞)，
∴a<0且－1和－是(ax－1)(x＋1)＝0的两根，解得a＝－2.
[点评]　由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－是ax－1＝0的根，∴a＝－2.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
[解析]　因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
14．讨论函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数．
[解析]　函数的定义域为(0，＋∞)，任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2.
f(x1)－f(x2)＝(lnx1＋2x1－6)－(lnx2＋2x2－6)
＝(lnx1－lnx2)＋2(x1－x2)，
∵0＜x1＜x2，∴lnx1＜lnx2.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝ln1＋2×1－6＝－4<0.
f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0
∴f(x)在(1,3)内有零点．
由f(x)是单调函数知，f(x)有且仅有一个零点．
15．定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值集合．
[解析]　∵－是函数的零点，∴f＝0，
∵f(x)为偶函数，∴f()＝0，
∵f(x)在(－∞，0]上递增，f(logx)≥f，
∴0≥logx≥－，∴1≤x≤2，
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调减，
又f(logx)≥f()，
∴0≤logx≤，∴≤x≤1，∴≤x≤2.
故x的取值集合为{x|≤x≤2}．
16．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点是－2和3，当x∈(－2,3)时，f(x)<0，且f(－6)＝36，求二次函数的解析式．
[解析]　由条件知f(x)＝a(x＋2)(x－3)且a>0
∵f(－6)＝36，∴a＝1
∴f(x)＝(x＋2)(x－3)
满足条件－2∴f(x)＝x2－x－6.
17．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
[解析]　(1)任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1，且ax1>0.
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝
＝>0
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)证法1：设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则ax0＝－，且0∴0<－<1，即证法2：设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0
(Ⅰ)若－1∴f(x0)<－1与f(x0)＝0矛盾．
(Ⅱ)若x0<－1，则>0，ax0>0，
∴f(x0)>0与f(x0)＝0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．
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2.3.2对数函数（2）
一、选择题
1.已知a>0且a≠1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x和y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
[答案]　D
[解析]　若01，此时y＝loga(－x)单调减，排除B，故选D.
2.若0A.第一象限　　　　　 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
[答案]　A
[解析]　将y＝logax的图象向左平移5个单位，得到y＝loga(x＋5)的图象，故不过第一象限，选A.
3.设0①2x<2y ②x③logx2logy
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
[答案]　B
[解析]　∵y＝2u为增函数，x∵y＝u为减函数，xy，∴②错误；
∵y＝log2x为增函数，0logy2，∴③错误；
∵y＝logu为减函数0logy，∴④正确．
4．如下图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值分别为、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
[答案]　A
[解析]　根据对数函数图象的变化规律即可求得．
5．函数y＝log|x＋2|的增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)
[答案]　B
[解析]　由y＝log|x＋2|
∵t＝－(x＋2)在x∈(－∞，－2)上是减函数，y＝logt为减函数，∴此函数在(－∞，－2)上是增函数．
6．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，则f(x)(　　)
A．在(－∞，0)上是增函数
B．在(－∞，0)上是减函数
C．在(－∞，－1)上是增函数
D．在(－∞，－1)上是减函数
[答案]　C
[解析]　当－1又loga|x＋1|>0，∴0因此函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上递增；在(－1，＋∞)上递减．
7．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数y＝f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
[答案]　A
[解析]　由于y＝f －1(x)过点(1,7)，因此y＝f(x)过点(7,1)，
∴，解得，
∴f(x)＝log4(x－3)是增函数．
8．已知函数f(x)＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．－8≤a≤－6 B．－8C．－8[答案]　C
[解析]　
－8[点评]　不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用．
二、填空题
9.【2012高考江苏5】数的定义域为 ▲ ．
【答案】。
10.【2102高考北京文12】已知函数，若，则_____________。
【答案】2
11．y＝logax的图象与y＝logbx的图象关于x轴对称，则a与b满足的关系式为________．
[答案]　ab＝1
12．方程2x＋x＝2，log2x＋x＝2,2x＝log2(－x)的根分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系为________．
[答案]　b>a>c
[解析]　在同一坐标系内画出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的图象．∴b>a>c.
13．方程a－x＝logax(a>0且a≠1)的解的个数为____．
[答案]　1
[解析]　当a>1时，在同一坐标系中作出y＝logax和y＝a－x的图象如图，则两个图象只有一个交点．同理，当014．已知c1：y＝logax，c2：y＝logbx，c3：y＝logcx的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y＝ax、y＝bx、y＝cx的图象依次为图中的曲线__________．
[答案]　m1，m2，m3
[解析]　由图(1)知c>1>a>b>0
故在图(2)中m3：y＝cx，m2：y＝bx，m1：y＝ax.
15．函数y＝ax＋1(0[答案]　(1，－1)
[解析]　由于y＝ax＋1的图象过(－1,1)点，因此反函数图象必过点(1，－1)．
三、解答题
16．已知函数f(x)＝log(2－x)在其定义域内单调递增，求函数g(x)＝loga(1－x2)的单调递减区间．
[解析]　由于f(x)＝log(2－x)在定义域内递增，所以0<<1，即a>1，因此g(x)＝loga(1－x2)的递减区间为[0,1)．
17.【2012高考上海文20】已知
（1）若，求的取值范围
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2.3.1对数（2）
一、选择题
1.【2012高考安徽文3】（）·（4）=
（A） （B） （C）2 （D）4
【答案】D
2．下列各式中不正确的是(　　)
[答案]　D
[解析]　根据对数的运算性质可知：
3．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝(　　)
A．1　 　 　 B．2　 　 　
C．3　 　 　 D．4
[答案]　C
[解析]　log23·log34·log45·log56·log67·log78＝×××××＝＝3，故选C.
4．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　log512＝＝＝，故选C.
5．已知log72＝p，log75＝q，则lg2用p、q表示为(　　)
A．pq B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由已知得：＝，∴log52＝
变形为：＝＝，∴lg2＝，故选B.
6．设x＝ ，则x∈(　　)
A．(－2，－1) B．(1,2)
C．(－3，－2) D．(2,3)
[答案]　D
[解析]　x＝
＝log310∈(2,3)，故选D.
7．设a、b、c∈R＋，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
[答案]　B
[解析]　设3a＝4b＝6c＝m，
∴a＝logm3，b＝logm4，c＝logm6，
∴＝logm3，＝logm4，＝logm6，
又∵logm6＝logm3＋logm2，＝＋，即
＝＋，故选B.
8．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b ，则logab＋logba等于(　　)
A．1 B．－2
C．－ D．－4
[答案]　C
[解析]　由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3
那么logab＋logba＝＋＝
＝＝＝－，故选C.
9．已知函数f(x)＝＋lg(x＋)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈(　　)
A．2.62 B．2.38
C．1.62 D．0.38
[答案]　B
[解析]　f(－1)＝2＋lg(－1)，f(1)＝2＋lg(＋1)
因此f(－1)＋f(1)＝4＋lg[(－1)(＋1)]＝4，
∴f(1)＝4－f(－1)≈2.38，故选B.
二、填空题
10．设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________.
[答案]　
[解析]　由log89＝a得log23＝a，∴＝，
又∵log35＝＝b，
∴×＝ab，
∴＝ab，
∴lg2＝.
12．已知logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，那么式子logabcx＝________.
[答案]　1
[解析]　logx(abc)＝logxa＋logxb＋logxc＝＋＋＝1，
∴logabcx＝1.
12．若logac＋logbc＝0(c≠1)，则ab＋c－abc＝______.
[答案]　1
[解析]　由logac＋logbc＝0得：
·lgc＝0，∵c≠1，∴lgc≠0∴ab＝1，
∴ab＋c－abc＝1＋c－c＝1.
13．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线减弱到原来的以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．
[答案]　11
[解析]　设光线原来的强度为1，透过第n块玻璃板后的强度为(1－)n.由题意(1－)n<，两边同时取对数得nlg(1－)＝≈10.42
故至少需要11块玻璃板．
三、解答题
14．已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值．
[解析]　log416＝2，log34·log48·log8m＝log3m＝2，
∴m＝9.
15．计算(lg＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log210.
[解析]　(lg＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log210
＝×12＝54.
16．若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．
[解析]　设25a＝53b＝102c＝k，
则a＝log2k，b＝log5k，c＝lgk.
∴logk2＝，logk5＝，logk10＝，
又logk2＋logk5＝logk10，∴＋＝.
17．设4a＝5b＝m，且＋＝1，求m的值．
[解析]　a＝log4m，b＝log5m.
∴＋＝logm4＋2logm5＝logm100＝1，∴m＝100.
18．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．
[解析]　∵f(x)的最大值等于3
∴
∵lga<0，∴lga＝－，∴a＝10－.
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2.2.2指数函数
一、选择题
1．函数y＝3x与y＝()x的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[答案]　B
3．当a>1时，函数y＝是(　　)
A．奇函数　　　　　　 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
[答案]　A
[解析]　由ax－1≠0得x≠0，
∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又∵f(－x)＝＝＝
＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．
3．一批价值a万元的设备，由于使用时磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a[1－(b%)n] D．a(1－b%)n
[答案]　D
4．若定义运算a*b＝，则函数f(x)＝3x*3－x的值域是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案]　A
[解析]　f(x)＝3x*3－x＝
∴f(x)∈(0,1]，故选A.
5．若－1A．2a>()a>0.2a B．()a>0.2a>2a
C．0.2a>()a>2a D．2a>0.2a>()a
[答案]　C
[解析]　解法1：∵a<0，∴2a<2－a＝()a,0.2a＝()a>()a，∴0.2a>()a>2a，故选C.
解法2：在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝x与y＝0.2x的图象如图，
∵－1当x＝a时，由图可见
2a6．设a、b满足0A．aaC．aa[答案]　C
[解析]　解法1：∵0又∵aab.排除A；
同理得ba>bb，排除B.
在同一坐标系中作出y＝ax与y＝bx的图象．
由x>0时“底大图高”知x>0时，y＝bx图象在y＝ax图象上方，当x＝b时，立得bb>ab，排除D；
当x＝a时，ba>aa，∴选C.
解法2：取特值检验，令a＝，b＝，则aa＝，ab＝，ba＝，bb＝，排除A、B、D，∴选C.
7．设函数f(x)＝ 若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案]　D
　
∴x0>1.综上所述：x0<－1或x0>1.
8．已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是(　　)
A．x＋y>0 B．x＋y<0
C．x－y>0 D．x－y<0
[答案]　A
[解析]　作函数f(x)＝2x－3－x.
因为2x为增函数，由3－x＝()x为减函数，知－3－x也是增函数，从而f(x)为增函数，
由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)可知f(x)>f(－y)．
又f(x)为增函数，所以x>－y，故x＋y>0.选A.
二、填空题
9.【2012高考陕西文11】设函数发f（x）=，则f（f（-4））=
【答案】4.
10．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，则a的值为________．
[答案]　或
[解析]　注意进行分类讨论
(1)当a>1时，f(x)＝ax为增函数，此时
f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a
∴a2－a＝，解得a＝>1.
(2)当0f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(2)＝a2
∴a－a2＝，解得a＝∈(0,1)
综上所述：a＝或.
11．不等式3x2<()x－2的解集为________．
[答案]　(－2,1)
[解析]　原不等式即3x2<32－x x2<2－x x2＋x－2<0 －212．函数y＝()|1－x|的单调递减区间是________．
[答案]　[1，＋∞)
[解析]　y＝()|1－x|＝
因此它的减区间为[1，＋∞)．
13．当x>0时，指数函数y＝(a2－3)x的图象在指数函数y＝(2a)x的图象的上方，则a的取值范围是________．
[答案]　a>3
[解析]　ⅰ)a2－3>2a>1解得：a>3；ⅱ)a2－3>1>2a>0不等式无解；ⅲ)1>a2－3>2a>0不等式无解；综上所述a>3.
三、解答题
14．讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．
[解析]　解法1：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1(1)当x1又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)<0，
又∵对于x∈R，f(x)>0恒成立，∴f(x2)>f(x1)，
∴函数f(x)＝()x2－2x在(－∞，1]上单调递增．
(2)当1≤x1x1＋x2>2，则有x2＋x1－2>0，
又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
综上所述，函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．
∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，又0<<1，
∴0<()x2－2x≤()－1＝5，
∴函数f(x)的值域是(0,5]．
解法2：∵函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令t＝x2－2x，u＝()t，又∵t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，u＝()t在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上是减函数．
以下求值域方法同上．
15．已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数值域．
[分析]　本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(－x)＝－f(x)恒成立，可求得a值．其值域可借助基本函数值域求得．
[解析]　①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．
即－[＋a]＝＋a，
∴2a＝－－＝1，∴a＝.
②∵2x－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
∵u＝2x－1>－1且u≠0，∴<－1或>0
∴＋<－或＋>
∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．
16．对于函数y＝()x2－6x＋17，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调区间．
[解析]　(1)设u＝x2－6x＋17，
∵函数y＝()u及u＝x2－6x＋17的定义域是R，
∴函数y＝()x2－6x＋17的定义域是R.
∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
∴()u≤()8＝，
又∵()u>0，∴函数的值域为{y|0(2)∵函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，
∴当3≤x1∴y1>y2，
即[3，＋∞)是函数y＝()x2－6x＋17的单调递减区间；
同理可知，(－∞，3]是函数y＝()x2－6x＋17的单调递增区间．
17．已知f(x)＝.
(1)求证f(x)是定义域内的增函数；
(2)求f(x)的值域．
[解析]　(1)证法1：f(x)＝＝
＝1－.
令x2>x1，则
f(x2)－f(x1)＝
.
故当x2>x1时，f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．所以f(x)是增函数．
证法2：考虑复合函数的增减性．
由f(x)＝＝1－.
∵10x为增函数，∴102x＋1为增函数，为减函数，－为增函数．
∴f(x)＝1－在定义域内是增函数．
(2)令y＝f(x)．由y＝，解得102x＝.
∵102x>0，∴－121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2.1 函数的简单性质
一、选择题
1.【2012高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
2．已知f(x)为奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x＋2，则f(x)>0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)
B．(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
[答案]　C
[解析]　如图，∵x<0时，f(x)＝x＋2，又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，
∴f(x)>0时，－22.
