鲁教版五四制数学七年级上册第一章《三角形》单元综合练习—提高能力测试(word版含答案)

第一章
三角形
【提高能力测试】
题型发散
1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内.
(1)下列各条件中，不能作出惟一直角三角形的是(
)
(A)已知两直角边
(B)已知两锐角
(C)已知一直角边和一锐角
(D)已知斜边和一直角边
(2)已知AM、AH、AD分别是△ABC的BC边上的中线、高线和∠A的平分线，AB≠AC，那么AM、AH、AD的位置关系为(
)
(A)AD在AM和AH之间
(B)AM在AD和AH之间
(C)AH在AD和AM之间
(D)不能确定
(3)已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是(
)
(A)14
(B)15
(C)16
(D)17
(4)在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，那么这个三角形是(
)
(A)锐角三角形
(B)直角三角形
(C)钝角三角形
(D)以上都不对
(5)已知线段m，n(m>n)，用直尺和圆规作等腰△ABC，使AB=AC=m，BC=n，再分别以AB、AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，那么(
)
(A)BE>CD
(U)BE=CD
(C)BE(D)BE≤CD
(6)在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的中线，则∠DAB与∠DAC的大小关系是(
)
(A)∠DAB>∠DAC
(B)∠DAB<∠DAC
(C)∠DAB=∠DAC
(D)不能确定
2.填空题.
(1)在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，垂足为E，则∠C=______________
(2)在锐角△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=___
_度.
(3)已知△ABC，D在AC上，∠A=，∠DBC=，∠C=，那么∠BDC=_________度，∠ABD=_________度，其中等腰三角形有__________
(4)边长为2，x-4，5的三根木条首尾相接组成三角形，则x的取值范围是______________.
(5)在△ABC中，如果，b=4n，则c=_______时，∠C=.
(6)在Rt△ABC中，AB=2AC，CD、CE分别是斜边上的中线和高，则∠DCE=____________.
解法发散
1.如图5—75，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使
BD=AB，E为AB的中点，求证：CD=2CE.
(按原图与如下四个图(见图5-76(a)～(d))所作辅助线用五种方法证明)
2.如图5—77，已知在△ABC中，∠A=，∠C的平分线交对边AB于点E，交斜边上的高AD于O，过点O作OF∥CB交AB于F，求证：AE=BF.(用两种方法证明)
3.如图5—78，已知△ABC中，∠B是锐角，且∠B=2∠C，AD是BC边上的高.求证：AB+BD=DC
(用两种方法证明)
变换发散
1.如图5—79，已知在△ABC中，AB=AC，P是三角形内一点且有∠APB>∠APC.求证：PB2.
如图5—80，△ABC按逆时针旋转至△的位置，使AC平分.求证：也平分.
逆向发散
发散题
如图5—81，在△ABC中，已知AB=AC，BD=DC，DE⊥AB，DF⊥AC.求证：DE=DF.
构造发散
1.如图5—82，在△ABC中，AD为∠A的平分线，E为BC的中点，过E作EF∥AD交AB于G，交CA的延长线于F，求证：BG=CF.
2.如图5—83，已知在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠C的平分线.求证：BC=AC+AD.
3.如图5—84，在等边三角形ABC中，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连CE、DE.求证：CE=DE.
变更命题发散
1.如图5—85，已知在△ABC中，CF是AB边上的高，BE是AC边上的高，若AB>AC.求证：BE>CF.
2.如图5—86，AB=AE，∠B=∠E.BC=ED.F是CD的中点.求证：AF⊥CD.
3.如图5—87，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，求证：∠C=∠D.
迁移发散
1.已知△ABC的周长是12cm，若c+a=2b,c-a=2cm，求a、b、c的长度.
2.如图5—88，已知△ABC中，AB=2CA，且CA为最小边.求证：(AB+BC+CA)综合发散
1.如图5—89，已知自Rt△ABC的直角顶点A作BC上的高AD.求证：AD+BC>AB+AC
2.如图5—90，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边作等边三角形ACD和CBE，AE交CD于M，BD交CE于N.求证：
(1)△CMN是等边三角形；
(2)MN∥AB.
3.已知D是△ABC中∠BAC平分线AE上一点，AB>AC.求证：AB-AC>BD-DC.
4.在△ABC中，∠C=，AC=BC，过C在△ABC外作直线MN，使AM⊥MN于M，BN⊥MN于N.
