6.4 用样本估计总体的数字特征 教学设计 2020-2021高一上学期数学 北师大版（2019）必修第一册

《样本的数字特征》教学设计
一、教学目标
1.
掌握基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.
2.
能准确地计算出样本的数字特征.
3.
能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差等），建立适当的数学模型，从不同的角度进行逻辑推理，从而作出合理的解释与决策，认识统计的作用，感受统计在实际问题中的应用价值.
4.
经历样本的数字特征的生成、处理过程，加强数学运算能力的同时，在实际问题中会用样本的数字特征估计总体的数字特征，领悟“用数据说法”的统计思想．
二、教学重难点
重点：用样本数字特征估计总体数字特征，初步掌握样本估计总体的思想.
难点：多角度认识样本数字特征、解决简单的实际问题.
三、教学用具
多媒体.
四、教学过程
（一）创设情境
、、、
以2016年4月阿里在杭州试点了城市大脑系统，改善城市交通拥堵为切入口，感悟大数据和人工智能在现实生活中的应用.
让学生列举在生活中碰到的数据应用实例.
设计意图：让学生感悟数据在现实生活中的应用，结合生活中碰到的数据应用实例，初步建立通过数据思考实际问题的意识，自然过渡到统计的话题.
什么是统计？
统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科.
在终极的分析中，全部知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有判断都是统计.
——劳(Calyampudi
Radhakrishna
Rao,1920—）
（二）温故知新
用样本的分布估计总体分布，那么样本就要“代表”总体，即样本的分布与总体分布近似相同.
设计意图：让学生回顾之前学过的内容，系统地温习数据收集与初步整理的过程，体会前面三节的内容在数据分析中所起的作用，为用样本估计总体的数字特征作好铺垫.
例1
某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分（单位：分）如下表.
比赛场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
甲得分
12
24
31
15
36
25
50
35
31
44
39
41
36
求在该赛季比赛中，这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、
方差和标准差.
解：平均数分，
中位数35分，众数31分、36分，极差：分，
方差
，
标准差.
（三）深化概念
1.众数、中位数、平均数定义
（1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数．
（2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数称为这组数据的中位数．
（3）平均数：若n个数，则称为这n个数的平均数．
（4）极差：
一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
注意：
极差表示这组数据之间的差异情况.
2.方差：，其中，是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
3.标准差：.
方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.
注意：方差大，
数据离散程度大；方差小，数据的离散程度小.
取值范围是.
问题1：这几个数字特征的具体含义是什么？
问题2：为什么有了方差还要出现标准差呢？
同学们，我们知道统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科.我们已经掌握了用科学的方法收集、整理数据，接下来我们一起来通过几个实例体验怎样分析数据，提取有用的信息，帮助我们作出科学的推断与决策.
设计意图：
①通过具体实际问题将用众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差来刻画数据的特征，并分析数据的思想显性化；
②通过实例演算，力争每位学生能准确地计算出样本的数字特征，进一步巩固提升学生的数学运算能力；
③在复习回顾旧知的基础上自然过渡到学习新知识，有助于学生从“最近发展区”构建新知.
（四）典例讲解
变式情境：如果两支篮球队比赛，当比赛还剩20秒时，A队以108∶106领先B队，此时球权在B队手里，B队教练考虑到接下来的球队整体赛事和主力球员的体能等情况，教练不想进入加时赛，同时又要赢下这场比赛，B队想逆转绝杀A队.下表是B队两位球员有关数据，同学们帮B队教练来决定安排谁完成绝杀.
比赛场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
甲得分
12
24
31
15
36
25
50
35
31
44
39
41
36
甲三分球命中率
0.39
0.40
0.40
0.40
0.33
0.36
0.44
0.35
0.41
0.43
0.41
0.39
0.42
乙得分
15
26
33
20
30
26
40
32
38
40
40
38
34
乙三分球命中率
0.40
0.40
0.43
0.44
0.39
0.45
0.40
0.39
0.41
0.44
0.42
0.43
0.5
问题1：B队要逆转需要做什么？（让学生自主讨论）
解：求得.
问题2：知道了甲、乙两名运动员赛季中13场平均得分可以决定安排谁来完成绝杀？如果能说明理由，不行还需要哪些数据？
.
设计意图：
①
样本数据中具体应用，层层设问，让学生自主找出关键数据，体会样本数字的作用，感悟统计的具体应用.
②
问题求解时，选择得分平均数还是三分命中率作为决策的依据，增强了学生的数学运算能力，同时也充分体现了数学建模思想.
③
以学生熟悉感兴趣的问题入手，精彩的视频充分调动学生的积极性和参与热情.
例2
在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港帆板运动员李丽珊以惊人的耐力和斗志勇夺金牌，实现了中国香港体育史上奥运金牌零的突破.这枚金牌能在比赛过程中预测出来吗？在帆板比赛中，成绩以低分为优胜，共赛11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次，此次比赛前7场比赛结束后，
排名前5名的选手积分如下.