3．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则(　　)
A．f(6)>f(7)　　　　　 B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
[答案]　D
[解析]　∵y＝f(x＋8)为偶函数，
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，
又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，
∴f(10)＝f(6)4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
[答案]　D
[解析]　奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
5．f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．2x－1 B．－2x＋1
C．2x＋1 D．－2x－1
[答案]　D
[解析]　x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2·(－x)－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x－1.
6．偶函数f(x)＝ax2－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小关系(　　)
A．f(a－2)B．f(a－2)＝f(b＋1)
C．f(a－2)>f(b＋1)
D．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定
[答案]　A
[解析]　由于f(x)为偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a<0，因此，a－2<－1<0<1＝b＋1，∴f(a－2)7．对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是(　　)
A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数
B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数
C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数
D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数
[答案]　D
[解析]　画出函数图象如图，可见此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．
8．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，3)
C．(3，＋∞)
D．(－3,3)
[答案]　D
[解析]　∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－30，故03时，f(x)>0，故使f(x)<0成立的x∈(－3,3)．
[点评]　此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．
9．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A． a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B． a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C． a∈R，f(x)是偶函数
D． a∈R，f(x)是奇函数
[答案]　C
[解析]　显见当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选C.
[点评]　本题是找正确的选项，应从最简单的入手，故应从存在性选项考察．若详加讨论本题将变得复杂．
对于选项D，由f(－x)＝－f(x)得x＝0，故不存在实数a，使f(x)为奇函数；对于选项B，令a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调增，故B错；对于选项A，若结论成立，则对 x1，x2∈R，x1∴x1＋x2>恒成立，这是不可能的．
10．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
[答案]　D
[解析]　若a<0，则只能是 A或B选项，A中－<0，∴b<0，从而c>0与A图不符；B中－>0，∴b>0，∴c<0与B图也不符；若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，则当b>0时，有c>0与C、D不符．当b<0时，有c<0，此时－>0，且f(0)＝c<0，故选D.
11．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算、 如下：
那么d (ac)＝(　　)
A．a B．b
C．c D．d
[答案]　A
[解析]　要迅速而准确地理解新规则，并能立即投入运用，a?c＝c，d c＝a，故选A.
二、填空题
12．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，它的对称轴为直线x＝2，则这个二次函数的解析式为________．
[答案]　y＝x2－4x－5
[解析]　设解析式为y＝a(x－2)2＋k，把(0，－5)和(5,0)代入得，∴a＝1，k＝－9，
∴y＝(x－2)2－9，即y＝x2－4x－5.
13．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
[答案]　
[解析]　解法1：f(x)＝a＋可视作反比例函数y＝经平移得到的．
由条件知1－2a<0，∴a>.
解法2：∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1有f(x1)f(x1)－f(x2)＝－＝
∵－2∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，
若要f(x1)－f(x2)<0，
则必须且只需2a－1>0，故a>.
∴a的取值范围是.
三、解答题
14．设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
[解析]　由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－1∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1、b＝1、c＝0.
15．已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．
[解析]　由f(a－2)－f(4－a2)<0得 f(a－2)∴，解得16．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
[解析]　(1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
∵f(x)的图象过点A(2,2)，
∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
*17.已知函数f(x)＝
(1)求函数的定义域；
(2)判断奇偶性；
(3)判断单调性；
(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．
[解析]　(1)函数的定义域为R.
(2)∵f(－x)＝＝－f(x)
∴f(x)是奇函数，其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．
(3)单调性：设x1、x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
当0∴f(x)在(0,1]上是增函数．
当10，
∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．
并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．
其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．
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《函数概念与基本初等函数》教案
必修1
第2章 函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 Ⅰ
§2.1.1 函数的概念和图象
重难点：理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 理解函数的三种不同表示方法及其相互间转化、函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．
要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
③了解简单的分段函数，并能简单应用；
经典例题：设函数f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：
（1）H（x）=f（x2+1）；
（2）G（x）=f（x+m）+f（x－m）（m＞0）.
当堂练习：
1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象与直线交点的个数为（ ）
A．必有一个 B．1个或2个 C．至多一个 D．可能2个以上
3．已知函数，则函数的定义域是（ 　）
A． B． C． D．
4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是(　)
A．（1），（2），（3）　 B．（1），（3），（4）　 C．（2），（4）　 D．（2），（3）
6．在对应法则中,若,则 ， 6．
7．函数对任何恒有，已知，则 ．
8．规定记号“”表示一种运算，即. 若，则函数的值域是___________．
9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．
10．函数的值域是 　．
11． 求下列函数的定义域 ： (1) 　　　　(2)
12．求函数的值域．
13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．
14．在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，△ABM的面积为S．
（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；
（2）求f[f(3)]的值．
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.2 函数的简单性质
重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．
考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；
②会运用函数图像理解和研究函数的性质．
经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞ )上图象与f（x）的图象重合.设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是
f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）
　　③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） 　　④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
当堂练习：
1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于 （ ）
A．-3　　　　　　B．13 　　　　C．7 　　　　D．含有m的变量
2．函数是（ ）
A． 非奇非偶函数 B．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C． 偶函数 D． 奇函数
3．已知函数(1), (2),(3)
(4),其中是偶函数的有（ ）个
A．1 　　　　　　B．2 　　　　　C．3 　　　　　 D．4
4．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为 （ 　 ）
5．已知映射f:AB,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的,在B中和它对应的元素是,则集合B中元素的个数是（ ）
A．4 　　　　　　 B．5　　　　　 C．6 　　　　　 D．7
6．函数在区间[0, 1]上的最大值g(t)是　　　　　　　　　　　．
7． 已知函数f(x)在区间上是减函数,则与的大小关系是 　　　．
8．已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且,则和的大小关系是 ．
9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．
10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是,若点A在f作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是 　．
13. 已知函数,其中，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．
14．已知函数，常数。
（1）设，证明：函数在上单调递增；
（2）设且的定义域和值域都是，求的最大值．
13.(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证: 是偶函数；
是奇函数.
(2)利用上述结论，你能把函数表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．
14. 在集合R上的映射:,.
(1)试求映射的解析式;
(2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间;
(3) 求函数f(x)的单调区间.
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.3单元测试
1． 设集合P=,Q=,由以下列对应f中不能构成A到B的映射的是 （ ）A． B． C． D．
2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=,其中定义域与值域相同的是（ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．2)(3) D．(2)(3)(4)
3．已知函数,若,则的值为（ ）
A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定
4．设函数，则的值为（ ）
A．a B．b C．a、b中较小的数 D．a、b中较大的数
5．已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中,定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数y=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3,最小值是2,则实数a的取值范围是（ ）
A．07．已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
　　A．a≤2　　　 　B．a≤-2或a≥2 C．a≥-2　　　　　D．-2≤a≤2
8．已知奇函数的定义域为，且对任意正实数，恒有，则一定有（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的定义域为A,函数y=f(f(x))的定义域为B,则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x0时，f(x)=x2-2x,则f(x)在时的解析式是（ ）
A． f(x)=x2-2x B． f(x)=x2+2x C． f(x)= -x2+2x D． f(x)= -x2-2x
11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 （ ）A． B． C． D．
12．如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7,-3]上（ ）
A．增函数且有最小值-5　 B． 增函数且有最大值-5 C．减函数且有最小值-5 D．减函数且有最大值-5
13．已知函数，则　　　　　　　　．
14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ．
15．定义域为上的函数f(x)是奇函数，则a= ．
16．设，则 　 　．
17．作出函数的图象，并利用图象回答下列问题：
(1)函数在R上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域．
18．定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f()≤［f(x1)+f(x2)］，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)＝ax2+x(a∈R且a≠0)，求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数；
19．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f()．
(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)如果当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数；
20．记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0，y0)为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”．
(1)若函数f(x)=的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围；
(2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”，求证：f(x)必有奇数个“稳定点”．
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.2指数函数
重难点：对分数指数幂的含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．
考纲要求：①了解指数函数模型的实际背景；
②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；
③理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点；
④知道指数函数是一类重要的函数模型．
经典例题：求函数y=3的单调区间和值域．
当堂练习：
1．数的大小关系是（ ）
A． 　　 B． 　　C． 　　 D．
2．要使代数式有意义,则x的取值范围是（ ）
A． 　　　　　B． 　　　　　C． 　　　　D．一切实数
3．下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是（ ）
A．y=－4x 　 　B．y=4－x 　　　　　　 C．y=－4－x 　　　　 D．y=4x+4－x
4．把函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． 　　B．　　 C． 　　D．
5．设函数，f(2)=4，则（ ）
A．f(-2)>f(-1) 　　B．f(-1)>f(-2) 　　 C．f(1)>f(2) 　　 D．f(-2)>f(2)
6．计算. 　　　　．
7．设，求　　　　　　　　．
8．已知是奇函数，则= 　　．
9．函数的图象恒过定点 ．
10．若函数的图象不经过第二象限，则满足的条件是 　　．
11．先化简,再求值: (1),其中；
(2) ,其中．
12．(1)已知x[-3,2]，求f(x)=的最小值与最大值．
(2)已知函数在[0,2]上有最大值8,求正数a的值．
(3)已知函数在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值．
13．求下列函数的单调区间及值域:
(1) ； (2)；　　(3)求函数的递增区间．
14．已知
(1)证明函数f(x)在上为增函数；(2)证明方程没有负数解．
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.3对数函数
重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；
③知道对数函数是一类重要的函数模型；
④了解指数函数与对数函数互为反函数．
经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1．
（1）求f（x）；　（2）求证：f（x）是奇函数；　（3）求证：f（x）在R上为增函数．
当堂练习：
1．若,则（ ）
A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D．
2．设表示的小数部分，则的值是（ ）
A． 　　　　　　B． 　　　　　　 C．0 　　　　　　 D．
3．函数的值域是（ ）
A． 　　　 B．[0,1] 　　　　 C．[0, 　　　　D．{0}
4．设函数的取值范围为（ ）
A．（－1，1）　　　　 B．（－1，+∞） 　　C． 　　　　 D．
5．已知函数，其反函数为，则是（ ）
A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减　　　　　B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减　　　　　D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增
6．计算= ．
7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求 ．
8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为 　．
9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是 　．
10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点 　　　．
11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少．
　　
12．(1) 求函数在区间上的最值．
(2)已知求函数的值域．
13．已知函数的图象关于原点对称． (1)求m的值；
(2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明．
14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称．
(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；
(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数．
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.4幂函数
重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．
考纲要求：①了解幂函数的概念；
②结合函数的图像，了解他们的变化情况．
经典例题：比较下列各组数的大小：
（1）1.5，1.7，1；　　（2）（－），（－），1.1；
（3）3.8，3.9，（－1.8）；　　（4）31.4，51.5.
当堂练习：
1．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　）
A．{x|x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞）　C．（－∞，0）［2，＋∞　）　D．（0，2）
3．函数y＝的单调递减区间为（　　）
A．（－∞，1）　　　　　B．（－∞，0）　　　　C．［0，＋∞　］　　　　D．（－∞，＋∞）
3．如图，曲线c1, c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，
那么一定有（　　）
A．nn>0 　　　　　 D．n>m>0
4．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数的 图象不可能在第四象限内　D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数
5．下列命题正确的是（ ）
幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数
如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同
如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数
6．用“<”或”>”连结下列各式： ， ．
7．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_______ _．
8．幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 ．
9．设x∈(0, 1)，幂函数y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是 ．
10．函数y＝在区间上 是减函数．
11．试比较的大小．
12．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性。
13．一个幂函数y＝f (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.