(1)求证：MN=AM+BN；
(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM、BN和MN之间满足关系式AM-BN=MN.并证明之.
5.如图5—91，已知：O是△ABC内一点.求证：(1)∠BOC>∠A；
(2)(BC+CA+AB)6.如图5—92，在等腰直角三角形ABC中，P为斜边BC的中点，D为BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC.求证：PE=PF，PE⊥PF.
参考答案
【提高能力测试】
题型发散
1.(1)(B)
(2)(A)
(3)(C)
(4)(B)
(5)(B)
(6)(B)
2.(1)
(2)
(3),△ABC,△ABD,△BCD.
(4)7解法发散
1.证法1如图5—75，取CD的中点F，连结BF.
∵AB=BD，∴BF∥AC，且BF=AC.
∴∠2=∠ACB.∵AB=AC，
∴∠1=∠ACB.∴∠1=∠2
∵BE=AB，∴BE=BF.又∵BC=BC，
∴△BCE≌△BCF.∴CE=CF.∴CD=2CE.
以下四种证法省略.
2.证法1如图5—77，过点E作EK⊥BC，垂足为K.
∵E是∠C平分线，∠BAC=，
∴EK=EA.又∠1和∠2同是∠ACB的余角，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠3.
∴AE=AO=EK，又FO∥BC，
∴∠AFO=∠EBK,∠AOF=∠EKB=，
∴Rt△AOF≌△EKB.
∴AF=EB.故AE=BF.
证法2如图过点O作OG∥AB交BC于G，则BGOF是平行四边形.
∴BF=GO.
∵∠AOE=∠1+∠3，∠AEO=∠B+∠2，
又∠BAC=，AD⊥BC，
∴∠B=∠1.∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠2=∠3.∴∠AOE=∠AEO.
∴AE=AO.
在△AOC和△GOC中，
∵∠CGO=∠B=∠1，∠2=∠3，OC为公共边，
∴△AOC≌△GOC，AO=GO=AE=BF，故AE=BF.
3.证法1在DC上截取DE=DB，连结AE.
∵AD⊥DE，BD=DE.AB=AE.∴∠B=∠AEB.
∵∠B=2∠C.∴∠AEB=2∠C.
∴∠C=∠EAC.∴AE=EC=AB.
∵DC=DE+EC，∴AB+BD=DC.
证法2如图，延长CB到F，使BF=AB，连AF.
在△AFB中，
∵AB=BF.∴∠F=∠BAF.
∵∠ABC=∠F+∠BAF，即∠ABC=2∠F，
又∠ABC=2∠C，∠F=∠C.
∴AC=AF.又AD⊥FC，FD=DC.
∵FD=FB+BD，FD=AB+BD，即AB+BD=DC.
变换发散
1.分析：∵AB=AC，本题以等腰三角形ABC的顶点A为旋转中心，顶角(∠BAC)为旋转角，旋转到，的位置.
欲证，连，只须证.
∵，又
∴.∴.
问题得证.
证明：以A为顶点，以AC为边，在△ABC外作，在上取，连.
∵AB=AC.∴.
∴，连
∵，∴
∴.∴
∵.∴PC>PB.
2.证法1在△中，
∵，AC平分，∴AC是等腰的顶角平分线，
即，.
又在△AMC和中，
∵，，AM=AM，
∴.
∴.故平分.
证法2可通过证明，
从而得，可证得，平分.
逆向发散
提示连结AD，AD是等腰三角形的顶角平分线，本题应用角平分线的两个互逆定理证明.
构造发散
1.分析：因有∠BGE=∠F，欲证BG=CF可考虑证明其所在的三角形全等，而△GBE和△CFE明显不全等，故须构造含已知角和欲证线段为边的直角三角形，或使夹已知角的另一对边相等，又注意到条件中有BE=CE，若作BP⊥EF，CQ⊥EF，须证BP=CQ，然此易由Rt△BPE≌Rt△CQE得到.
证明：过B、C分别作BP⊥EF，CO⊥FE.
垂足分别为P、Q，则BP∥CQ阅.
∴∠PBE=∠QCE，而BE=CE，
∴Rt△QPE≌Rt△CAE.BP=CQ.
又EF∥DA，AD平分∠A，∠BGE=∠F.
∴Rt△BPG≌Rt△CQF.故BC=CF.
