2022届横岗高级中学高三第一次月考（9月）数学参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：因为，所以，所以，故选：．
2．【解答】解：，，
．故选：．
3．【解答】解：如图，作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为，底面半径为，
则根据三角形相似，可得，可得，
内接圆柱的侧面积为，
当且仅当时，侧面积有最大值
故选：．
4．【解答】解：，，，
将点代入，得，从而，或，
，．
因此变换到只需向左平移个单位长度．
故选：．
5．【解答】解：以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点，
可得，
可设渐近线的方程为，其斜率为，
由，即，
所以双曲线的离心率．
故选：．
6．【解答】解：点，是角的终边上的两点，
所以，
所以．
故选：．
7．【解答】解：函数的导数为，
由于函数的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在与处的切线互相垂直，
则，
所以
因为的值必然存在，即方程必然有解，
所以判别式△，
即，
解得或，
由于，所以有，或，，且△，
所以变为，所以．故选：．
8．【解答】解：法一：根据题意，正方形的边长为2个单位，则其周长是8，
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，
其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有种顺序，
1、2、5，1、3、4，这2种组合有种顺序，
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，
法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，相当于8个点数中用2个隔板，有种顺序，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，每种组合有种顺序，
则此时有种顺序，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：2015年第二季度利用率为，第三季度利用率为，故2015年第三季度环比有所降低，故选项正确；
2015年第一季度利用率为，2016年第一季度利用率为，故2016年第一季度同比有所降低，故选项正确；
2016年第三季度利用率为，2017年第三季度利用率为，故2017年第三季度同比有所提高，故选项正确；
2017年第四季度利用率为，2018年第一季度利用率为，故2018年第一季度环比有所下降，故选项错误．
故选：．
10．【解答】解：因为，所以，
所以，
因为、、三点共线，所以，故错误；
则，则，
即最大值为，当且仅当，即，时取等号，故正确；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故错误；
，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为，故正确．
故选：．
11．【解答】解：由圆，得，
则圆心，线段的中点坐标为，，
则以为直径的圆的方程为，
整理得：，即圆的方程为，故正确；
联立，两式作差可得：，
即直线的方程为，故错误；
、在以为直径的圆上，，，
由圆心与切点的连线与切线垂直，可得，均与圆相切，故正确；
，且，，，
四边形的面积为，故错误．故选：．
12．【解答】解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长与轴交于点，
连接与轴交于点，
则平面由平面扩展为平面，
可得截面不可能为三角形，
当点与点重合时，平面截正方体的截面为边长为的菱形，
且
，则，所以截面的面积为；
当为的中点时，平面截正方体的截面为五边形，故错误，，正确；
考虑选项．设，，，，则到直线的距离为，
则可得到直线的距离为，
可得的面积，
设到平面的距离为，
运用等积法可得，
即，
可得，
当时，取得最大值，故正确．故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：因为，所以为奇函数，
因为，所以单调递减，
由得，
所以，解得．故答案为：．
14．【解答】解：抛物线的焦点到其准线的距离为4，即，
焦点，准线方程为，
设，，，，
直线的方程设为，可得，
斜率存在时设直线方程为，联立抛物线方程可得，
可得，
则，
当且仅当取得最小值13．
故答案为：13．
15．【解答】解：由题易知，即，
所以（1），
又，
，
下面证明时，在，上最大值为3，
当，时，，（1），
当，时，若，即，则，，满足，
若，即，此时，
而，，，满足，
的取值范围是，
故答案为：，．
16．【解答】解：根据题意，正整数经过6次运算后得到1，
则正整数经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，
经过3次运算后得到8或者1，
分2种情况讨论：
①，当经过3次运算后得到8时，经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，
则的值为64或10，
②，当经过3次运算后得到1时，经过2次运算后得到2，则经过1次运算后得到4，
则的值为1或8；
综合可得：的值可能为64、10、1、8．
故答案为：64、10、1、8．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】（1）证明：由，得，
将上述两式相减，得．．
，
则，
数列是常数列；
（2）解：由（1）可知，当时，，
，检验当时，也适用，
，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
又数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，
这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
的前项和为．
18．【解答】解：（1）将四件礼物随机分成两份寄出，共有三种方案，所有分法的重量分类及费用和对应的概率如下表：
实重
归类
实重
归类
实重
归类
包裹
3.9
4
4.4
5
7.8
8
包裹
10.0
10
9.5
10
6.1
7
费用（元
66
70
70
所以张某应将重量为和的礼品组合成一份，将重量为和的礼品组合成另一份寄出，可使总的邮寄费用最低，最低费用为66元．
（2）若公司不增加对该网点前台人员，则该网点每天最多可以揽360件，
以图中每组的中间值作为该组揽件数量的估计值，以样本的频率作为概率的估计值，设揽件数量为，则的分布列为
50
150
250
350
360
该网点每日的利润为（元
若公司增加一名前台人员，则该网点每天最多可以揽480件，
以图中每组的中间值作为该组揽件数量的估计值，以样本的频率作为概率的估计值，设揽件数量为，则的分布列为
50
150
250
350
360
该网点每日的利润为（元
因为，所以增加一名前台员工后对提高公司利润有利．
19．【解答】解：（1）因为，，，，，
可得，，，
在中，由正弦定理，可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，