14．已知函数y＝．
（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．
　　
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
基本初等函数Ⅰ单元测试
1．碘—131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天(即经过8天的时间，有 一半的碘—131会衰变为其他元素)．今年3 月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘 —131，到3月25日凌晨，测得该容器内还 剩有2毫克的碘—131，则3月1日凌晨，放人该容器的碘—131的含量是（ ）
A．8毫克 B．16毫克 C．32毫克 D．64毫克
2．函数y＝0.5x、 y＝x－2 、y＝log0.3x 的图象形状
如图所示,依次大致是 （ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3）
C．（3）（1）（2） D．（3）（2）（1）
3．下列函数中，值域为(－∞,＋∞)的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝x－2 D．y＝log ax (a>0, a≠1)
4．下列函数中，定义域和值域都不是(－∞,＋∞)的是（ ）
A．y＝3x B．y＝3x C．y＝x－2 D．y＝log 2x
5．若指数函数y=ax在［－1，1］上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
A． B． C． D．
6．当0A．(1－a)>(1－a)b B．(1＋a)a>(1＋b)b C．(1－a)b>(1－a) D．(1－a)a>(1－b)b
7．已知函数f（x）=，则f［f（）］的值是（ ）
A．9 B． C．－9 D．－
8．若0＜a＜1，f(x)＝|logax|，则下列各式中成立的是（ ）
A．f(2)＞f()＞f() B．f()＞f(2)＞f() C．f()＞f(2)＞f() D．f()＞f()＞f(2)
9．在f1（x）=，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，当x1>x2>1时，使［f（x1）+f（x2）］A．f1（x）=x B．f2（x）=x2 C．f3（x）=2x D．f4（x）=logx
10.函数，给出下述命题：①有最小值；②当的值域为R；③当上有反函数.则其中正确的命题是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
11．不等式的解集是 ．
12．若函数的图象关于原点对称，则　　　　　．
13．已知014．设函数的值是 ．
15．幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 ．
16.化简与求值： (1)已知,求x的值；
(2)．
17．已知f (x)＝lg(x2＋1), 求满足f (100x－10x＋1)－f (24)＝0的x的值
18.已知,若当时,,试证:
19. 已知f (x)＝且x∈[0, ＋∞　）
(1) 判断f (x)的奇偶性; (2) 判断f (x)的单调性，并用定义证明；(3) 求y＝f (x)的反函数的解析式．
20．已知：（a＞1＞b＞0）．
（1）求的定义域；（2）判断在其定义域内的单调性；
（3）若在（1，＋∞）内恒为正，试比较a-b与1的大小．
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.5函数与方程
重难点：理解根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
考纲要求：①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
经典例题：研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数．
当堂练习：
1．如果抛物线f(x)= x2+bx+c的图象与x轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（ ）
A． (-1,3) 　　B．[-1,3] 　　 C． 　　 D．
2．已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m，n是方程f(x)=0的两根，则实数a,b,m,n的大小关系可能是（ ）
A． m3．对于任意k∈［－1,1］,函数f(x)=x2+(k－4)x－2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是
A．x<0 　　　 B．x>4 　　　　C．x<1或x>3 D．x<1
4． 设方程2x+2x=10的根为,则（ ）
A．(0,1) 　　　 B．(1,2) 　　　C．(2,3) 　　　 D．(3,4)
5．如果把函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象近似的看作直线的一段，设a≤c≤b，那么f(c)的近似值可表示为（ ）
A．　B．　C.f(a)+　D.f(a)－
6．关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是 ．
7． 当a 　　 时，关于x的一元二次方程 x2+4x+2a-12=0两个根在区间[-3,0]中．
8．若关于x的方程4x+a·2x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是___________．
9．设x1,x2 分别是log2x=4-x 和2x+x=4的实根,则x1+x2= ．
10．已知,在下列说法中：
(1)若f(m)f(n)<0,且m(2) 若f(m)f(n)<0,且m(3) 若f(m)f(n)>0,且m(4) 若f(m)f(n)>0,且m其中正确的命题题号是 　　　．
11．关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m的取值范围．
12．已知二次函数f(x)=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,．
（1）求函数f(x)的图象与x轴相交所截得的弦长；
（2）　若a依次取1,2,3,4,---,n,时, 函数f(x)的图象与x轴相交所截得n条弦长分别为求的值．
13． 已知二次函数且满足
．
（1）证明：函数的图象交于不同的两点A，B；
（2）若函数上的最小值为9，最大值为21，试求的值；
（3）求线段AB在轴上的射影A1B1的长的取值范围．
14．讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数．
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.6函数模型及其应用
重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．
考纲要求：①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；
②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．
经典例题：1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿．
当堂练习：
1．某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（ ）
A．8 　　　　　 　B．112 　　　　　　 C．58 　　　　　　D．18
2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（ ）
A．多赚5.92元 　　　B．少赚5.92元 　　　C．多赚28.92元 　　　D．盈利相同
3．某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（ ）件(即生产多少件以上自产合算)
A．1000 　　　 B．1200 　 C．1400 　 D．1600
4．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据．
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近 (其中a,b为待定系数) （ ）
A．y=a+bX 　　　　　 B．y=a+bx 　　　 C．y=a+logbx 　　　　 D．y=a+b/x
5．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0A．100台 　　B．120台 　C．150台 　　 D．180台
6．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．
7．某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数。试求y与x之间的关系式 ．
在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为 时，才能时每月获得最大利润．
每月的最大利润是 　　 ．　
8．某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入 ________广告费,才能获得最大的广告效应．
9．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数 _______时, 按（2）方法更省钱．
10．一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是_________．
11．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．
12．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多 并求出每天最多的营运人数．
13．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元， 统计其销售数量为b个．
(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．
(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．
14．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．
必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．log5(+1)+log2(-1)=a，则log5(-1)+log2(+1)= （ ）
A．-a B． C．a-1 D．1-a
3．关于x的方程有实根则a的取值范围是（ ）
A． a 　　　　B． 　　　C． 　 　　D． a<0
4．已知集合=（ ）
A． B．　　　　C．　　　　D．
5．函数f(x)的图象与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称，则f(2x-x2)的单调增区间是（ ）
A． 　　 B． 　 C． 　　 D．
6．二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，且f(x)=0有两个实根x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．0 　　　　　　B．3 　　　　　C．6 　　　　 　 D．不能确定
7．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中真命题的个数是（ ）
A．1 　　　　B．2 C．3 　D．4
8．设的值为（ ）
A．1 　　　　B．－1 　　　 C．－ D．
9．设函数，若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（ ）
A． 　　　 B．∪ 　　 C．（1，+∞） 　　D．∪（0，+∞）
10．R上的函数y=f(x)不恒为零，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，则当x＜0时，一定有（ ）
A．f(x)＜－1 　　 B．－1＜f(x)＜0 　　　C．f(x)＞1 　　　　D．0＜f(x)＜1
11．已知函数的定义域是[2，3]，若，则函数的定义域是　　　　．
12．已知函数，则的值是 　　　　　．
13．设函数，则方程的解为 ．
14．密码的使用对现代社会是极其重要的．有一种密码其明文和密文的字母按A、B、C…与26个自然数1，2，3，…依次对应。设明文的字母对应的自然数为，译为密文的字母对应的自然数为．例如，有一种译码方法是按照以下的对应法则实现的：，其中是被26除所得的余数与1之和（）．按照此对应法则，明文A译为了密文F，那么密文UI译成明文为______________．
15．设函数若，则x0的取值范围是 ．
16．设x[2，4]，函数的最大值为0，最小值为，求a的值．
17．设的定义域是区间[0,1],
(1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的单调区间； (3)求g(x)的值域．
18．已知f(x)=,(x2)．
(1)求f —1(x)及其单调区间；(2)若g(x)=3++,求其最小值．
19．在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(七天)涨价2元，5周后保持20元的价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
(1)试建立价格P与周次t的函数关系．
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=－0.125(t－8)2+12，t∈［0，16］，t∈N．试问：该服装第几周每件销售利润L最大．
20．巳知函数f(x)=loga,定义域为[α，β]，值域为[logaa(β—1),logaa(α—1)],且f(x)在 [α，β]上是减函数．
(1)求证：α>2；　(2)求实数a的取值范围．
必修1 　　　　必修1综合测试
1．设全集U=R，集合，，则为（ ）
A． B． 　C． D．
2．方程5=5的解集是（ ）
A．{3} B．{－1} C．{－1,3} D．{1,3}
3．函数的定义域是（ ）
A． 　B． 　　　　C．　　　　D．
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（ ）
2 3 4 5
A． 　B． 　　C． 　　　　　D．N
5．已知，，，则之间的大小关系为（ ）
A． 　　 B． 　 C． 　　D．
6．已知函数 若，则x的值为（ ）
A．2 　　 B．3 　　 C．2或3 　　 D．－2或3
7．函数的图像（ ）
A．关于x轴对称 　B．关于y轴对称　　　C．关于原点对称 　D．关于直线对称
8．根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为（ ）
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A．(-1,0) B．(0,1) C． (1,2) D． (2,3)
9若，则f(5)的值等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．已知函数f(x)满足，则f(x)的解析式是（ ）
A．log2x B．-log2x C．2-x D．x-2
11．已知A={(x,y)|x+y-2=0},B={(x,y)|x-2y+4=0},C={(x,y)|y=3x+b},若(A∩B) C,则b= ．
12．已知函数是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，则整数的值是 ．
13．已知函数的图象如图所示，则a、b的值分别为 、 ．
14．已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是单调增函数
，若f(1)15．已知函数，令
(即f(x)和g(x)中的较大者)，则的最小值是___________．
16．设，求函数的最大值和最小值．
17．已知关于x的二次函数．
(1)求证：对于任意，方程必有实数根；
(2)若，求证：方程在区间上各有一个实数根．
18．对于函数,
(1)判断并证明函数的单调性；　　(2)是否存在实数a，使函数为奇函数．证明你的结论．
19． 在距A城50km的B地发现稀有金属矿藏，现知由A至某方向有一条直铁路AX，B到该铁路的距离为30km，为在AB之间运送物资，拟在铁路AX上的某点C处筑一直公路通到B地．已知单位重量货物的铁路运费与运输距离成正比，比例系数为(＞0); 单位重量货物的公路运费与运输距离的平方成正比，比例系数为(＞0)．设单位重量货物的总运费为y元，AC之间的距离为xkm．
将y表示成x的函数；(2)若，则当x为何值时，单位重量货物的总运费最少．并求出最少运费．
20．已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．
⑴试证明的图象关于点成中心对称；
⑵当时，求证：；（3）对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．
参考答案
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.1 函数的概念和图象
经典例题：
解：（1）∵f（x）的定义域为［0，1］，　∴f（x2+1）的定义域满足0≤x2+1≤1．　　∴－1≤x2≤0．
∴x=0．　∴函数的定义域为｛0｝．
（2）由题意，得　　得
则①当1－m＜m，即m＞时，无解；　　　　　②当1－m=m，即m=时，x=m=；
③当1－m＞m＞0，即0＜m＜时，m≤x≤1－m．
综上所述，当0＜m≤时，G（x）的定义域为{x|m≤x≤1－m}．
当堂练习：
1. A ; 2. C ; 3. C ;4. D ;5. D ; 6. 5, ;7. ;8. ;9. f(x)= -6x2+12x+9; 10.;
11.(1) ,(2)由得(- ,-1)(-1,0)．12. 设，则，当时，y有最小值,所求函数的值域为.
13. 解：因抛物线的对称轴是x= -2,所以分类讨论:
(1) ①当t+1<-2,即t<-3时, g(t)=f(t+1);②当,即时g(t)=f(-2);③当t>-2时, g(t)=f(t)．
(2) ①当 -2-t(t+1)-(-2), 即t时, h(t)= f(t); ②当-2-t< (t+1)-(-2), 即t时, h(t)= f(t+1)．
综上所述:,
14. 解：（1）当时，S=x；当时，S=2；当时，S=6-x。 定义域是（0，6），值域是（0，2） (2) f[f(3)]=f(2)=2．
§2.1.2 函数的简单性质
经典例题：
解析：本题可采用三种解法.
方法一：直接根据奇、偶函数的定义．
由f（x）是奇函数得f（－a）=－f（a），f（－b）=－f（b），g（a）=f（a），g（b）=f（b），g（－a）=g（a），g（－b）=g（b）．
∴以上四个不等式分别可简化为①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.
又∵f（x）是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f（a）＞f（b）＞f（0）=0，从而以上不等式中①、③成立.故选C.
方法二：结合函数图象．
由下图，分析得f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a），f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）．
从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C．
方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可验证正确的是①与③，故选C．
答案：C
当堂练习：
B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. ;7. ;
8. >;9. x=-1; 10. ();
11. 解: (1)函数，设时，
，所以在区间上单调递增；
(2)从而当x=1时，有最小值．
12. 解:（1）任取，，且，， 因为，
，，所以，即，故在上单调递增．
（2）因为在上单调递增，的定义域、值域都是，
即是方程的两个不等的正根有两个不等的正根．
所以，
∴，
∴时，取最大值．
13.解: (1)利用定义易证之； (2)由(1)得=．
14. 解: (1)； (2)当时， f1(x)单调递减， 当时， f1(x)单调递增； 当时， f2(z) 单调递减， 当时， f1(x)单调递增．
(3) 当和时， f(x)分别单调递减；
当和分别单调递增．
§2.1.3单元测试
1.C; 2. A; 3.C; 4.C; 5.B; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.D; 11.D; 12.B;
13. 2.5; 14. g(x)=2x-3; 15. 1或2; 16. x6-6x4+9x2-2;
17.解: (1)在和上分别单调递减; 在[-1,1]和上分别单调递增.
(2) 值域是[0,4]
18.(1)证明：对任意x1、x2∈R，∵a＞0，∴f(x1)+f(x2)－2f()
=ax12+x1+ax22+x2－2［a()2+］
=a(x1－x2)2≥0.∴f()≤［f(x1)+f(x2)］，∴f(x)是凹函数.
19.(1)证明：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，故f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
(2)证明：设x1＜x2∈(－1，1)，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f().
∵x1＜x2∈(－1，1)，∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.因此＜0，∴f()＞0，
即f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)在(－1，1)上是减函数．
20.解：(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)是函数f(x)=的图象上的两个“稳定点”，
∴，即有x12+ax1=3x1－1(x1≠－a)，x22+ax2=3x2－1(x2≠－a).
有x12+(a－3)x1+1=0(x1≠－a)，x22+(a－3)x2+1=0(x2≠－a)．
∴x1、x2是方程x2+(a－3)x+1=0两根，且?∵x1， x2≠－a，∴x≠－a，
∴方程x2+(a－3)x+1=0有两个相异的实根且不等于－a．
∴∴a＞5或a＜1且a≠－．
∴a的范围是(－∞，－)∪(－，1)∪(5，+∞).? (2)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0.∴原点(0，0)是函数f(x)的“稳定点”，若f(x)还有稳定点(x0，y0)，则∵f(x)为奇函数，f(－x0)=－f(x0)，f(x0)=x0，∴f(－x0)=－x0，这说明：(－x0，－x0)也是f(x)的“稳定点”．综上所述可知，f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点也是其“稳定点”，
∴它的个数为奇数．
§2.2指数函数
经典例题：
解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R．设u=－x2+2x+3（x∈R），则f（u）=3u，
故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成．∵f（u）=3u在R上是增函数，而u=－x2+2x+3
=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数．
∴y=f（x）在x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数．
又知u≤4，此时x=1，∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3＞0，
∴函数y=f（x）的值域为（0，81）
当堂练习：
1.A ; 2. C ; 3. B ;4. A ;5. A ; 6. ;7. ;8. ;9. （1，0）;10. ;
11.(1) 原式=
(2)原式=
12. (1)解：f(x)=, ∵x[-3,2], ∴．则当2-x=,即x=1时,f(x)有最小值；当2-x=8,即x=-3时，f(x)有最大值57．
(2)解:设,当[0,2]时,,
当01时,.综上所述,a=2．
(3)原函数化为,当a>1时，因,得,从而,同理, 当013. (1)由得时单调递增，而是单调减函数，所以原函数的递减区间是,递增区间是; 值域是. (2),所以值域是;单调减区间是,单调增区间. (3)．设的定义域是，当时，单调递增，又是单调增函数，所以原函数的递增区间是．
14.解: (1)任取且,则,又=,,故f(x)在上为增函数．
(2)设存在,满足,则,由得,即与假设矛盾,所以方程无负数解．
§2.3对数函数
经典例题：（1）解：设t=logax，则t∈R，∴x=at（x＞0）.则f（t）==（at－a－t）．
（2）证明：∵f（－x）=（a－x－ax）=－（ax－a－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.
