等腰三角形水平测试卷
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文档简介
等腰三角形同步测试题
时间：90分钟 分值：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
2．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．非等腰三角形 D．等边三角形
3．下列说法中，正确的有 ( )
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
4．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5. 如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是 ( )
A. 等边三角形 B．等腰三角形
C. 直角三角形 D．无法确定
6．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
8．已知三角形的三边长分别是；若的值为偶数，则的值有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
9．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）
A．100° B．100°或40° C．40° D．80
10．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm
二、填空题（每题3分，共30分）
11.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；(3)______________.
12．如图（3），在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D、C、B、E在一条直线上，且DB=AB，CE=AC，则∠E= ，∠D= ，∠DAE= ．
13.如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B=__________。
14．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm．
15．如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______．
16．等腰三角形一底角为，底边上的高为9cm，则等腰三角形的腰长是_____cm，顶角是_________。
17．△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= ．
18．如图，△ABC中，已知AB=AC,要使AD=AE，需要添加的一个条件是_________.
19. △ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B=_______．
20. 等腰三角形一腰上的中线把周长分为6和9两个部分，则该等腰三角形腰长为 ．
三、解答题
21．（8分）如图，△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且CF=BE．求证：AB=AC．
22.（8分）已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：．
23.（8分）2012年我市把行知中学新设为高考考点，如图，行知中学在图中的A点处，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°， AP＝160米．假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到较为严重的噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校考生是否会受影响 请说明理由．
24.（12分） 如图，CD是△ABC的中线，且CD= AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．
25．（12分）已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．
求证：（1）；
（2）为等边三角形．
26．（12分）（1）如图①所示，AD为的平分线，E为AD上一点，EF∥AC交AB于F，求证：为等腰三角形。
（2）如图②，中，的平分线与的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F。
求证：EF=BD+CF
参考答案
一、选择题
1．D 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A 7．D 8．D 9．C 10．B
二、填空题
11．(1)BD⊥AC; (2)∠ABD=∠CBD;(3)AB=BC=2CD;(4) ∠CBD=30°（或其它合理答案）
12．25° 35° 110°
13. 20°
14．4
15. 30海里
16.18cm 120°
17. 50°;65°
18. BD=CE（或∠BAD=∠CAE, ∠ADB=∠AEC, ∠BAE=∠CAD,BE=CD）
19. 20°或70°
20. 4或6
三．解答题
21. .证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠BEC=∠CFB=90°
在Rt△BCF和Rt△CBE中
BC=BC
CF=BE
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
22．证明：∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°
在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠2=∠1
∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60°
∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30°
∵BM⊥AD，∴（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）
23. （1）如右图，过A点做MN的垂线,垂足为D,
∵在直角三角形PAD中，∠QPN＝30°， AP＝160米，
∴AD=
∴学校考生会受到影响．（考试期间要禁止拖拉机通行）
24．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
25．证明：（1），，．
是等边三角形，．
又，．
（2）由，得，
，是等边三角形，
，，同理可得．
中，．
是等边三角形．
26. （1）证明： EF∥AC，∴∠AEF=∠CAE,∵AD为的平分线,∴∠EAF=∠CAE,∴∠EAF=∠AEF,∴AF=AE,即为等腰三角形。（2）EF∥BC，∴∠BDE=∠CBD,∵BD为的平分线,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠BDE,∴BE=DE,同理可得DF=FC，∴EF=ED+DF=BD+CF
备用：
（2009·黔东南）6、如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A、30o B、40o C、45o D、36o
（2009·泰安）（本小题满分10分）
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
求证：BE=AD；
求证：AC是线段ED的垂直平分线；
△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2…………………………………………………1分
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分
∴AD=BE……………………………………………………3分
（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA
