北师大版九年级数学上册 名校优选精练 第四章《图形的相似》检测题（含解析）

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北师大版九年级数学上册
名校优选精练
第四章检测题
(全卷三个大题，共24个小题，满分120分，考试用时：120分钟)
班级：________姓名：________考号：________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法中正确的是（
）
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个直角三角形一定相似
2．已知＝，则＝（
）
A.
B．－
C.
D.
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（
）
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C.＝
D.＝
4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（
）
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
5．(北京中考)如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20
m，EC＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB等于（
）
A．60
m
B．40
m
C．30
m
D．20
m
6．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然最得体．如图，舞台AB的长为12
m，一名主持人现在站在A处，则她要到达最理想的位置至少要走（
）
A．(18－6)m
B．(6－6)m
C．(6＋5)m
D．(18－6)m或(6－6)m
7．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（
）
8．如图，球从A处射出，经过球台挡板CD反射到B，已知AC＝10
cm，BD＝15
cm，CD＝50
cm，则点E到点C的距离是（
）
A．20
cm
B．25－5
cm
C．30
cm
D．25＋5
cm
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（
）
A.
B．1
C.
D．2
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，如果AE∶EC＝1∶4，那么S△ADE∶S△EBC的值为
（
）
A．1∶16
B．1∶18
C．1∶20
D．1∶24
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若＝＝＝3，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝
.
12．已知a∶b＝5∶7，则(a＋b)∶b＝
.
13．已知：如图，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，如果S△AEF＝6
cm2，则S△CDF＝
.
14．若两个相似三角形对应高的比为2∶3，它们周长的差是25，则较大三角形的周长是
.
15．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠CAO＝∠ABO，则点C的坐标是
.
16．如图，身高为1.7
m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上，已知河BD的宽度为12
m，BE＝3
m，则树CD的高为
.
17．如图，在边长为1的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1使它与△ABC的相似比为2∶1，则点B1的坐标为
.
18．如图，△ABC中，AB＝8
cm，AC＝16
cm，点P从A出发，以每秒2
cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3
cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为
.
三、解答题(共66分)
19．(10分)如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝12.求DE的长．
20．(10分)(南平中考)如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC.
21.(10分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC⊥AC，CD⊥AD，且AB＝18，AC＝12.
(1)求AD的长；
(2)若DE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，求的值．
22．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1
S2＋S3(选填“>”“＝”或“<”)；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
23.(12分)(南宁中考)如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
,
24．(12分)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α＝0°时，＝________；
②当α＝180°时，＝________；
(2)拓展探究
试判断当0°<α<360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列说法中正确的是
（B）
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个矩形一定相似
D．两个直角三角形一定相似
2．已知＝，则＝
（C）
A.
B．－
C.
D.
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是
（D）
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C.＝
D.＝
4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长比为
（A）
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
5．(北京中考)如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20
m，EC＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB等于
（B）
A．60
m
B．40
m
C．30
m
D．20
m
6．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然最得体．如图，舞台AB的长为12
m，一名主持人现在站在A处，则她要到达最理想的位置至少要走
（A）
A．(18－6)m
B．(6－6)m
C．(6＋5)m
D．(18－6)m或(6－6)m
7．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
（C）
8．如图，球从A处射出，经过球台挡板CD反射到B，已知AC＝10
cm，BD＝15
cm，CD＝50
cm，则点E到点C的距离是
（A）
A．20
cm
B．25－5
cm
C．30
cm
D．25＋5
cm
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于
（C）
A.
B．1
C.
D．2
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，如果AE∶EC＝1∶4，那么S△ADE∶S△EBC的值为
（C）
A．1∶16
B．1∶18
C．1∶20
D．1∶24
【解析】由已知条件可求得，又由平行线分线段成比例可求得，结合S△BDE＝S△ABE－S△ADE可得解．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若＝＝＝3，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝12.
12．已知a∶b＝5∶7，则(a＋b)∶b＝12∶7.
13．已知：如图，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，如果S△AEF＝6
cm2，则S△CDF＝54
cm2.
14．若两个相似三角形对应高的比为2∶3，它们周长的差是25，则较大三角形的周长是75.
15．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠CAO＝∠ABO，则点C的坐标是(0，1)．
16．如图，身高为1.7
m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上，已知河BD的宽度为12
m，BE＝3
m，则树CD的高为5.1
m.
17．如图，在边长为1的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1使它与△ABC的相似比为2∶1，则点B1的坐标为(－2，－4)或(2，4)．
18．如图，△ABC中，AB＝8
cm，AC＝16
cm，点P从A出发，以每秒2
cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3
cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为
s或4
s.
【解析】首先设运动了t
s，根据题意，得AP＝2t
cm，CQ＝3t
cm，然后分别从△APQ∽△ABC与△APQ∽△ACB去分析求解即可求得答案．
三、解答题(共66分)
19．(10分)如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝12.求DE的长．
解：∵l1∥l2∥l3，∴AB∶BC＝DE∶EF，
∵AB＝3，BC＝5，DF＝12，∴3∶5＝DE∶(12－DE)，∴DE＝.
20．(10分)(南平中考)如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC.
证明：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，
∴＝，即AB2＝AD·AC.
21.(10分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC⊥AC，CD⊥AD，且AB＝18，AC＝12.
(1)求AD的长；
(2)若DE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，求的值．
解：(1)∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB.
又∵BC⊥AC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠CDA＝90°.∴△CAD∽△BAC.
∴＝.
∵AB＝18，AC＝12，∴AD＝8.
(2)∵△CAD∽△BAC，
DE，CF分别为△CAD和△BAC的对应边AC和AB上的高，
∴＝＝＝.
22．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1＝S2＋S3(选填“>”“＝”或“<”)；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
解：(2)△BCF∽△DBC∽△CDE.选△BCF∽△CDE，证明如下：
在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，又点C在边EF上，
∴∠BCF＋∠DCE＝90°，
在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，
∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE.
23.(12分)(南宁中考)如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
,
题图
答图
解：(1)△A1B1C1如答图所示．
(2)△A2B2C2如答图所示．
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，
∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝＝.
24．(12分)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α＝0°时，＝________；
②当α＝180°时，＝________；
(2)拓展探究
试判断当0°<α<360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．
解：(1)①当α＝0°时．
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝2.
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，
∴＝.
②当α＝180°时，如图．可得AB∥DE.
∵＝，
∴＝＝.
故答案为：..
(2)当0°<α<360°时，的大小没有变化．
证明：∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB.
又∵＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝.
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