（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=［（a－a－）－（a－a－）］
=；（a－a）+a－a－（a－a）］=（a－a）（1+a－a－）．
若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；
若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数．
综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数．
当堂练习：
1.A ; 2. A ; 3. B ;4. D ;5. D ; 6. 0;7. ;8. [0,2];9. 1＜a＜2;10. ;
11.根据集合中元素的互异性，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，知道y≠0，∴第一个集合中的xy≠0，只有lg（xy）＝0，可得xy＝1①，∴x＝y②或xy＝y③．由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，xy＝1，违背集合中元素的互异性，若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两个集合中的元素相同．①③联立，解得x＝y＝1，不符合题意．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log8（x2＋y2）＝log82＝．
12.(1) 解:
=,当时,,
而,所以当时,y有最小值;当时, y有最大值3. (2)由已知，得
=
13.由图象关于原点对称知它是奇函数,得f(x)+f(-x)=0,即,
得m= -1； (2)由(1)得,定义域是,
设,得,所以当a>1时，f(x) 在上单调递减;当014.(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=，∴f－1(x)= (x≥0)，
即C2：g(x)= ，M={x|x≥0}．
(2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0．
∴|g(x1)－g(x2)|=|－|=＜|x1－x2|．
∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=．
§2.4幂函数
经典例题：解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1．
（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21．
∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，
∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1．
（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小．
（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．
当堂练习：
1.B ; 2. B ; 3. B ;4. C ;5. B ; 6. ，;7. ;8. (－∞, 0);
9. (－∞, 1);10. （0，＋∞）;
11．因，，所以
12． 函数y＝x的定义域是R；值域是(0, ＋∞)；奇偶性是偶函数； 在(－∞, 0)上递减；在[0, ＋∞ )上递增．　　　　
13．（1）设f (x)＝xa, 将x＝3, y＝代入，得a＝, ；
设g(x)＝xb, 将x＝－8, y＝－2代入，得b＝,；
（2）f (x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3） (0,1)．
14．这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，
（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，
∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，
∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．
又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，
∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．
基本初等函数Ⅰ单元测试
1.B; 2.B; 3.D; 4.C; 5.D; 6.D; 7.B; 8.D; 9.A; 10.B; 11. ;12.1; 13.;14.;
15.(－∞, 0);　　16.(1)设,则,,得;
(2)原式=． 17．依题意，有 lg[(100x－10x＋1)2＋1]＝lg(242＋1),
∴(100x－10x＋1)2＋1＝242＋1, ∴100x－10x＋1＝24或100x－10x＋1＝－24, 解得10x＝4或10x＝6或10x＝＝12或10x＝－2(舍) ∴ x＝lg4或x＝lg6或x＝lg12.
18.若,则由是单调递增的,与题设矛盾；　同理若时与题设矛盾;所以必有a<1,c>1从而-lga>lgc,得lg(ac)<0,．
19.(1)它是偶函数； (2) 函数f (x)在x∈[0, ＋∞]上是单调递增函数；
(3) 2y＝ex＋e－x, ∴e2x－2yex＋1＝0, 解得ex＝y＋, ∴ , x≥1．
20.（1）由,∴　,．∴　x＞0,　∴　定义域为（0，＋∞）．
（2）设，a＞1＞b＞0,∴　　　
∴　　∴　．∴　．　
∴　在（0，＋∞）是增函数．
（3）当，＋∞时，，要使，须，　∴　a-b≥1．
§2.5函数与方程
经典例题：解：设y=|x2－2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数．如下图，当a=0或a＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根．
当堂练习：
1.C ; 2. A ; 3. C ;4. C ;5. C ; 6.; 7.; 8.a≤－4; 9. 4; 10. (2);
11.设f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当或时,符合题意
从而得.
12. （1）设抛物线与x轴相交于点(x1,0),(x2,0),则,
得；
（2） ==
13.（1）由，
即函数的图象交于不同两点A，B；
（2）知函数F（x）在[2，3]上为增函数，
（3）设方程
设的对称轴为上是减函数
14.解:原方程转化为,即方程x2-5x+a+3=0在区间（1,3）内是否有根,由得:,设f(x)= x2-5x+a+3,对称轴是,若得有一根在区间（1,3）内,即当时,原方程有一根; 若得时,原方程有两根;
时, 原方程无解．
§2.6函数模型及其应用
经典例题：解：设x年后我国人口总数为y，则有y=12·（1+0.0125）x，依题意，得y＞14，
即12·（1+0.0125）x＞14，即（1+0.0125）x＞．
两边取对数，得xlg1.0125＞lg14－lg12.所以x＞≈12.4．
答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿．
当堂练习：
1.A ; 2. C ; 3. D ;4. A ;5. C ; 6. 神州行; 7. y= -10x+560,31, 6250; 8. 2500; 9. 大于34; 10. 600;
11. (1)依题得，
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则,因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时（t3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．
12.设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，y=kx+b，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W节车厢，则W=2xy=2x（－2x+24）=－4x2+48x=－4（x－6）2+144，
∴当x=6时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运15840人．
13.解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=［－kx2+100(1－k)x+10000］. (1)取k=，y=［－x2+50x+10000］,∴x = 50， 即商品价格上涨50%时， y最大为ab. (2)因为y=［－kx2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y也增大.所以＞0，解之0＜k＜1．
14.设二次函数为y=px2+qx+r，则,
所以,当x=4时, y=1.3;
对于函数,由,所以,当x=4时, y=1.35,显然,用函数作为模拟函数较好．
函数的概念与基本初等函数Ⅰ章节测试
1.D; 2.D; 3.C; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.D; 9.B; 10.D; 11. ; 12.3; 13. 0，2或－;
14. FB; 15.（-∞，-1）∪（1，+∞）;
16. ,因x[2，4], 函数的最小值为,所以017.(1)因,得,从而,; (2)记,得在[1,2]上单调递减,故g(x)在区间[0,1] 上单调递减; (3)由(2)得g(x)min=g(1)=-3,g(x)max=g(0)=0, 值域是[-3,0]．
18.(1)由,从而,其中且; 在和上分别单调递增；
(2) ,设在上单调递增,所以g(x)min=g(0)=3.5．
19.(1)P=(Ⅱ)P－Q=
t=5时，Lmax=9，即第5周每件销售利润最大．
20.(1)由; (2)由得,而logaa(β—1)得得．
必修一综合测试
1.D; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.2; 12. 1或3; 13. 3，3; 14. ; 15. ;
16.
又 当，即时，取最大值，.
当，即时，取最小值，.
17. (1)由知必有实数根.
或由得必有实数根．
(2)当时，因为，，
，
所以方程在区间上各有一个实数根．
18. (1)函数为R上的增函数．证明如下：
函数的定义域为R，对任意
，.
因为是R上的增函数，，所以＜０，
所以＜０即，函数为R上的增函数．
(2)存在实数a＝1，使函数为奇函数．
证明如下：当a＝1时，＝.
对任意， ＝＝－＝－，即为奇函数．
19. (1)过点B作BDAX，D为垂足，由于AC＝x，AB＝50，BD＝30所以AD＝40，CD＝40－x，
由勾股定理得．根据题意得：，
即().
(2)因为，所以y,当时，.
答：当=30km时，单位重量货物的总运费最小，最小值为1600元．
20. （1）∵，∴，由已知定理得，的图象关于点成中心对称；
（2）首先证明在上是增函数，为此只要证明在上是增函数．
设，则，
∴在上是增函数．
再由在上是增函数得，
当时，，即；
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意恒成立，
∴方程无解，即方程无解或有唯一解，
∴或，由此得到．
（1） （2） （3）
O
t（小时）
y（微克）
6
1
10
Ｏ
1
-2
y
A
C
D
X
B
50km
30km
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2.3.2对数函数及其性质（3）
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
(2)值域：（0，+∞）
(3)过点（0，1），即x=0时，y=1
(4)在 R上是增函数（4）在R上是减函数
指数函数的性质
反函数的概念
设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y=f(x)所解得 也是一个函数（即对任意一个 ，都有唯一的 与之对应），那么就称函数 是函数y=f(x)的反函数，记作： 。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数 通常改写成：
二 反函数的概念
注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数
的值域、定义域
例3 求下列函数的反函数
（2）y=log2（4－x） (x<4)
（1）y=0.2－x+1
对数函数与指数函数的图象
由于对数函数
与指数函数
互为反函数，
所以
的图象与
的图象关于直线
对称。
思考.已知函数
(1)当定义域为R时,求a的取值范围;
(2)当值域为R时,求a的取值范围.
小结：
1.指数函数与对数函数的关系.
2.反函数的定义和图象的特点.
2.已知 是R上的奇
函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;
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第二章复习检测二
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－9的零点是3；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1，④函数f(x)＝3x－1的零点是0，其中正确的个数为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
[答案]　C
[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．
2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(　　)
A．大于0　　　　　　　 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
[答案]　D
[解析]　如图(1)和(2)都满足题设条件．
3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　)
A．－1 B．0
C．－1和0 D．1和0
[答案]　C
[解析]　由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.
4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案]　B
[解析]　∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0
∴f(x)在(1,2)内必有零点．
5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，
①如果不超过200元，则不予优惠．
②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．
③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是(　　)
A．413.7元 B．513.6元
C．546.6元 D．548.7元
[答案]　C
[解析]　两次购物标价款：168＋＝168＋470＝638(元)，
实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．
7．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0[答案]　A
[解析]　令g(x)＝2x＋b－1，则函数g(x)为增函数，又由图象可知，函数f(x)为增函数，
∴a>1，又当x＝0时，－1∴－18．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是(　　)
A．P(3)＝3 B．P(5)＝1
C．P(2008)>P(2011) D．P(2011)>P(2012)
[答案]　D
[解析]　机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，
∴P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404，
p(2011)＝P(2010)＋P(1)＝403，
p(2012)＝P(2010)＋P(2)＝404，
∴P(2011)>P(2012)错误．
9．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为(　　)
A．y＝2 B．y＝4－
C．y＝log3(x＋1) D．y＝x(x≥0)
[答案]　B
[解析]　由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表.
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
y －24 －10 0 6 8 6 0 －10 －24 …
则使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－10，－1)∪(1＋∞)
B．(－∞，－1)∪(3＋∞)
C．(－1,3)
D．(0，＋∞)
[答案]　C
[解析]　由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)．
11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
[答案]　C
[解析]　由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1.
12．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1 B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞2
[答案]　A
[解析]　方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点当O＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；
②x＞1时恰有一实根；
③当0＜x＜1时恰有一实根；
④当－1＜x＜0时恰有一实根；
⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．
[答案]　①⑤
[解析]　f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内，故只有①⑤正确．
14．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x最大为________．
[答案]　3
[解析]　如图，
设工程所用总天数为f(x)，则由题意得：
当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9，
当x>3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x，
∴f(x)＝，
∵工程所用总天数f(x)＝9，
∴x≤3，∴x最大值为3.
15．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______．
[答案]　(－，)
[解析]　由条件知∴
由得，或.
16．已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解为________．
[答案]　－1或.
[解析]　由条件知或
∴x＝－1或x＝
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)方程x2－＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．
[解析]　不存在，因为当x＜0时，－＞0
∴x2－＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－＝0.
18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
[解析]　设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)
＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．
答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．
19．(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系，如下图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD.)试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．
[解析]　由图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则
fA(x)＝
fB(x)＝
(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)(n>500)＝(n＋1)＋18－n－18＝＝0.3(元)．
∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图知，当0≤x≤60时，fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x)，
∴当60fB(x)，得x>，
即当通话时间在(，＋∞)内时，方案B较A优惠．
20．(本题满分12分)若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．
(1)方程两根都大于1；
(2)方程一根大于1，另一根小于1.
[解析]　设f(x)＝x2－2ax＋2＋a
(1)∵两根都大于1，
∴，解得2(2)∵方程一根大于1，一根小于1，
∴f(1)<0　∴a>3.
21．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
[解析]　设过滤n次，则·n≤
即n≤，∴n≥＝≈7.4
又∵n∈N，
∴n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
22．(本题满分14分)若二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
[分析]　先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m的取值范围．
[解析]　线段AB的方程为x＋y＝3，
由题意得方程组在[0,3]上有两组实数解．
将①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根．
令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4.则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，故有：
解得3＜m≤.
故m的取值范围是(3，]．
[点评]　本题可能会出现下面的错解，令f(x)＝－x2＋mx－1.
∵f(0)＝－1＜0，f(x)的图象开口向下，线段AB?x＋y＝3(0≤x≤3)
如图，要使f(x)的图象与线段AB有两个不同交点应满足．
，∴，
∴无解．
错因是顶点在线段AB的上方与抛物线与线段AB有两个交点不等价．
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第二章复习检测一
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．[2，＋∞)　　　　　　 B．(1,2]
C．(－∞，2] D.
[答案]　B
[解析]　log(x－1)≥0，∴02．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．1　　　　D．3
[答案]　B
[解析]　由题意知，f(α)＝log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝()x，x>1}，则A∩B＝(　　)
A．{y|0C．{y|[答案]　A
[解析]　A＝{y|y>0}，B＝{y|0∴A∩B＝{y|04．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
[答案]　D
[解析]　∵f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A. B．10
C．20 D．100
[答案]　A
[解析]　∵2a＝5b＝m
∴a＝log2m　b＝log5m
∴＋＝＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2
∴m＝
选A.
6．已知f(x)＝，则f(－8)等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案]　A
[解析]　f(－8)＝f(－6)＝f(－4)＝f(－2)＝f(0)＝f(2)＝log2＝－1，选A.
7．若定义域为区间(－2，－1)的函数f(x)＝log(2a－3)(x＋2)，满足f(x)<0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(2，＋∞)
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵－2又f(x)＝log(2a－3)(x＋2)<0，
∴2a－3>1，∴a>2.