2.证明：在CB上截取CE=CA，连DE，构造新三角形△CDE.
在△ACD和△ECD中，
∵AC=EC，∠1=∠2，CD=CD，
∴△ACD≌△ECD.∴AD=DE，∠CED=∠A.
∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B.
∴∠B=∠EDB.∴DE=EB=AD.
∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD.
3.分析：延长BD到F，使DF=BC连结EF，则BE=BF，构造△DEF，欲证△BCE≌△FDE.
证明：∵∠B=，BE=BF，∴△EFB是等边三角形.
∴∠B=∠F.∵BC=DF，BE=FE，
∴△BCE≌△FDE.∴CE=DE.
变更命题发散
1.∵，
∴.
∵AB>AC，∴BE>CF.
2.连结AC、AD.在△ABC和△AED中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED.
∴AC=AD.在△ACF和△ADF中，
∵AC=AD，AF=AF，CF=DF，∴△ACF≌△ADF.
∴∠AFC=∠AFD.∵∠CFD=，
∴∠AFC=.∴AF⊥CD.
3.连结AC、AD.
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED(SAS).
∴∠1=∠2，AC=AD(全等三角形的对应角、对应边相等).
∴在△ACD中，∠3=∠4.
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BCD=∠EDC.
迁移发散
1.解：依题意，得方程组：
解方程组，得：a=3(cm),b=4(cm)，c=5(cm).
2.设AC=a，AB=2a，周长AB+BC+CA=l，则：
AB+BC+CA=2a+a+BC.
∵BC>a，∴AB+BC+CA>2a+a+a=4a.∴
又BC则l=AB+BC+CA<2a+3a+a=6a.
∴.综上.
∴即(AB+BC+CA)综合发散
1.分析：在BC上截取BE=AB，作EF⊥AC于F，连结AE，构造Rt△AEF和Rt△ADE，证明这两个直角三角形全等.
证明：如图，在BC上截取BE=AB，作EF⊥AC于F，连结AE.
∵BA⊥AC，EF⊥AC，
∴AB∥EF.∴∠BAE=∠2.
又∠BAE=∠1，∴∠1=∠2.
在Rt△ADE和Rt△AEF中，
∵AE=AE，∠1=∠2，
∴Rt△ADE≌Rt△AEF.
∴AD=AF.
∵BE=AB，EC>FC，
∴AD+BE+FC>AF+AB+FC,
即AD+BC>AB+AC.
2.(1)∵△ACD和△CBE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB.
∵∠ACD=∠ECB=，∴∠BCE=.
∴∠ACE=∠DCB.
∴△ACE≌△DCB.(SAS).∴∠AEC=∠DBC.
在△MCE和△NCB中，
∵∠AEC=∠DBC，CE=CB，∠MCE=∠NCB=，
∴△MCE≌△NCB.
∴MC=NC.
又∠MCN=,∴△CMN是等边三角形.
(2)∵∠NMC=∠ACM=，∴MN∥AB.
3.∵AB>AC，在AB上截取AF=AC，连结DF，则△ADF≌△ADC，
∴DF=DC.
在△DBF中，BF>DB-DF，
∴BF>DB-DC.
∵BF=AB-AC.即有AB-AC>DB-DC.
4.(1)如图，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠BNC=.
∵∠ACB=.
∴∠MCA+∠NCB=.
∴∠ACM=∠CBN.又AC=CB，
∴△ACM≌△CBN，MC=BN，AM=CN.
∴MN=AM+BN.
(2)若过C在△ABC内作直线MN，当MN经过等腰直角△ABC的底边AB的中点时，MN、AM、BN之间满足关系式MN=AM-BN.
证明略.
5.(1)如图延长BO交AC于点D.
∵∠BOC是△OCD的外角，
∴∠BOC>∠1.
同理可证∠1>∠A，
∴∠BOC>∠A.
(2)连结OA.在△ABO中，
∵AB同理BC∴BC+CA+AB<2(OA+OB+OC)
即(BC+CA+AB)6.连结AP.
∵AP=BP=PC，AF=ED=BE，∠PAF=∠PBE=,
∴△PAF≌△PBE.
∴∠APF=∠BPE.∴PE=PF.
∠APF+∠APE=∠BPE+∠APE.
又∠APF+∠APE+∠BPE+∠APE=，
∴∠EPA+∠APF=.即PE⊥PF.