2022届平冈高级中学高三第一次月考（9月）
数学试卷参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由，，0，1，，
，
得，，0，1，，，，．
故选：．
2．【解答】设，
，
，，
，
复数在复平面内对应的点在直线上，
又直线不经过第四象限，
复数对应的点不可能在第四象限．
故选：．
3．【解答】解：面积为的正方形，边长为：；绕其一边旋转一周，得到底面半径为：，高为的圆柱，底面周长，
几何体的侧面积：
故选：．
4．【解答】解：由图象知，，，，，
过点，
，，且，，
，
当，即时，函数单调递增，
的单调递增区间为，
的单调递增区间为．
故选：．
5．【解答】解：如图，在焦点△中，
由题意知：①，且△为直角三角形，
再由，且，
故，
所以，，
代入①式得，
故．
故选：．
6．【解答】解：因为，
所以，可得，
则．
故选：．
7．【解答】解：令，则，
令，，，
在上单调递增，
，则，
在上单调递增，
又当时，，故，即；
令，
在上单调递增，则，即，则，
，即；
综上，．
故选：．
8．【解答】解：根据相互独立事件同时发生的概率公式得：
，
，
，当时，最大，
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：对于，数据，，，的方差为，则所有的数据，2，，相同，即，所以选项正确；
对于，数据，，，的均值为3，则数据，2，，的均值为，所以选项错误；
对于，数据，，，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项正确；
对于，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项错误．
故选：．
10．【解答】解：，当且仅当，即时，取“”，
的最小值是2，对；
当，时，，，，可知轴且，点到的距离为2，的面积为，错；
点关于轴的对称点坐标为，
则的最小值为，对；
，，，与的夹角，，，
得：．
，令，，则，当且仅当，即时取“”，
，对．
故选：．
11．【解答】解：如图，
设，则，
对于选项，，故正确；
对于选项，当与圆相切时，达到最大值为，
，故正确；
对于选项，，，
，当为直角或钝角时，有，
当为锐角时，若，则有，
可得，即成立，故正确，则错误．
故选：．
12．【解答】解：对于，如图，平面，平面，
故直线与不平行，且，
故直线与不相交，所以直线与是异面直线，故选项正确；
对于，在正方体中，，因为平面，平面，
所以平面，又，
故点到平面的距离是一个常数，故选项正确；
对于，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，2，，
所以，
因为，则，所以，
设存在，设，
则，
故，
因为平面，
所以，即，解得，
则，满足条件，故选项正确；
对于，因为平面，又平面，
所以，即为点到的距离，
根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线的一部分，故选项错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：，，
所以，
因为，
所以．
故答案为：4．
14．【解答】解：由题意可知，当在焦点的右侧时，
，，
当在焦点的左侧时，同理可得，此时点在轴的负半轴，不合题意．
故答案为：2．
15．【解答】解：令，，，则，
由，可得．
则当时，单调递减，当，时，单调递增．
在，上的极小值为．
又当时，，当时，．
若，则在，上的最大值为，即；
若，则在，上的最大值为，，
当时，最大值为，不合题意；
当时，在，上的最大值为，符合题意．
综上，若函数，，的最大值为0，则实数的最大值为．
故答案为：．
16．【解答】解：第一次：，不足近似值为，过剩近似值为，
；
第二次：，不足近似值为，过剩近似值为，
；
第三次：，不足近似值为，过剩近似值为，
；
第四次：，不足近似值为，过剩近似值为，
；
第五次：，不足近似值为，过剩近似值为，
；
第六次：，不足近似值为，过剩近似值为，
；
综上可得，．
故答案为：，6．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）由已知，易得，，．
（2）猜想．
因为，所以，，
则是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，所以．
（3）当时，，；
当时，，
所以
，
又时满足上式．
所以，当时，．
18．【解答】解：（1）系统需要维修的概率为．
（2）设为需要维修的系统的个数，则，且，
则的所有可能取值为0，900，1800，2700，
，
，
，
0
900
1800
2700
所以．
19．【解答】解：（1）由及正弦定理得，
所以，
所以，
在中，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以．
（2）证明：设，．
因为，，，
所以，
因为四边形的面积为，所以，即，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得．
所以，化简得，②
由①②得，，
所以，，，
所以，与互补，
所以，
因为，所以四边形是梯形．
20．【解答】（1）证明：取的中点，连接，，，
，，为等边三角形，
即为等边三角形，
，
设，则，，
，即，
，分别为，的中点，
，，
又，、平面，
平面，
平面，．
（2）解：由（1）知，，
平面平面，平面平面，
平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，0，，，0，，，，，
，0，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，0，，
同理可得，平面的法向量为，，，
，，
由图知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