8．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是(　　)
A．(，1) B．(0，)∪(1，＋∞)
C．(，10) D．(0,1)∪(10，＋∞)
[答案]　C
[解析]　∵f(x)为偶函数，
∴f(lgx)>f(1)化为f(|lgx|)>f(1)，
又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，∴|lgx|<1，
∴－19．幂函数y＝xm2－3m－4(m∈Z)的图象如下图所示，则m的值为(　　)
A．－1C．1或3 D．0,1,2或3
[答案]　D
[解析]　∵y＝xm2－3m－4在第一象限为减函数
∴m2－3m－4<0即－1又m∈Z　∴m的可能值为0,1,2,3.
代入函数解析式知都满足，∴选D.
10．为了得到函数y＝lg的图像，只需把函数y＝lgx的图像上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
[答案]　C
[解析]　y＝lg＝lg(x＋3)－1
需将y＝lgx图像先向左平移3个单位得y＝lg(x＋13)的图象，再向下平移1个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象，故选C.
11．已知logbA．2b>2a>2c B．2a>2b>2c
C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
[答案]　A
[解析]　∵由logba>c，
又y＝2x为增函数，∴2b>2a>2c.故选A.
12．若0A．loga(1－a)>0 B．a1－a>1
C．loga(1－a)<0 D．(1－a)2>a2
[答案]　A
[解析]　当0∵0<1－a<1，∴loga(1－a)>loga1＝0.故选A.
[点评]　①y＝ax单调减，0<1－a<1，∴a1－ay＝x2在(0,1)上为增函数．
当1－a>a，即a<时，(1－a)2>a2；
当1－a＝a，即a＝时，(1－a)2＝a2；
当1－a②由于所给不等式在a∈(0,1)上成立，故取a＝时有loga(1－a)＝log＝1>0，a1－a＝＝<1，(1－a)2－a2＝2－2＝0，
∴(1－a)2＝a2，排除B、C、D，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,3]上的最大值比最小值大，则a的值是________．
[答案]　或.
[解析]　当a>1时，y＝ax在[1,3]上递增，
故a3－a＝，∴a＝；
当0故a－a3＝，∴a＝，∴a＝或.
[点评]　指数函数的最值问题一般都是用单调性解决．
14．若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是________．
[答案]　[，4]
[解析]　∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，
∴≤2x≤2，∴y＝f(x)的定义域是，
由≤log2x≤2得，≤x≤4.
15．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调增区间为________．
[答案]　(－1，]
[解析]　函数y＝lg(4＋3x－x2)的增区间即为函数y＝4＋3x－x2的增区间且4＋3x－x2>0，因此所求区间为(－1，]．
16．已知：a＝xm，b＝x，c＝x，0[答案]　c，a，b
[解析]　将a＝xm，b＝x，c＝x看作指数函数y＝xP(0在P1＝m，P2＝，P3＝时的三个值，∵0∴y＝xP关于变量P是减函数，∵0∴x>xm>x；∴c三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)在同一坐标系中，画出函数f(x)＝log2(－x)和g(x)＝x＋1的图象．当f(x)[解析]　f(x)与g(x)的图象如图所示；显然当x＝－1时，f(x)＝g(x)，由图可见，使f(x)18．(本题满分12分)把下列各数按从小到大顺序排列起来．
0，，3，－，3，
log，log3，log34，log35，log2.
[分析]　先区分正负，正的找出大于1的，小于1的，再比较．
[解析]　首先0＝1；、－∈(0,1)；log35、log34都大于1；log＝－1；3，3都小于－1，log2＝－，－1(1)－＝，∵y＝x为减函数，<，∴>＝－；
(2)∵y＝x3为增函数，－<－<－1，
∴3<3<－1；
(3)y＝logx为减函数，∴－＝log2>log3>log4＝－1；
(4)y＝log3x为增函数，∴log35>log34>log33＝1.
综上可知，3<319．(本题满分12分)已知f(x) 是偶函数，当x≥0时，f(x)＝ax(a>1)，若不等式f(x)≤4的解集为[－2,2]，求a的值．
[解析]　当x<0时，－x>0，f(－x)＝a－x，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝a－x，
∴f(x)＝，
∴a>1，∴f(x)≤4化为或，
∴0≤x≤loga4或－loga4≤x<0，
由条件知loga4＝2，∴a＝2.
20．(本题满分12分)在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数f(x)的图象．
(1)f(x)的定义域为[－2,2]；
(2)f(x)是奇函数；
(3)f(x)在(0,2]上递减；
(4)f(x)是既有最大值，也有最小值；
(5)f(1)＝0.
[解析]　∵f(x)是奇函数，
∴f(x)的图象关于原点对称，
∵f(x)的定义域为[－2，2]，∴f(0)＝0，由f(x)在(0,2]上递减知f(x)在[－2,0)上递减，
由f(1)＝0知f(－1)＝－f(1)＝0，符合一个条件的一个函数的图象如图．
[点评]　符合上述条件的函数不只一个，只要画出符合条件的一个即可，再结合学过的一次、二次、幂、指、对函数可知，最简单的为一次函数．下图都是符合要求的．
21．(本题满分12分)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解析]　(1)依题意，对一切x∈R有f(－x)＝f(x)成立，即＋＝＋aex，∴＝0，对一切x∈R成立，由此得到a－＝0，∴a2＝1，又a>0，∴a＝1.
(2)设0∴f(x1)22．(本题满分14分)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)
[解析]　(1)设各投资x万元时，A产品利润为f(x)万元，B产品利润为g(x)万元，
由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由图知f(1)＝，
∴k1＝，又g(4)＝，∴k2＝，从而：f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元；设企业利润为y万元．y＝f(x)＋g(10－x)＝＋　(0≤x≤10)，
令＝t，则0≤t≤，∴y＝＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝时，ymax＝≈4，此时x＝10－＝3.75.
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元．
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函数的概念及图象、基本初等函数复习
一、选择题
1．如果mx>nx 对于一切x>0都成立，则正数m、n的大小关系为(　　)
A．m>n　　　　　　　 B．mC．m＝n D．无法确定
[答案]　A
[解析]　在同一坐标系中，作出y＝mx与y＝nx的图象，可见有m>n>1或1>m>n>0或m>1>n>0.故选A.
2．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－，则(　　)
A．aC．c[答案]　C
[解析]　a＝log32＝，b＝ln2＝，而log23>log2e>1，所以ac＝5－＝，而>2＝log24>log23，所以c3．函数y＝ax－(b＋1) (a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有(　　)
A．00 B．0C．a>1，b<1 D．a>1，b>0
[答案]　D
[解析]　由题意及图象可知a>1，x＝0时，y＝－b<0即b>0.
4．a>a，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．[0,1)
[答案]　A
[解析]　解法1：a有意义∴a≥0又满足上述不等式
∴a≠0两边6次乘方得：a2>a3
∴a2(a－1)<0∴a<1∴0解法2：∵y＝ax，当a>1时为增函数，当0a，
∴05．函数y＝log(x2－6x＋10)在区间[1,2]上的最大值是(　　)
A．0 B．log5
C．log2 D．1
[答案]　C
[解析]　∵1≤x≤2时，u＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1为减函数且2≤u≤5，又y＝logu为减函数，
∴ymax＝log2.
6．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c[答案]　C
[解析]　作差：a－b＝(ln8－ln9)<0，
a－c＝(ln32－ln25)>0，∴c点评：本题用数形结合法常因作图不规范造成错解．
7．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上单调递减，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系是(　　)
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)[答案]　C
[解析]　由于f(x)为偶函数　∴b＝0
当x>0时，f(x)＝loga x，∵在(0，＋∞)上递减，∴0∴f(b－2)＝f(－2)＝f(2)，又0∴f(a＋1)>f(2)，即f(a＋1)>f(b－2)，故选C.
8．若log2a<0，b>1，则(　　)
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0
C．00 D．0[答案]　D
[解析]　由log2a<0得0由b>1＝0知b<0.
二、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋x－2.
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数的值域；
(3)解方程f(x)＝0；
(4)解不等式f(x)>0.
[解析]　(1)∵y＝()x＋()x－2，由于y1＝()x在x∈R上单减，y2＝()x在x∈R上单减
∴y＝()x＋()x－2在R上单减．
(2)y＝()x＋()x－2＝[()x]2＋()x－2>－2，∴值域为{y|y>－2}
(3)∵f(x)＝0，∴[()x＋2][()x－1]＝0
∴()x－1＝0　∴x＝0.
(4)∵y＝()x＋[()x]2－2
＝[()x＋2][()x－1]
∵f(x)>0而()x＋2>2
∴()x－1>0　()x>1
∴x<0，即不等式f(x)>0的解集为{x|x<0}．
10．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．
(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)若f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)定义域为R，显然a≠0，必须a>0且Δ<0，解得a>1
(2)若f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)值域为R，
ⅰ)当a＝0时，符合题意．
ⅱ)当a≠0时，必须a>0且Δ≥0解得0综上所述，0≤a≤1.
11．已知f(x)＝－x＋log2.
(1)求f()＋f(－)的值；
(2)当x∈(－a，a](其中a∈(0,1)，且a为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
[解析]　(1)由>0得：－1∴f(x)的定义域为：(－1,1)．
又f(－x)＝－(－x)＋log2
＝－(－x＋log2)＝－f(x)
∴f(x)为奇函数．∴f()＋f(－)＝0.
(2)f(x)在(－a，a]上有最小值．
设－1则－＝.
∵－10，(1＋x1)(1＋x2)>0.
∴>.
∴函数y＝在(－1,1)上是减函数．
从而得：f(x)＝－x＋log2在(－1,1)上也是减函数．
又a∈(－1,1)，
∴当x∈(－a，a]时，f(x)有最小值．
且最小值为f(a)＝－a＋log2.
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2.6函数模型及其应用
问题提出
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来解决实际问题？
例3、一辆汽车在某段路程的行驶速度与时间的关系如图所示。
(1)、求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间 t h的函数解析式，并作出相应的图象。
探究：函数建构问题
我们一起来分析
我提问
1、你能写出速度v关于时间t的函数解析式吗 试试看！
50 (0≤t<1)
80 (1≤t<2)
90 (2≤t<3)
75 (3≤t<4)
65 (4≤t≤5)
v=
2、你能写出汽车行驶路程s关于时间t的函数解析式吗 试试看！
3、你能作出s关于时间t的函数的图象吗 试试看!
这就是s
关于t的
函数的图象
再次探究
4.将原题图中的阴影部分隐去,得到的图象表示什么
表示分段函数v(t)的图象
5.图中每一个矩形的面积的意义是什么
表示在1个小时的时间段内汽车行驶的路程
6.汽车的行驶里程与里程表度数之间有什么关系 它们关于时间的函数图象又有何关系
汽车的行驶里程=里程表度数-2004;
将里程表度数关于时间t的函数图象向下平移2004个
单位后,就得到汽车的行驶里程关于时间t的函数图象.
请阅读教材P114页的解答过程
还要看个例子
探究:函数模型问题
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是我国1950～1959年的人口数据资料：
67207
65994
64563
62828
61456
60266
58796
57482
56300
55196
人数
1959
1958
1957
1956
1955
1954
1953
1952
1951
1950
年份
1):如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)那么1951～1959年期间我国人口的年平均增长率是多少？
2):如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
分析、探究
(1). 本例中所涉及的数量有哪些
我提问
经过t年后的人口数 ;人口年平均增长率r;经过的时间t以及1950~1959年我国的人口数据。
我来说
我提问
(2).描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种函数模型需要几个因素
是;两个,即: 和 r
我来说
(3).根据表中数据如何确定函数模型
分析、探究
我再问
先求1951~1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定 的值,从而确定人口增长模型.
(4).对所确定的函数模型怎样进行检验 根据检验结果对函数模型又应作出如何评价
答:作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上.
(5).如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法
答:已知函数值,求自变量的值.
请阅读教材P85页的解答过程
练一练:
小结
本节内容主要是运用所学的函数知识去解
决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本
方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热
点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及
的函数模型有：一次函数、二次函数、分段
函数及较简单的指数函数和对数函数．其
中，最重要的是二次函数模型．
作业:登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.2.1分数指数幂
一、选择题
1．下列各式正确的是(　　)
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D．a0＝1
[答案]　C
[解析]　由根式的意义知A错；＝|a|，故B错；当a＝0时，a0无意义，故D错．
2．化简的结果是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　A
[解析]　由条件知，－x3>0，∴x<0，
∴＝＝＝－.
3．设n∈N＋，则[1－(－1)n]·(n2－1)的值(　　)
A．一定是零
B．一定是偶数
C．是整数但不一定是偶数
D．不一定是整数
[答案]　B
[解析]　当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N＋，[1－(－1)n]·(n2－1)＝×2×[(2k－1)2－1]＝(4k2－4k)＝k(k－1)是偶数
当n为偶数时，设n＝2k，k∈N＋，[1－(－1)n]·(n2－1)＝0是偶数，∴选B.
4．化简－得(　　)
A．6 B．2x
C．6或－2x D．－2x或6或2
[答案]　C
[解析]　原式＝|x＋3|－(x－3)
＝.
5．已知x＝1＋2b，y＝1＋2－b，若y＝f(x)，那么f(x)等于(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　因为x＝1＋2b，∴2b＝x－1，所以y＝1＋2－b＝＝.即f(x)＝，故选D.
6．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则的值为(　　)
A．2b B．a－b＋c
C．－2b D．0
[答案]　C
[解析]　由图象开口向下知，a<0.
又f(－1)＝a－b＋c＝0，∴b＝a＋c，
又－<0，∴b<0，
∴f(1)＝a＋b＋c＝2b，
∴＝|2b|＝－2b.
7．若xy≠0，那么等式＝－2xy成立的条件是(　　)
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x<0，y>0 D．x<0，y<0
[答案]　C
[解析]　∵xy≠0，∴x≠0，y≠0，
由得，.
8．当nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
[答案]　B
[解析]　(m＋n)－
＝(m＋n)－|m－n|＝(m＋n)－(m－n)＝2n.
9.＋＝(　　)
A.＋－2 B.－
C.－ D．2－－
[答案]　C
[解析]　＋
＝＋
＝(－)＋(－)＝－.
10．化简＝(　　)
A．ab B.
C．a＋b D．a－b
[答案]　C
[解析]　先把负整数指数幂化为正整数指数幂，得到熟悉的繁分式再化简．
原式＝＝＝b＋a.