由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分
∵AD∥BC
∴∠7=∠ACB=45°
∵∠6=45°
∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。
即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分
（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分
理由如下：
由（2）得：CD=CE
由（1）得：CE=BD
∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。…
2. 已知：如图，△ABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD，以AD为边作等边三角形ADE，连结CE，用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系 试写出探求过程．
证明：∵△ABC为正三角形，∴AB=AC,∠BAC=60°，
又∵△ADE为正三角形，∴AD=AE,∠DAE=60°，
∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
∴
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,∵AC=BC, ∴BD=BC+CD=AC+CD, ∴CE=AC+CD
2.已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50°，求这个三角形的顶角的度数．
因高有在三角形内部和外部两种情况．
①高在三角形内部，如图3-1，两高相交所成的锐角∠BOE = 50°，由∠BOE＋∠ABD = ∠A＋∠ABD=90°得∠A = ∠BOE = 50°；
②高在三角形外部，如图3-2，等腰△ABC两腰上的高BE、CD的延长线相交与点O，由∠O＋∠OBD = ∠EAB＋∠ABE = 90°得∠EAB = ∠O = 50°，∠BAC = 130°．所以顶角度数为50°或130°．
3.（1）在等腰△ABC中，AB=AC，底边BC上任意一点P到两腰的距离之和等于一腰上的高，你能用面积法证明这个结论吗？
（2）若点P在直线BC上，上述结论是否成立？为什么？
(1)连接AP,由得：
∵AB=AC
∴CH=PE+PF
(2)同上．
4．如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面3个结论：
①射线是的角平分线；
②是等腰三角形；
③≌。
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。
（1）正确的结论是①、②、③；（2）射线是的角平分线；证明：∵，∴,∵MN是AB的中垂线，∴AD=BD，∴,∴,∴射线是的角平分线.
5．有一个数学活动，其具体操作过程如下：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图（1））；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图（2））．
请解答在图（2）中，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论
△BMP是等边三角形．连结AN。∵EF垂直平分AB ∴AN ＝ BN，由折叠知 AB ＝ BN，∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30°，又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90°，∴∠BPN ＝60°，∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60°∴∠BMP ＝60°∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°∴△BMP为等边三角形。
A
B
C
D
E
第10题图
A
B
C
F
E
13题图
H
（第17题）
（第16题）
（第15题）
时间：90分钟 分值：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线
2．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．非等腰三角形 D．等边三角形
3．下列说法中，正确的有 ( )
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
4．等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5. 如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是 ( )
A. 等边三角形 B．等腰三角形
C. 直角三角形 D．无法确定
6．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
8．已知三角形的三边长分别是；若的值为偶数，则的值有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
9．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）
A．100° B．100°或40° C．40° D．80
10．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm
二、填空题（每题3分，共30分）
11.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；(3)______________.
12．如图（3），在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D、C、B、E在一条直线上，且DB=AB，CE=AC，则∠E= ，∠D= ，∠DAE= ．
13.如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B=__________。
14．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm．
15．如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______．
16．等腰三角形一底角为，底边上的高为9cm，则等腰三角形的腰长是_____cm，顶角是_________。
17．△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= ．
18．如图，△ABC中，已知AB=AC,要使AD=AE，需要添加的一个条件是_________.
19. △ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B=_______．
20. 等腰三角形一腰上的中线把周长分为6和9两个部分，则该等腰三角形腰长为 ．
三、解答题
21．（8分）如图，△ABC 中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且CF=BE．求证：AB=AC．
22.（8分）已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：．
23.（8分）2012年我市把行知中学新设为高考考点，如图，行知中学在图中的A点处，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°， AP＝160米．假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到较为严重的噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校考生是否会受影响 请说明理由．
24.（12分） 如图，CD是△ABC的中线，且CD= AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．
