云南省昆明市五华区2022届高三上学期9月摸底诊断测试数学（理）试题（Word版，含答案）

昆明市五华区2022届高三年级摸底诊断测试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．己知，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在中国昆明举行．为了让广大市民深入了解COP15，展现春城昆明的城市形象，2021年6月5日全国30个城市联动举行了“2021COP15春城之邀——一粒来自昆明的种子”活动，活动特别准备了2万份“神秘”花种盲盒，其中有一种花种的花卉，其植株高度的一个随机样本的频率分布直方图如图所示，根据这个样本的频率分布直方图，下面结论中不正确的是（
）
A．这种花卉的植株高度超过的估计占25%
B．这种花卉的植株高度低于的估计占5%
C．这种花卉的植株高度的平均数估计超过
D．这种花卉的植株高度的中位数估计不超过
4．已知递增等比数列的前项和为，，，，，则（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震．科学家通过研究，发现地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．设漾濞县地震所释放的能量为，玛多县地震所释放的能量为，则约等于（
）
A．10
B．15
C．30
D．32
9．一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生．从这个小组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（
）
A．69
B．40
C．35
D．23
11．已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
12．设是定义域为的奇函数，且，当时，，．将函数的正零点从小到大排序，则的第4个正零点为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线斜率为______．
14．若，，则______．
15．已知，分别为椭圆：的左，右焦点，单位圆与的一个公共点为，与异于的交点为，则的面积为______．
16．如图，矩形中，，，以为直径的半圆上有一点，若，则的最大值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和．
18．（12分）
一种配件的标准尺寸为，误差不超过均为合格品，其余为不合格品．科研人员在原有生产工艺的基础上，经过技术攻关，推出一种新的生产工艺．下面的表格分别给出了用两种工艺生产的20个配件的尺寸（单位：）：
新工艺
500
499
503
500
505
500
502
499
500
498
502
496
498
501
500
497
498
503
500
499
旧工艺
497
502
499
495
502
494
500
496
506
503
499
496
505
498
503
502
496
498
501
505
（1）完成下面的列联表，并分别计算用新、旧两种工艺生产的配件的合格率；
合格品
不合格品
合计
新工艺
旧工艺
合计
（2）根据所得样本数据判断，能否有95%的把握认为用两种工艺生产的配件合格率有差异？
，
0.15
0.050
0.025
0.005
2.072
3.841
5.024
7.879
19．（12分）
在①，②，
③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，满足______（填写序号即可）
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21．（12分）
已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．
（1）求的标准方程；
（2）设点在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点（异于点）．证明：直线恒过定点．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有三个零点，求的取值范围．
昆明市五华区2022届高三年级摸底诊断测试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
B
A
B
D
A
B
A
C
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，整理得，解得，
∴，．
（2），
∴
．
18．解：（1）列联表如下：
合格品
不合格品
合计
新工艺
18
2
20
旧工艺
12
8
20
合计
30
10
40
新工艺生产的配件的合格率：，
用旧工艺生产的配件的合格率：．
（2），
因为，
所以，根据所得样本数据判断，有95%的把握认为用两种工艺生产的配件合格率有差异．
19．解：（1）若选①，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，所以
注：亦可用余弦定理、射影定理求解．
若选②，由正弦定理得，即，
由余弦定理得
又因为，所以
若选③，，
从而得，
又因为，所以
（2）由正弦定理得，
，
所以，
由是锐角三角形可得，得，则，
因为在上单调递增，所以，从而，
所以的取值范围为，
20．解：（1）证明：在正中，为的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，且
∴平面
又∵平面
∴
又∵，且．
∴平面．
（2）如图，取的中点为，连接，在正中，，平面平面，
平面平面，∴平面，
以为原点建立
如图所示的空间直角坐标系，
不妨取，则有，，，，，，
∴，
设面的一个法向量为，
则由，
令，则，
又因为面，
取作为面的一个法向量，设二面角为
∴，
∴，因此二面角的正弦值为．
21．解：（1）由，，可得，
代入：．
解得或（舍），从而：．
（2）由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
设，，
由，得，从而，
且，．
又，
，
∵
∴，
故，
整理得．
即，
从而或，即或．
若，则，过定点，与点重合，不符合：
若，则，过定点．
综上，直线过异于点的定点．
22．解：（1），定义域为，
①当时，在单调递减，在单调递增：
②当时，由得或，
（ⅰ）当时，在上单调递增，
（ⅱ）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
（ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
综上，当时，在单调递减，在单调递增：
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增：
当时，在上单调递增：
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
（2），易知，即有一个零点0，
令，
要使有三个零点，只需要有两个不为0的零点，
若的零点为0，即，解得，
此时有两个零点，但有一个零点是0，此时只有两个零点，故；
又
①当时，，则在上单调递增，故至多有一个零点，不合题意；
②当且时，在上单调递减，在上单调递增，
，
（ⅰ）当时，，故至多有一个零点，不合题意，舍去：
（ⅱ）当且时，，
因为，所以在上有唯一零点
由（1）知，当时，，则当且时
所以在上有唯一零点，从而在上有两个零点，此时有三个零点．
综上，恰有三个零点时的取值范围是．