二、填空题
11．已知a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝__________.
[答案]　7
[解析]　a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝7.
12.＋＝__________.
[答案]　＋
[解析]　原式＝＋
＝＋＝＝＋.
13．已知15＋4x－4x2≥0，化简：＋
＝________.
[答案]　8
[解析]　由15＋4x－4x2≥0得：－≤x≤
＋
＝|2x＋3|＋|2x－5|＝2x＋3＋5－2x＝8.
14．已知2a＋2－a＝3，则8a＋8－a＝________.
[答案]　18
[解析]　8a＋8－a＝(2a)3＋(2－a)3＝(2a＋2－a)(22a＋2－2a－1)＝3[(2a＋2－a)2－3]＝18.
三、解答题
15．化简y＝＋，并画出简图．
[解析]　y＝＋
＝|2x＋1|＋|2x－3|
＝　其图象如图．
16．若x>0，y>0，且(＋)＝3(＋5)，求的值．
[解析]　将条件式展开整理得x－2－15y＝0.
分解因式得(＋3)(－5)＝0，
∵x>0，y>0，∴＝5，
∴x＝25y，
∴＝＝3.
17．已知x＝(＋)，(a>b>0)，求的值．
[解析]　∵x＝
＝＝＝，
又a>b>0，
∴原式＝
＝＝＝2a.
[点评]　若把条件a>b>0改为a>0，b>0则由于＝，故须分a≥b，a18．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718…)．
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
[解析]　(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]
＝2·ex·(－2e－x)＝－4e0＝－4.
(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)
＝g(x＋y)－g(x－y)＝4 ①
同法可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8. ②
解由①②组成的方程组得，
g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2.∴＝＝3.
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2.2.1 分数指数幂
问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半. 根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t年后，体内的碳14含量P的值。
(*)
定义1:如果xn=a(n>1,且n N*),则称x是a的n次方根.
一、根式
定义2：式子 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数
填空:
(1)25的平方根等于_________________
(2)27的立方根等于_________________
(3)-32的五次方根等于_______________
(4)16的四次方根等于_______________
(5)a6的三次方根等于_______________
(6)0的七次方根等于________________
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，
负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们
互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作
性质：
(4)
一定成立吗？
探究
1、当 是奇数时，
2、当 是偶数时，
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
二、分数指数
定义：
)
1
,
,
,
0
(
*
>

>
=
n
N
n
m
a
a
a
n
m
n
m
且
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；
（2）根式与分式指数幂可以互化.
规定:（1）
)
1
,
,
,
0
(
1
*
>

>
=
-
n
N
n
m
a
a
a
n
m
n
m
且
（2）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没意义.
性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用）
例2、求值
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
a
a
a
a
a
a
3
2
2
3
)
3
(
)
2
(
)
1
(


3
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
8
8
3
4
1
6
6
1
3
1
2
1
2
1
3
2
)
)(
2
(
3
(
)
6
)(
2
)(
1
(
n
m
b
a
b
a
b
a
-
-

-
例5、计算下列各式
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 ( >0, 是无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
小结
1、根式和分数指数幂的意义.
2、根式与分数指数幂之间的相互转化
3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 ，求 的值
a
x
=
+
-
1
3
6
3
2
2
-
-
+
-
x
ax
a
2、计算下列各式
)
(
)
2
)(
2
(
2
2
2
2
-
-
-

+
-
a
a
a
a
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)
1
(
b
a
b
a
b
a
b
a
-
+
+
+
-
3、已知 ，求下列各式的值
2
1
2
1
2
1
2
1
)
2
(
)
1
(
-
-
-
+
x
x
x
x
3
1
=
+
-
x
x
4、化简 的结果是（ ）
C
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( )
A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
6、 有意义，则 的取值范围是
( )
x
2
1
)
1
|
(|
-
-
x
7、若10x=2，10y=3，则 。
=
-
2
3
10
y
x
C
（- ，1） （1，+ ）
8、 ，下列各式总能成立的是（ ）
R
b
a

,
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
+
=
+
-
=
-
+
=
+
-
=
-
10
10
4
4
4
4
2
2
8
8
2
2
6
6
6
)
(
D.
C.
)
(
B.
)
.(
A
9、化简 的结果 ( )
)
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
(
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
)
2
1
(
2
1
D.1
2
1
C.
)
2
1
(
B.
)
2
1
(
2
1
A.
32
1
32
1
1
32
1
1
32
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
B
A(共24张PPT)
2.3.1
《对数与对数运算》
教学目 标
使学生了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义将指数式化为对数式，将对数式化为指数式，会求简单的对数值。进一步使学生熟练对数的概念，使学生掌握对数的运算性质、换底公式，会用对数的性质解决一些实际问题。
教学重点：对数的概念及性质。对数性质的运算法则，换底公式。
教学难点：对数概念的理解。运算性质的推导，换底公式。
对数及其运算(1,2课时)
学习内容
1.对数的定义.
2.对数的基本性质.
3.对数恒等式.
4.常用对数、自然对数的概念.
5.对数的基本运算
思考问题一：
假设2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%,求5年后国民经济生产总值是2000年的多少倍？
答：y=a(1+8.2%)5 =1.0825a
是2000年的1.0825倍
思考问题二：
假设2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过多少年后国民生产总值是2000年的2倍？
答： a(1+8.2%)x=2a
x=
1.082x=2
1.对数的定义：
一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，即ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数
表达形式 a b N 对应的运算
ab=N
=a
logaN=b
底数
方根
底数
指数
根指数
对数
幂
被开方数
真数
乘方，
由a，b求N
开方，
由N，b求a
对数，
由a，N求b
比较指数式、根式、对数式：
（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。
2.对数的基本性质:
①零和负数没有对数.
②loga1=0
③logaa=1
3.对数恒等式：
4.常用对数与自然对数的定义:
(1)以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N
简记为:lgN.
(2)以e为底的对数叫做自然对数.
为了方便,N的自然对数logeN
简记为:lnN. (e=2.71828…)
练习1.把下列指数式写成对数式：
练习2.把下列对数式写成指数式：
练习3.求下列各式的值：
练习4.计算下列各式的值:
例2 求下列各式中x的值:
练习5.填空
(1)
(2)
(3)
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
对数运算性质如下：
例6、计算下列各式
例7 用 表示下列各式：
(1)
(2)
例8 求下列各式的值：
(1)
(2)
探究
你能根据对数的定义推导出下面
的换底公式吗？
不要产生下列的错误：
小结
学习要求
1.掌握指数式与对数式的互化.
2.会由指数运算求简单的对数值.
3.掌握对数恒等式及其应用.
本课学习的是对数的性质及运算法则，要求理解推出这些运算法则的依据和推导过程，会用语言叙述，要记住这些公式并能熟练应用。
(1)
(2)
(3)
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
对数运算性质如下：登陆21世纪教育 助您教考全无忧
2.2.1分数指数幂（2）
一、选择题
1．(5)0.5＋(－1)－1÷0.75－2＋(2)－＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
[答案]　A
[解析]　原式＝()－1÷()－2＋()－
＝－1÷()2＋()＝－＋＝.
2．使(3－2x－x2)－有意义的x的取值范围是(　　)
A．R B．x≠1且x≠3
C．－31
[答案]　C
[解析]　∵(3－2x－x2)－＝有意义，∴应满足3－2x－x2>0，解得－33．化简 (a、b>0)的结果是(　　)
A. B．ab
C. D．a2b
[答案]　C
A．0.514 B．1.236
C．1.234 D．0.516
[答案]　D
5．设x、y、z∈R，且5x＝9y＝225z，则(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
[答案]　C
A．2 B．4
C．8 D．10
[答案]　C
[答案]　A
8．(＋2)2011(－2)2012＝(　　)
A．2＋ B．2－
C.－2 D．－1
[答案]　B
[解析]　原式＝(＋2)2011(－2)2012＝[(2＋)(2－)]2011·(2－)＝12011·(2－)＝2－.
二、填空题
9．已知3a＝2,3b＝5，则32a－b＝________.
[答案]　
[解析]　32a－b＝＝.
12．化简：＝________.
三、解答题
13．计算
(1)7－3－6＋；
(2)(0.0625)－－[－2×()0]2×[(－2)3]＋10(2－)－1－()－0.5；
(3)(124＋22)－27＋16－2×(8－)－1＋×(4－)－1.
＝11＋－＋8－8＋2＝13.
14．化简下列各式：
(1)·；
(2)(1－a)[(a－1)－2(－a)]；
(3).
16．设a＝1，b＝13，求下式的值：
＝＝
＝＝－＝－3.
17．已知2.5x＝1000,0.25y＝1000，求证：－＝.
∴－＝.
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2.1.3 单调性与最大（小）值
第二课时 函数的最值
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，
如果函数的图象存在最高点或最低点，它又
反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
图1
o
x0
x
M
y
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？
y
x
o
x0
图2
M
函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
思考3:设函数 ，则 成立吗？
的最大值是2吗？为什么？
思考4:怎样定义函数 的最大值？用什么符号
表示？
一般地，设函数 的定义域为I，如果存在
实数M满足：
（1）对于任意的 , 都有 ；
（2）存在 ，使得 .
那么称M是函数 的最大值，记作
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元
素吗？如果函数 的值域是(a,b)，则函
数 存在最大值吗？
思考6:函数 有最大
值吗？为什么？
图1
y
o
x0
x
m
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
x
y
o
x0
图2
m
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
的最小值？
一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的 , 都有 ;
（2）存在 ，使得 .
那么称m是函数 的最小值，记作
知识探究（三）
思考1:如果在函数 定义域内存在x1和 x2，
使对定义域内任意x都有
成立，由此你能得到什么结论？
思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而
言，有哪几种可能情况？
思考3:如果函数 存在最大值，那么有几个？
思考4:如果函数 的最大值是b，最小值是a，
那么函数 的值域是[a，b]吗？
理论迁移
例1已知函数 ，求函数
的最大值和最小值.
例2 某公司在甲、乙两地销售一种
品牌车，利润（万元）分别为
和 ，其中x为销售量（辆），若该公司在
这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A、45.6万元 B、45.606万元
C、45.56 万元 D、45.51万元
A
例3 设 为常数，如果当 时，函
数 的值域也是[1,b],求b
的值.
4.利用函数的运算性质判断函数的单调性.
若f(x), g(x)为增函数,则有:
f(x)+g(x)为增函数.
f(x).g(x)为增函数. (f(x)>0,g(x)>0)
-f(x) 为减函数.
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2.5函数与方程（2）
一、选择题
1．若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．0
C．3 D．不确定
[答案]　B
[解析]　因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．
∴x1＋x2＋x3＝0.
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内(　　)
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．有惟一实数根
[答案]　D
[解析]　∵f(x)为单调减函数，
x∈[a，b]且f(a)·f(b)<0，
∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x＝0.
3．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间， (1，e)内均无零点
C．在区间内有零点；在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝x－lnx(x＞0)，
∴f(e)＝e－1＜0，
f(1)＝＞0，f()＝＋1＞0，
∴f(x)在(1，e)内有零点，在(，1)内无零点．故选D.
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]　C
[解析]　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m的取值范围是(　　)
A．m≤1 B．0C．m>1 D．0[答案]　B
[解析]　设方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根为x1，x2，则有Δ＝(m－3)2－4m≥0，且x1＋x2＝3－m>0，x1·x2＝m>0，解得06．函数f(x)＝的零点有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　A
[解析]　令f(x)＝0得，＝0，
∴x－1＝0或ln(x－2)＝0，∴x＝1或x＝3，
∵x＝1时，ln(x－2)无意义，
x＝3时，分母为零，
∴1和3都不是f(x)的零点，∴f(x)无零点，故选A.
7．函数y＝－的一个零点是(　　)
A．－1 B．1
C．(－1,0) D．(1,0)
[答案]　B
[点评]　要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点．
8．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　　)
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
[答案]　C
[解析]　若a＝0，则b≠0，此时f(x)＝bx＋c为单调函数，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点；
若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)·f(2)>0，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.
9．函数f(x)＝2x－logx的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D．(1,2)
[答案]　B
[解析]　∵f＝2－log＝－2<0，f＝－1>0，f(x)在x>0时连续，∴选B.
10．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案]　C
[解析]　令f(x)＝ex－x－2，则f(1)·f(2)＝(e－3)(e2－4)<0，故选C.
二、填空题
11．方程2x＝x3精确到0.1的一个近似解是________．
[答案]　1.4
12．方程ex－x－2＝0在实数范围内的解有________个．
[答案]　2
三、解答题
13．借助计算器或计算机，用二分法求方程2x－x2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．
[解析]　令f(x)＝2x－x2，∵f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝1>0，
说明方程f(x)＝0在区间(－1,0)内有一个零点．
取区间(－1,0)的中点x1＝－0.5，用计算器可算得f(－0.5)≈0.46>0.因为f(－1)·f(－0.5)<0，所以x0∈(－1，－0.5)．
再取(－1，－0.5)的中点x2＝－0.75，用计算器可算得f(－0.75)≈－0.03>0.因为f(－1)·f(－0.75)<0，所以x0∈(－1，－0.75)．
同理，可得x0∈(－0.875，－0.75)，x0∈(－0.812 5，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．
由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此时区间(－0.773 437 5，－0.765 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x－x2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.
14．证明方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.
[解析]　令f(x)＝(x－2)(x－5)－1
∵f(2)＝f(5)＝－1＜0，且f(0)＝9＞0.
f(6)＝3＞0.
∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f(x)为二次函数，故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.
15．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的简图．
[解析]　因为x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)
＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，
所以函数的零点为－1,1,2.
3个零点把x轴分成4个区间：
(－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．
在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
y … －4.38 0 1.88 2 1.13 0 －0.63 0 2.63 …
　 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示．
16．借助计算器或计算机用二分法求方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)
[解析]　原方程为x3－4x2＋x＋5＝0，令f(x)＝x3－4x2＋x＋5.∵f(－1)＝－1，f(0)＝5，f(－1)·f(0)＜0，∴函数f(x)在(－1,0)内有零点x0.
