1.4一元二次函数与一元二次不等式教学设计-高一上学期数学北师大版必修（第一册）

《一元二次不等式的解法》教学设计
【设计思想】
新的课程标准指出：高中数学课程以发展学生为本，发展数学学科素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习兴趣，养成良好学习习惯，提高教学的实效性.本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究.本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线.这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识，提高数学素养.
【教材分析】
《一元二次不等式的解法》这节课是北师大版普通高中新教材数学必修第一册第一章《预备知识》第四节第二课时的内容，是初中一元一次不等式的解法、一元二次方程的根在知识上的延伸和发展.一元二次不等式的解法是《不等式》的核心内容，又是上一章集合知识的运用与巩固，也为下一章研究函数的定义域和值域作铺垫，起着承上启下的作用.同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识.
【学情分析】
现阶段高一学生已经掌握了一元一次不等式(组)的解法，一元二次方程的求根等基础知识，有着良好的知识基础；而且他们通过初中的学习心智发育逐渐成熟，发散思维习惯和方式已初步养成，具备了一定的数形结合的思想，有着较好的观察与总结、化归、探究能力.
【教学方法】
启发式教学法，讨论法，讲授法，
问题探究教学法.
【学法指导】
本次课的教学策略是采用“问题探究教学法”.用学生原有的知识为出发点，通过问题设置，引导学生进行新旧知识的有效迁移，结合几何画板、PPT等教学工具，指导学生观察、练习，积极主动地探求一元二次不等式的图象解法，然后得出一元二次不等式的解法的具体步骤.学生通过练习，能比较全面地掌握一元二次不等式的解法.
【教学目标】
根据教学大纲的要求及上述教材内容地位分析，结合学生实际学制订本节课教学目标如下：
1.能够从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，了解一元二次不等式的现实意义；能够以具体的一元二次函数变化情况为情景，通过函数图象发现一元二次不等式与相应一元二次函数、一元二次方程的联系，并进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，归纳总结出借助一元二次函数解一元二次不等式的方法步骤，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
2.通过从具体实例中探究一元二次函数与相应方程、不等式的联系，感悟函数的重要性，以及数学知识之间的整体性及关联性，体会化归与转化、函数与方程、数形结合在解决问题时的意义与价值，体会特殊到一般的研究方法，学会从特殊现象中提炼一般规律，形成一般结论.
3.通过这节课的学习，
发展学生“从形到数”“从数到形”的直观想象素养，“由具体到抽象”“从特殊到一般”的数学抽象素养，以及数学运算等核心素养；体会数学的应用意识和提升数学建模的核心素养.
4.通过对解不等式过程中“等”与“不等”对立统一关系的认识，让学生逐步感悟普遍联系的观点和辩证唯物主义思想.通过创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用.
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法.
【教学难点】
正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，探求一元二次不等式的解法.
【教学工具】
实物投影、PPT课件、《几何画板》
【教学过程】
一、创设情境，提出问题
从实际问题中，建立一元二次不等式模型：
汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”.“刹车距”s与车速x之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同，它是分析交通事故的一个重要依据.甲，乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40km/h以内，由于突发情况，两车相撞了.交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又知这两辆车的刹车距s与车速x（km/h）之间分别有以下函数关系：
谁的车速超过了40km/h，谁就违章了.
试问：哪一辆车违章行驶？
师生活动：引导学生分析问题，从具体问题中抽象出不等关系，由学生代表叙述观点，其他学生补充，教师板书解题过程，列出不等式.
　
教师：因此解决这个问题实际就是求解上面两个不等式的问题.
二、明确概念，探究解法
1.这一不等式有几个未知数，最高次是多少？
学生
：只有1个未知数，最高次是2次.
教师：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的不等式叫作一元二次不等式，它的一般形式是.ax2+bx+c>0
(≥0
)或ax2+bx+c<0
(≤0
)，其中a，b，c
均为常数(a≠0
).
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.使一元二次不等式成立的所有的未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集.
注：从比较普遍的“刹车距”问题，贴近学生生活，利于激发学生的学习兴趣.既呈现由简单到复杂的数学思想，又进一步加深了学生对“数学源于生活”的认识.
2.通过一个具体的例子x2
–2x
–
3
>
0.探究一元二次不等式的解法与三个“二次”的关系.