排名
运动员
比赛场次
总分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
李丽珊（香港）
3
2
2
2
4
2
7
22
2
简度（新西兰）
2
3
6
1
10
5
5
32
3
贺根（挪威）
7
8
4
4
3
1
8
35
4
威尔逊（英国）
5
5
14
5
5
6
4
44
5
李科（中国）
4
13
5
9
2
7
6
46
根据前7场的比赛结果，能否预测谁将获得最后胜利？
问题1：预测胜利需要那些数据？
问题2：为什么题目要通过前7场的比赛结果来预估？用前3场的比赛成绩来预测可否？如果用11场比赛的成绩来预测可否？
排名
运动员
平均积分
积分标准差
1
李丽珊（香港）
3.14
1.73
2
简度（新西兰）
4.57
2.77
3
贺根（挪威）
5.00
2.51
4
威尔逊（英国）
6.29
3.19
5
李科（中国）
6.57
3.33
让学生了解平均数和方差的实际意义，同时渗透民族自豪感，强化样本估计总体以及实际问题中合理地选取样本的意识.
设计意图：
①
体会样本的合理性和代表性，7场赛程过了一大半，具备预测性，前3场的样本代表性不足，样本数据有可能失真，11场就不是预估了，而是确定.从中体会平均数和方差的实际意义和作用，突出重点.
②
面对类似于预测比赛的胜利的实际问题，引导学生从相应的数据出发，建立适当的数学模型，通过不同的数字特征进行决策和解释，提升逻辑推理能力，领悟“用数据说话”的统计思想.
（五）活动探究
有甲乙两名射击运动员，10次射击成绩（单位：环）
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
7
7
8
9
8
9
10
9
9
9
乙
8
9
7
8
10
7
10
10
7
10
现要从两名运动员中选拔一人参加比赛，根据两名运动员的运动成绩，如何进行选拔？
本题是活动探究，将学生分成五个小组，从不同的角度（众数、平均数、方差）分组讨论，并说明选拔的理由.
设计意图：
①
通过自主探索与合作交流，学生会不断地比较自己的理解与他人理解的差异，不断纠正自己的认识，从而完善知识体系，促进知识和方法的内化.
②
让学生通过具体问题感悟样本数据的功能，不同角度分析问题推理得出的结论不一样，统计中没有严格的对与错，只有优与劣，突破教学难点.
（六）课堂练习
报讯：1997年~2008年，铁路执行儿童票的身高限制为1.1米~1.4米.此次是铁道部第二次修改儿童票限高标准.2008年12年21日，铁道部规定儿童票身高限制调整为1.2米~1.5米，将儿童票上、下限都提高10厘米.这意味着12月21日新规定实行后，身高1.2米以下的儿童可免票，身高1.2米~1.5米的儿童可购买半票.
阅读以上材料，请你说说儿童票限高标准的提高可能与什么有关，并借助互联网查阅相关原因.
设计意图：数学教育学家波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”这里针对实际生活问题，让学生感受统计在实际问题中的应用价值，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题、指导决策的习惯.
（七）课堂小结
1.样本数字特征：平均数、中位数、众数课、
极差、方差、标准差.
2.用样本数字特征估计总体.
3.统计的观念
：
（1）统计的意识；（2）
统计的方法；（3）对统计结果的正确认识.
4.有用的数学.
5.如果你作为一名决策者，你在处理数量化表示的实际问题时需要注意些什么？
设计意图：通过小结与反思，使学生更系统完整地认识统计的基本思想和方法，丰富和完善学生的认知结构，使知识与技能内化为学生的数学能力.
（八）作业布置
在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解：（1）甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
（2）
；
.
；
.
∵，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．
（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
设计意图：引导学生认识要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析推理，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好准确的语言作出结论．
（九）板书设计
样本的基本数字特征概念平均数、众数、中位数、极差
例题2
课堂小结方差、标准差例题1
活动探究例题1变式
五、教学反思
统计的教学应让学生经历统计的过程，根据数据建立模型，对实际问题作出合理的解释与决策，本节课让学生以观察—建模—计算—推理为思考路径，遵循知识发生发展过程以及学生思维过程的合理性，落实和发展了学生的数学学科的核心素养.
1.创设情境，激发自主的参与
一方面，以杭州试点的城市大脑系统创设情境，感悟大数据和人工智能的应用.另一方面，系统地温习已学过的知识，自然引导学生进一步学习用样本估计总体的数字特征.以学生感兴趣的实际情境入手，充分调动学生的积极性，激发学生自主地参与到课堂中.
2.情境变式，重视问题的解决
根据学生的学情，在学生最近发展区变换情境，设计问题，引导学生思考“B队想要绝杀，需要做什么？作为教练应该通过建立怎样的数学模型来指导决策？预测比赛胜利需要哪些数据，样本是否具有合理性和代表性？”等问题串，学生自主探究，容量适中，层层递进，突出重点，突破难点，由浅入深，环环相扣，知识的生成过程中化解了学生的难点，目标达成度高.
3.题尽其用，渗透数学思想
对教材的重组和再设计，力求每一个练习题能题尽其用.选拔哪位运动员参赛和判定两组的竞赛成绩的优劣的设计，引导学生要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，
建立不同的数学模型，从不同角度分析问题，进行推理得出的结论不一样，统计中没有严格的对与错，只有优与劣.
面对实际生活问题，让学生感受统计在实际问题中的应用价值，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题、指导决策的习惯.