取(－1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下
端点或中点横坐标 端点或中点的函数值 定区间
a0＝－1，b0＝0 f(－1)＝－1，f(0)＝5 [－1,0]
x0＝＝－0.5 f(x0)＝3.375＞0 [－1，－0.5]
x1＝＝－0.75 f(x1)≈1.578＞0 [－1，－0.75]
x2＝＝－0.875 f(x2)≈0.393＞0 [－1，－0.875]
x3＝＝－0.9375 f(x3)≈－0.277＜0 [－0.9375，－0.875]
　∵|－0.875－(－0.9375)|＝0.0625＜0.1，
∴原方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.
17．若函数f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，求a的取值范围．
[解析]　∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，
∴log3(ax2－x＋a)＝0有解．∴ax2－x＋a＝1有解．
当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，若ax2－x＋a－1＝0有解，
则Δ＝1－4a(a－1)≥0，即4a2－4a－1≤0，
解得≤a≤且a≠0.
综上所述，≤a≤.
18．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．
[解析]　设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数f(x)＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＝－0.30<0.因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)·f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375)．
同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，x0∈(1.312 5，1.343 75)．
由于|1.343 75－1.312 5|<0.1，此时区间(1.312 5，1.343 75)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.
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2.2.2指数函数（3）
一、选择题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x
B．y＝ex(e＝2.718 28…)
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(x>0且a≠1)
[答案]　B
2．函数f(x)＝(x－5)0＋(x－2)－的定义域是(　　)
A．{x|x∈R，且x≠5，x≠2}
B．{x|x>2}
C．{x|x>5}
D．{x|25}
[答案]　D
[解析]　由题意得：，∴x>2且x≠5.
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝()x，那么f()的值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．－ D．9
[答案]　C
[解析]　f()＝－f(－)＝－()－＝－.
4．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)满足f(2)＝81，则f(－)的值为(　　)
A．± B．±3
C. D．3
[答案]　C
[解析]　f(2)＝a2＝81　∵a>0，∴a＝9
6．若2x＋2－x＝5，则4x＋4－x的值是(　　)
A．29 B．27
C．25 D．23
[答案]　D
[解析]　4x＋4－x＝(2x＋2－x)2－2＝23.
7．下列函数中，值域为R＋的是(　　)
A．y＝4　　　　　　 B．y＝()1－2x
C．y＝ D．y＝
[答案]　B
[解析]　y＝4的值域为{y|y>0且y≠1}
y＝的值域为{y|y≥0}
y＝的值域为{y|0≤y<1}，故选B.
8．当0[答案]　D
[解析]　0二、填空题
9．下图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈{，，，π}，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.
[答案]　、、π、
[解析]　由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数10．如果x＝3，y＝384 ，那么 ＝______.
[答案]　3×2n－3
[解析]　原式＝
＝3×2n－3.
11．若函数y＝f(x)的定义域是(1,3)，则f(3－x)的定义域是________．
[答案]　(－1,0)
[解析]　因为函数y＝f(x)定义域是(1,3)，所以要使函数y＝f(3－x)有意义，应有1<3－x<3，即1<()x<3，又因为指数函数y＝()x在R上单调递减，且()0＝1，()－1＝3，所以－112．如果x>y>0，比较xyyx与xxyy的大小结果为________．
[答案]　xyyx[解析]　＝xyyxy－yx－x＝xy－xyx－y＝y－x.
∵x>y>0，∴y－x<0，>1，∴0∴xyyx三、解答题
13．根据已知条件求值：
(1)已知x＋＝4，求x3＋x－3的值．
(2)已知a2x＝－1，求的值．
[解析]　(1)∵x＋＝4两边平方得x2＋＝14
∴x3＋＝(x＋)(x2＋－1)＝4(14－1)＝52.
(2)＝a2x＋1＋a－2x＝(－1)＋1＋
＝2＋1.
14．求使不等式()x2－8>a－2x成立的x的集合(其中a>0且a≠1)．
[解析]　原不等式等价于a－x2＋8>a－2x.
(1)当a>1时，上面的不等式等价于
－x2＋8>－2x，即x2－2x－8<0，解得－2(2)当0－x2＋8<－2x，即x2－2x－8>0，
解得x<－2或x>4.
∴原不等式的解集为：当a>1时为{x|－24}．
15．某商品的市场日需求量Q1和日产量Q2均为价格p的函数，且Q1＝288()p＋12，Q2＝6×2p，日成本C关于日产量Q2的关系为C＝10＋Q2.
(1)当Q1＝Q2时的价格为均衡价格，求均衡价格p；
(2)当Q1＝Q2时日利润y最大，求y.
[解析]　(1)当Q1＝Q2时，即288() p＋12＝6×2p，令2p＝t，代入得288·＋12＝6×t，所以t2－2t－48＝0，解得t＝8或t＝－6，因为t＝2p>0，所以t＝8，所以2p＝8，所以p＝3.
(2)日利润y＝p·Q2－C＝p·Q2－(10＋Q2)＝(p－)Q2－10，所以y＝(p－)×6×2p－10.当Q1＝Q2时，p＝3，代入得y＝118.
答：当Q1＝Q2时，均衡价格为3，此时日利润为118.
16．函数f(x)＝2x(ax2＋bx＋c)满足f(x＋1)－f(x)＝2x·x2(x∈R)，求常数a、b、c的值．
[解析]　由题设ax2＋(4a＋b)x＋2a＋2b＋c＝x2
由待定系数法，∴a＝1，b＝－4，c＝6.
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2.1
一、选择题
1．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}则从A到B可以建立不同的映射个数为(　　)
A．5　　　 B．6
C．8 D．9
[答案]　C
[解析]　用树状图写出所有的映射为：
a→d　a→e共8个．
2．已知f(x)＝
则f(f(f(－4)))＝(　　)
A．－4 B．4
C．3 D．－3
[答案]　B
[解析]　f(－4)＝(－4)＋4＝0，
∴f(f(－4))＝f(0)＝1，
f(f(f(－4)))＝f(1)＝12＋3＝4.故选B.
3．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋m的图象与x轴有交点，则实数m的范围是(　　)
A．m＞－1 B．m＞1
C．m≥－1 D．m≥1
[答案]　C
[解析]　f(x)＝－x2＋2x＋m的图象与x轴有交点，即方程－x2＋2x＋m＝0有实根，∴Δ≥0即4＋4m≥0，
∴m≥－1，故选C.
4．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是(　　)
A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|
B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)
C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)x
D．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x2
[答案]　A
[解析]　对于选项A，当x＝8时，|x－8|＝0 N*，
∴不是映射，故选A.
5．给出下列四个命题：
(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；
(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0个　 　 B．1个　 　
C．2个　 　 D．3个
[答案]　B
[解析]　对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.
6．已知函数f(x)＝，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是(　　)
A．
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．{2}∪[－1,1]
[答案]　D
[解析]　首先当x＝2时，f(2)＝2，
∴f[f(2)]＝2，
其次当x∈[－1,1]时，f(x)＝2，
∴f[f(x)]＝2.
7．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(0)＝0，则f(4)的值是(　　)
A．5　　　 B．－5 　 　
C．12　　　 D．20
[答案]　C
[解析]　由f(1)＝f(0)＝0得到：1＋p＋q＝0①，q＝0②，由①和②联立解得p＝－1，q＝0.于是f(x)＝x2－x，则f(4)＝42－4＝12.
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是(　　)
[答案]　D
[解析]　t＝0时，该学生到学校的距离为d0，排除A、C，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了，∴选D
9．某产品的总成本y(万元)与产量x之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为(　　)
A．25台 B．75台
C．150台 D．200台
[答案]　C
[解析]　由题意得：y≤25x得3000＋20x－0.1x2≤25x
∴x2＋50x－30000≥0解得：x≥150或x≤－200
又0＜x＜240，∴150≤x＜240，最低产量为150台．
10．定义域为R的函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝(　　)
A．－2x＋1 B．2x－
C．2x－1 D．－2x＋
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＋2f(－x)＝2x＋1 (x∈R)
∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋1，
消去f(－x)得，f(x)＝－2x＋.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
[答案]　2
[解析]　由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.
12．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()＝16，φ(1)＝8，则φ(x)的表达式为________．
[答案]　3x＋
[解析]　设f(x)＝kx (k≠0)，g(x)＝　(m≠0)
则φ(x)＝kx＋，由题设
解之得：，∴φ(x)＝3x＋.
13.【2012高考广东文11】函数的定义域为 .
【答案】
三、解答题
14．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
[解析]　y＝定义域为[0,40]，图象如下
15．作出下列函数的图象．
(1)f(x)＝2x，x∈Z，且|x|≤2；
[解析]　(1)这个函数的定义域是集合{－2，－1,0,1,2}，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4)，(－1，－2)，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．
(2)这个函数分为两部分，
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝1，
当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－1，
函数图象如图(2)所示．
16．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
[解析]　(1)设y＝kx＋b(k≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点，
∴，∴，
∴y＝2x＋2.
(2)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由图知过A(－3,0)、B(1，0)、C(0，－2)三点，
∴，∴，
∴y＝x2＋x－2.
[点评]　设y＝ax2＋bx＋c，由图知y＝0时，x＝－3或1，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax2＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)．由过(0，－2)求出a，进而求出b、c.
17．设A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)．是从集合A到集合B的映射，若B中元素(6,2)在映射f下对应A中元素(3,1)，求k，b的值．
[解析]　(3,1)对应元素为(3k,1＋b)，
∴解得.
18．作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
[解析]　f(x)＝
如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．
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　　2。5 函数与方程
教材
分析
目标
重难点
过程
设计
教学
方法
教学
反思
教学内容解析
　函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识联系奠定基础。
教学内容解析
本节课内容是在学习了函数的概念和基本的初等函数的大背景下展开的，同时又是方程的根的分布问题与第二节二分法的理论基础，可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节非常重要。
目标及重难点解析
新课程中第三章“函数的应用”的重点是“通过二分法求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程的根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。”作为第三章的第一课时，课程标准要求：“结合函数的图像，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系。”新课程的理念是让学生学会发现问题，善于发现问题，进而解决问题，希望学生“看到问题三百个，不会解题也会问”。基于以上原因，本节课的目标如下：
教学目标解析
认知目标：
1．结合二次函数的图象，理解零点的定义及
方程的根与函数的零点的等价条件，学会判断函数零点的存在性及零点的个数，从而体会函数的零点与方程的根的联系.
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
能力目标：
　培养学生自主发现、探究实践的能力．
情感目标：
　在函数与方程的联系中体验数学转化思想
　的意义和价值.
教学重点：体会函数的零点与方程的根之间
　　　　　的联系，掌握零点存在的判定条件
教学难点：探究发现函数零点的存在性.
教学方法解析
基础教育课程改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，各学科课程通过引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从实例引入→类比→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。
由学生熟悉的方程推进到一个本身不能求解的方程，造成学生的认知冲突，引发学生的兴趣，激发学生的求知欲望，引导学生将方程与函数联系起来，引入新课。
一、创设情景，引入新课
设计意图
教学过程
判断下列方程是否有根：
二、探究新知，得出结论
教学过程
１.零点的概念以及等价条件
方程 函数
研究下列函数与方程，有什么发现？
二、探究新知，得出结论
教学过程
１.零点的概念以及等价条件
通过已知的函数进行分析，得出结论，并对结论进行推广，符合认知规律，并培养学生归纳猜想总结推广的意识和能力，为零点存在性的判断奠定基础。
二、探究新知，得出结论
设计意图
教学过程
１.零点的概念以及等价条件
从中引导学生发现函数与方程的整体与局部的关系，找到方程与函数的连接点，接着引导学生将其推广到一般情况，给出零点的定义，得出等价条件。
使学生明确函数的零点是实数而不是点。
二、探究新知，得出结论
设计意图
教学过程
１.零点的概念以及等价条件
辨析练习：函数　　　　　　　的零点是：（ ）
Ａ （-1，0）,（3，0）；Ｂ　 x=-1；
Ｃ x=3； Ｄ -1和3．
通过学生自己讨论，使学生体会到学习的乐趣，能够提高学生的积极性，同时还是能够培养学生主动参与、合作探究和自己发现问题的能力。
二、探究新知，得出结论
设计意图
教学过程
　通过前面的铺垫，可以将引例转化为判断函数　　　　　　　　　　　是否有零点的问题，但它的图像又不能准确的画出来，借此引导学生想到通过已知的函数寻找零点存在的条件，并将其推广到一般情况。以４人为１小组，根据自己学过的函数寻找零点存在的条件，如果存在并说出在哪个范围。（教师可适当引导学生分析零点附近函数值符号特点）
２．零点存在性判定。
四人小组讨论，完成探究.