可得，
所以．
（2）因为，，，
在，中，由正弦定理可知：，，
又，所以，
从而有，，
两式相除可得，
由
，
因此有，由，可得．
20．【解答】解：（Ⅰ）延长至点，使得，延长至点，使得，连接，
在直线上任取一点，则点满足平面
理由如下：
是线段的中点，是线段的中点，，
平面，平面，平面，
同理平面，
又，平面平面，
平面，平面；
（Ⅱ）底面，直线与平面所成角是，
在平面内，作，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，当时，与重合，
则，1，，，2，，，0，，，4，，
，，，
设平面的法向量为，
由，
令，得；
设平面的一个法向量为，
由，
取，可得．
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
21．【解答】解：（1）由题意可得，，所以，
由椭圆的定义可得，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设，，，则，①
直线的方程为：，与联立可得，所以直线的斜率，，
由题意可得直线的方程为：，
直线的方程为：，令，则，即，
联立解得②，
由①②可得：，即的轨迹方程为，
所以，
所以与的面积之比为定值．
22．【解答】解：（1）,,
则函数在点,处切线方程为：，即：，
函数在点,处切线方程为，即：，
直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，
由①得，③
把③代入②得，
即，
或，
若，则，此时直线的方程：；
若，则，此时直线的方程：；
综述：或；
（2）设,
则,
令,,
当时，；当时，；
在上单调递增；在上单调递减；
，
,,
设，
则，
，
令,得，
存在,使得满足在和,上单调递增，在,上单调递减；
,,,
且,
在上单调递减，
,
,
，
即，
即2022届横岗高级中学高三第一次月考（9月）
数学试卷
一．单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．集合与集合满足，则集合与集合的关系成立的是
A．
B．
C．
D．
2．若复数满足是虚数单位），则
A．
B．
C．
D．2
3．在底面直径和高均为的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，有两个相邻的极值点分别为和，为了得到函数的图象，只需将图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．设双曲线的右焦点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点为坐标原点），且，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．2
6．已知点，是角的终边上的两点，若，则的值为
A．
B．
C．
D．
7．函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是
A．，
B．
C．，
D．，
8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，2，，，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有
A．22种
B．24种
C．25种
D．27种
二．多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．如图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是
A．2015年第三季度环比有所降低
B．2016年第一季度同比有所降低
C．2017年第三季度同比有所提高
D．2018年第一季度环比有所提高
10．中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是
A．
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最小值为
11．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则
A．圆的方程为
B．直线的方程为
C．，均与圆相切
D．四边形的面积为
12．如图，设正方体的棱长为2，为的中点，为上的一个动点，设由点，，构成的平面为，则
A．平面截正方体的截面可能是三角形
B．当点与点重合时，平面截正方体的截面面积为
C．点到平面的距离的最大值为
D．当为的中点时，平面截正方体的截面为五边形
三．填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知函数，则不等式的解集为
．
14．已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于，，，四点，则的最小值为
．
15．已知函数，，若在区间，上的最大值是3，则的取值范围是
．
16．“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数经过6次运算后得到1．则的值为 ．
四．解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知数列的前项和满足，，且．
（1）求证：数列是常数列；
（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．
18．2020年底，因疫情影响，在上海打工的张某响应国家的号召，决定就地过年，他购买了四件礼物，重量分别为，，和．张某欲将四件礼物随机分成两份，每份两件，寄给远在安徽老家的父母和孩子．已知某快递公司的收费标准为：首重9元，续重4元（注：首重是以内（含，续重是指超过首重部分的重量，不足的按计算，如的按计算）．
（1）试分析求张某如何组合可使支付的邮寄费用最低，并求出最低费用；
（2）该快递公司对某一快递网点近100天揽件数量进行了统计（如图）．该公司从收取的每件快递的费用中抽取8元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．若前台工作人员每人每天揽件的上限是120件，工资是150元天．目前该网点前台有工作人员3人，公司准备将增加1名该网点的前台工作人员，请你根据以上信息，判断增加一名前台工作人员后对提高公司利润是否更有利？
19．如图，在平面四边形中，，，，．
（1）若，求三角形的面积；
（2）若，求的大小．
20．如图，在三棱锥中，底面，是正三角形，是棱的中点．
（Ⅰ）在平面内寻找一点使得平面，并说明理由；
（Ⅱ）在第（1）的条件下，若且直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．
21．已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点为坐标原点，过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，求点的轨迹方程，并探究与的面积之比是否为定值．
22．已知函数，．
（1）若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，求直线的方程．
（2）证明：．（参考数据：