注：让学生自己动手尝试解决，形成自己的解决方法，完成对一元二次不等式解法的初步建构.
类比一元一次不等式解法，进行探究.
教师：
在初中，我们已经学习过一元二次方程和一元二次函数的有关知识，那么，这三者之间有什么关系吗？
师生活动：由教师演示几何画板制作的课件(如图1)
引导学生观察P
点在抛物线上移动时，随着P
的横坐标的变化，P
的纵坐标有什么变化，并得出以下结论：
(1)x
轴是一条分界线，二次函数y=x2-2x-3与x
轴的交点是分界点.
(2)函数值
y
>
0，函数图象位于x
轴上方的图象对应的x
的范围.
(3)函数值
y
=
0，函数图象与x轴相交，交点的横坐标.
(4)函数值
y
<
0，函数图象位于x
轴下方的图象对应的x
的范围.
教师?：在这里我们发现一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系，我们可以快速准确地求出一元二次不等式的解集.(解决了引入问题).
注：?结合几何画板的动态演示，类比初中所学知识，联系学生的最近发展区，利于激发学生的好奇心和探究欲.
3.从特殊到一般，深入探究.
由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c>0
(
a≥0
)或ax2+bx+c<0
(
a≤0
)，其中a，b，c
均为常数(a≠0
)形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x?轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.
三、观察体会，归纳总结
通过上面不等式的求解，学生自己可以体会数形结合思想的运用，同时更能感受三个二次之间的关系.此时，教师“趁热打铁”.
问题：试根据刚才解不等式的情况，我们想想看，对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）该如何求解呢？
学生在思考后提出自己的看法，然后老师引导学生得出一元二次不等式ax2+bx+c>0
(
a≥0
)或ax2+bx+c<0
(
a≤0
)，其中a，b，c
均为常数(a≠0
)解集应分为?>0，?=0，?<0这三种情况讨论，并组织学生完成以下表格.
设判别式.
判别式
一元二次方程
二次函数（）的图象
?
讨论一元二次不等式ax2+bx+c>0
(≥0)或ax2+bx+c<0
(≤0
)，其中a，b，c
均为常数(a<0
)的解集
四．例题讲解
例1.求不等式
9x2-6x+1>0的解集.
注：师生共同完成，示范做题过程.
例2.解不等式
3x2+5x-2>0.
解：方程
3x2+5x-2=0
的解为
函数y=3x2+5x-2的图象为：
由函数的图象可知
不等式3x2+5x-2>0的解集为：
问题?：
求不等式－2x2+x+1>0的解集
思考：对于二次项系数a?是负数的一元二次不等式，又应该如何求解呢？
学生1：还是通过相应的二次函数图象来解.
教师?：这位同学说的很好！他抓住了应用“数形结合”思想求一元二次不等式的解集这一本质.还有其他方法吗？
学生2：可以先把二次项系数a<0?化为正数，再求解.
教师?：非常好！由于我们对a<0这一情况有了较详细的认识，因此把a<0这一不熟悉的情况转化为a>0这一已知情况，正体现了化未知为已知的数学思想.
注：?从特殊到一般，化未知为已知，符合学生思维过程.
五.?尝试设计程序框图，归纳解法
1.教师?：下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来.
请师生共同完成.
注：通过几个具体的不等式的求解，引导学生寻求更一般的解法，使之推广，让学生体会从特殊到一般的认知规律.
2.师生活动：用简要的语句来概括求解一元二次不等式的步骤.
(1)化二次项系数a为正数；
（2）求的值；
（3）求ax2+bx+c=0的实数根?；
（4）结合图象，写一元二次不等式解集(心中有图).
注：程序框图的设计，使学生对前面所学知识有了更系统的认识，进一步明确了求解一元二次不等式的步骤.
六.?运用成果，解决实际问题
注：以这节课学到的方法解决实际问题，不仅能让学生充分体验到自己的“劳动成果”，而且能帮助他们更深刻地理解如何求解一元二次不等式.
七.课堂预留练习
(1)解不等式
4x-x2<5；
(2)解不等式
2x2+x+1≤0.
八.课堂小结
目标：一元二次不等式的求解法；
过程：利用“三个二次”之间的关系；
数学思想：数形结合，化归法，类比法；
数学核心素养：发展数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养；体会数学的应用意识和提升数学建模的核心素养.
九.布置作业