二、探究新知，得出结论
教学过程
２．零点存在性判定。
经学生讨论发言、利用学生自选出来的函数及图像，再由其他同学及老师补充，通过我们对已知的特殊函数研究得出：若　　　　　　，则　　在　　　　　　　　
　　　存在零点。进而由学生去解决引例中的问题:
在学生讨论发言过程中就会发现零点所在区间不唯一，为下节二分法做好铺垫
例１：
设计意图
经学生讨论，由学生发言，由学生补充，让大部分学生参与进来，能提高学生的学习热情和表现欲望，解决引例中的问题即能使学生学以致用，又能满足学生的求知欲望。
二、探究新知，得出结论
教学过程
２．零点存在性判定。
　　趁热打铁地询问：我们刚刚由一些特殊的函数得出的“若　　　　　　，则　　在　　存在零点。”这个新出炉的结论需要我们进一步锤炼和辨析才能完善，那么你能提出那些需要我们进一步思考的问题？
（这里我会给出一些函数的图像供学生参考）
X
0
Y
a
b
X
0
Y
b
a
X
0
Y
b
a
X
0
Y
a
b
X
0
Y
a
b
X
0
Y
a
b
使学生明白通过特例得出的结论并不一定可靠，需要进一步推敲，培养学生的思维严谨性。在学生自己发现问题有困难的情况下教师进行适当的指导，体现了教师引导者的身份。通过教师图像的展示，使学生相对轻松的发现问题，解决问题。并且教会了学生如何利用学过的知识去发现新问题。
二、探究新知，得出结论
设计意图
教学过程
２．零点存在性判定。
１．前面的结论若想成立，要求　　
　　函数图像是连续不断的。
２．满足前面的结论，不一定只
　　存在一个零点。可通过函数
　　单调性来判断　　　
３．定理不可逆。
得出完整的零点判定定理
　和注意事项
由教师给出一些函数的图像，让学生在观察中发现如下３个问题：
设计意图：
对于新发现的知识要学会如何运用，通过例题使学生进一步理解零点和零点判定定理，使学生能够初步会用定理判断零点的存在性和利用函数单调性判断零点的个数。
三、新知应用，练习巩固
教学过程
例２：求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。
三、新知应用，练习巩固
教学过程
练习１：判断下列函数是否有零点，并指出零点所在的大致区间。
设计意图：
使学生进一步熟练运用零点判定定理，能力得到升华。
设计意图：
本节课内容是方程的根与函数零点，通过函数零点判断方程的根的问题，故此练习必不可少。
三、新知应用，练习巩固
教学过程
练习２.判断下列方程是否有根，有几个根。
引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。
四、课堂小结
设计意图
教学过程
本节学习了什么？
除此以外你还收获了什么？
一个概念
一个等价条件
一个判定定理
五、作业设计
教学过程
1．教材 习题
设计意图：本题是通过一些给定的函数值找到函数零点所在的区间，即能够让学生巩固零点定理，又能进一步熟练运用零点定理。
五、作业设计
教学过程
2．求函数　　　　　　　的零点
个数，并指出其零点所在的大致区
间
设计意图：本题在巩固零点定理的同时，让学生能熟练运用函数单调性判断零点个数。
板书设计
§2．5函数与方程
多
媒
体
演
示
一、函数零点的概念
二、三个等价关系．
三、判定零点的存在性：
定理
　　方法：
　　　　方程
　　　　图像
　　　　定理
例１：
练习１：
(１)．
(２)．
练习2：
(１)．
(２)．
例２：
教学反思
　　非常赞同新教材编者的那句话：希望学生“看到问题三百个，不会解题也会问”，这句话对我启发很大，如果能教会学生善于发现问题，那么对于学生学习的兴趣和思维能力将是一个质的提高。所以也在尝试着这样上课，发现教学生自己去发现问题的过程是一个非常痛苦的过程，但我想再痛苦，也要尽可能地让这种思想影响学生。故备了如上一堂课.(共19张PPT)
2. 1. 3函数的单调性
一、问题提出
思考1：分别作出
的图像，并且观察自变量变化时，
函数值有什么变化规律。
注意：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
是函数的局部性质。
思考2：能否根据自己的理解说说什么是增函数，
什么是减函数？
（1）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大，
y也越来越大，我们就说函数在该区间上为增函数。
（2）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大，
y越来越小，我们就说函数在该区间上为减函数。
例：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，
根据图像说出函数的单调区间以及每一单调
区间上，它是增函数还是减函数？
二、新知探究
解析法
图像法
通俗语言：在区间（0，+∞）上，
随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。
数学语言：在区间（0，+∞）上，
任取 ，得
当 时，有 。
这时我们就说函数
在区间（0，+∞）上是增函数
x … 0 1 2 3 4 …
f(x) … 0 1 4 9 16 …
列表法
定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I
内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，
当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间
D上是增函数。
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I
内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，
当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间
D上是减函数。
**如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，
区间D叫做y=f(x)的单调区间。
判断题：
（1）已知f(x)=1/x ，因为f(-1)增函数。
（2）若函数f(x)满足f (2)上为增函数。
（3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，
则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
（4）因为函数f(x)=1/x在区间（-∞，0）和（0，+∞）
上都是减函数，所以f(x)=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）
上是减函数。
注意：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，
离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，
可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内
某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）
函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数．
例1：证明f(x)=-2x+1在R上是减函数。
例2：证明 在[0, +∞)上是增函数。
用定义证明函数单调性的步骤：
1.任取
2.作差
3.变形
4.定号
5.结论
三、知识迁移
例3：证明函数 在区间(- ∞, 1]
上是增函数。
例4:证明函数 在[2，6]上是减函数。
例5：证明函数 上是增函数。
例6：证明函数 在R上是增函数。
证明：任取
例7：证明函数 在其定义域内
是减函数。
例7：证明函数 在其定义域内
是减函数。
思考
（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数，
函数g(x)在区间D上是增函数。
问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？
为什么？
所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数
是
（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数，
函数g(x)在区间D上是减函数。
问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？
为什么？
（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数，
函数g(x)在区间D上是增函数。
问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？
反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数
此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性
不能
是
四、小结
1.概念探究过程：从直观到抽象、从特殊到一般。
2.用定义证明函数的单调性。
3.数学思想方法和思维方法：数形结合登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第二章复习
一、选择题
1．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是(　　)
A．(0.1,0.2)　　　　　　 B．(0.2,0.3)
C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)
[答案]　A
[解析]　设f(x)＝x－1－lgx，f(0.1)＝0.1>0，
f(0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0
∴f(0.1)f(0.2)<0，故选A.
2．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2 B．奇数
C．偶数 D．至少是2
[答案]　D
[解析]　由f(a)f(b)<0　知y＝f(x)在(a，b)上至少有一实根，由f(b)f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有一实根，故y＝f(x)在(a，c)上至少有2实根．
3．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]　B
[解析]　f(－1)＝－9<0，f(0)＝e0＝1>0，故f(x)在(－1,0)上有一实数解，故选B.
4．某企业2011年12月份的产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2011年年度产值的月平均增长率为(　　)
A. B.－1
C. D.
[答案]　B
[解析]　设1月份产值为a，增长率为x，则
ap＝a(1＋x)11，∴x＝－1，故选B.
5．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是(　　)
A．f(x)＝lnx B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ex
[答案]　A
[解析]　函数y＝的定义域为(0，＋∞)，故选A.
6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值
设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　)
A．4　　 　B．5　　 　C．6　　 　D．7
[答案]　C
[解析]　由题意，可画下图：f(x)的最大值在A点，
由，得，∴f(x)的最大值为6.
7．对任意实数x＞－1，f(x)是2x，log(x＋1)和1－x中的最大者，则f(x)的最小值(　　)
A．在(0,1)内 B．等于1
C．在(1,2)内 D．等于2
[答案]　B
[解析]　在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝log(x＋1)，y＝1－x的图象，由条件知f(x)的图象是图中实线部分，显见f(x)的最小值在y＝2x与y＝1－x交点(0,1)处取得．
∴最小值为f(0)＝1.
8．设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　由条件知，f(a)＝2a－a－4与f(a＋1)＝2a＋1－a－5异号，取a＝2，有f(2)＝22－2－4<0，f(3)＝23－2－5>0满足，∴a＝2，故选B.
二、填空题
9．下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果，那么此县养鸡只数最多的那年有________万只鸡．
[答案]　31.2
[解析]　2002年，30×1＝30万只，
2003年，26×1.2＝31.2万只，
2004年，22×1.4＝30.8万只，
2005年，18×1.6＝28.8万只，
2006年，14×1.8＝25.2万只，
2007年，10×2＝20万只．
10．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为________．
[答案]　{0,1,9}
[解析]　当a＝0时，y＝3x＋1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，由Δ＝(3－a)2－4a＝0得a＝1或9.
三、解答题
11．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)，可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
[解析]　(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b中，得
解得
∴y＝－x＋1 000(500≤x≤800)．
(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y，
代入求毛利润的公式，得
s＝xy－500y＝x(－x＋1 000)－500(－x＋1 000)
＝－x2＋1 500x－500 000
＝－(x－750)2＋62 500(500≤x≤800)．
∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62 500元，此时销售量为250件．
12．2005年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数增减有什么实际意义．
[分析]　关键是理解年递增率的意义
2005年人口数为13(亿)
经过1年，2006年人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)
经过2年，2007年人口数为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2008年人口数为13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(亿)．
[解析]　(1)由题设条件知，经过x年后我国人口总数为13(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间 ，∴此函数的定义域是N*.
(3)y＝13(1＋1%)x是指数型函数，
∵1＋1%＞1,13＞0，∴y＝13(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
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2.2.2《指数函数及其性质》
教学目标
1 .掌握指数函数的概念，图象和性质；
2 .能由指数函数图象归纳出指数函数的性质；
3 .指数函数性质的简单运用。
教学重点与难点
重点：指数函数的概念及它的图象和性质。
难点：底数a对于函数值变化的影响。
教学方法：导学法
布置作业
小结方法，形成知识系统
设计问题，引入概念
尝试画图，观察探究
总结指数函数的性质
指数函数
指数函数性质的简单运用
指数函数
情景设计
传说古代印度有一个国王喜爱象棋,中国智者云游到此,国王得知智者棋艺高超,于是派人请来智者与其对弈,并且傲慢地说:“如果你赢了,我将答应你任何要求.”智者心想:我应治一治国王的傲慢,当国王输棋后,智者说:陛下只须派人用麦粒填满象棋上所有空格,第1格2粒,第2格4粒,第3格8粒, ……，以后每格是前一格粒数的2倍。国王说,这太简单了,吩咐手下马上去办,过了好多天，手下惊慌报告说：不好了。你猜怎样？原来经计算，印度近几十年的麦子加起来还不够。求格数与此格上麦粒数的关系。
指数函数
情景设计
分析：
表达式：
由表达式知道，引起麦粒数y变化的是格数，而格数x出现在指数上，象这种自变量出现在指数上的函数就是指数函数。
指数函数的定义
此题即求第x格上麦粒数的个数y
研究：
类推：
指数函数
引入定义
函数 叫做指数函数。
x
例1：下列函数中指数函数的个数是：
1)
2)
3)
4)
答案：0个
指数函数
了解
为什么规定底数a大于0且不等于1？
(1)
(2)
(3)
指数函数
新课讲解
作图过程
推广到: a>1 和0在同一坐标系画出 和 的函数
图象。
O
x
y
(0,1)
y=1
O
x
y
(0,1)
y=1
定义域：
值域：
奇偶性：
在R上是增函数
在R上是减函数
单调性：
R
非奇非偶函数
定点： 过点（0，1）
x>0时，y>1; x<0时,0x>0时，01
图
象
性
质
定义域：
R
值域：
奇偶性：
非奇非偶函数
定点： 过点(0，1)
单调性：
指数函数
性质应用
例1：比较大小：
（1）
解：因为f(x)=1.5x在R上是增函数，
且2.5 < 3.2,
所以1.5 2.5< 1.53.2。
1.52.5 ，1.53.2
指数函数
性质应用
例1：比较大小：
（2） 0.5-1.2，0.5-1.5
解：因为f(x)=0.5x在R上是减函数，
且-1.2>-1.5,
所以0.5-1.2 < 0.5-1.5。
指数函数
性质应用
例1：比较大小：
（3）1.5 0.3，0.81.2
解：由指数函数的性质知1.50.3 > 1.50 =1，而
0.81.2 < 0.80 =1
所以
1.50.3 > 0.81.2
指数函数
性质应用
（ ）
B
指数函数
(1) 指数函数的定义
(2) 指数函数的图象和性质。
小结
指数函数
作业
X
指数函数
教学反思
指数函数是我们继初中学习正比例函数，反比例函数，一次
函数，二次函数后第一个系统研究的基本初等函数。教学中，首先
创设问题情景，由一个智力故事激发学生进一步学习的兴趣，引出
了指数函数的定义， 而后用多媒体展示y=2x 和 的具体
画法，引导观察图象，归纳性质。接着再利用几何画板动态演示
指数函数的图象，使学生得到一般问题的结论,渗透了由特殊到
一般研究问题的方法,通过对a>1 和0 < a <1的讨论，渗透了分类
讨论思想及由特殊到一般研究问题的方法。通过对例题和练习的
学习体会了指数函数模型的应用。最后小结方法，形成知识体系。(共28张PPT)
1
2.5.2 用二分法
求方程的近似解
复习思考：
1.函数的零点
2.零点存在的判定
3.零点个数的求法
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
对于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解, 但对于(2)的方程，我们却没有公式可用来求解.
思考问题：
请同学们观察下面的两个方程，说一说你会用什么方法来求解方程.
游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这部手机的价格。
利用我们猜价格的方法，你能否求解方程lnx+2x-6=0
如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？
模拟实验室
16枚金币中有一枚略轻,是假币
看生活中的问题
模拟实验室
16枚金币中有一枚略轻,是假币
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我在这里
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哦，找到了啊！
　通过这个小实验，你能想到什么样的方法缩小零点所在的范围呢？
所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。
例1：求方程lnx＝－2x＋6的近似解(精确度为0.0 1)。
解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐标就是方程lnx＝－2x＋6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解，记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。
设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得：
2
3
f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875)
f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625)
　f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3)
f(2.5)<0, f(2.75)>0 x1∈(2.5,2.75)　
f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)
对于在区间 上连续不断且 的函
数 ,通过不断地把函数 的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
二分法概念
x
y
0
a
b
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ；
2、求区间（a,b）的中点x1，
3、计算f(x1)
（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
（2）若f(a).f(x1)<0，则令b= x1（此时零点x0∈(a, x1) );
（3）若f(x1).f(b)<0，则令a= x1（此时零点x0∈( x1,,b));
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
周而复始怎么办 精确度上来判断.
定区间，找中点， 中值计算两边看.
同号去，异号算， 零点落在异号间.
口 诀
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在
（1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点x1=1.5， f(1.5)= 0.33，因为f(1)·f(1.5)<0所以x0 ∈（1，1.5）
取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈ （1.375，1.4375），由于
|1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1
所以，原方程的近似解可取为1.4375
练习：
函数
方程
转化思想
逼近思想
数学
源于生活
数学
用于生活
小结
二分法
数形结合
1.寻找解所在的区间
2.不断二分解所在的区间
3.根据精确度得出近似解
用二分法求
方程的近似解
算法思想
生活中也常常会用到二分法思想：
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢。
想一想，维修线路的工人师傅至少经过几次查找使故障范围缩小到50~100m左右？
答　　案：
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。
3.作业：