2021-2022学年北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用 能力提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》能力提升训练（附答案）
选择题
1．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤17cm
B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm
D．7cm≤h≤16cm
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　）
A．2.5米
B．2.6米
C．2.7米
D．2.8米
3．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（　　）
A．10米
B．16米
C．15米
D．14米
4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（　　）（滑轮上方的部分忽略不计）
A．12m
B．13m
C．16m
D．17m
5．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（　　）
A．60
B．30
C．65
D．不能确定
6．如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（　　）
A．5尺
B．25尺
C．13尺
D．12尺
7．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺
B．24尺
C．17尺
D．15尺
8．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）dm．
A．11
B．
C．
D．10
9．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（　　）
A．13海里
B．16海里
C．20海里
D．26海里
10．如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．cm
D．cm
11．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A．17m
B．18m
C．25m
D．26m
12．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，它至少要飞行（　　）
A．6米
B．8米
C．10米
D．14米
填空题
13．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　
　cm．
14．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　
　．
15．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在岸边顺次取点B，E，C，使得AB⊥BC，过点C作CD⊥BC交AE延长线于点D，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为　
　m．
解答题
16．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
17．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
18．如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD2＝288．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离BD的长度．
19．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
20．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
参考答案
1．解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
2．解：在Rt△ABC中，
AB＝2.5（米），
∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD＝2（米），
∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），
故选：C．
3．解：由题意得BC＝6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：B．
4．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
5．解：∵AB2＝132＝169，
BC2+AC2＝52+122＝169，
∴AB2＝BC2+AC2，
即△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝BC×AC
＝×5×12
＝30，
故选：B．
6．解：如图：由题意可知AB＝5尺，设AC长为x尺，则BC长为（25﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
则x2+52＝（25﹣x）2，
解得：x＝12，即AC＝12尺，
故选：D．
7．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
8．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为3dm，
∴AB＝3dm，BC＝BC′＝4dm，
∴AC2＝32+42＝25，
∴AC＝5（dm）．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10（dm）．
故选：D．
9．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），
根据勾股定理得:＝26（海里）．
答：离开港口2小时后两船相距26海里，
故选：D．
10．解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为：
∵底面圆周长为8cm，
∴AD＝BC＝4cm，
又∵AB＝3cm，
在Rt△ABC中，AC＝5（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm，
故选：B．
11．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
12．解：两棵树的高度差为10﹣4＝6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝10m．
故选：C．
13．解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝13（cm）．
故答案为：13
14．解：如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB?AD+BC?BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案为：36．
15．解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴AB＝40，
故答案为：40．
16．（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，
在直角△ABC中，∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴BC=7米，
∴这个梯子底端离墙有7米；
（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），
在直角△CDE中，∠C＝90°，
∴BD2+CE2＝DE2，
∴CE=15（米），
BE＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．
17．解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．
在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．
由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．
所以AB＝73（cm）．
因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．
18．解：（1）△ACD是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：CA＝12米，CD2＝288，∠CAD＝90°，
可得AD＝12（米），
故△ACD是等腰直角三角形；
（2）∵CA＝12米，CB＝20米，∠CAD＝90°，
∴AB＝16（m），
则BD＝AB﹣AD＝16﹣12＝4（米）．
答：船体移动距离BD的长度为4米．
19．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD＝GC，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，CD＝120（千米），
则DG＝2DC＝240千米，
遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
20．解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，
在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102+242＝262，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝?AC?BC﹣AD?CD，
＝×10×24﹣×8×6＝96．
所以需费用96×200＝19200（元）．