21．【解答】解：（1）由题意可知，，且，又因为，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）存在实数，使得为定值．理由如下：
因为是的中点，
故，
由题意可知，直线的斜率不为0，设的方程：，，，
与椭圆的方程联立，，消去，整理得，
设，，，，则，，
因为，所以，，
则，
所以，
若对任意，为定值，则或，
因为，所以，此时，．
存在实数，使得为定值，且定值为0．
22．【解答】（1）解：的定义域为．
令，方程的判别式△，
当△，即时，恒成立，
即对任意，
所以在上单调递增．
当△，即或．
①当时，恒成立，即对任意，
所以在上单调递增．
②当时，由，解得．
所以当时，；当时，；当时，，
所以在上，，
在上，
所以函数在和上单调递增；
在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：
由，可得，
得，因此，
因为，
令，则，
所以，所以，
要证明，只需证，
即证，
由（1）可知，时，在上是增函数，
所以当，（1），而（1），因此成立，
所以2022届平冈高级中学高三第一次月考（9月）
数学试卷
一．单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则
A．，，
B．，2，
C．，
D．
2．已知为实数，当变化时，在复平面内对应的点不可能在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．面积为的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为
A．
B．
C．
D．
4．函数，的部分图象如图所示，则的单调递增区间为
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
5．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若以为直径的圆过点，且，则的离心率为
A．
B．
C．
D．
6．已知，则
A．
B．
C．
D．
7．若，，，，则，，的大小关系是
A．
B．
C．
D．
8．2020年初，新冠病毒肺炎疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为，且相互独立，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时
A．
B．
C．
D．
二．多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为，，，，则下列说法正确的是
A．若数据，，，，方差，则所有的数据，2，，相同
B．若数据，，，，的均值为3，则数据，2，，的均值为6
C．若数据，，，，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90
D．若数据，，，，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
10．在平面直角坐标系中，，，，为坐标原点，为轴上的动点，则下列说法正确的是
A．的最小值为2
B．若，，则的面积等于4
C．若，，则的最小值为5
D．若，，且与的夹角，，则
11．已知圆，，，点在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
12．已知正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是
A．直线与是异面直线
B．点到平面的距离是一个常数
C．过点作平面的垂线，与平面交于点，若，则
D．若面内有一点，它到距离与到的距离相等，则轨迹为一条直线
三．填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知，，则 ．
14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上横坐标为3的点，过点的直线交轴的正半轴于点，且为正三角形，则 ．
15．若函数，，的最大值为0，则实数的最大值为 ．
16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数和，则是的更为精确的近科似值．现第一次用“调日法”：由得到的更为精确的近似值为，则 ．第二次用“调日法”：由得到的更为精确的近似值为，，记第次用“调日法”得到的更为精确的近似值为．
若，则 ．
四．解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知数列满足，．
（1）求，，；
（2）猜想的通项公式并加以证明；
（3）求数列的前项和．
18．（12分）中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场．为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需全部费用为900元．
（1）求系统需要维修的概率；
（2）该电子产品共由3个系统组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的分布列和数学期望．
19．（12分）在中，角、，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）点在外，，，若四边形的面积为，证明：四边形为梯形．
20．（12分）如图，在平行四边形中，，为的中点，且，现将平行四边形沿折叠成四棱锥．
（1）已知为的中点，求证：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点，且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设的中点为，试判断是否存在实数，使得为定值．若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．