25．（12分）已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．
求证：（1）；
（2）为等边三角形．
26．（12分）（1）如图①所示，AD为的平分线，E为AD上一点，EF∥AC交AB于F，求证：为等腰三角形。
（2）如图②，中，的平分线与的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F。
求证：EF=BD+CF
参考答案
一、选择题
1．D 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A 7．D 8．D 9．C 10．B
二、填空题
11．(1)BD⊥AC; (2)∠ABD=∠CBD;(3)AB=BC=2CD;(4) ∠CBD=30°（或其它合理答案）
12．25° 35° 110°
13. 20°
14．4
15. 30海里
16.18cm 120°
17. 50°;65°
18. BD=CE（或∠BAD=∠CAE, ∠ADB=∠AEC, ∠BAE=∠CAD,BE=CD）
19. 20°或70°
20. 4或6
三．解答题
21. .证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠BEC=∠CFB=90°
在Rt△BCF和Rt△CBE中
BC=BC
CF=BE
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
22．证明：∵等边△ABC，∴AC=BA，∠C=∠BAC=60°
在△ABE和△CAD中，∵BA=AC，∠BAC=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠2=∠1
∵∠BNM=∠3+∠2，∴∠BNM=∠3+∠1=∠BAC=60°
∵BM⊥AD，∴∠4+∠BNM=90°，∴∠4=30°
∵BM⊥AD，∴（直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）
23. （1）如右图，过A点做MN的垂线,垂足为D,
∵在直角三角形PAD中，∠QPN＝30°， AP＝160米，
∴AD=
∴学校考生会受到影响．（考试期间要禁止拖拉机通行）
24．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
25．证明：（1），，．
是等边三角形，．
又，．
（2）由，得，
，是等边三角形，
，，同理可得．
中，．
是等边三角形．
26. （1）证明： EF∥AC，∴∠AEF=∠CAE,∵AD为的平分线,∴∠EAF=∠CAE,∴∠EAF=∠AEF,∴AF=AE,即为等腰三角形。（2）EF∥BC，∴∠BDE=∠CBD,∵BD为的平分线,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠BDE,∴BE=DE,同理可得DF=FC，∴EF=ED+DF=BD+CF
备用：
（2009·黔东南）6、如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A、30o B、40o C、45o D、36o
（2009·泰安）（本小题满分10分）
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
求证：BE=AD；
求证：AC是线段ED的垂直平分线；
△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2…………………………………………………1分
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分
∴AD=BE……………………………………………………3分
（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA
由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分
∵AD∥BC
∴∠7=∠ACB=45°
∵∠6=45°
∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。
即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分
（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分
理由如下：
由（2）得：CD=CE
由（1）得：CE=BD
∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。…
2. 已知：如图，△ABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD，以AD为边作等边三角形ADE，连结CE，用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系 试写出探求过程．
证明：∵△ABC为正三角形，∴AB=AC,∠BAC=60°，
又∵△ADE为正三角形，∴AD=AE,∠DAE=60°，
∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
∴
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,∵AC=BC, ∴BD=BC+CD=AC+CD, ∴CE=AC+CD
2.已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50°，求这个三角形的顶角的度数．
因高有在三角形内部和外部两种情况．
①高在三角形内部，如图3-1，两高相交所成的锐角∠BOE = 50°，由∠BOE＋∠ABD = ∠A＋∠ABD=90°得∠A = ∠BOE = 50°；
②高在三角形外部，如图3-2，等腰△ABC两腰上的高BE、CD的延长线相交与点O，由∠O＋∠OBD = ∠EAB＋∠ABE = 90°得∠EAB = ∠O = 50°，∠BAC = 130°．所以顶角度数为50°或130°．
3.（1）在等腰△ABC中，AB=AC，底边BC上任意一点P到两腰的距离之和等于一腰上的高，你能用面积法证明这个结论吗？
（2）若点P在直线BC上，上述结论是否成立？为什么？
(1)连接AP,由得：
∵AB=AC
∴CH=PE+PF
(2)同上．
4．如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面3个结论：
①射线是的角平分线；
②是等腰三角形；
③≌。
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。
（1）正确的结论是①、②、③；（2）射线是的角平分线；证明：∵，∴,∵MN是AB的中垂线，∴AD=BD，∴,∴,∴射线是的角平分线.
5．有一个数学活动，其具体操作过程如下：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图（1））；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图（2））．
请解答在图（2）中，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论
△BMP是等边三角形．连结AN。∵EF垂直平分AB ∴AN ＝ BN，由折叠知 AB ＝ BN，∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30°，又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90°，∴∠BPN ＝60°，∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60°∴∠BMP ＝60°∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°∴△BMP为等边三角形。
A
B
C
D
E
第10题图
A
B
C
F
E
13题图
H
（第17题）
（第16题）
（第15题）